Thi thử môn Toán đợt 4 (có đáp án)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.28 KB, 2 trang )
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC - KỲ THI GIẢI TOÁN ONLINE
Vietnamese Mathematical E-Olympiad (VMEO)
Đề thi dành cho khối Trung học Phổ thông
Tháng 12 năm 2004
(Đề thi gồm 7 bài, từ bài số 15 đến bài số 21)
Bài 15
Tìm số các hoán vị của {1, 2, . . . , n} sao cho ở vị trí 1 không phải số 1, ở vị
trí 2 không phải số 2, ..., ở vị trí n không phải số n.
Bài 16
Các số tự nhiên 1, 2, ..., 2n − 1, 2n được chia thành hai tập hợp con
A = {a1 , a2 , ..., an } và B = {b1 , b2 , ..., bn } sao cho a1 < a2 < ... < an và
b1 > b2 > ... > bn . Chứng minh rằng
n
i=1
(ai − bi )2
≥ n2
2n − 2i + 1
Bài 17
Gọi AM, BN, CP là ba đường phân giác của tam giác ABC (M, N, P tương
ứng thuộc BC, CA, AB). Tìm tất cả các giá trị của góc BAC để M N vuông
góc với M P .
Bài 18
Cho tam giác ABC, với phân giác AD (D thuộc BC). Gọi I là trung điểm
của BC, E là điểm đối xứng của D qua I. Lấy điểm F thuộc cạnh BC sao cho
BAF = EAC. Chứng minh rằng
BF
c3
= 3,
FC
b
với b = AC và c = AB.
Bài 19
Một số tự nhiên n ≥ 1 được gọi là hoàn hảo nếu tổng các ước số dương của
nó bằng 2n.
a) Chứng minh rằng nếu n là một số hoàn hảo lẻ thì n có ít nhất 3 ước số
nguyên tố khác nhau.
b) Viết n = pa1 1 pa2 2 ...pakk , với pi nguyên tố (i = 1, 2, ..., k). Chứng minh rằng
nếu n hoàn hảo thì
k
π2
pi
<
2<
p −1
3
i=1 i
Bài 20
Hai bạn Tí và Tèo chơi trò nhặt sỏi với luật chơi như sau: Ban đầu, hai bạn
có hai đống sỏi, một đống gồm 2002 viên, đống kia gồm 2006 viên. Hai bạn lần
lượt lấy sỏi từ hai đống, mỗi lần số sỏi lấy ra phải được lấy từ đúng một đống
1
và số đó phải là ước của số sỏi trong đống còn lại. Người lấy được viên sỏi cuối
cùng sẽ là người thắng cuộc. Hỏi bạn nào sẽ có chiến thuật thắng, và sẽ đi như
thế nào, biết rằng Tèo là người đi trước.
Bài 21
Cho a, b, c là các số thực nằm trong đoạn [1, 2]. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
10a 11b 12c
+
+
.
P =
bc
ca
ab
Một số lưu ý :
1. Có thể gửi bài giải cho ban tổ chức theo hai cách:
• Cách 1: Soạn thảo bài giải trên Word hoặc TEX, lưu lại thành file
nickname_thpt_k.doc hoặc nickname_thpt_k.tex, trong đó nickname là nickname của thành viên trên diễn đàn, k là số bài (từ 15
đến 21), rồi gửi kèm email vào địa chỉ
Trong trường hợp không thể tự soạn thảo bài giải, bạn có thể ghi ra
giấy rồi scan thành file hình ảnh, với tên file tương tự. Trong email
có ghi đầy đủ:
- Tiêu đề: Nickname, dự thi VMEO khối THPT, bài k.
- Nội dung: Ghi đầy đủ họ tên, ngày sinh, nickname trên diễn đàn,
địa chỉ nhận thư (theo lớp, trường).
- Attachment: Gửi kèm file lời giải.
• Cách 2: Sử dụng chức năng nhắn tin có sẵn trong diễn đàn, gửi cho
nickname vmeo, trong đó:
- Tiêu đề: Nickname, dự thi VMEO khối THPT, bài k.
- Nội dung: Soạn thảo lời giải ngay khi gửi tin nhắn bằng cách sử
dụng các công cụ soạn thảo có sẵn trên diễn đàn.
Ghi đầy đủ họ tên, ngày sinh, địa chỉ nhận thư (theo lớp, trường).
2. Hạn gửi bài cuối cùng là ngày 25/12/2004.
3. Ban tổ chức đã quyết định lùi thời hạn gửi bài dự thi của tháng 10 đến
hết ngày 25/12/2004, và cho phép các bạn đang là học sinh lớp 10 cũng
được quyền tham dự kì thi của khối THCS.
4. Mọi thông tin về cuộc thi bạn có thể xem tại trang chủ của Diễn đàn Toán
học tại địa chỉ .
2
