Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
********

MAI XUÂN TRƢỜNG

MÔ TẢ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ
THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG
GALOA Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2010

1


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN

********

MAI XUÂN TRƢỜNG

MÔ TẢ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ
THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG
GALOA Qf ( x )  Q,deg f ( x)  4
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GVC: VƢƠNG THÔNG

HÀ NỘI – 2010

2


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứa khoa học này, em nhận được
rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Em
xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong 4 năm học vừa qua và qua đó đã
giúp em hoàn thành khoá luận này.
Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vương Thông, người
trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian, khoá luận này vẫn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý nhận xét của các

thầy cô, của các bạn để khóa luận này càng hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010

Sinh viên
Mai Xuân Trường

3


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khoá luận này là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà
khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ một công
trình nghiên cứu nào khác.

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010

Sinh viên
Mai Xuân Trường

4



Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

MỤC LỤC
Lời cảm ơn.........................................................................................................
Lời cam đoan.....................................................................................................
Mục lục...............................................................................................................
Lời nói đầu.........................................................................................................
Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng và mối quan hệ giữa chúng...........
1. Những khái niệm cơ sở................................................................................1
1.1 Khái niệm trường.........................................................................................1
1.2 Khái niệm mở rộng trường..........................................................................1
1.3 Phần tử đại số và phần tử siêu việt..............................................................1
1.4 Đa thức bất khả quy.....................................................................................1
1.5 Đa thức tối tiểu............................................................................................2
1.6 Phần tử liên hợp.......................................................................................... 2
2. Một số loại mở rộng trƣờng........................................................................3
2.1 Trường ghép thêm một tập hợp...................................................................3
2.2 Mở rộng đơn................................................................................................3
2.3 Mở rộng có bậc hữa hạn..............................................................................4
2.4 Mở rộng đại số.............................................................................................4
2.5 Mở rộng tách được......................................................................................4
2.6 Mở rộng chuẩn tắc.......................................................................................5
2.7 Mở rộng Galoa............................................................................................5
3. Mối liên hệ giữa các loại mở rộng..............................................................8
Chƣơng 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với
mở rộng Galoa Q f ( x )  Q ................................................................................9
1. Đặt vấn đề.....................................................................................................9

1.1 Cơ sở lý luận................................................................................................9

5


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================
2. Mô tả định lý cơ bản...................................................................................9
2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng
Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  1...........................................................................9
2.2 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng
Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  2 ............................................................. ...........10
2.2.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 1..............................10
2.2.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 2..............................11
2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng
Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  3 .........................................................................12
2.3.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 1..............................14
2.3.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 2..............................14
2.3.3 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 cú cấp bằng 6..............................16
2.4 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng
Galoa Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 .........................................................................24
2.4.1 f ( x) có 4 nghiệm hữu tỷ.......................................................................24
2.4.2 f ( x) có 3 nghiệm hữu tỷ.......................................................................24
2.4.3 f ( x) có 2 nghiệm hữu tỷ.......................................................................25
2.4.4 f ( x) có 1 nghiệm hữu tỷ.......................................................................29
2.4.5 f ( x) không có nghiệm hữu tỷ...............................................................35
Kết luận..............................................................................................................
Tài liệu tham khảo.............................................................................................


6


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

LỜI NÓI ĐẦU

Evariste Galois sinh năm 1811 tại một làng nhỏ bé vùng Bourgla – Reine
ngoại ô Pari. Ông là một nhà toán học thiên tài, đặc biệt trong lĩnh vực đại số.
Ông đã hoàn thành một công trình nghiên cứu xuất sắc mà ngày nay được biết
đến với tên gọi “ Lý thuyết Galoa”.
Nguồn gốc của lý thuyết Galoa là vấn đề giải các phương trình bằng căn
thức. Thực chất của vấn đề là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp
các căn thức. Galoa đã chuyển vấn đề này thành một vấn đề của lý thuyết
nhóm. Lý thuyết Galoa nghiên cứu về các nhóm tự đẳng cấu ( gọi là nhóm
Galoa ) và việc tìm nhóm Galoa của phương trình đại số trên một trường.
Việc làm đó có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định các trường trung gian
và mở rộng của nó.
Trước khi lý thuyết Galoa ra đời người ta chỉ quan tâm việc giải một bài
toán dựng hình như thế nào, tuy nhiên với lý thuyết Galoa có thể xét được
tính giải được của bài toán đó. Với lý do đó, với sự say mê của bản thân cùng
sự giúp đỡ của thầy Vương Thông em đã mạnh dạn thực hiện khoá luận về đề
tài:
“ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa

Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 ”.
Khoá luận được chia làm 2 chương:
Chƣơng 1: Một số loại mở rộng trƣờng và mối quan hệ giữa chúng

Chƣơng 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng
Galoa Q f ( x )  Q

7


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

KẾT LUẬN
Đại số là một môn khó, đặc biệt là lý thuyết Galoa lại càng khó hơn. Do đó
trong quá trình thực hiện đề tài này em cũng gặp nhiều vấn đề tương đối khó
hiểu, đó là việc tìm nhóm Galoa của phưong trình bậc 4 thuộc trường Q  x 
tổng quát có 1 nghiệm hữu tỷ và 3 nghiệm không hữu tỷ.
Qua việc nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em thấy lý thuyết Galoa
có rất nhiều ứng dụng: đã nghiên cứu được tính giải được của phương trình
căn thức, các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa...
Hơn nữa nó đóng góp phần không nhỏ trong việc nghiên cứu các mở rộng
trường, trường phân rã của một đa thức , nhóm Galoa của một số loại phương
trình. Nhờ đó mà có thể xác định được các trường trung gian giữa các trường
và mở rộng của nó. Tuy nhiên trong khoá luận này chưa trình bày hết lý
thuyết Galoa và các ứng dụng của nó mà chỉ nêu một phần nhỏ, đó là:
“ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa

Q f ( x )  Q,deg f ( x)  4 ”.
Còn rất nhiều vấn đề được quan tâm khai thác, chẳng hạn: nhóm Galoa của
phương trình bậc n > 3 trên tập số thực R, trên tập số hữu tỷ một cách tổng
quát,...,các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa và các ứng dụng của nó.
Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy

cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Vương Thông đã hướng dẫn, giúp
đỡ tận tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em thực hiện và hoàn thành khoá
luận này.
Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Mai Xuân Trường

8


Khoá luận tốt nghiệp
Mai Xuân Trƣờng K32 – B Toán
=======================================================

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Ngô Trúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NXBGD.
2. Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số và số học tập 3, NXBGD.
3. Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galoa,
NXBĐHQGHN.
4. Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD.
5. Vương Thông (2004), Lý thuyết Galoa và ứng dụng.
6. Nguyễn Quý Khang – Kiều Đức Thành (1992), Giáo trình đại số và số học
tập 3, ĐHSPHN2.
7. ARTIN, Lý thuyết Galoa.

9


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn

=======================================================

Ch-ơng 1: một số loại mở rộng tr-ờng và mối
quan hệ giữa chúng
1. Những khái niệm cơ sở
1.1 Khái niệm tr-ờng
* Định nghĩa: Tr-ờng là miền nguyên X sao cho x X *
đều có nghịch đảo tức là x X * x ' X * : x.x ' e .
1.2 Khái niệm mở rộng tr-ờng
* Định nghĩa: Giả sử A, K là hai tr-ờng và K A.
Khi đó ta nói rằng K là một mở rộng của tr-ờng A. Ký
hiệu l K A.
1.3 Phần tử đại số và phần t siêu việt
* Định nghĩa: Cho K A, phần tử c K đ-ợc gọi là
phần tử đại số trên A nếu tồn tại f ( x) A x ; f ( x) 0
sao cho f(c) = 0. Hay tồn tại a0, a1 ... , an ca A
không đồng thời bằng 0: a0 + a1c + ... + ancn = 0.
Nếu c K, c không là phần tử đại số trên A thì c
đ-ợc gọi là phân tử siêu việt trên A.
1.4 a thức bất khả quy
* ịnh nghĩa: Cho A là một tr-ờng, một đa thức
khác không f ( x) A x ; f ( x) 0 , f ( x) không khả nghịch
gọi là bất khả quy trong A x
( hay bất khả quy trên A ) nếu và chỉ nếu nó không
có -ớc thực sự trong A x .

10


Khoỏ lun tt nghip

Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================

1.5 Đa thức tối tiểu
* Định lý 1: Cho K A, giả sử c K là phần tử
đại số trên A. Khi đó tồn tại duy nhất đa thức p( x )


A x ; p( x ) bất khả quy trên A x ,

hệ tử cao nhất là phần tử đơn vị sao cho p(c) = 0.
* Định nghĩa: Đa thức duy nhất p( x ) xác định nhtrên gọi là đa thức tối tiểu của phần tử c trên A và
ký hiệu là mcA ( x ).
1.6 Phần tử liên hợp
* Định nghĩa: Cho K A, c1,c2 K. nếu c1,c2 có
cùng đa thức tối tiểu trên A thì c1 và c2 đ-ợc gọi là
liên hợp với nhau.

11


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================

2. Một số loại mở rộng tr-ờng
2.1 Tr-ờng ghép thêm một tập hợp
2.1.1 Định nghĩa: Cho K A, U là một bộ phận bất
kỳ của K. Ta gọi tr-ờng con của K nhỏ nhất chứa
tr-ờng A, chứa tập U là tr-ờng con của K mà ghép

thêm tập U vào trng A, ký hiệu là A(U).
2.1.2 Định lý 1:


P( x1 , x2 ,..., xn )
;
P
(
x
,
x
,...,
x
)

A
[
x
,
x
,...,
x
];
1
2
n
1
2
n


Q( y , y ,..., y )
1
2
m


A(U ) Q( y1 , y2 ,..., ym ) A[ y1, y2 ,..., ym ];
.


m
,
n

N
,
x

U
,

i

1,
n
,
y

U
,


j

1,
m
i
i




2.1.3 Định lý 2: Nếu U = U1 U2 thì A(U) = A( U1
U2 ) = A(U1)(U2).
L-u ý: Kết quả này có thể mở rộng cho nhiều tập hợp
nghĩa là:
Nếu U = U1 U2 ... Un thì A(U) = A( U1 U2
... Un )
= A(U i1 )(U i2 )...(U in ) với ( i1,i2,...,in ) là các hoán vị
của (1,2,...n).

12


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
Đặc biệt khi U = { S1,S2,...,Sn } thì A(




S1,S2,...,Sn ) = A Si1 , Si2 ,..., Sin



trong đó

S ,S
i1

i2

,..., Sin



là

các hoán vị của (S1,S2,...,Sn ).
Nhằm mục đích giải quyết bài toán tìm nghiệm của
ph-ơng trình tổng quát
f(x) = 0 nên sau đây ta chỉ xét một số loại mở rộng
sau:
2.2 Mở rộng đơn
2.2.1 Định nghĩa: Cho K A, K. khi đó A( )
đ-ợc gọi là mở rộng đơn của A.
Nếu là phần tử đại số trên A thì A( ) đ-ợc gọi
là mở rộng đơn đại số.
Nếu là phần tử siêu việt trên A thì A( ) đ-ợc
gọi là mở rộng đơn siêu việt.


2.3 Mở rộng có bậc hữu hạn
2.3.1 Định nghĩa 1: Ph-ơng trình bất khả quy p(x) =
0 nhận làm một nghiệm gọi là ph-ơng trình xác
định cả tr-ờng A( ). Bậc của nó gọi là bậc của phần
tử đại số đối với A.
Đa thức p(x) đ-ợc gọi là đa thức xác định của
trng A( ); bc ca .
Kí hiệu là [ : A].
2.3.2 Định nghĩa 2: Cho K A, xem K nh- một không
gian véctơ trên A, nếu K là không gian hữu hạn chiều

13


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
thì K đ-ợc gọi là mở rộng có bậc hữu hạn trên A. Ký
hiệu [

K : A ] = dim

A

K.

Từ định nghĩa trên ta suy ra một mở rộng đơn đại
số A( ) với ph-ơng trình xác định bậc n trên A là
một mở rộng có bậc hữu hạn [ A( ) : A ] = n.
Nh- vậy dim


A

K = deg mA (x) = [ : A] = [ A( ) :

A ].
2.4 Mở rộng đại số
2.4.1 Định nghĩa: Cho K A, K đ-ợc gọi là mở rộng
đại số nếu K thì

là phần tử đại số trên A.
2.5 Mở rộng tách đ-ợc
2.5.1 Định nghĩa 1 ( Đa thức tách đ-ợc ): Đa thức
f(x) A[x] đ-ợc gọi là đa thức tách đ-ợc trên A nếu
nó không có nghiệm bội trong tr-ờng phân rã của nó.
Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại nó d-ợc gọi là đa thức
không tách d-ợc.
2.5.2 Định nghĩa 2 ( Phần tử tách đ-ợc ): Cho

K A, đ-ợc gọi là phần tử tách đ-ợc trên A nếu
đa thức tối tiểu của nó là đa thức tách đ-ợc trên A.
2.5.3 Định nghĩa 3 ( Mở rộng tách đ-ợc ): Mở rộng K


A gọi là

mở rộng tách đ-ợc trên A nếu mọi phần

tử của K đều là phần tử tách đ-ợc trên A.
2.5.4 Định nghĩa ( Phần tử nguyên thuỷ ):

*) Định nghĩa: Cho K A( 1, 2,..., n ) nếu K
sao cho

14


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
K = A( 1, 2,..., n ) = A( ) thì đ-ợc gọi là phần
tử nguyên thuỷ.
2.6 Mở rộng chuẩn tắc
2.6.1 Định nghĩa: Mở rộng đại số của tr-ờng A gọi là
mở rộng chuẩn tắc trên A nếu mỗi đa thức bất khả quy
p(x) A[x] có một nghiệm trong K thì nó có tất cả
các nghiệm trong K. ( ta nói p(x) phân rã hoàn toàn
trong K )
2.7 Mở rộng Galoa
2.7.1 Các khái niệm
*) A_tự đẳng cấu: Cho K A, tự đẳng cấu : K K sao
cho

A ta có ( ) thì d-ợc gọi là A_tự đẳng cấu
của K.
*) Nhóm Galoa: Tập hợp các A_tự đẳng cấu của K lập
thành một nhóm gọi là nhóm Galoa của K trên A, ký
hiệu là G(K,A).
Nh- vậy G(K,A) = { Aut(K)

( a ) = a , a A }.


*) Định lý: Cho G là một tập các tự đẳng cấu nào đó
của tr-ờng K.
Khi đó C(K,G) = { x K

(x) = x, G } K .

*) Tr-ờng điểm bất động: Ta gọi C(K,G) là tr-ờng
điểm bất động của tập G các tự đẳng cấu no ú của
tr-ờng K.

15


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
*) Bổ đề 1: Giả sử 1, 2,..., n là các tự đẳng cấu
đôi một khác nhau của tr-ờng K. Khi đó với mọi
m

a 1, a 2,..., a m K:

a ( x) 0
i 1

i

i


với x K thì a 1 = a 2 =...= a m = 0.
*) Bổ đề 2: Có m tự đẳng cấu khác nhau từng đôi một,
giả sử A1 là một tr-ờng điểm bất ng của chúng, khi
đó m [K : A1 ], A1 C ( K , G1) .
*) Bổ đề 3: Nếu 1, 2,..., m lập thành một nhóm các
tự đẳng cấu của K, A là tr-ờng điểm bất động của nó
thì [K:A] m.
*) Hệ quả: Từ các bổ đề trên ta suy ra hệ quả sau :

1,..., m là các tự đẳng cấu của tr-ờng K, A là
tr-ờng điểm bất động và bộ phận trên trở thành một
nhóm thì [K :A] = m.
+) Định lý : Cho K A, G là nhóm các A_tự đẳng cấu
của K. Khi đó hai điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
a) C(K : G) = A
b) G = [K : A]
2.7.2

Mở rộng Galoa

*) Khái niệm: Cho K A là mở rộng có bậc hữu hạn
thoả mãn một trong hai điều kiện :
a) C(K : G) = A

16


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================

b) G = [K : A]
Khi đó K đ-ợc gọi là mở rộng Galoa của A. Tức là
tr-ờng điểm bất động của nhóm các A_tự đẳng cấu của
K trùng với A. C(K:A) = A hay bậc của mở rộng [K:A]
bằng cấp của nhóm các A_tự đẳng cấu của K.
*) Các tính chất của mở rộng Galoa: K A, G =
G(K,A), C = C(K,G).
Khi đó bốn mệnh đề sau t-ơng đ-ơng:
a) G = [K : A]
b) C(K : G) = A
ct

td

c) K A v K A
d) K là tr-ờng phân rã của đa thức tách đ-ợc
f(x) A[x]
*) Định lý cơ bản của lý thuyết Galoa: Giả sử K là
một mở rộng Galoa của tr-ờng A và G là nhóm Galoa
của K trên A.
Ký hiệu X = { H nhóm con của G }
Y = { R

A R K }

khi đó tồn tại song ánh : X Y

17



Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
H
C(K,G) = R thoả mãn 3 tính chất sau:
a) Đảo ng-ợc quan hệ thứ tự
b) H [K : R] và G

A

[R : A]

c) Số các A_tự đẳng cấu của R bằng
[R:A]

3. Mối liên hệ giữa các loại mở rộng: ở phần này
chúng ta chỉ xem xét mối liên hệ giữu các loại mở
rộng đã trình bày ở phần trên, đó là mối liên hệ
giữa mở rộng đơn, mở rộng cú bậc hữu hạn, mở rộng
đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách đ-ợc và mở
rộng Galoa.

18


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
3.1 Định lý 1: Mọi mở rộng đơn đại số A( ) đều là
mở rộng có bậc hữu hạn.

3.2 Định lý 2: Mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng
đại số.
3.3 Định lý 3: Trên một tr-ờng A có đặc số là không
hoặc A là tr-ờng hữu hạn thì mọi mở rộng đại số K
A là mở rộng tách đ-ợc.
3.4 Định lý 4: Một mở rộng K có bậc hữu hạn của
tr-ờng A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu nó là tr-ờng
phân rã của một đa thức tách đ-ợc f(x) trên A.
3.5 Định lý 5: Nếu E là mở rộng Galoa của A thì E là
mở rộng chuẩn tắc và tách đ-ợc của A.
3.6 Định lý 6: Nếu E là mở rộng chuẩn tắc, tách đ-ợc
và có bậc hữu hạn của A thì E là mở rộng Galoa của
A.

19


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================

Ch-ơng 2 : Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết
Galoa đối với mở rộng Galoa

Q f ( x ) Q,deg f ( x) 4
1. Đặt vấn đề
1.1 Cơ sở lý luận : Theo định nghĩa nhóm Galoa
của ph-ơng trình f(x) = 0 trên A là nhóm G =
G(Af(x),A) trong đó Af(x) là tr-ờng nghiệm của f(x) và
đ-ợc xác định Af(x) = A( 1,..., n) với i (i =

1,...,n) là các nghiệm của f(x) trong tr-ờng phân rã
của nó.
2. Mô tả định lý cơ bản : Để Mô tả đ-ợc định lý cơ
bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa
GL

Q f ( x ) Q ta phải đi tìm tr-ờng nghiệm Qf(x). Tr-ờng này
phụ thuộc vào số các nghiệm hữu tỷ của f(x) nên ta
sẽ xem xét Qf(x) theo số nghiệm hữu tỷ của f(x).
Trong mỗi tr-ờng hợp ta chia thành các b-ớc sau:
B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Qf(x)
B-ớc 2: Tìm nhóm Galoa G = G(Qf(x),Q)
B-ớc 3: Mô tả định lý cơ bản. Ta có các tr-ờng hợp
sau:
2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với
mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 1

20


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
Dạng tổng quát ax+b = 0 (*), a 0, f(x) = ax+b
Q[x]. Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0
thì G có cấp bằng 1. Ph-ơng trình (*) chỉ có một
b
nghiệm duy nhất x Q . Nhóm Galoa của ph-ơng
a


trình f(x) = 0 cú cấp bằng 1 nên G = {IQ} trong đó IQ
là đẳng cấu đồng nhất.
2.2 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với
mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 2
Dạng tổng quát ax2+bx+c = 0 (*), a 0, f(x) =
ax2+bx+c Q[x]. Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng
trình f(x) = 0 thì G là nhóm con của nhóm S2.

G 1
Khi đó G S2 G 2! G 2
G 2
2.2.1 Nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 2 có cấp bằng
1
Giả sử (*) có 2 nghiệm x1, x2 theo địng lý viet ta
b

x

x


1
2

2a
có :
x .x c
1 2 a

+) Nếu x1 Q x2


b
x1 Q do đó nếu ph-ơng trình
2a

f(x) = 0 có một nghiệm thuộc Q thì nghiệm còn lại
cũng thuộc Q. Nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0

21


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
có cấp bằng 1 nên G = {IQ}, trong đó IQ là đẳng cấu
đồng nhất. Nh- vậy nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 2
có cấp bằng 1 ứng với ph-ơng trình bậc 2 có 2 nghiệm
hữu tỷ. Theo công thức nghiệm ta có :

x1

b b 1
b b 1


Q; x2


Q Q
2a

2a 2a
2a
2a 2a

Vậy những ph-ơng trình bậc 2 mà nhóm Galoa của nó có
cấp bằng 1 là ph-ơng trình có các hệ số thoả mãn
b 2 4ac Q .

2.2.2 Nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 2 có cấp bằng
2
Nếu ph-ơng trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc Q
thì khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trên Q[x].
Theo công thức nghiệm ta có : b2 4ac

x1

b b 1
b b 1


Q; x2


Q
2a
2a 2a
2a
2a 2a

Tr-ờng nghiệm của ph-ơng trình f(x) = 0 là Q( )

do

là nghiệm của đa thức tối tiểu x2 - = 0 nên

[Q( ) :Q) = deg(x2 - ).
Nhóm Galoa của mở rộng có cấp là

G G(Q( )), Q [Q( ) : Q) 2 .
Nh- vậy nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 2 có cấp
bằng 2 ứng với các ph-ơng trình bậc

2 không có

22


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
nghiệm hữu tỷ hay các hệ số của ph-ơng trình thoả
mãn

b 2 4ac Q .

Ví dụ : Xác định cấp của nhóm Galoa, các nhóm con
của nó, các tr-ờng trung gian t-ơng ứng với ph-ơng
trình sau: x2 + 1 = 0.
Bài giải
Ta có = - 4 = 4i2 2i Q . Nên f(x) = x2+1
Q[x] là đa thức bất khả quy trên Q[x], có 2 nghiệm

là i và - i. do đó tr-ờng phân rã của f(x) là Q(i).
Ta có [Q(i) :Q] = deg(x2+1) = 2 nên Q(i) là mở
rộng có bậc hữu hạn trên Q và Q(i) là tr-ờng phân rã
của x2+1 Q[x] Q(i) là mở rộng Galoa trên Q.
Cấp của nhóm Galoa G = G(Q(i),Q) là Q [Q(i) : Q] 2 .
Nhóm Galoa G = G(Q(i),Q) có 2 tự đẳng cấu của Q(i).
Q(i) có cơ sở là {1, i}.

Q(i ) : a bi; a, b Q
G (Q(i ), Q) : Q(i ) Q(i )
( )
Ta lại có

( ) (a bi) (a) b (i); i 2 1 (1) (i 2 ) 2 (i) (i) i
+) Nếu (i) = i thì ( ) a bi I .

23


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================
+) Nếu (i) = - i thì ( ) a bi T .
Vậy G(Q(i),Q) = {I, T}.
* Giả sử H là nhóm con của G(Q(i),Q) thì

H 1
H G H 2! H 2
H 2
Nếu H = 1 thì H = I.

Nếu H = 2 thì H = {I, T} =

G.

* Các tr-ờng trung gian t-ơng ứng Q Q(i).
2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với
mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 3
Dạng tổng quát ax3+bx2+cx+d = 0; a, b, c, d Q; f(x)
= ax3+bx2+cx+d, a 0

Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng

trình f(x) = 0 thì G là nhóm con của S3 và cũng là

G

G
nhóm con của S2 khi đó G S3 G 3! H 6
G
G


1
2
3
6

Giả sử trên tr-ờng K ph-ơng trình f(x) = 0 luôn có 3
nghiệm x1, x2, x3.


24


Khoỏ lun tt nghip
Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn
=======================================================

b

x

x

x


1 2 3
a

c

Theo định lý viet ta có x1 x2 x1 x3 x2 x3
a

d

x
.
x
.

x


1
2
3

a


+) Nếu x1

b

x

x


x1 Q
2
3

a
Q
x2 .x3 d Q
ax1


+) Nếu x1


b

x2 x3 a x1 Q
Q
x2 .x3 d Q
ax1


b
+) Nếu x2 Q x3 x1 x2 Q
a

+) Nếu x2 Q



b
x3 x1 x2 Q
a

Nh- vậy chỉ có 3 khả năng đối với 3 nghiệm của
ph-ơng trình f(x) = 0 :
+) Có 3 nghiệm hữu tỷ.
+) Có 1 nghiệm hữu tỷ 2 nghiệm vô tỷ.
+ Có 3 nghiệm không hu tỷ ( vụ t, phc ).

25