Biên soạn: Nhóm toán –Trường THCS phong Vân- Lục ngạn- Bắc giang
Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
I. Kiến thức cơ bản
1. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên
Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a
chia hết cho b(kí hiệu
a bM
) , hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta cũng
gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước)
của b.
Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là
ước của 15
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số
nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số
nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số
đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số
tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên
khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.
Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số
nguyên tố thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm
thường của n.
2. Định lí về phép chia có dư
Cho a, b là hai số nguyên (b
≠
0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao
cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là
số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2; ; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị
tuyệt đối của b.)
Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.
Nếu r

≠
0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư
3. Tính chất
Với a,b,c,d
∈
Z :
-Nếu a
≠
0 thì a
M
a ; 0
M
a
-Nếu a
M
b và b
M
c thì a
M
c
-Nếu a
M
b và b
M
a thì a=
±
b
-Nếu a
M
b thì a.c

M
b
-Nếu a
M
b, a
M
c thì a
M
BCNN(b;c)
Hệ quả: Nếu a
M
b ; a
M
c và (b,c)=1 thì a
M
bc
-Nếu ab
M
c và (b,c)=1 thì a
M
c
Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên –Trường THCS Phong Vân
1
-Nu a
M
c ; b
M
c thỡ a

b

M
c
-Nu a
M
c ; b
M
c thỡ a

b
M
c
-Nu a
M
c , b
M
d thỡ ab
M
cd
H qu : Nu a
M
b thỡ a
n

M
b
n
(n

N ; n


0)
-Nu a
M
c hoc b
M
c thỡ ab
M
c
4. Du hiu chia ht
- Cỏc s cú ch s tn cựng bng ch s chn thỡ chia ht cho 2
-Cỏc s cú ch s tn cựng l 0 v 5 thỡ chia ht cho 5
-Cỏc s cú tng cỏc ch s chia ht cho 3 thỡ chia ht cho 3.
- Cỏc s cú tng cỏc ch s chia ht cho 9 thỡ chia ht cho 9.
-Cỏc s cú hai ch s tn cựng to thnh chia ht cho 4 thỡ s ú chia ht cho 4
-Cỏc s cú 3 ch s tn cựng to thnh chia ht cho 8 thỡ s ú chia ht cho 8
- Cỏc s cú tng cỏc ch s hng chn tr i tng cỏc ch s hng l m chia ht
cho 11 thỡ s ú chia ht cho 11
5. Các phơng pháp chứng minh chia hết.
*PP1: S dng cỏc du hiu chia ht
*PP 2: Để chứng minh A
M
b (b
0
). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k

N
*PP 3. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng.
Nếu a

b

M
m và a
M
m thì b
M
m.
*PP 4. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b
khác 0) ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b.
*PP 5. Để chứng minh A
M
b. Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n. Khi đó.
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A
M
m và A
M
n suy ra A
M
m.n hay A
M
b.
+ Nếu (m,n)

1 ta biểu diễn A = a
1
.a
2
rồi tìm cách chứng minh a
1

M

m; a
2

M
n thì
tích a
1
.a
2

M
m.n suy ra A
M
b.
*PP 6. Để chứng minh A
M
b ta biểu diễn
1 2

n
A A A A= + +
và chứng minh các
( 1, )
i
A i n b
=
M
II. Cỏc vớ d gii toỏn
Bi tp 1 : khụng lm phộp tớnh hóy cho bit cỏc s sau cú chia ht cho 2 khụng?
a. A=2001+2002 b. B= 2002

2001
-2001
2000
Gii:
a. S 2001 khụng chia ht cho 2 , cũn 2002 chia ht cho 2 , do ú tng A
khụng chia ht cho 2
b. Ta cú 2002
2001
=2002. 2002
2000
=2.1001.2002
2000
M
2
Trc ht ta chng minh tớch ca hai s l l mt s l .Gi s 2 s l l:

Nmma
Nkka
+=
+=
,12
,12
2
1
=
21
.aa
(2k+1)(2m+1)=2k(2m+1) +2m+1
Ta thy 2k(2m+1)
M

2 ; 2m
M
2 , 1 khụng chia ht cho 2

Do ú
21
.aa
l mt s l
Vỡ 2001
2000
l tớch ca 2000 s l cng l mt s l.
Tớnh cht chia ht trong tp hp s nguyờn Trng THCS Phong Võn
2
Suy ra B không chia hết cho 2
Bài tập 2: Dùng 4 chữ số 0;1;2;5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số, mỗi chữ
số đã cho chỉ dùng 1 lần sao cho:
a, Các số đó chia hết cho 2.
b,Các số đó chia hết cho 5
c.Các số chia hết cho 3
Giải:
a. Các số có chữ số 0 là tận cùng gồm các số: 1520; 1250; 2150; 1250; 5120;
5210
Các số có chữ số 2 tận cùng gồm các số:5102; 5012; 1502; 1052
Vậy các số được tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài chia hết cho 2 là 10 số
b. Các số tận cùng là 5 có 4 số và các số tận cùng là 0 có 6 số . Vậy các số tạo
thành chia hết cho 5 là 10 số.
b. Các số chia hết cho 3 gồm các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 , không
có số nào.
B i tà ập 3 : Cho A = 12 + 15 + 21 + x víi x
∈

N.
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A
M
3, A
M
3.
Gi¶i:
- Trêng hîp A
M
3
V× 12
M
3 ; 15
M
3 ; 21
M
3 nªn A
M
3 th× x
M
3.
- Trêng hîp A
M
3.
V× 12
M
3 ; 15
M
3 ; 21
M

3 nªn A
M
3 th× x
M
s
3.
B i à tập 4 : :Khi chia số tự nhiên a cho 24 ®îc sè d lµ 10. Hái sè a cã chia hÕt
cho 2 kh«ng, cã chia hÕt cho 4 kh«ng?
Gi¶i:
Sè a cã thÓ ®îc biÓu diÔn lµ: a = 24.k + 10.
Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên –Trường THCS Phong Vân
3
Ta cã: 24.k
M
2 , 10
M
2 ⇒ a
M
2.
24. k
M
4 , 10
M
4
⇒ a
M
4.
Bài tập 5: Chøng tá r»ng:
a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho 3.
b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 4.

Gi¶i:
a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ:
a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hÕt cho 3
b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ:
a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6
kh«ng chia hÕt cho 4.
Bài tập 6: Cho n=
ab134
. Hãy thay a, b bởi các chữ số thích hợp để n
M
5 v n à
M
9
Giải
Để n chia hết cho 5 thì b=0 hoặc b=5
Nếu b=0 thì
90134 Ma
Khi a=1, ta có số phải tìm là 13410
Nếu b=5 thì n=
95134 Ma
khi a=6 . Khi đó số phải tìm là 13465
KL: Ta có các số 13410 và 13465
III> Bài tập áp dụng
Bài 1:Trong các số: 4827; 5670; 6915; 2007.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 2: Trong các số: 825; 9180; 21780.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 3:

a) Cho A = 963 + 2493 + 351 + x với x ∈ N. Tìm điều kiện của x để A chia
hết cho 9, để A không chia hết cho 9.
Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên –Trường THCS Phong Vân
4
b) Cho B = 10 + 25 + x + 45 với x ∈ N. Tìm điều kiện của x để B chia hết
cho 5, B không chia hết cho 5.
Bài 4 Không cần làm phép tính, hãy cho biết các số sau có chia hết cho 5
không?
a. A=1999-1975 b. B= 2000
2001
+2001
2002
Bài 5:
a) Thay * bằng các chữ số nào để được số 73* chia hết cho cả 2 và 9.
b) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 5.
c) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho 3 mà không chia
hết cho 9.
d) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 3.
e) Thay * bằng các chữ số nào để được số 792* chia hết cho cả 3 và 5.
f) Thay * bằng các chữ số nào để được số 25*3 chia hết cho 3 và không chia
hết cho 9.
g) Thay * bằng các chữ số nào để được số 79* chia hết cho cả 2 và 5.
h) Thay * bằng các chữ số nào để được số 12* chia hết cho cả 3 và 5.
i) Thay * bằng các chữ số nào để được số 67* chia hết cho cả 3 và 5.
j) Thay * bằng các chữ số nào để được số 277* chia hết cho cả 2 và 3.
k) Thay * bằng các chữ số nào để được số 5*38 chia hết cho 3 nhưng không
chia hết cho 9.
l) Thay * bằng các chữ số nào để được số 548* chia hết cho cả 3 và 5.
m) Thay * bằng các chữ số nào để được số 787* chia hết cho cả 9 và 5.
n) Thay * bằng các chữ số nào để được số 124* chia hết cho 3 nhưng không

chia hết cho 9.
o) Thay * bằng các chữ số nào để được số *714 chia hết cho 3 nhưng không
chia hết cho 9.
Bài 6: Tìm các chữ số a, b để:
a) Số 4a12b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
b) Số 5a43b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
c) Số 735a2b chia hết cho cả 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2.
d) Số 5a27b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
e) Số 2a19b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
f) Số 7a142b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
g) Số 2a41b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
h) Số 40ab chia hết cho cả 2; 3 và 5.
Bài 7: Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và
Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên –Trường THCS Phong Vân
5
953 < n < 984.
Bài 8:
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số sao cho số đó chia hết cho 9.
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số sao cho số đó chia hết cho 3.
Bài 9: khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12 hỏi a có chia hết cho 4
không? Có chia hết cho 9 không?
Bài 10*:
a) Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5.
b) Tổng 10
15
+ 8 có chia hết cho 9 và 2 không?
c) Tổng 10
2010
+ 8 có chia hết cho 9 không?
d) Tổng 10

2010
+ 14 có chí hết cho 3 và 2 không
e) Hiệu 10
2010
– 4 có chia hết cho 3 không?
Bài 11*:
a) Chứng tỏ rằng ab(a + b) chia hết cho 2 (a;b ∈ N).
b) Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11.
c) Chứng minh aaa luôn chia hết cho 37.
d) Chứng minh aaabbb luôn chia hết cho 37.
e) Chứng minh ab – ba chia hết cho 9 với a > b
Bài 12: Tìm x ∈ N, biết:
a) 35
M
x c) 15
M
x
b) x
M
25 và x < 100. d*) x + 16
M
x + 1.
Bài 13*:
a) Chứng tỏ rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
b) Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4.
Bµi 14
Chøng minh r»ng víi mäi n
∈
N th× 60n +45 chia hÕt cho 15 nhng kh«ng chia hÕt
cho 30.

Bµi 15: Chøng minh r»ng: a)
11ab ba+ M
b)
9ab ba− M
víi a>b.
Hìng dÉn:
ViÕt c¸c sè ab vµ ba thµnh tæng c¸c lòy thõa cña 10 sau ®ã da vÒ d¹ng 11.Q vµ
9.Q
Bµi 16 : Chøng minh r»ng:
a) A =1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
39
lµ béi cña 15
b, T = 125
7
-25
9
lµ béi cña 124
c) M =
2 3 4 2000
7 7 7 7 7 8+ + + + + M

d) P =
2 3 2
1

n
a a a a a+ + + + +M
víi a,n
∈
N
gîi ý :
a, nhãm 4 h¹ng tö liªn tiÕp víi nhau cã tæng c¸c h¹ng tö cã thõa sè 15
Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên –Trường THCS Phong Vân
6
b, đa về cùng cơ số 5 vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ
c, d tơng tự cách làm câu a
Bài 17: Cho a,b

N và a - b
M
7 . CMR 4a +3b
M
7.
Gợi ý:
a b
M
7 4 (a b)
M
7 4a 4b
M
7 4a + 3b -7b
M
7 => 4a + 3b
M
7 (vì

7b
M
7)
Bài 18: Tìm n

N để.
a) n + 6
M
n ; 4n + 5
M
n ; 38 - 3n
M
n
b) n + 5
M
n + 1 ; 3n + 4
M
n - 1 ; 2n + 1
M
16 - 3n
gợi ý:
vận dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu
Bài 19. Chứng minh rằng: (5n)
100

M
125
Gợi ý:
(5n)
100

= 5
100
. n
100
= 5
3
.5
97
.n
100

M
125
Bài 20 .
1. Cho S = 3 +3
2
+3
3
+ + 3
1998
. CMR
a) S
M
12 ; b) S
M
39
2. Cho B = 3 +3
2
+3
3

+ + 3
1000
; CMR B
M
120
3.Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
2004
. CMR A chia hết cho 7;15;3
Bài 21. Chứng minh rằng:
a) 36
36
- 9
10
M
45 ; b) 8
10
- 8
9
- 8
8

M
55 ; c) 5
5
- 5
4

+ 5
3

M
7
d)
6 5 4
7 7 7 11+ M
e)
9 8 7
10 10 10 222+ + M
g)
6 7
10 5 59 M
h)
2 2 *
3 2 3 2 10
n n n n
n N
+ +
+ M
i)
7 9 13
81 27 9 45 M
Bài 22. Tìm n

N để :
a) (3n + 2)
M
(n 1) b) (n

2
+ 2n + 7 )
M
(n + 2) c) (n
2
+ 1)
M
(n 1)
d)( n + 8)
M
(n + 3) e) (n + 6)
M
(n 1) g) (4n 5)
M
(2n
1)
Bài 23. CMR:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
(Chú ý: Bài toán trên đợc sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại)
Bài 24. CMR: m + 4n
M
13

10m + n
M
13.
,m n N

Gợi ý:
m + 4n
M
13 10(m + 4n)
M
13 10m + 40 n
M
13 10m + n + 39n
M
13
10m + n
M
13 (vì 39n
M
13)
Tớnh cht chia ht trong tp hp s nguyờn Trng THCS Phong Võn
7