LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban
giám hiệu, các t hầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung cấp kỹ thuật
Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa họ c Thạc sĩ và hoàn
thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Nụ
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công tr ình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn t ôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa họ c và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thô ng tin t rích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Nụ
Mục lục

Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Bảng ký hiệu vi
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số không gian của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 6
1.2. Đạo hàm Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Cơ sở của phương pháp tuyến tính hóa . . . . . . . . . . 10
1.4. Phương trình toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Một số nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3. Các định lý về sự tồn tạ i và duy nhất nghiệm của
các phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 17
2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phươn g trình tích phân
iii
phi tuyến 22
2.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình
tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . 2 6
2.2.2. Phương pháp cầu phương giải phương trình tích
phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
2.3. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . 31
2.3.2. Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương
trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Sự kết hợp của phương pháp Newton - Kantorovich và
phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ phương
trình tích phân phi tuyến 46
3.1. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46
3.1.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh
tích phân phi tuyến Fredholm . . . . . . . . . . . 46
3.1.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến
Fr edholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62
3.2.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh
tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . 62
iv
3.2.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 79
v
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
+
Tập số thực dương
C Tập số phức
K Tập số thực hoặc phức
R

n
Không gian Euclide n - chiều
C
[a;b]
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]
L
2
[a;b]
Không gian các hàm bình phương khả tích t rên [a; b]
L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
 Kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán thực tế đã dẫn đến việc giải phương trình hoặc hệ
phương trình tích phân phi tuyến. Việc giải chính xác các phương trình
thường gặp nhiều khó khăn hoặc không thể thực hiện được. Vì vậy người
ta nghiên cứu các phươ ng pháp giải xấp xỉ các phương trình nói trên.
Với mong muốn tìm hiểu sâ u hơn và nghiên cứu về phương trình tích
phân phi tuyến và các cách giải xấp xỉ các phương trình đó nên tôi đã
chọn đề tài
“ Một số phương pháp giải xấp xỉ p hương trình tích phân phi
tuyến ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương t rình
tích phân phi t uyến, ứng dụng vào giải một số phương trình cụ thể, giải
số trên máy tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ. Phân tích các ưu
điểm, nhược điểm của từng phương pháp. N êu các ứng dụng của các
phương pháp vào giải một số phương trình tích phân cụ thể.

2
4. Đối tượng và ph ạm vi nghiên cứu
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
Phương pháp cầu phương.
Phương pháp tuyến tính hóa.
Phương pháp Newton - Kantorovich.
Một số ứng dụng vào các phương trình cụ thể và giải số trên máy.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giải
tích hàm, G iải tích số và l ập trình cho máy tính.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợ p và hệ thống hóa.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải
xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của
phương pháp tuyến tính hóa vào giải một số lớp phương trình tích phân
phi tuyến.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian của giải tích hàm
1.1.1. Không gian metric
Cho X là một tập hợp tùy ý và X = φ.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric tro ng X là một ánh xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric tro ng X gọi là một không gian met ric, ký

hiệu là (X, d). Số d (x, y) g ọi là khoảng cách giữa cá c điểm x và y.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm {x
n
} trong kh ông gian me t ric (X, d) được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
Ký h i ệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.3. Một dãy điểm { x
n
} trong không g i an metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản ( ha y dãy Cauchy ) nếu lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
3
4
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.

Định lý 1.1.1. Mọi t ập đóng tro ng không gian met ric đầy đủ là k hông
gian metric đầy đủ.
Chứng m i nh. Giả sử F là một tập đóng trong không gia n m etric đầy đủ
(X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.
Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ, tức là
∃x
0
∈ X : x
n
→ x
0
, n → ∞
Như vậy (x
n
) ⊂ F : x
n

→ x
0
∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên
x
0
∈ F .
Vậy F l à không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 1.1.1. Trong k hông gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng
S (x
0
, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r}, r ∈ R
+
là không gian metric đầy đủ .
Định nghĩa 1.1.5. Cho hai không gian me tric tùy ý (X, d
1
) và (Y, d
2
).
Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao
cho ∀x
1
, x
2
∈ X ta đều có d
2
(A(x
1
), A(x

2
)) ≤ αd
1
(x
1
, x
2
). α gọi là hệ
số co c ủa ánh xạ co A.
Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh x ạ co A ánh
xạ khôn g gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có mộ t điểm bất
động duy nhất, ngh ĩ a là tồn tại duy nhất một điểm x
∗
∈ X thỏa mãn
Ax
∗
= x
∗
, x
∗
là giới hạn của dãy (x
n
) , x
n
= A (x
n−1
) , x
0
∈ X tùy ý và
d (x

n
, x
∗
) ≤
α
n
1 −α
d (x
1
, x
0
)
d (x
n
, x
∗
) ≤
α
1 −α
d (x
n
, x
n−1
) , n = 1, 2,
trong đó, α là hệ số co của ánh xạ co A.
5
Chứng m i nh. Lấy một điểm bất kỳ x
0
∈ X và lập dãy x
n

= A (x
n−1
) ,
n = 1, 2, ta được
d (x
2
, x
1
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x
1
, x
0
) = αd (Ax
0
, x
0
) ,
d (x
3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x

2
, x
1
) ≤ α
2
d (Ax
0
, x
0
) ,

d (x
n+1
, x
n
) = d (Ax
n
, Ax
n−1
) ≤ αd (x
n
, x
n−1
) ≤ α
n
d (Ax
0
, x
0
) , n = 1, 2,

Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ta có
d (x
n+p
, x
n
) ≤
p

k=1
d (Ax
n+k
, Ax
n+k−1
) ≤ d (Ax
0
, x
0
)
p

k=1
α
n+k−1
=
α
n
− α
n+p
1 −α
d (Ax

0
, x
0
) ≤
α
n
1 −α
d (Ax
0
, x
0
)
Vì 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0, ∀p ∈ N
∗
nghĩa là (x
n
) là dãy cơ
bản trong không gian metric đầy (X, d). Từ đó tồn tạ i lim
n→∞
x
n
= x
∗
∈ X.

Ta có
d (Ax
∗
, x
∗
) ≤ d (Ax
∗
, x
n
) + d (x
n
, x
∗
) = d (Ax
∗
, Ax
n−1
) + d (x
n
, x
∗
)
≤ αd (x
n−1
, x
∗
) + d (x
n
, x
∗

) , ∀n = 1, 2,
Cho n → ∞ ta được d (Ax
∗
, x
∗
) = 0 hay Ax
∗
= x
∗
, nghĩa là x
∗
là điểm
bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d (x
∗
, y
∗
) = d (Ax
∗
, Ay
∗
) ≤ αd (x
∗
, y
∗
)
⇒ (1 − α) d (x

∗
, y
∗
) ≤ 0 ⇒ d (x
∗
, y
∗
) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x
∗
= y
∗
Vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Nhận xét 1.1. Nếu A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vào
chính nó thì A cũng là ánh xạ co từ hình cầu đóng
S (x
0
, r) ⊂ X vào
chính nó, nếu d (Ax
0
, x
0
) ≤ (1 − α) r, α là hệ số co của A.
6
Chứng m i nh. i, Theo định lý 1.1.1 thì S (x
0
, r) là không gian metric đầy.
ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α

d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ X
⇒ d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ S (x
0
, r)
iii, Ta chứng minh A

S (x
0
, r)

⊂ S (x
0
, r) tức là với ∀y ∈ S (x
0
, r) ta
phải chứng minh d (Ay, x
0
) ≤ r. Thật vậy
d (Ay, x
0
) ≤ d (Ay, Ax
0
) + d (Ax
0
, x
0
)
≤ αd (y, x
0
) + d (Ax

0
, x
0
) ≤ α.r + d (Ax
0
, x
0
)
Nếu giả thiết d (Ax
0
, x
0
) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x
0
) ≤ α.r + (1 −α) r = r
⇒ Ay ∈
S (x
0
, r) ⇒ A

S (x
0
, r)

⊂ S (x
0
, r)
Như vậy nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp dụng t rên hình
cầu đóng của không gian metric đầy đủ.
1.1.2. Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không g i an vectơ trường K ( K = R
hoặc C) . Một chuẩ n trong X, ký hi ệ u ., là mộ t ánh xạ t ừ X vào tập
số t hực R thỏa mã n các tiên đề sau
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α|x;
iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x+ y.
Số x gọi là chu ẩn ( hay độ dài)của véc tơ x.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không
gian đó được gọi là không gian đị nh chuẩn.
Định lý 1.1.3. Giả sử X là không gian đị nh chuẩn, đặt
d (x, y) = x −y, ∀x, y ∈ X
Khi đó, d là một metric trên X.
7
Định nghĩa 1.1.7. Dãy điểm {x
n
} của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Ký h i ệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {x

n
} trong không gian định chuẩn X được
gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauc hy) nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.9. Một không gian định chuẩn X được gọi là k hông
gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.2. R
n
- Không gian vectơ Euclide n - chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
|x
i
|
2
, ∀x ∈ R
n
C
[a;b]
- Không gian các hà m số liên tục trên đoạn [a; b] là không gian

Banach với chuẩn
x = max
t∈[a;b]
|x (t)|, ∀x ∈ C
[a;b]
L
2
[a;b]
- Không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên đoạn
[a; b] là không gian Banach vớ i chuẩn
x =

b

a
x
2
(t) dt, ∀x ∈ L
2
[a;b]
1.2. Đạo hàm Frechet
Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y l à hai khô ng gian định chuẩn, U là một
tập mở của X, toán tử f : U → Y . Khi đó, toán tử tuyến tính liên tục
T : X → Y là đ ạo hàm Frechet của f tại x
0
∈ U nếu và c h ỉ nếu
∀h ∈ X, f

x
0

+ h

− f

x
0

= T (h) + α

x
0
, h

và lim
h→0


α(x
0
, h)


h
= 0.
T (h) gọi là vi phân của f tại x
0
, ký hiệu T (h) = df

x
0

, h

.
8
Toán tử T gọi l à đạo hàm Frechet của f t ại x
0
, ký hiệu T = f
′
(x
0
)
.
Như vậy df(x
0
, h) =

f
′
(x
0
)

(h).
Định nghĩa 1.2.2. Cho X
1
, X
2
, , X
n
, n ≥ 2, Y là các không gian đị nh

chuẩn. Ánh xạ f : X
1
× X
2
× ×X
n
→ Y .
Với mọi x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ X
1
× X
2
× ×X
n
ta cố đ ị nh
x
0
=

x
0
1
, x
0
2

, , x
0
n

∈ X
1
× X
2
× × X
n
.
Xét ánh xạ f
i
: X
i
→ Y, i = 1, , n,
f
i
(x
i
)
= f

x
0
1
, , x
0
i−1
, x

i
, x
0
i+1
, , x
0
n

Nếu f
i
có đạo hàm Frechet tại đ i ể m x
0
i
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm
riêng Frechet của f theo x
i
tại điểm x
0
, ký hiệu
∂f
∂x
i

x
0

=

f
i


′
(x
0
i
).
Khi X
1
= X
2
= = X
n
= Y = R thì đạo hàm riêng Frechet
trùng với đạo hàm riêng thông thường.
Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ f : R → R, ∀x
0
∈ R đạo hàm Frechet f
′
(x
0
)
là đạo
hàm theo nghĩa thông thường của f tại x
0
f

x
0
+ h


− f

x
0

= f
′
(x
0
)
h + o(h) , với lim
h→0
o(h)
h
= 0
⇒ lim
h→0
f

x
0
+ h

− f

x
0

h
= f

′
(x
0
)
Ví dụ 1.2.2. Giả sử f : R
n
→ R,
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, f(x) = f (x
1
, x
2
, , x
n
) , n ≥ 2,
f có các đạo hàm riêng theo x
1
, x
2
, , x
n
.
Khi đó, với ∀x = (x

1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta có
f
′
(x)
=

∂f
∂x
1
(x) ,
∂f
∂x
2
(x) , ,
∂f
∂x
n
(x)

và ∀h = (h
1
, h
2

, , h
n
) ∈ R
n
: df (x, h) = f
′
(x)
(h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(x)h
i
.
Ví dụ 1.2.3. Nếu mỗi ánh xạ
f
i
(x) = f
i
(x
1
, x
2
, , x
n
) : R
n

→ R, n ≥ 2, i =
1, m, m ≥ 2
có đạo hàm riêng tại x ∈ R
n
thì ánh xạ
f = (f
1
, f
2
, , f
m
) : R
n
→ R
m
, ∀x ∈ R
n
, f (x) = (f
1
(x), f
2
(x), , f
m
(x))
là hàm vectơ nhiều biến có đạo hàm tại x và
9
f
′
(x)
=





f
′
1
(x)
.
.
.
f
′
m
(x)




=








∂f
1

∂x
1
∂f
1
∂x
2
···
∂f
1
∂x
n
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
···
∂f
2
∂x
n
···
∂f
m
∂x
1
∂f

m
∂x
2
···
∂f
m
∂x
n








m×n
( Ma trận Jacobian của ánh xạ f )
∀h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R
n
⇒ f
′
(x)
(h) =





f
′
1(x)
(h)
.
.
.
f
′
m(x)
(h)




m×1
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử toá n tử f : X → Y khả vi tại mọi điểm thuộc
tập mở U ⊂ X. Đạo hàm này như đã định nghĩa ở trên l à một toán tử
tuyến tính liên tục từ X → Y , tức là f
′
: U → L (X, Y ). Ta nói toán tử
f hai lầ n khả vi tại x n ế u f
′
khả vi tại x, nghĩa là tồn tại một toán tử
tuyến tín h liên tục P : X → L (X, Y ) sao cho với ∀k ∈ X,
f

′
(x + k) − f
′
(x) = P (k) + ϕ (x, k) và lim
k→0
ϕ(x, k)
k
= 0.
Với ∀h ∈ X ta có
f
′
(x + k) h − f
′
(x) h = P (k) h + ϕ (x, k) h
hay df (x + k, h) −df (x, h) = P (k) h + ϕ (x, k) h
Đặt P (k, h) = P (k) h ta thấy P (k, h) là toán tử song tuyến tính
liên tục từ X ×X → Y .
Toán tử P gọi là đạo hàm Frechet cấp hai của f tại x, ký hiệu f
′′
(x)
.
P (k, h) gọi là vi phân cấp hai của f tại x, ký hiệu d
2
f
(x, k, h).
Vậy d
2
f
(x, k, h) = f
′′

(x)
(k, h).
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử
f : X → Y gọi là liên tục Lipsch i t z nếu tồn tại một hằng số dương L
sao cho f (x
1
) −f (x
2
) ≤ L. x
1
− x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ X, L gọi là hệ số
Lipschitz.
Nhận xét 1.2. Toán tử f : X → Y có đạo hàm bị chặn thì liên tục
Lipschitz. Toán tử f : X → Y có đạo hàm riêng bị chặn thì liên tục
10
Lipschitz theo biến đó.
1.3. Cơ sở của phươn g pháp tuyến tính hóa
Giả sử toán t ử f : R → R không giả thiết tuyến tính tức phi tuyến
và x
0
∈ R. Ta có
f (x) − f (x
0
) = f

′
(x
0
)
(x −x
0
) + α (x −x
0
)
trong đó, α (x − x
0
) là vô cùng bé bậc cao hơn (x −x
0
) khi x → x
0
.
Khi x → x
0
ta lấy xấp xỉ f (x) ≃ f (x
0
) + f
′
(x
0
)
(x −x
0
) = ax + b là dạng
bậc nhất một biến.
Toán tử f : R

2
→ R có các đạo hàm riêng theo từng biến,
(x
0
, y
0
) ∈ R
2
. Ta có
f (x, y) −f (x
0
, y
0
) = f
′
x
(x
0
, y
0
) (x − x
0
) + f
′
y
(x
0
, y
0
) (y − y

0
) + α (ρ)
trong đó, ρ =

∆
2
x + ∆
2
y, ∆x = x − x
0
, ∆y = y − y
0
và α (ρ) là vô
cùng bé bậ c cao hơn ρ khi ρ → 0(x → x
0
, y → y
0
). Khi x → x
0
, y → y
0
ta lấy xấp xỉ
f (x, y) ≃ f (x
0
, y
0
) + f
′
x
(x

0
, y
0
) (x − x
0
) + f
′
y
(x
0
, y
0
) (y − y
0
)
= ax + by + c là dạng bậc nhất hai biến.
Tương tự với f : R
n
→ R ta lấy xấp xỉ thành dạng tuyến tính n
biến.
Nhà bác học New ton là người đầu tiên đưa ra tư tưởng tuyến tính
hóa trong phương pháp tiếp tuyến ( toán tử f : R → R). Tiếp theo,
nhà toán học Raphson phát t riển tiếp tư tưởng tuyến tính hóa trong
phương pháp Newton - Raphson ( to án tử f : R
n
→ R
m
). Và nhà toán
học Kantorvich đã phát triển lên với các toán tử trên các không gian
Banach f : X → Y thể hiện trong phương pháp N ewton - Kantorvi ch

sẽ được trình bày cụ thể trong chương 2.
11
1.4. Phương trình toán tử tích phân
1.4.1. Các định nghĩa
Cho A là toán tử từ không gian Banach X vào chính nó.
Định nghĩa 1.4.1. Phươn g trình dạng
Ax = f (1.1)
trong đó, f ∈ X cho trước, được gọi là phương trình toán tử loại I.
Phương trình dạng
x = λAx + f (1.2)
trong đó, f ∈ X cho t rước, tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C được gọi là
phương trìn h toán tử loại II.
Khi A là t oán tử tích phân thì các phương trình (1.1) và (1.2) gọi
là các phương trình toán tử tíc h phân hay phương trình t í ch phân.
Khi A không giả thiết tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương
trình ( 1.1) và (1.2) gọi là các phương trình phi tuyến.
Định nghĩa 1.4.2. Các phương trình dạng
b

a
K [x, t, y(t)] dt = f (x) (1.3)
y(x) = λ
b

a
K [x, t, y(t)] dt + f(x) (1.4)
trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền
D = [a; b] ×[a; b] ×R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C, (1.3), (1.4) tương ứng gọi là phương trình
tích phân phi tuyến loại I và loại II.

K [x, t, y(t)] gọi là nhân ( hay hạc h) của tích phân.
12
Nhân K [x, t, y(t)] được gọi là suy biến ( hay tách) nếu
K(x, t, y(t)) =
n

k=1
g
k
(x).h
k
(t, y(t))
Định nghĩa 1.4.3. Các phương trình dạng
x

a
K(x, t, y(t))dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.5)
y(x) −
x

a
K [x, t, y(t)] dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.6)
trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền
D = [a; b] ×[a; b] ×R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
(1.5), (1.6) tương ứng gọi là phươn g trình tích phân phi tuyến Volterra
dạng Urysohn loại I và loại II.
Đặt u(x) = y( x) − f (x), phương trình (1.6) rút gọn về dạng chính
tắc
u(x) =
x


a
K
∗
[x, t, u(t)] dt (1.7)
Định nghĩa 1.4.4. Các phương trình dạng
x

a
P (x, t) Φ (t, y(t)) dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.8)
y(x) −
x

a
P (x, t)Φ(t, y(t))dt = f(x), a ≤ x ≤ b (1.9)
trong đó, hàm số P (x, t) liên tục trên miền [a; b] ×[a; b] , y(t), f(x), Φ là
các hàm số liên tục trên đoạn [a; b], (1.8), (1.9) tương ứng gọi là phương
trình t í c h phân phi tuyến Volterra dạng Hammerstein loại I và loạ i II.
Phương trình (1.9) có thể rút gọn về dạng chính tắc
u(x) =
x

a
P (x, t) Φ
∗
(t, u(t)) dt, a ≤ x ≤ b (1.10 )
13
Định nghĩa 1.4.5. Các phương trình dạng
b


a
K [x, t, y(t)] dt = f (x) (1.11 )
y(x) −
b

a
K(x, t, y(t))dt = f (x) (1.12 )
trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền
D = [a; b] ×[a; b] ×R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
(1.11), (1.12) tương ứng gọi là phương trình tích phân phi tuyến Fredholm
dạng Urysohn loại I và loại II.
Phương trình (1.12) có thể rút gọn về dạng chính tắc
u(x) =
b

a
K
∗
[x, t, u(t)] dt (1.13 )
Định nghĩa 1.4.6. Các phương trình dạng
b

a
P (x, t) Φ (t, y(t)) dt = f (x) (1.14 )
y(x) −
b

a
P (x, t)Φ(t, y(t))dt = f(x) (1.15 )
trong đó, hàm số P (x, t) liên tục trên miền [a; b] × [a; b] , y(t), f(x), Φ

là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b], (1.14), (1.15) tương ứn g gọi là
phương trìn h tích phân phi tuyến Fredholm dạng Hammerstein loại I và
loại II.
Phương trình (1.15) có thể rút gọn về dạng chính tắc
u(x) =
b

a
P (x, t) Φ
∗
(t, u(t)) dt (1.16 )
14
1.4.2. Một số nhận xét
Nhận xét 1.3. Phươ ng trình tích phân Volterra là trường hợp r iêng của
phương trình tích phân Fredholm.
Thật vậy, đặt

K[x, t, y(t)] :=

K[x, t, y(t)] , a ≤ t ≤ x
0, x < t ≤ b
thì ta có
x

a
K [x, t, y(t)] dt =
b

a


K [x, t, y(t)] dt
Nhận xét 1.4. Phương trình tích phân dạng H ammerstein là trường hợp
đặc biệt của phương trình tích phân dạng Urysohn tương ứng.
Nhận xét 1.5. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II đều có
thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến dạng chính tắc tương ứng
bằng cách đặt u(x) = y(x) − f(x).
Các phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại II
y(x) =
b

a
K(x, t, y(t))dt + f(x)
đều có thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến Fredholm dạng chính
tắc
y(x) =
b

a

K [x, t, y(t)] + (b − a)
−1
f(x)

dt
Điều này có nghĩa là sự phân biệt giữa phương trình tích phân phi
tuyến thuần nhất và không thuần nhất là không cần thiết, không giống
như với phương trình tích phân tuyến tính.
Một đặc trưng khác nữa của phương trình tích phân phi tuyến là
nó thường có nhiều nghiệm.
Nhận xét 1.6. Có một số tính chất chỉ có trong phương trình tích phân

phi tuyến mà không có trong phương trình tích phân tuyến tính.
Ta xét các ví dụ sau :
Ví dụ 1.4.1. Xét phương trình tích phân Volterra với tính chất phi
15
tuyến lũy thừa n
y(x) = a
x

0
y
n
(t)
dt + b, a > 0, b ≥ 0, n > 0 (1.17 )
Phương trình (1.17) được biến đổi thành bài toán Cauchy cấ p một
y
′
x
= ay
n
, y(0) = b (1.18 )
Nghiệm của (1.18) phụ thuộc vào tham số n và b.
Trường hợp b > 0 : Nghiệm của (1.18) xác định bởi công thức
y(x) =













b
1−n
+ a(1 −n)x

1
1 −n
, 0 < n < 1
b.e
ax
, n = 1

b
1−n
− a(n −1)x

1
1 −n
, n > 1
(1.19 )
Ta thấy khi 0 < n ≤ 1, nghiệm y tồn tại với ∀x ≥ 0.
Khi 0 < n < 1 và x đủ lớn, hàm số y tăng.
Khi n = 1, hàm số y tăng.
Khi n > 1, nghiệm liên tục tồn tại chỉ trong khoảng hữu hạn
0 ≤ x <
b

1−n
a(n −1)
Điều này không có đối với các phương trình Volterr a tuyến tính.
Trường hợp b = 0 : Với bất kỳ 0 < n < ∞, 0 < a < ∞, phương trình
(1.17 ) có nghiệm tầm thường y(x) ≡ 0. Hơn nữa, vớ i 0 < n < 1 và
0 < a < ∞, phương trình (1.17) còn có một nghiệm thực nữa là
y(x) = [a(1 − n)x]
1
1 −n
.
Ví dụ 1.4.2. Xét phương trình tích phân dạng Hammerstein với tính
chất phi tuyến bậc hai
y(x) = λ
1

0
x
2
ty
2
(t)
dt (1.20 )
trong đó, λ là tham số tùy ý.
16
Đặt
A =
1

0
ty

2
(t)
dt (1.21 )
Phương trình (1.20) viết thành
y(x) = Aλx
2
(1.22 )
Thế (1.22) vào (1.21), được phương trình bậc hai của hằng số A :
A =
1

0
t

Aλt
2

2
dt
⇒ A =
1
6
A
2
λ
2
(1.23 )
(1.23 ) có các nghiệm A
1
= 0, A

2
= 6λ
−2
, λ = 0.
Vậy phương trình (1.20) có hai nghiệm với ∀λ = 0 là
y
1
(x) ≡ 0, y
2
(x) =
6
λ
x
2
Trong khi đó phương trình tích phân tuyến tính
y(x) = λ
1

0
x
2
ty(t)dt
với nhân K (x, t) = x
2
t giống như (1.20), có một nghiệm không tầm
thường chỉ với giá trị λ = 4.
Nếu theo thuật ngữ như của phương trình tuyến tính thì λ gọi là
giá trị đặc t rưng của phương trình phi tuyến nếu với giá trị λ đó phương
trình có nghiệm không tầm thường, nghiệm không tầm thường đó gọi là
nghiệm riêng.

Suy ra phương trình (1.20) có các kho ảng vô hạn của giá trị đặc
trưng λ là (−∞; 0) , (0; +∞).
Ví dụ 1.4.3. Xét phương trình tích phân dạng Hammerstein với tính
chất phi tuyến siêu việt
y(x) = λ
1

0
f(x).g(t). sin

y(t)
f(t)

y(t)dt (1.24 )
17
có nghiệm tìm thấy từ y( x) = Af(x) , trong đó A là hằng số xác định
bởi phương trình siêu việt
1 = λµ sin A (1.25 )
với µ =
1

0
f(t)g(t)dt.
Không xét đến nghiệm tầm thường khi A = 0 thì :
Nếu |λ| <
1
|µ|
thì phương trình (1.25) và suy ra phươ ng trình (1.24)
không có nghiệm thực ( kể cả trường hợp µ = 0).
Nếu |λ| ≥

1
|µ|
thì phương trình (1.25) và suy ra phương trình (1.24)
có vô số nghiệm thực.
1.4.3. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các
phương trình tích phân phi tuyến
1.4.3.1. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích phân
phi tuyến Volterra
y(x) = f(x) +
x

a
K [x, t, y(t)] dt, a ≤ x ≤ b
i, f(x) là hàm khả tích và bị chặn trên đoạn [a; b];
ii, f( x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong khoảng (a; b)
|f(x
1
) −f(x
2
)| ≤ k |x
1
− x
2
|, ∀x
1
, x
2
∈ (a; b) , k = const, k ≥ 0;
iii, K [x, t, y(t)] là hàm khả tích và bị chặn |K| < M, a ≤ x, t ≤ b;
iv, K [x, t, y(t)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y

|K (x, t, y
1
) −K (x, t, y
2
)| ≤ L |y
1
− y
2
|, ∀y
1
, y
2
∈ C
[a;b]
.
1.4.3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích p hân
phi tuyến Fredholm
y(x) = f(x) + λ
b

a
K [x, t, y(t)] dt
i, f(x) là hàm bị chặn trên đoạn [a; b], |f(x)| < r;
ii, K [x, t, y(t)] là hàm khả tích và bị chặn |K| < M, a ≤ x, t ≤ b;
iii, K [x, t, y(t)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
18
|K (x, t, y
1
) −K (x, t, y
2

)| ≤ L |y
1
− y
2
|, ∀y
1
, y
2
∈ C
[a;b]
.
Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp có được dãy hội tụ về nghiệm
của phương trình với ∀λ <
1
k (b −a)
, trong đó
k = max

M

1 +
r
|λ|M (b −a)

, L

.
1.4.3.3. Các phương trình Hammerstein
Xét phương trình phi tuyến Hamm erstein
y(x) =

b

a
P (x, t) Φ (t, y(t)) dt, a ≤ x ≤ b (1.1 6)
• Giả sử nhân P(x, t) của phương trình (1.16) xác định dương, liên
tục và đối xứng, P(x, t) = P(t, x), hàm Φ(t, y) liên tục. Ta có các định
lý sau :
Định lý 1.4.1. Giả sử có bất đ ẳ ng thức |Φ(t, y)| ≤ C
1
|y| + C
2
trong đó, C
1
, C
2
là các hằng số dương và C
1
< λ
1
, λ
1
là giá trị đặc trưng
nhỏ nhất của nhân P (x, t). Khi đó, phương trình tích phân phi tuyế n
(1.16) có ít nhất một ngh i ệm liên tục.
Định lý 1.4.2. Nếu với bất kỳ t cố định thuộc đoạn [a; b], hàm Φ(t, y)
không tăng theo y thì phương t rình tích phân phi tuyến (1.1 6) có khôn g
quá một nghiệm.
Định lý 1.4.3. Phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có không quá
một nghiệm nếu hàm Φ(t, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
|Φ(t, y

1
) −Φ (t, y
2
)| ≤ σ |y
1
− y
2
|
trong đó, 0 < σ < λ
1
, λ
1
là giá t rị đặc trưng nhỏ nhấ t củ a nhân P(x, t).
Định lý 1.4.4 (( không tồn tại nghiệm)). Giả sử P(x, t) ≥ 0, P(x, t) = θ,
nghiệm riêng y
1
(x) của nhân P(x, t) tương ứng vớ i giá trị đặc trưng
nhỏ nhất λ
1
không thay đổi trong miền a ≤ x, t ≤ b. Và với điều kiện
Φ(t, y) > λ
1
y(t), ∀t ∈ [a; b] thì phương trình (1 . 16) vô nghiệm.
19
• Giả sử nhân P(x, t) của phương trình (1.16) xác định dương, liên
tục ( không cần đối xứng, P(x, t) = P(t, x)), hàm Φ(t, y) liên tục. Ta có
các định lý :
Định lý 1.4.5. Giả sử bất đẳng thức
y


0
Φ (t, y) dy ≤
1
2
Ay
2
+ B, (t ∈ Ω, |y| < ∞) (1.26 )
thỏa mãn với hằng số A < λ
1
, trong đó λ
1
là g i á trị đặc trưng nhỏ nhất
của nhân P(x, t), thì phương t rình (1.16) có ít nhất m ột nghiệm liên tục.
Khi nhân P(x, t) xác định dương và không bị chặn thì ta có các
kết quả :
Định lý 1.4.6. Giả thiết nhân P (x, t) thỏa mãn điều kiện
b

a
b

a
|P (x, t)|
n
dxdt < ∞, n ≥ 2
hàm Φ(t, y) thỏa mãn bất đẳng thức (1.26) và điều kiện
|Φ(t, y)| ≤ a + b|y|
n−1
, a ≤ x, t ≤ b, |y| < ∞
thì phương trình (1.16) có í t nhất một nghiệm.

Định lý 1.4.7. Cho nhân P(x, t) dương, liên tục trong miền a ≤ x, t ≤ b.
Giả thi ết hàm Φ(t, y) liên tục trong miền a ≤ t ≤ b, y > 0, không âm
với y ≥ 0 và d ương với y > 0 v à với hầ u khắp các t. Giả thiết một trong
các điều kiện sau được thỏa mãn :
i, Φ(t, y) không giảm theo y và y
−β
Φ(t, y) không tăng theo y, trong đó
β ∈ (0; 1);
ii, Φ( t, y) không tăng theo y và y
β
Φ(t, y) tăng theo y, trong đó β ∈ (0; 1).
Thì phương trình (1.16) có một và ch ỉ một nghiệm dư ơng. Nghiệm
này là g i ới hạn của dãy các xấp xỉ liên tiếp
y
n
(x) =
b

a
P (x, t) Φ (t, y
n−1
(t)) dt, n = 1, 2,
trong đó, y
0
(x) là hàm xấp xỉ đầu tiên không âm, kh ác không, tùy ý.