BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGÔ XUÂN TRƯỜNG






KHẢO SÁT PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA
DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN

Chuyên ngành : Vật lí chất rắn
Mã số : 64 44 01 04



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI, 2012


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau
Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình. Qua đây em xin bày tỏ
lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy,
hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình học tập tại trường.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lưu
Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em trong
suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, em xin cản ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã luôn
ở bên em, giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt thời gian học
tập và hoàn thành bản luận văn này.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực
của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế, rất
mong nhận được những góp ý quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng
nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012

Học viên




Ngô Xuân Trường



LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 11 năm 2012

Học viên



Ngô Xuân Trường

















MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1

1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn 3
CHƯƠNG 1. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU
HÒA TUYẾN TÍNH 4

1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong
cơ học cổ điển 4
1.2. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ
học lượng tử 6
Kết luận chương 1 22
CHƯƠNG 2. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU
HÒA PHI TUYẾN 23
2.1. Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến
dạng 23
2.2. Xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến

bằng lý thuyết biến dạng q. 25
2.3. Chứng minh dao động tử điều hòa biến dạng q mô tả dao
động tử điều hòa phi tuyến 27
2.4. Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng

. 29
Kết luận chương 2 32
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 34
3.1. Phân bố thống kê 34
3.2. Biểu diễn dao động tử của đại số lượng tử SU
q
(2) 37
3.3. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử
điều hòa tuyến tính 41
3.4.Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử
điều hòa phi tuyến 44
Kết luận chương 3 46
KẾT LUẬN CHUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO



1
MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và
lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý
để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó.

Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, vật lý học cũng đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng; Từ cơ học
cổ điển của Niutơn đến thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday, vật lý
lượng tử… Ngày nay, vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu
vào cấu trúc vi mô của vật chất, người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm
thấy trong vật lý cổ điển, ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật lượng
tử, quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó
nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật
phân bố thống kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương
pháp lý thuyết trường lượng tử. Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con
đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới
của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản [1,2].
Dao động tử điều hòa tuyến tính là một mô hình lý tưởng được ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực của vật lý, khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến
tính là một trong số rất ít các bài toán giải được chính xác trong vật lý và là
cơ sở để khảo sát nhiều hệ vật lý thực.
Thực tế, trong các hệ vật lý thực thường tồn tại các dao động tử điều
hòa phi tuyến. Vì vậy, khi áp dụng các lý thuyết chính tắc vào các hệ vật lý
thực thì luôn có sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm. Trong Vật lý lý
thuyết cũng như trong lý thuyết chất rắn, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết


2
chính tắc với kết quả thực nghiệm, các nhà khoa học thường đưa ra các
phương pháp gần đúng để giải quyết. Để khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi
tuyến , đã có phương pháp gần đúng như phương pháp mô men, phương pháp
trường trung bình …
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số
biến dạng [3,4,5] đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý, vì các cấu trúc
toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý như thống kê lượng tử,

vật lý chất rắn lượng tử, quang học phi tuyến… Việc tìm được Hamiltonian
hay toán tử năng lượng của hệ là yếu tố quyết định trong việc khảo sát một hệ
vật lý. Dưới sự hướng dẫn của Cô giáo, PGS. TS Lưu Thị Kim Thanh, em
chọn đề tài “Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi
tuyến” làm đề tài của luận văn. Trong luận văn này, em nghiên cứu về phổ
năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến trên cơ sở phổ năng lượng của
dao động tử điều hòa tuyến tính, bằng phương pháp gần đúng của lý thuyết
trường lượng tử, đó là phương pháp biến dạng [6,7,8]; Và ứng dụng phổ năng
lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến đã tìm được vào một số vấn đề
trong vật lý nói chung và chất rắn nói riêng [9,10].
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử điều hòa phi tuyến.
Ứng dụng phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến đã tìm
được vào một số vấn đề trong vât lý và vật lý chất rắn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật
lý cổ điển và trong vật lý lượng tử.


3
- Khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến, tìm phổ năng lượng của
dao động tử điều hòa phi tuyến bằng phương pháp biến dạng của lý thuyết
trường lượng tử.
- Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của một dao động tử
điều hòa phi tuyến.
- Tính nội năng và nhiệt dung đẳng tích của hệ các dao động tử điều
hòa phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa phi tuyến bằng lý thuyết biến
dạng.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử.
- Phương pháp vật lý thống kê và các phương pháp giải tích khác.
6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn.
- Tên đề tài: Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi
tuyến .
- Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương :
Chương 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính
Chương 2: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa phi tuyến
Chương 3: Một số ứng dụng





4
CHƯƠNG 1
PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH


1.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học
cổ điển
Dao động tử điều hòa tuyến tính là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động một chiều theo trục Ox, dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi,
F kx, 
trong đó k là hệ số chuẩn đàn hồi.
Phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa tuyến tính
F ma


2
2
d x
kx m
dt
 
,
''
k
x x 0
m
 
,
'' 2
x x 0  
, (1.1)
với
k
m
 
,

là tần số góc.
Nghiệm của phương trình (1.1) có dạng:
x Asin( t )   
(1.2)
trong đó  là pha của dao động, A là biên độ của dao động.
Động năng của dao động tử điều hòa tuyến tính

2 2

1 1
T mv mx
2 2
 




5

2 2 2
1
T ma cos ( t )
2
    

Thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính
2
1
V Fdx kx
2
  


2 2 2
1
V mA sin ( t )
2
    


Năng lượng (cơ năng) của dao động tử điều hòa tuyến tính
2 2
1
E T V mA
2
   
(1.3)
Vậy theo quan điểm cổ điển năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính có những đặc điểm sau: Ứng với mỗi giá trị xác định của tần số ,
năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có thể có những giá trị liên
tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A. Năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính có giá trị nhỏ nhất bằng không.
Vận tốc của hạt
dx
v A cos( t )
dt
     

2
2
x
v A 1
A
  

Chu kỳ dao động của hệ
2
T





Xác suất dw
(cd)
(x) mà hạt vĩ mô nằm trong khoảng từ x đến x + dx với
dx = vdt bằng


6
(cd)
(cd)
2
2
dt dx
dw (x)dx
T 2 v
1 dx
dw (x)
2 A
x
1
A

 





1.2. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính trong cơ học

lượng tử
1.2.1. Biểu diễn tọa độ
Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính [1]
2
2
2 2
2
2
ˆ
P 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ
H T U kx
2m 2
d 1
ˆ
ˆ
H kx
2m dx 2
   
  


Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm
sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger
ˆ
H (x) E (x)
  

2 2

2
2
d 1
kx (x) E (x).
2m dx 2
 
    
 
 

(1.4)
Đặt
1
4
2
mk m
;

 
  
 
 
 

2E m 2E
k
  
 
(1.5)
và dùng biến không thứ nguyên


= x, ta viết lại phương trình (1.4) dưới
dạng
2 2 2
2
2 2 2
d m 2mE
x (x) (x)
dx
 

    
 
 
 



7
2
2 2 2
2 2
d 2m
x (x) (x) (x)
dx 2
 

        
 
 




2
2 2 2
2
d
( ) 0
d
 
 

 
       
 

 

 
 

 
 
 

 
2
2
2
d

( ) 0
d
 

     
 


 
 

2
2
2
d
( ) 0,
d
 
      
 

 

(1.6)
trong đó
( )
 

   
 


 

phải hữu hạn tại  = 0 và giới nội khi    . Vì lời
giải tiệm cận của phương trình (1.4) khi  lớn là

2
( ) exp ,
2

 
  
 
 



cho nên ta tìm lời giải chính xác dưới dạng
2
( ) v( )exp .
2
 

    
 
 

(1.7)
Thay biểu thức (1.7) vào phương trình (1.6)
2

2
2
2
2
d
v( )e 0,
d


 
     
 

 

ta có
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( ) ( )
2
d d
v e v e v e
d d
  
  
  
   
  
   

   
 
   



8
=
2 2 2 2
2
2 2 2 2
v e ve v e 2v e ,
   
    
 
   

Và


2
' 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v 2v v v v v e 0,


     

         


ta được phương trình cho hàm v()
( ) ( ) ( )
v 2 v ( 1)v 0.
  

 

     
 
(1.8)
Tìm hàm v() dưới dạng chuỗi:
n
n
n 0
v( ) a ,


  

(a
0
 0) (1.9)
ta có
n 1 n
n n
n 1 n 0
v ( ) na na
 


 

    
 

n 2
n
n 2
v ( ) n(n 1)a




   


n
n 2
n 0
(n 1)(n 2)a



   


Phương trình (1.8) có dạng
 
n
n 2 n n

n 0
(n 1)(n 2)a 2na ( 1)a 0



       



 
n
n 2 n
n 0
(n 1)(n 2)a (1 2n )a 0



       

.
Dễ dàng tìm được công thức truy hồi cho các hệ số khai triển
n 2
2n 1
a
(n 1)(n 2)

  

 
(1.10)



9
Để hàm
( ) 

giới nội khi     thì chuỗi (1.10) phải bị cắt ở một
bậc n hữu hạn nào đó. Từ phương trình (1.10) ta suy ra
2n + 1 -  = 0
 = 2n + 1
Và do đó, theo hệ thức (1.5), phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính được xác định bởi công thức
n
1
E n ,
2
 
  
 
 

(n = 0, 1, 2…). (1.11)
Vậy theo quan điểm lượng tử, phổ năng lượng của dao động tử điều
hòa tuyến tính có các đặc điểm sau:
+ Đặc điểm 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ
có thể nhận các giá trị gián đoạn.
+ Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa hai mức
năng lượng liền kề nhau là hằng số
E  
.

+ Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến
tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng
lượng
0
E 0
2

 

. Năng lượng không tương ứng với dao động “không” mà
ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn. Nói khác đi, do có
xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong
trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng
lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tử vẫn thực hiện dao
động. Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng
tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối.


10
Sự tồn tại một năng lượng hữu hạn thấp nhất E
0
, chỉ có thể lý giải được
trên cơ sở của lý thuyết lượng tử. Thật vậy, gọi các độ bất định của năng
lượng, xung lượng, tọa độ là E, p, x. Sự tồn tại của E
0
>0 gắn liền với hệ
thức bất định giữa tọa độ và xung lượng của hạt:
p x ,
2
  



vì
2
2
p 1 k
E k x p x .
2m 2 m 2
 
       


Có thể quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không
E
0
. Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng
lượng

:
n
E n . 

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều
hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng

.
Dạng tường minh của hàm sóng diễn tả trạng thái lượng tử của dao
động tử điều hòa là
2 2
x

2
n n n
(x) N H ( x)e


  

1
4
n n
n
m 1 m m
(x) exp H x ,
2
2 n!
 
  
   
  
 
 
 

   
 
  
(1.12)
Trong đó H
n
(x) là đa thức Hermite. Thí dụ như

H
0
(x)=1
H
1
(x)=2x


11
H
2
(x)=2(2x
2
-1)
H
3
(x)=4x(2x
2
-3)….
Các hàm sóng chuẩn hóa tương ứng là
2 2
x
2
0
(x) e



 



2 2
x
3
2
1
2
(x) xe



 


2 2
x
2 2
2
2
(x) (2 x 1)e
2



   


2 2
x
3

2 2
2
3
(x) (2 x 3)xe .
3



   


Xác suất mà dao động tử lượng tử với năng lượng E
n
có thể được tìm
thấy trong khoảng từ x đến x + dx bằng
2
LT
n n
dw (x)dx (x) dx
 

Từ các hệ thức (1.11) và (1.12), chúng ta thấy năng lượng và hàm sóng
diễn tả trạng thái của dao động tử điều hòa tuyến tính cùng phụ thuộc vào số
lượng tử chính n,
+ Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1.
1.2.2 Biểu diễn số hạt
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng
phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian [1,2]



12



2
2
x
P m
H x ,
2m 2

 
(1.13)
chúng ta ký hiệu
ˆ
ˆ
x q
là toán tử tọa độ,
x
d
ˆ ˆ
p p i
dx
  

là toán tử xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ

p
và
ˆ
q
là
 
 
d d d d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
p,q pq qp i x x i i x i x
dx dx dx dx
          

 
 
d d
ˆ ˆ
p,q i x i x i
dx dx
          

 
ˆ ˆ
p,q i .  
(1.14)
Có thể biểu diễn Hamiltonian theo
ˆ
p
và
ˆ

q


2 2
2
ˆ
p m
ˆ
H q ,
2m 2

 
(1.15)
đặt

 
m
ˆ ˆ ˆ
p i a a ,
2


 



 
ˆ ˆ ˆ
q a a ,
2m


 



khi đó ta biểu diễn
ˆ
H
theo
ˆ
a
và
ˆ
a

như sau:

   
2 2 2
2 2
2 2
ˆ
p m 1 m m
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
H q .i . . a a . a a
2m 2 2m 2 2 2m
  
  
     


 


   
2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
. a a a a
2 2
 

 
   
 
 




13

     
 
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. a a a a a a a a
2 2
1
ˆˆ ˆ ˆ
. 2aa 2a a

2 2
   
 

 
     
 

 




 
ˆˆ ˆ ˆ
aa a a .
2
 

 

(1.16)
Các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

được biểu diễn ngược lại qua

ˆ
p
và
ˆ
q


 
ˆ
m p 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
p i a a a a ip ,
2 m
m
i
2
 

      







 
ˆ
q 2m
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

q a a a a q ,
2m
2m
 

     






từ đó ta thu được:
ˆ
m p
ˆ ˆ
a q i ,
2 m
 
  
 

 

(1.17)
ˆ
m p
ˆ ˆ
a q i .
2 m


 
  
 

 

(1.18)
Dễ dàng chứng minh được các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức giao hoán

ˆ ˆ
a,a 1.

 

 
(1.19)
Thật vậy
ˆ ˆ
m p m p
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
a,a aa a a q i q-i
2 m 2 m

  
   
 
     
   
 
 
   
 
ˆ ˆ
m p m p
ˆ ˆ
q i q i
2 m 2 m
   
    
   
 
   
 

   
1 i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2i pq 2i qp pq qp 1.
2
     
 




14
Sử dụng hệ thức (1.19) ta thu được Hamiltonian có dạng

1
ˆ ˆ
H a a .
2

 
  
 
 

(1.20)
Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamilonian (1.20), trong đó các toán
tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.19). Để làm điều đó ta định nghĩa
một toán tử mới như sau
ˆ
ˆ ˆ
N a a,



(1.21)
Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử

N
với các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a


+
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
N,a Na aN a aa aa a a a aa a 1.a a,
   
 
         
 

suy ra
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Na a N 1 , 
(1.22)
+

 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
N,a Na a N a aa a a a a aa a a a
          
 
      
 

hay
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Na a N 1 .
 
 
(1.23)
Ký hiệu
n
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n, khi đó ta
có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N

ˆ
N n n n .


(1.24)
Từ phương trình (1.24) ta suy ra
ˆ
ˆ ˆ
n N n n a a n
n 0,
n n n n

  
(1.25)


15
vì:
 
2
n
n n r dr 0  

 

và
 
2
n
ˆ ˆ ˆ
n a a n a r dr 0

  


 

Vậy ta có kết luận sau
Kết luận 1:Các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.
Bây giờ, ta xét véc tơ trạng thái
ˆ
a n
, thu được bằng cách tác dụng toán
tử
ˆ
a
lên véc tơ trạng thái
n
. Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử
ˆ
N
và
sử dụng công thức (1.22) ta có:

 
   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n a N 1 n aN n a n
ˆ ˆ
a n 1 n n 1 a n .
   

   
(1.26)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: véc tơ trạng thái
ˆ
a n
cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n - 1). Tương tự như vậy, dễ dàng
chứng minh được rằng
2 3
ˆ ˆ
a n ;a n ,
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử
ˆ
N
ứng với các trị riêng (n - 2), (n - 3)…
Tiếp theo, ta xét véc tơ trạng thái
ˆ
a n

, tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử
ˆ
N
, sử dụng công thức (1.23) ta có

 

   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n a N 1 n a N n a n
ˆ ˆ
a n 1 n n 1 a n .
  
 
   
   
(1.27)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: véc tơ trạng thái
ˆ
a n

cũng là véc tơ
trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1). Tương tự như vậy


16
   
2 3
ˆ ˆ
a n , a n ,
 
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ

N
ứng với
các trị riêng (n + 2), (n + 3)… Ta đi đến kết luận sau.
Kết luận 2: Nếu
n
là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng
với trị riêng n, thì
p
ˆ
a n
cũng là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N

ứng với trị riêng (n – p), và
 
p
ˆ
a n

cũng là một véc tơ trạng thái riêng của
toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + p),với p = 1,2,3…, và (n-p) khác 0.
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy nếu n là một trị riêng của toán
tử

ˆ
N
thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán
tử
ˆ
N
. Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất
n
min
thỏa mãn hệ thức
min
ˆ
a n 0,
(1.28)
vì nếu
min
ˆ
a n 0
thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
 
min
n 1
, trái
với giả thiết n
min
là trị riêng nhỏ nhất.Từ (1.28) ta có:
min min
ˆ
ˆ ˆ
a a n N n 0.


 
(1.29)
Mặt khác, theo định nghĩa của n
min
,
min min min
ˆ
N n n n .

(1.30)
So sánh hai phương trình (1.29) và (1.30) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ
N
là n
min
có giá trị bằng 0.
Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của
ˆ
N
được ký hiệu
0 ,
gọi là trạng thái chân không, véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện
ˆ
a 0 0
.


17

Khi đó:
+
ˆ
a 0

tỉ lệ với véc tơ riêng
l
của
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 1.
Thật vậy, ta có:
 
ˆ
N 1 11 *

, mà
ˆ
a 0

là một véc tơ riêng của toán
tử
ˆ
N
ứng với trị riêng 0 + 1 = 1, tức là
 
ˆ
ˆ ˆ
Na 0 1a 0 . **
 



Từ (*) và (**) ta thấy:

1
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1,

ˆ
a 0

là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1,
vì vậy,
ˆ
a 0

phải tỉ lệ với véc tơ riêng
l
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
n 1
.
+ Tương tự

 
2
ˆ
a 0

tỉ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng n = 2, …,
+
 
n
ˆ
a 0

tỉ lệ với véc tơ riêng
n
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n.
Từ biểu thức:
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
H a a N N
2 2 2



   
        
   
   

  


ˆ ˆ
H 0 N 0 0
2

   


. Vì
ˆ
N 0 0 0 0 


0
ˆ
H 0 0 E 0
2

 



Nên:
0
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
0
1
E
2
 


1
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
1
E 1
2
 
  
 
 





18

n
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
n
1
E n .
2
 
  
 
 


Vậy ta có kết luận sau:
Kết luận 4: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được
biểu diễn bằng công thức
n
1
E n .
2
 
  
 
 

(1.31)

Từ biểu thức (1.31), ta nhận thấy phổ năng lượng của dao động tử điều
hòa tuyến tính có các đặc điểm như đã khảo sát ở phần trên, các trạng thái
dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách
đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng tháí kề nhau luôn luôn bằng một
lượng tử năng lượng
  
.
Trạng thái
0
có năng lượng thấp nhất là
0
1
E 0
2
  

, trạng thái tiếp
theo
1
với năng lượng
0
E
 
có thể được xem như là kết quả việc thêm
một lượng tử năng lượng

vào trạng thái
0
. Trạng thái tiếp theo
1

ứng
với năng lượng
0
E
 
có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng
tử năng lượng

vào trạng thái
0
. Trạng thái tiếp theo
2
ứng với năng
lượng
1 0
E E 2     
có thể được xem như là kết quả của việc thêm một
lượng tử năng lượng

vào trạng thái
1
, cũng có nghĩa là thêm hai lượng
tử năng lượng

vào trạng thái
0
. Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E
0
, thì
có thể coi trạng thái

0
là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy
0

được gọi là trạng thái chân không,
1
là trạng thái chứa một lượng tử,
2
là
trạng thái chứa hai lượng tử …
n
là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử
ˆ
N



19
có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán
tử số năng lượng. Toán tử
ˆ
a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
n 1
do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử
ˆ
a



khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
n 1
do đó được đoán nhận
là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
lượng là một hạt thì toán tử
ˆ
N
sẽ là toán tử số hạt,
ˆ
a
sẽ là toán tử hủy hạt,
ˆ
a


sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái
n
với năng lượng
n
E n 
sẽ là
trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng
.
Khái niệm
hạt ở đây thực chất đó chỉ là các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt.

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử
ˆ
a
tác dụng lên
n
cho một trạng
thái tỉ lệ với
n 1
và toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
n 1
. Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ
n n n
, ,  
trong các hệ thức:
n
n
n
n
ˆ
a n n 1
ˆ
a n n 1
ˆ

n a 0


  
  
 

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:
m,n
1 khi m n
m n
0 khi m n


  




+ Tìm 
n
:
Chúng ta có
n,n
ˆ ˆ
n N n n N n
n
n n
 





20
Vì m = n nên 
m, n
= 1

ˆ
ˆ ˆ
n n N n n a a n

  

Mặt khác
*
n
ˆ
n a n 1

  

Do đó:
* 2 2
n n n n
n n 1 n 1 n 1 n 1
          

Coi 
n

là thực nên
n
n
 

+ Tìm 
n
:
Ta có
ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
n n N n n a a n n aa 1 n
 
   

Mặt khác:
*
n
ˆ
n a n 1  

Do đó:
ˆ
ˆˆ
n n N n n aa 1 n

  


* 2

n n n
n 1 n 1 1 1        

Coi 
n
là số thực nên
2
n n
n 1 n 1      

+ Tìm 
n
:
Ta có
 
n 1
n
n n
ˆ ˆ ˆ
n a 0 a a 0

  
   


     
n 1 n 2 n 2
n 0 n 0 n 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
n a 1 a a 1 a 2

  
   
          


 
n 2
n 0 1
n 0 1 3 n 1
n n
n
ˆ
n a 2
n n
n 1.2.3 n n n! n
1
n!



    
      
    
  




21
Vậy ta thiết lập được các công thức sau:


ˆ
N n n n



ˆ
a n n n 1 
(1.32)

ˆ
a n n 1 n 1

  


n
1
ˆ
n a 0
n!

