BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
TRẦN THỊ BÌNH
QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
TRẦN THỊ BÌNH
QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Thế
Nghệ An - 2014
Mục lục
Mục lục 1
Bảng ký hiệu 2
1 Các khái niệm cơ bản 5
1.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 19
2 Quá trình khuếch tán Itô 24

2.1 Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Quá trình khuếch tán Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận chung và kiến nghị 40
Tài liệu tham khảo 40
1
Bảng ký hiệu
R
+
: [0, +∞);
R
n
: Không gian véc tơ Euclide n-chiều;
R
d×n
: Không gian các d × n-ma trận thực;
I
n
: Ma trận đơn vị cấp n;
x

: Chuyển vị của một véc tơ cột;
(Ω, F, P): Không gian xác suất;
E: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên;
D: Phương sai của biến ngẫu nhiên;
h.c.c: Hầu chắc chắn;
F
t
:=σ(X(s), s ≤ t; s, t ∈ T );
F
≥t

:=σ(X(s); s ≥ t; s, t ∈ T );
L
2
([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b])
đo được, tương thích
E


b
a
X(t)
2
dt

< ∞;
L
2
([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b])
đo được, tương thích
P


b
a
|X(t)|
2
dt < ∞

= 1;
2

Mở đầu
Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên
được xây dựng bởi Itô. Năm 1942, lý thuyết này lần đầu tiên được áp
dụng vào bài toán của Kolmogorov về xây dựng quá trình khuếch tán.
Kolmogorov và Feller cũng thành công trong việc xây dựng quá trình này
bằng phương pháp xác suất để giải phương trình Kolmogorov (dùng xác
suất chuyển). Do đó, đã thiết lập một phương pháp giải tích trong lý thuyết
xác suất (song song với lý thuyết nữa nhóm của Hille-Yosida). Ngược lại
với các phương pháp giải tích, Levy đã đề xuất tiếp cận theo phương pháp
xác suất và được Itô thiết lập để xây dựng hàm mẫu của quá trình khuếch
tán một cách trực tiếp, đó là nghiệm của một phương vi phân ngẫu nhiên.
Ngày nay, phương pháp của Itô không chỉ áp dụng vào quá trình khuếch
tán mà còn áp dụng cho một lớp đủ rộng các quá trình ngẫu nhiên khác.
Quá trình khuếch tán được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên,
gọi là quá trình khuếch tán Itô. Lớp quá trình này được biết là đủ rộng
cho lý thuyết cũng như áp dụng, mà chuyển động Brown là một ví dụ điển
hình. Hơn nữa, tính toán ngẫu nhiên cũng là một công cụ mạnh mẽ để
nghiên cứu lớp quá trình khuếch tán này. Vì vậy, trong khuôn khổ của luận
văn Thạc sỹ, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn là "Quá trình khuếch
tán Itô”.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia thành
hai chương.
Chương 1. Các khái niệm cơ bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lí
3
thuyết xác suất để phục vụ cho chương 2.
Chương 2. Quá trình khuếch tán Itô
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương 2 nghiên cứu
về quá trình khuếch tán Itô. Cụ thể là định nghĩa và xét một số tính chất
của quá trình này và đưa ra ví dụ minh họa.

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Thị Thế. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô
Nguyễn Thị Thế đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Tác
giả xin cảm ơn các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 20 Xác
suất thống kê Toán học. Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm và
các thầy cô trong khoa Toán, khoa sau Đại học cùng tập thể lớp cao học
20 Xác suất thông kê Toán học.
Mặc dù, tác giả có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý
báu của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 9 năm 2014.
Tác giả
4
Chương 1
Các khái niệm cơ bản
1.1 Kỳ vọng có điều kiện
Định nghĩa 1.1.1 (Hàm tập liên tục tuyệt đối). Giả sử Ω = ∅, G là σ-đại
số các tập con của Ω, µ là độ đo và ν là hàm tập σ-cộng tính trên G. Ta
nói ν là hàm tập G-liên tục tuyệt đối đối với µ và ký hiệu ν 
G
µ. Nếu
với mọi A ∈ G mà µ(A) = 0 thì ν(A) = 0.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử X ∈ L
1
(Ω, F) và G là σ-đại số con của F. Đặt
ν(A) =

A
XdP, A ∈ G, thì ν(A) là hàm tập cộng tính và ν 

G
P.
Ngược lại cũng đúng, tức là cho ν 
G
P thì sẽ có X ∈ L
1
(Ω, G) để ν
có dạng trên. Đó là nội dung của định lí Radon-Nikodym.
Định lý 1.1.3 (Định lí Radon-Nikodym). Giả sử (Ω, F, P) là không
gian xác suất, G là σ-đại số con của F, ν là hàm tập σ-cộng tính trên
G sao cho ν 
G
P. Khi đó, tồn tại duy nhất biến ngẫu nhiên Y là
G-đo được thỏa mãn ν(A) = E(1
A
Y ) với mọi A ∈ G. Y gọi là đạo hàm
Radon-Nikodym của ν đối với P, ký hiệu Y =
dν
dP
.
Định nghĩa 1.1.4 (Kỳ vọng có điều kiện). Giả sử (Ω, F, P) là không
gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-đại số con của F.
Biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G, ký hiệu
Y = E(X/G). Nếu
5
1. Y là G-đo được;
2. E(1
A
X) = E(1
A

Y ) với mọi A ∈ G.
Chú ý 1.1.5. (i) Nếu G = σ(X
1
, , X
n
), thì ta viết E(X/X
1
, , X
n
) thay
cho E(X/G).
(ii) Nếu X = 1
A
thì E(X/G) được ký hiệu P(A/G) và gọi là xác suất có
điều kiện của A đối với G. E(1
A
/X
1
, , X
n
) được ký hiệu P(A/X
1
, , X
n
)
và gọi là xác suất có điều kiện của A đối với X
1
, , X
n
.

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện được thể hiện ở định lý sau đây.
Định lý 1.1.6 ([1]). Cho a, b là các số thực tùy ý; X, Y là các biến
ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F, P); G, G
1
, G
2
là các σ-đại số
con của F.
1. E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/G).
2. E(E(X/G)) = E(X).
3. E(XY/G) = XE(Y/G) nếu X là G-đo được và XY khả tích.
4. E(X/G) = E(X) nếu X độc lập với G.
5. Nếu G
1
⊂ G
2
thì E(E(X/G
1
)/G
2
) = E(E(X/G
2
)/G
1
) = E(X/G
1
).
6. Nếu X ≥ 0 (h.c.c) thì E(X/G) ≥ 0 (h.c.c).
7. |E(X/G)| ≤ E(|X|/G).
8. (Bất đẳng thức Jensen) Cho X khả tích. Giả sử ϕ là hàm lồi trên

R và ϕ(X) khả tích. Khi đó
E(ϕ(X)/G) ≥ ϕ(E(X/G)).
9. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và ϕ(x, y) là hàm sau cho
Eϕ(X, Y ) < ∞. Khi đó
E(ϕ(X, Y )/Y ) = Eϕ(X, y)|
y=Y
.
6
Đặc biệt, nếu X, Y độc lập thì tính chất này chính là E(XY/Y ) =
Y EX.
Ví dụ 1.1.7. Cho Ω = [0; 1] với σ-đại số Borel và P là độ đo Lebesgue
trên [0; 1]. Giả sử
X(x) = 2x
2
, Y (x) =



2 nếu x ∈ [0;
1
2
);
x nếu x ∈ [
1
2
; 1].
Khi đó
E(X/Y )(x) =




1
6
nếu x ∈ [0;
1
2
);
2x
2
nếu x ∈ [
1
2
; 1].
1.2 Quá trình ngẫu nhiên
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T ,
X(t) là biến ngẫu nhiên thì ta ký hiệu X = (X(t), t ∈ T ) và gọi X là hàm
ngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T ).
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu
nhiên với tham số rời rạc.
• Nếu T = N thì ta gọi X = (X(t), t ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên
(một phía).
• Nếu T = Z thì ta gọi X = (X(t), t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiên
hai phía.
• Nếu T là một nửa khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc một
trong các tập sau: (−∞; ∞), [a; ∞), (−∞; b], [a; b), [a; b], (a; b], (a; b) thì
ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên
tục. Khi đó, tham số t đóng vai trò thời gian.
7

• Nếu T là tập con của R
d
thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là trường ngẫu
nhiên.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử G là σ-đại số các tập con của tập tham số t ∈ T .
Ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ T ) là hàm hai biến
X: Ω ×T → R.
Nếu ánh xạ này đo được đối với σ-đại số tích F × G, tức là với mọi tập
B ∈ B(R) đều có
X
−1
(B) := {(ω, t) ∈ Ω × T | X(ω, t) ∈ B} ∈ F × G
thì (X(t), t ∈ T ) được gọi là quá trình đo được.
Nếu T đếm được thì tính đo được tự động thực hiện. Vì thế, tính đo
được chỉ quan trọng khi T không đếm được. Nếu quá trình X = (X(t), t ∈
T ) liên tục, hoặc có quỹ đạo liên tục phải (trái) thì X đo được.
Định nghĩa 1.2.3. Họ các σ-đại số con F
t
⊂ F được gọi là một bộ lọc
thỏa mãn điều kiện thông thường nếu
(i) Là một họ tăng, tức F
s
⊂ F
t
nếu s < t.
(ii) Họ đó liên tục phải, tức là F
t
=

>0

F
t+
.
(iii) F
t
chứa mọi tập có xác suất 0, ∀ t ∈ T .
Định nghĩa 1.2.4. Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0). Xét họ
σ-đại số F
t
sinh bởi biến ngẫu nhiên X(ω, t), tức F
t
= σ(X(s), 0 ≤ s ≤ t).
Khi đó, họ (F
t
, t ≥ 0) được gọi là bộ lọc tự nhiên (lịch sử) của quá trình
X.
Định nghĩa 1.2.5. Cho một bộ lọc (F
t
, t ≥ 0) trên (Ω, F). Một quá
trình Y được gọi là tương thích với bộ lọc này, nếu với mọi t thì Y (t) là
đo được đối với σ-đại số F
t
.
Chú ý rằng mọi quá trình ngẫu nhiên đều tương thích với bộ lọc tự
nhiên của nó.
8
1.3 Chuyển động Brown
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Quá
trình ngẫu nhiên B = (B(t), t ≥ 0) được gọi là chuyển động Brown (hay
quá trình Wiener) nếu thỏa mãn các tính chất sau

(i) B(0) = 0 (h.c.c).
(ii) Với mọi 0 ≤ s < t < ∞, gia số B(t) −B(s) là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với kỳ vọng 0, phương sai t −s.
(iii) Quá trình này có gia số độc lập, tức là các biến ngẫu nhiên B
t
4
− B
t
3
và B
t
2
− B
t
1
là độc lập, với mọi t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ t
4
.
(iv) Với hầu hết ω, các quỹ đạo của chuyển động Brown liên tục.
Mệnh đề 1.3.2 ([5]). Hầu chắc chắn các quỹ đạo của chuyển động
Brown liên tục nhưng có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu
hạn. Tức là với mọi đoạn [a, b] ⊂ R
+
thì

v(B(ω)) := sup
τ
n

i=1
|B(t
i
) − B(t
i−1
)|
không bị chặn hầu chắc chắn, trong đó sup lấy theo mọi phân hoạch:
τ : a = t
0
< t
1
< ··· < t
n
= b.
Định nghĩa 1.3.3. Quá trình ngẫu nhiên m-chiều B(t) = (B
1
(t), . . . , B
m
(t))

,
được gọi là chuyển động Brown m-chiều nếu mỗi thành phần B
i
(t),
i = 1, . . . , m, là chuyển động Brown một chiều và chúng là các quá trình
ngẫu nhiên độc lập với nhau.

1.4 Quá trình Markov
Quá trình Markov là những quá trình ngẫu nhiên mà tương lai và quá
khứ là độc lập với nhau nếu biết hiện tại, được Markov đưa ra vào năm
9
1906. Chẳng hạn như X(t) là dân số tại thời điểm t. Các hệ (sinh thái, vật
lí, cơ học ) không có nhớ hoặc sức ỳ lớn là các quá trình Markov. Định
nghĩa cụ thể của quá trình Markov như sau.
Định nghĩa 1.4.1. Quá trình ngẫu nhiên n-chiều (X(t), t ∈ T ) trên
không gian xác suất (Ω, F, P) gọi là quá trình Markov (n-chiều) nếu
tính chất Markov sau đây được thỏa mãn
P(AB/X(t)) = P(A/X(t))P(B/X(t)), (1.1)
trong đó A ∈ F
t
, B ∈ F
≥t
, t ∈ T.
• Nếu không gian trạng thái là không quá đếm được, thì X(t) được gọi là
xích Markov (với thời gian rời rạc hay liên tục là tùy vào T).
• Có nhiều dạng định nghĩa khác nhau về quá trình Markov, tùy vào từng
trường hợp cụ thể để dùng định nghĩa nào cho thích hợp.
Sau đây ta đưa ra một số định nghĩa tương đương.
Định lý 1.4.2 ([5]). Quá trình ngẫu nhiên n-chiều (X(t), t ∈ T ) trên
không gian xác suất (Ω, F, P) là quá trình Markov (n-chiều) nếu và
chỉ nếu thỏa mãn một trong các tính chất sau đây
1. P(B/F
t
) = P(B/X(t)), B ∈ F
≥t
.
2. P(A/F

≥t
) = P(A/X(t)), A ∈ F
t
.
3. P(X(t) ≤ x/F
t
) = P(X(t) ≤ x/X(t)).
4. P(X(t) ≤ x/X(t
1
), . . . , X(t
k
)) = P(X(t) ≤ x/X(t
k
)), t
1
< t
2
< <
t
n
< t).
5. P(X(t) ≤ x/X(t
1
) = x
1
, . . . , X(t
k
) = x
k
) = P(X(t) ≤ x/X(t

k
) =
x
k
), x, x
i
∈ R
n
.
6. P(X(t) ∈ B/X(t
1
), . . . , X(t
k
)) = P(X(t) ∈ B/X(t
k
)), B ∈ B(R
n
).
10
7. Với mọi hàm Borel bị chặn ϕ: R
n
→ R thì
E(ϕ(X(t))/F
t
) = E(ϕ(X(t))/X(t)).
Vai trò then chốt khi nghiên cứu quá trình Markov là hàm chuyển, được
định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4.3. Hàm 4 biến P (s, x, t, B) gọi là hàm chuyển trên
(R
n

, B(R
n
)) của quá trình Markov (X(t), t ∈ T ) nếu
(i) P (s, x, t, B) là độ đo xác suất khi cố định s, t, x,
(ii) Khi cố định s, t, B thì P (s, x, t, B) là đo được,
(iii) P (s, x, s, B) = δ
x
(B), với
δ(x) =



0 nếu x = 0;
∞ nếu x = 0.
(iv) Với bất kỳ B ∈ B(R
n
), s, t ∈ T, s ≤ t, x ∈ R
n
, hầu chắc chắn
P (s, x, t, B) = P(X(t) ∈ B/X(s) = x).
Định nghĩa 1.4.4 (Quá trình Markov thuần nhất). Hàm chuyển được
gọi là thuần nhất (tương ứng, quá trình Markov thuần nhất) nếu xác
suất chuyển P(s, x, t + s, B) là độc lập với s.
Định lý 1.4.5. Cho quá trình Markov (X(t), t ∈ T ). Với B ∈ B(R
n
), s, t ∈
T, s ≤ t, x ∈ R
n
, đặt
P (s, x, t, B) = P(X(t) ∈ B/X(s) = x).

Khi đó, P (s, x, t, B) là hàm chuyển của X(t). Ngoài ra, nó còn thỏa
mãn phương trình sau, gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov:
P (s, x, t, B) =

R
n
P (u, y, t, B)P (s, x, u, dy). (1.2)
11
Chứng minh. Ta có tính chất trong định nghĩa hàm chuyển là dễ thấy. Với
s ≤ u ≤ t, B ∈ R
n
thì
P (s, x, t, B) = P(X(t) ∈ B/X(s) = x)
=

R
n
P(X(t) ∈ B/X(s) = x, X(u) = y)dP(X(u) ∈ dy/X(s) = x)
=

R
n
P(X(t) ∈ B/X(u) = y)dP(X(u) ∈ dy/X(s) = x)
(theo tính Markov)
=

R
n
P (u, y, t, B)dP (s, x, u, dy).
Định nghĩa 1.4.6. Nếu xác suất chuyển P(s, x, t, B) có mật độ p(s, x, t, y),

tức là
P (s, x, t, B) =

B
p(s, x, t, y)dy,
thì p(s, x, t, y) gọi được gọi là mật độ chuyển. Khi đó (1.2) trở thành
p(s, x, t, y) =

R
n
p(u, z, t, y)p(s, x, u, z)dz.
Giả sử t
0
là thời điểm đầu tiên của T và P (t
0
)(A) := P(X(t
0
) ∈ A) là
phân phối ban đầu của quá trình Markov (X(t), t ∈ T ). Khi đó, phân phối
hữu hạn chiều được tính qua hàm chuyển như sau
P(X(t
1
) ∈ B(1), X(t
2
) ∈ B(2), . . . , X(t
n
) ∈ B(n)) =
=

R

n

B(1)
. . .

B(n−1)
P (t
n−1
, x
n−1
, t
n
, B(n))×
×P (t
n−2
, x
n−2
, t
n−1
, dx
n−1
) . . . P (t
0
, x
0
, t
1
, dx
1
)P

t
0
(dx
0
).
Đặc biệt P(X(t) ∈ B) =

R
n
P (t
0
, x, t, B)P (t
0
)(dx).
Ngược lại ta có định lí sau.
Định lý 1.4.7. Cho hàm chuyển P(s, x, t, B) thỏa mãn phương trình
(1.2) và cho độ đo xác suất µ. Khi đó, tồn tại quá trình Markov có
phân phối ban đầu µ với hàm chuyển đã cho.
12
Định lý 1.4.8 ([6]). Nếu X(t) là quá trình Markov trên T và g(t, x)
là hàm xác định trên T × R và đơn điệu theo x khi t cố định. Khi đó,
g(t, X(t)) cũng là quá trình Markov với hàm chuyển
˜
P (s, x, t, B) biểu
diễn qua hàm chuyển của X(t) như sau
˜
P (s, x, t, B) = P (s, g
−1
(s, x), t, g
−1

(t, B))
trong đó g
−1
(s, x) là nghịch đảo của g tương ứng với x và g
−1
(t, B) =
{y ∈ R : g
−1
(t, y) ∈ B}.
Ví dụ 1.4.9. 1. Xét chuyển động Brown B(t). Khi đó với 0 < t
1
< t
2
<
< t
n
< t và x ∈ R ta có
P(B(t)) ≤ x/B(t
1
) = x
1
, B(t
2
) = x
2
, , B(t
n
) = x
n
)

=
1

2π(t − t
n
)

x
−∞
exp

−
(u − x
n
)
2
2(t − t
n
)

du.
Mặt khác
P(B(t) ≤ x/B(t
n
) = x
n
) =
1

2π(t − t

n
)

x
−∞
exp

−
(u − x
n
)
2
2(t − t
n
)

du.
Vì vậy, chuyển động Brown B(t) thỏa mãn phương trình
P(B(t) ≤ x/B(t
i
) = x
i
, i = 1, 2, , n) = P(B(t) ≤ x/B(t
n
) = x
n
).
Chứng tỏ chuyển động Brown B(t) là quá trình Markov.
2. Cho X(t) là quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập và X(0) = 0. Với
mọi t

1
< t
2
< < t
n
< t và x ∈ R, ta có
P(X(t) ≤ x/X(t
1
), X(t
2
), , X(t
n
))
= P((X(t) −X(t
n
)) + X(t
n
) ≤ x/X(t
1
), X(t
2
), , X(t
n
))
= P((X(t) −X(t
n
)) + X(t
n
) ≤ x/X(t
n

))
= P(X(t) ≤ x/X(t
n
)).
13
Chứng tỏ X(t) là quá trình Markov.
3. Cho φ là hàm tăng trên R. Xét quá trình X(t) = φ(B(t)). Với mọi
t
1
< t
2
< < t
n
< t và x ∈ R, ta có
P(X(t) ≤ x/X(t
i
) = x
i
, i = 1, 2, , n)
= P(B(t) ≤ φ
−1
(x)/B(t
i
) = φ
−1
(x
i
), i = 1, 2, , n)
= P(B(t) ≤ φ
−1

(x)/B(t
n
) = φ
−1
(x
n
))
= P(X(t) ≤ x/X(t
n
) = x
n
).
Vì vậy X(t) = φ(B(t)) là quá trình Markov.
1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô
1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô
Trong phần này ta định nghĩa tích phân

T
0
f(t)dB(t), (1.3)
trong đó f là hàm ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F, P) đã cho
với lọc tự nhiên (F
t
)
0≤t≤T
.
Do chuyển động Brown có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữu
hạn nên tích phân (1.3) không thể xét như tích phân Lebesgue-Stieltjes.
Năm 1944, Itô đã đưa ra định nghĩa tích phân (1.3). Ta ký hiệu lớp hàm
mà tích phân ngẫu nhiên Itô sẽ được xác định là L

2
([a, b], Ω), được định
nghĩa như sau
Kí hiệu 1.5.1. Ký hiệu L
2
([a, b], Ω) là không gian gồm các quá trình
ngẫu nhiên đo được f: [0, T ] × Ω → R , thỏa mãn hai điều kiện sau
(i) f(t, ·) là F
t
-đo được với mọi t ∈ [0, T ],
(ii)

T
0
E(|f(t)|
2
)dt < ∞.
14
Đầu tiên định nghĩa tích phân (1.3) cho các hàm đơn giản.
Định nghĩa 1.5.2. Một quá trình ngẫu nhiên f ∈ L
2
([a, b], Ω) được gọi
là quá trình đơn giản nếu có dạng
f(t, ω) =
n

i=1
Z(i − 1)1
[t
i−1

, t
i
)
+ Z(n)1
{T }
, (1.4)
trong đó
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
n
= T,
và Z(i), i = 1, . . . , n là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn
Z(i) ∈ F
t
i
, EZ
2
(i) < ∞, i = 1, . . . , n −1.
Ký hiệu S là tập tất cả các hàm đơn giản trong L
2
([a, b], Ω).
Định nghĩa 1.5.3. Tích phân Itô trên đoạn [0, T ] của hàm đơn giản
f ∈ S có dạng (1.4) được định nghĩa
I(f) :=
n

i=1

Z(t
i−1
)(B(t
i
) − B(t
i−1
)). (1.5)
Dễ thấy trong trường hợp này I(f) là một biến ngẫu nhiên và tích phân
này có tính chất tuyến tính, nghĩa là với mọi f, g ∈ S, α, β ∈ R thì
I(αf + βg) = αI(f) + βI(g).
Ngoài ra tích phân này còn có tính chất sau, gọi là tính chất "Đẳng cự
Itô”
E(|I(f)|
2
) =

T
0
E(|f(t)|
2
)dt. (1.6)
Tiếp theo, mỗi hàm f ∈ L
2
([a, b], Ω) được Itô xấp xỉ bởi một dãy hàm đơn
giản {f
n
(t), n ≥ 1} ⊂ S theo nghĩa sau
Bổ đề 1.5.4. Cho f ∈ L
2
([a, b], Ω). Khi đó luôn tồn tại dãy các hàm đơn

giản {f
n
(t), n ≥ 1} ⊂ S sao cho

T
0
E{|f(t) − f
n
(t)|
2
}dt −→ 0, khi n → ∞. (1.7)
15
Như vậy tập tất cả các hàm đơn giản S là trù mật trong L
2
([a, b], Ω).
Bây giờ với {f
n
(t), n ≥ 1} là dãy hàm như trong Bổ đề 1.5.4, theo tính
chất "Đẳng cự Itô” trong công thức (1.6), ta có
E(|I(f
n
) − I(f
m
)|
2
) =

T
0
E(|I(f

n
) − I(f
m
)|
2
)dt −→ 0, khi n, m → ∞.
Do đó {I(f
n
), n ≥ 1} là dãy Cauchy trong L
2
(Ω), với L
2
(Ω) là không
gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích. Đây là không gian định
chuẩn đầy đủ với chuẩn X
2
=

E(X)
2
. Suy ra tồn tại giới hạn
I(f) = lim
n→∞
I(f
n
), trong L
2
(Ω). (1.8)
Hơn nữa, có thể chứng minh được rằng I(f) xác định như ở (1.8) không
phụ thuộc vào cách chọn dãy {f

n
, n ≥ 1} trong Bổ đề 1.5.4. Từ đây ta có
định nghĩa
Định nghĩa 1.5.5. Giới hạn I(f) trong phương trình (1.8) được gọi là
tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên f và được ký hiệu bởi

T
0
f(t)dB(t).
Như vậy I(f) được xác định cho mọi f ∈ L
2
([a, b], Ω). Bây giờ, với mỗi
f ∈ L
2
([a, b], Ω) và t
1
< t
2
∈ [0, T ], ký hiệu 1
[t
1
,t
2
]
là hàm chỉ tiêu của đoạn
[t
1
, t
2
], tức là

1
[t
1
,t
2
]
(s) =



1 nếu s ∈ [t
1
, t
2
],
0 nếu s /∈ [t
1
, t
2
].
(1.9)
Lúc này ta định nghĩa

t
2
t
1
f(s)dB(s) =

T

0
f(s)1
[t
1
,t
2
]
(s)dB(s).
Ký hiệu
X(t) =

t
0
f(s)dB(s), 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó X(t) là một quá trình ngẫu nhiên, thường được gọi là quá trình
ngẫu nhiên tích hợp.
16
Tích phân ngẫu nhiên Itô của các hàm trong L
2
([a, b], Ω) có đầy đủ
các tính chất của tích phân thường, như là tính tuyến tính, tính cộng tính,
ngoài ra nó còn có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.5.6. Tích phân ngẫu nhiên của f ∈ L
2
([a, b], Ω) có các
tính chất sau:
(i) E

T
0

f(t)dB(t) = 0.
(ii) Đẳng cự Itô: E(|I(f)|
2
) =

T
0
E(|f(t)|
2
)dt.
(iii) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) tương thích với lọc (F
t
), sinh
bởi chuyển động Brown.
(iv) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) là Martingale đối với lọc của
chuyển động Brown.
(v) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) có quỹ đạo liên tục.
(vi) Quá trình (X(t)) có gia số không tương quan.
Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([5]).
Tích phân ngẫu nhiên Itô cũng được mở rộng cho lớp hàm L
2
([a, b], Ω)
gồm các quá trình ngẫu nhiên đo được f: [0, T]×Ω → R tương thích với lọc
(F
t
)
t≥0
và hầu chắc chắn

T

0
|f(t)|
2
dt < ∞. Khi đó tính chất (i), (ii), (iv)
trong Mệnh đề 1.5.6 nói chung không thỏa mãn nhưng quá trình ngẫu
nhiên (X(t)) là Martingale địa phương.
1.5.2 Công thức Itô
Công thức Newton-Leibniz đóng vai trò quan trọng trong phép tính vi
tích phân cổ điển, được xây dựng bởi Newton và Leibniz. Theo đó, nếu
f, g là các hàm khả vi thì
∂
∂t
f(g(t)) = f

(g(t))g

(t).
17
Công thức này viết dưới dạng tích phân là
f(g(t)) − f(g(a)) =

t
a
f

(g(s))dg(s).
Qui tắc này không còn đúng trong tính toán ngẫu nhiên nữa. Thay vào đó
Itô [11] đã đưa ra một công thức, ngày nay gọi là công thức Itô. Sau đây
ta sẽ giới thiệu công thức này.
Định nghĩa 1.5.7. Một quá trình Itô là quá trình ngẫu nhiên (X(t), t ∈

[0, T ]) có dạng
X(t) −X(t
0
) =

t
t
0
f(s)ds +

t
t
0
σ(s)dB(s), t ∈ [0, T ], (1.10)
trong đó X(t
0
) là biến ngẫu nhiên n-chiều, độc lập với chuyển động Brown
B(t); f(t) ∈ R
n
, σ(t) ∈ R
n×m
có các thành phần là các quá trình ngẫu
nhiên F
t
-tương thích mà hầu chắc chắn thỏa mãn

T
0
|f(t)|dt < ∞,


T
0
|σ(t)|
2
dt < ∞.
Khi đó, ta nói quá trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên và viết
dX(t) = f(t)dt + σ(t)dB(t), t ∈ [0, T ]. (1.11)
Định lý 1.5.8 (Công thức Itô). Giả sử U(t, x) là hàm liên tục xác định
trên [0, T ] × R
n
nhận giá trị trong R
d
với các đạo hàm riêng liên tục,
kí hiệu
∂
∂t
U(t, x) = U
t
,
∂
∂x
i
U(t, x) = U
x
i
, x = (x
1
, . . . , x
n
)


,
∂
2
∂x
i
∂x
j
U(t, x) = U
x
i
x
j
, 1 ≤ i, j ≤ n.
Giả sử X(t) là quá trình Itô n-chiều xác định trên [0, T ] có vi phân Itô
dX(t) = f(t)dt + σ(t)dB(t),
18
trong đó B(t) là chuyển động Brown m-chiều. Khi đó, Y (t) = U(t, X(t))
là quá trình Itô d-chiều xác định trên [0, T ] và có vi phân Itô cho bởi
dY (t) =

U
t
(t, X(t)) + U
x
(t, X(t))f(t)+
1
2
n


i,j=1
U
x
i
x
j
(t, X(t))(σσ
∗
)
ij

dt
+U
x
(t, X(t))σ(t)dB(t).
Ở đây, ta hiểu: U
x
= (U
x
1
, . . . , U
x
n
) là d ×n-ma trận, U
x
i
x
j
là n-véc tơ
cột và U

xx
= (U
x
i
x
j
) là n ×n-ma trận mà mỗi phần tử của nó là n-véc
tơ cột U
x
i
x
j
.
Ví dụ 1.5.9. Áp dụng công thức Itô cho hàm U(t, x) = e
x−
t
2
. Ta có
de
B(t)−
t
2
= e
B(t)−
t
2
dB(t).
Suy ra

t

0
e
B(s)−
s
2
dB(s) = e
B(t)−
t
2
.
Quá trình e
B(t)−
t
2
, t > 0 được gọi là quá trình mũ.
1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Cho B(t) = (B
1
(t), . . . , B
m
(t))

là chuyển động Brown m-chiều trên
không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với lọc (F
t
).
Định nghĩa 1.5.10. Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình
có dạng
dX(t) = f(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dB(t), t ∈ [0, T ] (1.12)
hay viết dưới dạng tích phân

X(t) −ξ =

t
0
f(s, X(s))ds +

t
0
σ(s, X(s))dB(s), t ∈ [0, T ], (1.13)
trong đó ξ là biến ngẫu nhiên n-chiều, độc lập với B(t), gọi là giá trị ban
đầu; f(·, ·): [0, T ] × R
n
→ R
n
, σ(·, ·): [0, T ] ×R
n
→ R
n×m
là các hàm đo
19
được; tích phân đầu của vế phải trong (1.13) là tích phân Riemann còn
tích phân thứ hai là tích phân Itô.
Định nghĩa 1.5.11 (Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên).
Nghiệm của (1.12) (hay (1.13)) trên [0, T ] là quá trình X(·) = (X(t), t ∈
[0, T ]) với quỹ đạo liên tục thỏa mãn các điều kiện sau
(i) X(·) là tương thích của bộ lọc (F
t
)
t∈[0,T ]
,

(ii) Với xác suất 1, ta có

T
0
|f(s, X(s))|ds < ∞ và

T
0
|σ(s, X(s))ds|
2
< ∞.
(iii) Phương trình (1.13) thỏa mãn với t ∈ [0, T ] với xác suất 1.
Nghiệm {X(t)} được gọi là duy nhất nếu với bất kỳ nghiệm {
¯
X(t)} khác
thì ta có
P{X(t) =
¯
X(t) với mọi t ∈ [0, T ]} = 1.
Trong định nghĩa trên, không gian xác suất và chuyển động Brown B(t)
cho trước. Nếu không cho trước các yếu tố này thì ta gọi là nghiệm yếu.
Nghiệm mạnh nếu tồn tại là nghiệm yếu. Tính duy nhất của nghiệm yếu
hiểu theo nghĩa cùng phân phối, còn tính duy nhất của nghiệm mạnh là
theo quỹ đạo.
Định lý 1.5.12. Giả sử phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.12) thỏa
mãn điều kiện tồn tại hằng số K > 0 sao cho
(i) (Điều kiện Lipschitz): Với mọi t ∈ [0, T ] và x, y ∈ R
n
|f(t, x) − f(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K|x − y|,
(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính): Với mọi t ∈ [0, T ], x ∈ R

n
|f(t, x)|
2
+ |σ(t, x)|
2
≤ K(1 + |x|
2
).
20
Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên ξ độc lập với B(t), phương trình (1.12)
có nghiệm duy nhất X(t), liên tục với xác suất 1, thỏa mãn điều kiện
ban đầu ξ.
Định lý trên vẫn đúng nếu điều kiện Lipschitz được thay bởi điều kiện
Lipschitz địa phương: với mọi N > 0, tồn tại K
N
> 0 sao cho với mọi
t ∈ [0, T ], x, y ∈ R
n
, |x| < K
N
, |y| < K
N
,
|f(t, x) − f(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K
N
|x − y|.
Sau đây ta đưa ra một đánh giá về moment của nghiệm.
Bổ đề 1.5.13. Giả sử h(t) là quá trình ngẫu nhiên tương thích thỏa
mãn điều kiện


b
a
E(|h(s)|
4
)ds < ∞ và Y (t) =

t
a
h(s)dB(s). Khi đó
E(|Y (t)|
4
) ≤ 2(17 + 4
√
17)(t − a)

t
a
E(|h(s)|
4
)ds, a ≤ t ≤ b.
Định lý 1.5.14. Cho σ(t, x) và f(t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
đối với x và điều kiện tăng sau
|σ(t, x)|
2
≤ C(1 + x
2
), |f(t, x)|
2
≤ C(1 + x
2

) (1.14)
Giả sử biến ngẫu nhiên ξ là F
a
-đo được với E(ξ
4
) < ∞. Khi đó nghiệm
X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX(t) = σ(s, X(s))dB(s) + f(s, X(s))ds, X(a) = ξ, a ≤ t ≤ b.
thỏa mãn bất đẳng thức
E(|X(t)|
4
) ≤ {27E(ξ
4
) + C
1
(b − a)}e
C
1
(t−a)
, (1.15)
E(|X(t) −ξ|
4
) ≤ C
2
{1 + 27E(ξ
4
) + C
1
(b − a)}(t − a)
2

e
C
1
(t−a)
, (1.16)
Trong đó C
1
, C
2
là hằng số cho bởi
C
1
= 54{2(17 + 4
√
17) + (b − a)
2
}(b − a)C
2
C
2
= 16{2(17 + 4
√
17) + (b − a)
2
}C
2
.
21
Chứng minh. Dùng bất đẳng thức (a + b + c)
4

≤ 27(a
4
+ b
4
+ c
4
), Bổ đề
1.5.13 và bất đẳng thức Holder, ta có
E(|X(t)|
4
) ≤27E(ξ
4
) + 27

C(t − a)

t
a
E(σ(s, X(s))
4
)ds
+ 27(t − a)
3

t
a
E(f(s, X(s))
4
)ds
≤27E(ξ

4
) + 27

C(b − a)

t
a
E(σ(s, X(s))
4
)ds
+ 27(b − a)
3

t
a
E(f(s, X(s))
4
)ds. (1.17)
với

C = 2(17 + 4
√
17) là hằng số trong Bổ đề 1.5.13. Dùng điều kiện trong
(1.14) và bất đẳng thức (1 + x
2
)
2
≤ 2(1 + x
4
), ta thấy:

E(|X(t)|
4
) ≤ 27E(ξ
4
) + C
1

t
a
[1 + E(|X(s)|
4
)]ds,
với C
1
= 54{

C + (b − a)
2
}(b − a)C
2
.
Do đó
E(|X(t)|
4
) ≤ 27E(ξ
4
) + C
1
(b − a) + C
1


t
a
E(|X(s)|
4
)ds.
Ta nhắc lại bất đẳng Bellman-Gronwall: Nếu Φ, f ∈ L
1
[a, b], β > 0 là hằng
số thỏa mãn
Φ(t) ≤ g(t) + β

t
a
Φ(s)ds với mọi t ∈ [a, b]
thì
Φ(t) ≤ g(t) + β

t
a
g(s)e
β(t−s)
ds với mọi t ∈ [a, b].
Áp dụng bất đẳng thức Bellman-Gronwall với
Φ(t) := E(|X(t) − ξ|
4
), g(t) := 27E(ξ
4
) + C
1

(b − a), β := C
1
,
ta thu được bất đẳng thức (1.15).
22
Tiếp theo, dùng bất đẳng thức (a + b)
4
≤ 8(a
4
+ b
4
), Bổ đề 1.5.13 và
bất đẳng thức Holder, ta có
E(|X(t) −ξ|
4
)
≤ 8

C(t − a)

t
a
E(σ(s, X(s))
4
)ds + 8(t − a)
3

t
a
E(f(s, X(s))

4
)ds
≤ 8(t − a)


C

t
a
E(σ(s, X(s))
4
)ds + (b − a)
2

t
a
E(f(s, X(s))
4
)ds

.
Từ (1.14) và bất đẳng thức (1 + x
2
)
2
≤ 2(1 + x
4
), ta suy ra
E(|X(t) −ξ|
4

) ≤ 16{

C + (b − a)
2
}C
2
(t − a)

t
a
[1 + E(|X(t)|
4
)]ds.
(1.18)
Hơn nữa, từ (1.15) và bất đẳng thức e
x
− 1 ≤ xe
x
với x ≥ 0, ta có

t
a
E(|X(t)|
4
)ds ≤ {27E(ξ
4
) + C
1
(b − a)}


t
a
e
C
1
(s−a)
ds
= {27E(ξ
4
) + C
1
(b − a)}
1
C
1
[e
C
1
(t−a)
− 1]
≤ {27E(ξ
4
) + C
1
(b − a)}(t − a)e
C
1
(t−a)
.
Thay (1.19) vào (1.18), ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh (1.16).

23