Hoành độ cong bán kính cong tâm cong của đường cong trong mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 56 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======
NGUYỄN LÊ NGÂN
HOÀNH ĐỘ CONG – BÁN KÍNH CONG –
TÂM CONG CỦA ĐƢỜNG CONG TRONG
MẶT PHẲNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành c ca thy cô trong t Hình hc,
các thy cô trong khoa Toán i hm Hà Nc tip
ch bo trong sut thi gian em theo hc ti khoa và trong thi gian
làm khóa lun.
c bit em xin bày t lòng bic t Kim Thúy
gii hm Hà Ni trc tip
ng dn em luôn tn tâm ch bng cho em trong sut quá
trình làm khóa lu c kt qu
Mc dù gng rt nhiu xong thi gian và kinh nghim bn thân
còn nhiu hn ch nên khóa lun không th thiu khi nhiu thiu sót rt
mong s a các thy cô giáo và các b khóa lun ca
c hoàn thin.
Em xin chân thành c
Hà Ni, ngày tháng
SINH VIÊN
Nguyễn Lê Ngân
LỜI CAM ĐOAN
Khóa lun này là nhng nghiên cu ci s ng dn tn tình
ca t Kim Thúy gii hm
Hà Ni 2 cùng vi s c gng ca bn thân em. Bên cc s
quan tâm, tu kin ca các thy, cô trong khoa Toán -
Ni 2. Trong quá trình nghiên cu khóa lun em có tham kho mt s tài liu
ca các nhà Toán hc.
Vì vy, em xin khnh n tài“Hoành độ cong- Bán kính
cong - Tâm cong của đƣờng cong trong mặt phẳng” không có s trùng lp
v tài khác.
Hà N
Sinh viên
Nguyễn Lê Ngân
MỤC LỤC
M U 1
NI DUNG 2
n thn v ng cong trong mt phng 2
1.1. Cung tham s hóa 2
2
1.1.2. Kho sát mt cung tham s hóa 3
ng cong trong t cc 10
1.2.1.To cc 10
1.2.2 Biu din mng cong trong t cc 11
1.2.3 Kho sát mng cong trong t cc 13
1.3. Bài t ngh 16
cong - Bán kính cong - Tâm cong cng thng trong
mt phng 22
cong 22
22
2.1.2 Biu din tham s cong 24
2.2 Bán kính cong 27
2.3 Tâm cong 35
2.4 Bài t ngh 37
KT LUN 51
TÀI LIU THAM KHO 52
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 1 K36 CN – Toán
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Toán hc có vai trò quan tri sng thc t
nghiên cu khoa hc. Toán h, là nn t nghiên cu các môn
hc khoa hc khác.
Trong quá trình hc tc nghiên cu v chuyên ngành Hình
hc, mt b môn quan tri khó tc
ph thông. Vi mong muc nghiên cu sâu v Hình hc và tìm hiu sâu
a v ng cong trong mt phng nh cong, bán kính
n “Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong
của đƣờng cong trong mặt phẳng” tài khoá lun.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cu v cong bán kính cong tâm cong cng
cong trong mt phng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Kin thc v ng cong mt ph cong, bán kính cong,
tâm cong.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Mt s bài toán v kho ng cong trong mt phng, tính hoành
cong, bán kính cong, tâm cong cng cong trong mt phng.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trình bày lí thuyt v ng cong trong mt phng và mt s
kh cong, bán kính cong, tâm cong.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cu sách giáo giáo trình, sách giáo khoa, sách tham kho và các
tài liu liên quan.
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 2 K36 CN – Toán
NỘI DUNG
Chƣơng I: Kiến thức cơ bản về đƣờng cong trong
mặt phẳng
1.1. Cung tham số hóa
1.1.1. Đại cƣơng
Định nghĩa. Ta gi mi ánh x
2
()
:
t f t
fI
thuc lp
là cung tham s hóa
(thuc lp
).
Ví dụ : Mt chuym là mt cung tham s n s t là
thi gian.
ng h
c gi là vn tc, và
c gi là gia
tc ti thm t cm chuyng.
*Biểu diễn tham số
Định nghĩa 1. Cho
là mt cung tham s hóa. Ta gi b phn
ca
là qu o ca f.
ng
là m ng cong nhn f làm biu din
tham s.
Định nghĩa 2. Cho
là mt cung tham s hóa (thuc lp
).
i tham s (thuc lp
) ca f là mi ánh x
là mt khong ca , sao cho:
2. Biu din tham s chp nhc (thuc lp
) ca f là mi ánh x
t khong , sao cho tn ti mi tham s
(thuc lp
) sao cho .
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 3 K36 CN – Toán
1.1.2. Khảo sát một cung tham số hóa
1)Tiếp tuyến tại một điểm
Định nghĩa 1. Cho
2
()
:
t f t
fI
vi
( ) ( )f t M t
là mt cung tham s hóa thuc
lp
, là qu o ca nó, M(t) là mm c
Ta nói rng M(t) là mm chính quy c khi
.
Nu f thuc lp
, ta nói rng M(t) là mm song chính quy c
khi và ch khi h
c lp tc det
.
Mc gi lm dng.
Nhận xét: Các khái nim v m song chính quy là bt bin
i tham s.
Định nghĩa 2. Ta nói rng mt cung tham s hóa
2
()
:
t f t
fI
vi
( ) ( )f t M t
thuc lp
ng:
ng: song chính quy) khi và
ch khi, vi mi t thuc I, M(t) là mng: song chính
i vi f.
Định nghĩa 3. Cho
2
()
:
t f t
fI
vi
( ) ( )f t M t
là mt cung tham s hóa thuc
lp
o ca f,
u là
.
1)Ta nói rn mt bán tip tuyn ti
(ng:
)
khi và ch
AM
AM
(nu tn ti) có gii hn khi t tin
ng:
ng h a tip tuyn ti
ng:
) vng thng có g ng bi
gii h
2) Ta nói rn mt tip tuyn ti
khi và ch n hai
bán tip tuyn bng nhau i nhau ti
và
ng hp
ng tha tip tuyn là tip tuyn v
ti
.
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 4 K36 CN – Toán
Định lý. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp
o ca
nó. Ti mm chính quy A(t) cn mt tip tuyn và tip tuyn này
ng bi
.
Định nghĩa 4. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp
o ca nó, A(t) là mm chính quy cp tuy nh
ng) ca V tu là
(hoc:
nh bi:
Mệnh đề 1. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp
o
ca nó, (x,y) là các thành phn ca f trong h quy chiu Descartes trc chun
R
ca
:
. Cho M(t) là mm chính
quy cp tuyn vi M(t).
+Nu
, thì T(t) có h t ch
.
)('
)('
tx
ty
+Nu
), thì T(t) song song vi (y’y).
2)Dáng điệu của đường cong tại lân cận một điểm
Mệnh đề 2. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp
o
ca nó, M(t) là mm chính quy cng th
i
i
, tc là
ti lân cn ca
vi
và t gn
m hoàn toàn v i vi D,
vi
và t gn
m hoàn toàn v i vi D.
M(t)
A
M(t)
M(t)
A
A
M(t)
A
M(t)
A
M(t)
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 5 K36 CN – Toán
Mệnh đề 3. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp
o
ca nó, M(t) là mm song chính quy ci lân cc na mt
phng gii hn bi tip tuyn vi M(t) nm v phía ca
.Ta nói rng
ng
.
Mệnh đề 4. Cho
là mt cung tham s hóa thuc lp thích h
qu o ca nó, , ta kí hiu:
p là s nguyên nh nht lc bng 1 sao cho
q là s nguyên nh nht l
c lp.
(ta gi thiu tn ti)
Trong lân cn cn l ca
p và q:
D
M(t
0
)
M(t)
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 6 K36 CN – Toán
3)Lược đồ khảo sát một cung tham số hóa
ng cong có biu din tham s
,
a)Khảo sát về x, y
1)Tìm minh ca x và y, trong thng khong hp ca
nhng khong.
2)Tìm nhng tính chi xng có th có cng vic kha sát các phép
bii tham s loi
nh mt (hoc
nhiu) khong cn khi vi x, y.
3)Kho sát ti cn ca các kho
4)Kho hàm cm làm triu ca
.
M(t)
M(t)
M(t)
p chn, q l
p l, q chn
m lùi loi 2
ng
p l, q l
m un
M(t)
p chn, q chn
m lùi loi 1
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 7 K36 CN – Toán
5)Lp bng bin thiên g ghi li các kt qu trên
b)Khảo sát Γ
nh các nhánh vô tn và th loi ca chúng.
m không chính quy, loi cu cng
cong ti lân cm y.
m bi và các tip tuyn tm này.
4)Khm d.
5)Khm un, nu ng cnh cho phép.
6)V
4)Ví dụ về cách vẽ cung tham số hóa
1. Đƣờng lemniscat Bernoulli
Cho Γ ng cong lemniscat Bernoulli có biu din tham s
.
4
1
3
4
1
t
x
t
t
y
t
*) Kho sát v x, y.
Minh:
x
và
y
u l; vy ta s cho t bin thiên trong
[0; )
, ri thc hin phép
i xng qua O.
Ta có,
11
[0; ): ( ), ( )t x y t y x t
tt
; ta s cho t bin thiên trong
0;1
, ri thc hii xng phân giác th nht.
x và y kh vi trên minh và:
4
44
44
42
13
'( )
(1 )
0;1 ;
(3 )
'( )
(1 )
t
xt
t
t
tt
yt
t
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 8 K36 CN – Toán
4
4
24
4
1
'( ) 0 1 3 0 0;1
3
0 0;1
'( ) 0 (3 ) 0
3 0;1
x t t t
t
y t t t
t
T ng bin thiên ca x, y
4 4 4 4
1 3 1 3
0.570; 0.329;
3 4 3 3 4 3 3
(0) 0; (0) 0;
xy
xy
2. Đƣờng strophoit phẳng
Cho Γ ng cong strophoit phng có biu din tham s
2
2
2
2
1
1
.
1
1
t
x
t
t
yt
t
*)Kho sát v x, y.
Minh:
x chn và y l; vy ta s cho t bin thiên trong
[0; )
, ri thc hin phép
i xng qua x’x.
t
0
4
1
3
1
x’
1 + 0
1
2
x
0.570
0
1
2
y
1
2
0.329
0
y’
0 + 0 +
1
2
1
2
1
2
y
x
O
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 9 K36 CN – Toán
x và y u kh vi trên
[0; )
và:
22
24
22
4
'( )
(1 )
0, ,
14
'( )
(1 )
t
xt
t
t
tt
yt
t
24
'( ) 0 0.
'( ) 0 1 4 0 5 2.
x t t
y t t t t
và
( ) 1 và y(t) -
tt
xt
T ng bin thiên ca x và y:
51
( 5 2) 0,618
2
x
;
51
y( 5 2) 5 2 0,300
2
t
0
52
x’
0 - -
x
1
0,618
-1
y
0,300
0
y’
1 + 0 -
y(t)
t
nên Γ có mt nhánh
vô tn khi t tin
hoc
.
[0; )
, Γ nhng thng có
1x
là ng tim cn.
Ta có O m kép ca Γ, ng
vi
1t
và t = 1, ti các tip tuyn
vi Γ ti O ng phân giác, vì
'(1)
1.
'(1)
y
x
-1
O
y
1
x
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 10 K36 CN – Toán
1.2 Đƣờng cong trong tọa độ cực
1.2.1.Toạ độ cực
Vi m m M có t t
và
(Nu MO).
Ta nói rng là bán kính cc ca M và là góc cc ca M.
Ta có:
,
và
.
Nu , thì
và
. Thay cho
cp
a mãn các h thc:
. Ta nói rng mt cp
thuc
là mt h t cc ca M(x,y) khi và ch khi:
hiu . (Chú ý có th nh c bng ).
y mm M thuc
nhn làm h t cng
và nhng
là góc cc ca M và
OM
c li, vi mi
thuc
, tn ti mm M duy nht ca
nhn
làm h t cc.
Vi , ta kí hiu
,
n hóa có góc cc , và
.
y, (
là m trc chun thun ca
.
Đổi trục cực
Gi s , R quy chiu trc chun suy t R bng phép quay tâm
O và góc quay .
0
y
y
x
x
M
1
O
x
y
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 11 K36 CN – Toán
Vi mi M thuc
, nu
là mt h t cc ca M trong R, thì
h t cc ca M trong R
, theo h thi vi góc.
1.2.2 Biểu diễn một đƣờng cong trong tọa độ cực
Gi s
vi M(t) = f(t) là mt cung tham s hóa thuc lp
là qu o ca nó. Ta gi thit: .
Ta kí hiu (x(t),y(t)) là t ca M(t) trong . Ánh x nh
i :
22
( ) ( )
, ( )
( ( )) ( ( ))
x t iy t
t I g t
x t y t
thuc lp
, trên I. Tn ti mt
ánh x trên thuc lp
sao cho:
có:
.
Vy là góc cc ca M(t).
Ta kí hiu J=
(là mt khong ca ), và gi thit .
Vy là mt
- vi phôi, tc là mt phép bii tham s, vì th
là mt biu din tham s thuc lp
chp nhc cng cong C khi
c biu din bi thuc lp
. Ta nói r
nh c . Trong h thc , có th nh
hoc bng 0.
O
y
x
M
X
Y
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 12 K36 CN – Toán
Đƣờng thẳng trong tọa độ cực
c ca m ng
th,
là góc cc ca D.
c ca n ng
th,
là góc cc ca n ng
thng D.
3) Gi s D
, là m ng thng
u
, ta có:
0 ( cos sin ) 0
1
cos sin
ax by c a b c
ab
cc
c li, vi mi
thuc
c
1
cos sin
biu di ng th
.
Phƣơng trình đƣờng tròn trong tọa độ cực
1) ng tròn tâm O, bán kính R
(R>0) nhc
c li, vi mi a thuc
*
trình cc biu di ng tròn
tâm O và bán kính
x
y
O
D
x
D
y
O
y
O
x
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 13 K36 CN – Toán
2) a nó có dng:
. Ta có:
Vì tn ti sao cho
, nên cui cùng C nhn
c:
-2a, .
c lc biu ding tròn có
Các đƣờng cônic có tiêu điểm tại gốc tọa độ
ng conic C vng chun liên kt D, tâm sai e, có
c là:
1 cos
p
e
( , ), , , .
2
d d O D p de i D
1.2.3 Khảo sát một đƣờng cong trong tọa độ cực
1)
Kh
ảo sát một đường cong xác định bởi một phương trình cực trong lân cận
một điểm
ng cong nhn mc
thuc lp thích hp.
a)Khảo sát tại điểm O
Gi thit tn ti sao cho
và liên tc ti (và rng là
mm cô lp ca ).
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 14 K36 CN – Toán
n hóa
ng (OM), có
gii hn là
khi tin ti ; vng th
cc làm tip tuyn ti O.
b)Khảo sát tại một điểm khác O
Ta có:
, suy ra, nu thuc lp C
1
:
'
dM
uv
d
. Vì , nên ta có
0
dM
d
, vy M( là
mm chính quy cn mt tip tuyn ti M(, tip tuyc
i
dM
d
.
Ta kí hiu T( là tip tuyn ti M( v
(( ), ( ))OM T
[
V
Y
x
O
x
y
M
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 15 K36 CN – Toán
Nu
thì
tan .
'
V
Nu
thì:
.
2
V
Kí hiu (hoc nh bi:
,.i OM
Nh h thc:
,,i OM OM T V
.
Vy ta có các công thc:
tan
'
V
, .
2) Lược đồ khảo sát một đường cong cho bởi phương trình cực
c .
a)Khảo sát
nh minh ca.
i xng có th cng cách tìm các chu k, phn chu k,
các công thc có cha
,
(c nh phi tìm).
3) Các giá tr ca làm trit tiêu, du ca, gii hn ca ti các lân cn ca
các khong.
4)Kho sát (không bt buc) s bin thiên ca
5)Bng ghi li các kt qu
b) Khảo sát Γ
1)Gc O có thunh mt hay các tip tuyn vi
O.
2)Kho sát các nhánh vô tn.
m bi.
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 16 K36 CN – Toán
4) Kho sát (không bt buc) v m un.
5)V .
3) Ví dụ về cách vẽ đường cong trong toạ độ cực:
1) Đƣờng hình tim Γ:
(1 os ).ac
.
là
2
- tun hoàn; ta c toàn b ng cong bàng cách cho
bin
thiên trong mt khong có dài
2
.
chn; ta s cho
bin thiên trong
[0; ]
, ri thc hin phép i xng
qua x’x.
0
, và vi mi
thuc
[0; ]
,
0
.
kh vi trên
[0; ]
và:
0; , ' asin .
0
'
0 - 0
2a
0
1.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho C là mng tròn, O là tâm ca nó. Mm P chy trên C;
ng vuông góc ti O vi (OP) ng thng (AP) ct nhau ti mm
c kí hiu là Mnh qu m M khi P vch trên C (tr A).
y
a
O
x
2a
O
P
A
M
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 17 K36 CN – Toán
Hướng dẫn giải:
Ta chn h quy chiu trc chun
;,A i j
sao cho khi kí hiu R( R > 0) là
bán kính ca C, thì O s có t (- R,0). Kí hiu t là h s góc ca (AP) và
(X,Y) là t ca P.
Ta có:
22
20
Y tX
X Y RX
, suy ra:
2
2
2
1
.
2
1
R
X
t
Rt
Y
t
Vy:
2
2
22
12
, / / 1 ,2
11
t Rt
OP R t t
tt
và m
cng vuông góc ti O vi (OP):
2
1 2 0.t x R ty
Ta có t (x, y) ca M bng cách gii h
2
2
2
2
2
1
1
.
1 2 0
1
1
t
xR
y tx
t
t x R ty
t
y Rt
t
Qu tích ph ng strophoit phng có biu din tham s là :
2
2
2
2
1
1
.
1
1
t
xR
t
t
y Rt
t
O
-R
P
A
C
M
y
x
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 18 K36 CN – Toán
Bài tập 2: Cho C là mng tròn, O là tâm ca nó,
AC
, M là mm
chy khp C.
nh qu tích trc tâm ca tam giác OAM.
Hướng dẫn lời giải:
Ta chn mt h quy chiu trc chun
;,O i j
sao cho
( ,0)AR
R > 0 là bán kính ca C.
T ca M là
Có (OH) ng phân giác ca
AOM
và
/ / 'MH y y
, ta suy ra t
ca H:
( cos , os tan ).
2
R Rc
Khi kí hiu
tan
2
t
suy ra
2
2
1
cos
1
t
t
t
, ta có qu tích phi tìm là
strophoit thng có biu din tham s là:
22
22
11
,.
11
tt
x R y Rt
tt
O
A
H
M
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 19 K36 CN – Toán
Bài tập 3: Xác nh qu tích ca các chân ng pháp tuyn h t O n các
tip tuyn ca hypebol vuông C có phng trình
1.xy
Hướng dẫn giải:
H
O
A
M
C
y
x
-R
R
2
y
x
O
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 20 K36 CN – Toán
Ta có
0, 0xy
suy ra ta có th vit
1
y
x
.
Cho im
1
,Mt
t
là im chy ca C, suy ra phng trình tip tuyn T
ti M là:
22
1 1 1 2
.y x t y x
t t t t
Kí hiu
( , )H x y
là hình chiu vuông góc ca O lên T. Phng trình
ng thng (OH) là
2
0t x y
Ta có qu tích cn tìm tha mãn:
2
4
3
2
4
2
0
()
1
.
12
2
1
t
x
t x y
OH T
t
HT
t
yx
y
tt
t
Tr li: Qu tích phi tìm là ng lemniscat có biu din tham s:
3
44
22
;.
11
tt
xy
tt
Bài tập 4: V ng cong xác nh trong to cc sau ây:
sin .
3
Hướng dẫn giải:
y
x
O
H
M
T
C
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 21 K36 CN – Toán
là
6
- tun hoàn; ta s cho
bin thiên trong mt khong có dài
6
thu c c ng cong.
l; ta s cho
bin thiên trong
3
0,
2
c ng cong (trc
khi ly i xng)
13
' os , '( ) 0 .
3 3 2
c
Ta có bng bin thiên:
0
3
2
'
+ 0
1
0
3
0 0, 1.
2
Bài tập 5: Mt im P vch ng tròn C tâm O bán kính OA. Xác nh qu
tích các im tip xúc M ca ng tròn ni tip tam giác OAP vi ng tròn
(OP).
Hướng dẫn giải:
Trong h quy chiu trc chun có gm O(0,0).
m A có t m P có t là
)sin,cos(
aaP
, trong
ó
là góc cc ca P, do a M.
Kí hiu U, V là các hình chiu trc giao ca tâm ng tròn ni tip th
t lên (OA) và (AP), ta có:
,OM MP a
2 sin ,
2
PV VA a
,,OU UA a AV AU PM PV
suy ra:
1 sin .
2
OM a
Vy qu tích ca M có phng trình cc:
1 sin
2
a
trong ó
.
1
-1
y
C
1
2
x
O
