Đề thi tuyển sinh năm học 1999 2000
Bài 1 : Cho biểu thức A =
x24
4x4x
2

+
1/ Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
2/ Rút gọn A.
3/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999
Bài 2 : Giải hệ phơng trình :







=

+
=


5
2y
3
x
4
1
2y

1
x
1
Bài 3 : Tìm giá trị của a để phơng trình : (a
2
2a 3)x
2
+ (a + 2)x 3a
2
= 0 nhận
x = 2 làm nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình?
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với A
và B. Đờng tròn (O) đờng kính BD cắt BC tại E. Đờng thẳng AE cắt (O) tại G. Đờng thẳng
CD cắt (O) tại F. Gọi S là giao điểm của đờng thẳng AC và BF. Chứng minh :
1/ Đờng thẳng AC song song với đờng thẳng FG.
2/ SA.SC = SB.SF
3/ Tia ES là phân giác của góc AEF.
Bài 5 : Giải phơng trình :
361x12xx
2
=+++
Dớng dẫn
Bài 1 : 1/ Đk : x

2. 2/
=
A
-1/2 nếu x > 2 hoặc A = 1/2 nếu x < 2. 3/ A = 1/2.
Bài 2 : nghiệm của hpt là (x = 7/3; y = 25/9)
Bài 3 : a = 3 +

17
, a = 3 -
17
- Với a = 3 +
17
ta có pt : 17x
2
+ (5 +
17
)x 78 - 6
17
= 0. Khi đó x
2
=
17
1739 +

- Với a = 3 -
17
ta có pt : 17x
2
+ (5 -
17
)x 78 + 6
17
= 0. Khi đó x
2
=
17
1739


Bài 4 :
1/ Có tứ giác DEGF nt (O)


ã
DFG
+
ã
DEG
= 180
0
Lại có
ã
DEA
+
ã
DEG
= 180
0


ã
DFG
=
ã
DEA
Mặt khác tứ giác ACED nt



ã
ACD
=
ã
DEA


ã
ACD
=
ã
DFG
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // FG
2/

SFC ~

SAB (g.g)

SB
SC
SA
SF
=


SF.SB = SA.SC
3/ Có tứ giác AEBS nt

ã

AES
=
ã
ABS
,
ã
SEF
=
ã
ABS


ã
AES
=
ã
SEF

đpcm.
Bài 5 : Đk : x

-1. Đặt
1x +
= t (t

0)

x + 1 = t
2



x = t
2
1, khi đó ta có pt :
t
4
t
2
+12t 36 = 0

(t 2)(t + 3)(t
2
t + 6) = 0

t = 2, t = -3 (loại).

x = 3
Vậy n
0
của pt là x = 3
Đề thi tuyển sinh năm học 2001 2002
D
E
O
B
A
C
G
F
S

Bài 1 : Rút gọn biểu thức : M =
a1
1
.a
a1
aa1
+








+


với a
1a;0
Bài 2 : Tìm 2 số x và y thoả mãn điều kiện :



=
=+
12xy
25yx
22
Bài 3 : Hai ngời cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi ngời

làm riêng để hoàn thành công việc ngời thứ nhất làm ít hơn ngời thứ hai 6 giờ. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi ngời sẽ làm trong bao lâu thì hoàn thành công việc.
Bài 4 : Cho các hàm số : y = x
2
(P) và y = 3x + m
2
(d)
1/ Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2/ Gọi y
1
và y
2
là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức :
y
1
+ y
2
= 11y
1
y
2
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm M (khác A và C). Vẽ (O) đờng
kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với (O). Nối BM kéo dài cắt (O) tại D, đ-
ờng thẳng AD cắt đờng tròn tại S. Chứng minh :
1/Tứ giác ABTM nội tiếp một đờng tròn.
2/ Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi.
3/ Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST
Dớng dẫn
Bài 1 : M =
a1 +

Bài 2 : Nghiệm của hpt là : (x = 3; y = 4), (x = 4; y = 3), (x = -3; y = -4), (x = -4; y = -3)
Bài 3 : PT :
4
1
6x
1
x
1
=
+
+
. Ngời thứ nhất 6h. Ngời thứ hai 12h.
Bài 4 : Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là n
0
của pt : x
2
= 3x + m

x
2
- 3x m
2
= 0
(1)
1/ Có

= (-3)
2
4.1.(-m
2

) = 9 + 4m
2
Vì m
2


0 với mọi m nên 4m
2


0 với mọi m.

9 + 4m
2
> 0 với mọi m hay

> 0 với
mọi m

(1) luôn có 2 n
0
p/b với mọi m

(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b với mọi m.
2/ Gọi x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì y
1

= 3x
1
+ m
2
, y
2
= 3x
2
+ m
2

và x
1
, x
2
là
n
0
của (1). Theo Vi et có : x
1
+ x
2
= 3 và x
1
x
2
= -m
2
.
Khi đó để y

1
+ y
2
= 11y
1
y
2
thì 3x
1
+ m
2
+ 3x
2
+ m
2
= 11(3x
1
+ m
2
)(3x
2
+ m
2
)

3(x
1
+ x
2
) + 2m

2
= 11[9x
1
x
2
+ 3m
2
(x
1
+ x
2
) + m
4
]

3.3 + 2m
2
= 11[9(-m
2
) + 3m
2
.3 + m
4
]

9 + 2m
2
+ 99m
2
99m

2
11m
4
= 0

11m
4
- 2 m
2
9 = 0 (*)
Giải (*) ta đợc m = 1, m = -1, m =
11
3
, m = -
11
3
.
Bài 5 : 1/ Có
ã
BAM
+
ã
BTM
= 180
0

tứ giác ABTM nt
M
D
S

T
O
C
A
B
2/ Có
ã
SDM
=
ã
TCM
hay
ã
ADM
=
ã
ACB
.
Mà
ã
ACB
có sđ không đổi nên
ã
ADM
không đổi khi M di chuyển trên AC.
3/ Có
ã
SDM
=
ã

TCM
,
ã
SDM
=
ã
SCM



ã
TCM
=
ã
SCM

MT = MS



MTS cân tại M

p/g MC đồng thời là đờng cao

MC

ST

ST // AB.
Đề thi tuyển sinh năm học 2002 2003

Bài 1 : Cho biểu thức : S =
yx
xy2
:
xyy
y
xyx
x










+
+
với x > 0, y > 0 và x

y
1/ Rút gọn S.
2/ Tìm giá trị của x và y để S = 1.
Bài 2 : Trên Parabol y =
2
1
x
2

lấy 2 điểmA và B, biết hoành độ của A là x
A
= -2 và tung độ
của B là y
B
= 8. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Bài 3 : Xác định giá trị của m để phơng trình x
2
8x + m = 0 có nghiệm là 4 +
3
. Với
giá trị m vừa tìm đợc phơng trình còn một nghiệm nữa, hãy tìm nghiệm ấy.
Bài 4 : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD và AB < CD) nội tiếp (O). Tiếp tuyến với (O)
tại A và tại D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD.
1/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp một đờng tròn.
2/ Chứng minh các đờng thẳng EI // AB.
3/ Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC tại R và S. Chứng minh rằng :
a. I là trung điểm của RS. b.
RS
2
CD
1
AB
1
=+
.
Bài 5 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) nghiệm đúng phơng trình :
(16x
4
+ 1)(y

4
+ 1) = 16x
2
y
2
.
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ S =
y
1
. 2/ S = 1 khi x > 0, x

1 và y = 1.
Bài 2 : x
A
= -2

y
A
= 2, y
B
= 8

x
B
=

4. Khi đó pt đt AB là : y = x + 4; y = -3x 4.
Bài 3 : m = 13, x
2

= 4 -
3
Bài 4 :
1/ Có :
ã
AED
= 1/2(sđ
ẳ
ABD
- sđ
ằ
AD
)

ã
AID
= 1/2 (sđ
ằ
AD
+ sđ
ằ
BC
)
Lại có : AD = BC

sđ
ằ
AD
= sđ
ằ

BC

ã
AED
+
ã
AID
= 1/2(sđ
ẳ
ABD
- sđ
ằ
AD
) + 1/2(sđ
ằ
AD
+
sđ
ằ
BC
) = 1/2.360
0
= 180
0
.

Tứ giác AEDI nt.
2/ Có
ã
AIE

=
ã
ADE
,
ã
BAC
=

ADE


AIE =

BAC

AB // EI.
3.a/ Có

ACD =

BDC


ICD cân tại I.

IC = ID.


SIC =


IDC,

RID =

IDC



SIC =

RID.


RDI =

SCI (g.c.g)

RI = SI.
b/ Có
DC
RI
AC
AI
=
,
AB
SI
CA
CI
=

(hệ quả định lí Talet)

1
AC
AC
AC
ICAI
CD
RI
AB
SI
==
+
=+
Mà SI = RI =
2
1
RS


RS
2
CD
1
AB
1
=+
Bài 5 : (16x
4
+ 1)(y

4
+ 1) = 16x
2
y
2


16x
4
y
4
+ 16x
4
+ y
4
+ 1 16x
2
y
2
= 0.

(16x
4
y
4
- 8 x
2
y
2
+ 1) + (16x

4
- 8 x
2
y
2
+ y
4
) = 0

(x
2
y
2
1)
2
+ (4x
2
y
2
)
2
= 0





=
=


0yx4
01yx
22
22








=
=
1y
2
1
x
,





=
=
1y
2
1
x

,





=
=
1y
2
1
x
,





=
=
1y
2
1
x
Đề thi tuyển sinh năm học 2003 2004
I
R
O
C
E

D
A
B
S
Bài 1 : Giải hệ phơng trình :







=
+
+
=
+
+
7,1
yx
1
x
3
2
yx
5
x
2
Bài 2 : Cho biểu thức P =
xx

x
1x
1

+
+
với x > 0 và x

1.
1/ Rút gọn P. 2/ Tính giá trị của P khi x =
2
1
Bài 3 : Cho đờng thẳng (d) : y = ax + b. Biết đờng thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng 1 và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003.
1/ Tìm a và b.
2/ Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và parabol (P) : y =
2
1

x
2
.
Bài 4 : Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với (O)
(P và Q là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M.
1/ Chứng minh rằng MO = MA
2/ Lấy N trên cung lớn PQ của (O) sao cho tiếp tuyến tại N của (O) cắt các tia AP,
AQ lần lợt tại B và C. Chứng minh :
a/ AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí của N.
b/ Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đờng tròn thì PQ // BC.
Bài 5 : Giải phơng trình

3x2x3x2x3x2x
22
+++=++
Hớng dẫn
Bài 1 : Nghiệm của hpt là : (x = 2; y = 3)
Bài 2 : 1/ P =
1x
1x

+

. 2/ Với x =
2
1
thì P = (1 +
2
)
2
.
Bài 3 : 1/ a = -2, b = 2. 2/ Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là : (2; -2).
Bài 4 :
1/ Có OM//AP



AOM =

OAP,

OAQ =


OAP


AOM =

OAQ


MAO cân tại M

MO =MA
2/ Có BP = BN, CQ = CN, AP = AQ (T/c 2 tt cắt nhau)

AB + AC BC = AP + PB + AQ + QC BN CN
= AP + AQ = 2AP = const.
3/ Có tứ giác BCQP nt


PBC +

PQC = 180
0
Lại có

AQP +

PQC = 180
0



PBC =

AQP
C
O
Q
B
P
A
M
N
Mà

AQP =

APQ nên

APQ =

PBC

PQ // BC.
Bài 5 :
3x2x3x2x3x2x
22
+++=++
(đk : x

3)


03x)2x)(1x(2x)3x)(1x( =+++++

0)11x(2x)11x(3x =+++

0)2x3x)(11x( =++






=+
=+
02x3x
011x





+=
==
1x3x
0x11x
Vậy PTVN.
Đề thi tuyển sinh nămhọc 2004 2005
Bài 1 : 1/ Đơn giản biểu thức P =
56145614 ++
2/ Chobiểu thức Q =

x
1x
.
x
2x
1x2x
2x +











++
+
với x > 0 và x

1
a/ Chứng minh Q =
1x
2

b/ Tìm số nguyên x lớn nhất để Q nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2 : Cho hệ phơng trình




=+
=++
a2yax
4yx)1a(
(a là tham số)
1/ Giải hpt khi a = 1.
2/ CMR với mọi a hpt luôn vó nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x + y

2.
Bài 3 : Cho (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (O) tại A. M và Q là 2
điểmphân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đờng thẳng BM và
BQ lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ 2 là N và P. Chứng minh :
1/ BM.BN không đổi.
2/ Tứ giác MNPQ nội tiếp một đờng tròn.
3/ Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R.
Bài 4 : Tìm GTNN của hàm số : y =
5x2x
6x2x
2
2
++
++
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ P = 6. 2.b/ Để Q

Z thì x 1

Ư

(2)
. Để x lớn nhất thì x 1 = 2

x = 3.
Bài 2 : 1/ Với a = 1 hpt có n
o
là (x = 2; y = 0)
2/ Giải hpt ta tìm đợc n
o
cua hpt (x = -2a + 4; y = 2a
2
2a)
Xét x + y 2 = -2a + 4 + 2a
2
2a 2 = 2a
2
4a + 2 = 2(a
2
2a + 1) = 2(a + 1)
2


2

x + y

2.
Bài 3 :
1/


ABN ~

MBA (g.g)

AB
BN
BM
AB
=

BM.BN = AB
2
= 4R
2
= const.
2/ Có

MQP =
2
1
(sđ AB sđ ANP) =
2
1
sđ BP


PNB =
2
1
sđ BP



MQP =

PNB
Lại có

PNB+

PNM =180
0


MQP+

PNM =180
0

Tứ giác MNPQ nt
3/ A/d bđt Cô-si có :
BM + BN

2
BN.BM
= 2
2
R4
=4R. Dấu = xảy ra khi BM = MN

M


N. Trái GT

BM + BN > 4R. MTT đợc BP + BQ > 4R

BM + BN + BP + BQ > 8R.
Bài 4 : Xét y
2
=
5x2x
)6x2x(
2
22
++
++

Có x
2
+ 2x + 5 = (x + 1)
2
+ 4

4, (x + 1)
2
+ 5

5

[(x + 1)
2

+ 5]
2


25
Khi (x + 1)
2
+ 4 thêm bao nhiêu thì (x + 1)
2
+ 5 cũng tăng lên bấy nhiêu.

y
2



4
25


y


2
5
. Vậy GTNN của y là
2
5
khi x = -1.
Đề thi tuyển sinh nămhọc 2005 2006

Bài 1 : 1/ Tính giá trị của biểu thức P =
347347 ++
.
2/ Chứng minh :
( )
ba
ab
abba
.
ba
ab4ba
2
=

+
+
với a > 0 và b > 0.
Bài 2 : Cho pa rabol (P) : y =
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) : y = mx m + 2 (m là tham số)
1/ Tìm m để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4.
2/ Chứng minh rằng với mọi ggiá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3/ Giả sử (x
1
; y
1
) và (x

2
; y
2
) là toạ độ giao điểm của (d) và (P). Chứng minh rằng :
y
1
+ y
2



( )
( )
21
xx122 +
Bài 3 : Cho BC là dây cung cố định của (O; R) với R < BC < 2R. A là điểm di động trên
cung lớn BC sao cho

ABC nhọn. Các đờng cao AD, BE, CF của

ABC cắt nhau tại H (H

BC, E

CA, F

AB).
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc một đờng tròn. Từ đó suy ra
AE.AC = AF.AB
2/ Gọi A là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2AO.

3/ Kẻ đờng thẳng (d) tiếp xúc với (O) tại A. Đặt S là diện tích của

ABC, 2p là chu vi
của

DEF.
a. Chứng minh : d // EF.
b. Chứng minh : S = p.R
Bài 4 : Giải phơng trình :
x244x2216x9
2
++=+
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ P = 4.
Bài 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là n
o
của pt :
d
P
N
O
A
B
M
Q
2
1
x
2
= mx m + 2


x
2
2mx + 2m 4 = 0 (1)
1/ Để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 thì : 4
2
2m.4 + 2m - 4 = 0

m = 3/2
2/ Xét (1) có

= (-m)
2
1.(2m 4) = m
2
2m + 4 = (m + 1)
2
+ 3 > 0 với mọi m

(1) luôn có 2 n
o
p/b với mọi m

(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b.
3/ Vì x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm cuả (d) và (P) nên x
1

, x
2
là n
o
của (1).
Theo Vi-et có :x
1
+ x
2
= 2m.
Có y
1
= mx
1
m + 2, y
2
= mx
2
m + 2.
Khi đó : y
1
+ y
2



( )
( )
21
xx122 +

đợc viết lại :
m(x
1
+ x
2
) 2m + 4


( )
( )
21
xx122 +

m(x
1
+ x
2
) 2m + 4


( )
( )
21
xx122 +

m.2m 2m + 4 -
( )
m2122

0


2m
2
2m + 4 - 4
2
m + 2m

0

2m
2
+ 4 - 4
2
m

0

2(m -
2
)
2


0 với mọi m.
Vậy y
1
+ y
2




( )
( )
21
xx122 +
Bài 4 :
d
H
O
C
B
A
D
E
F
K
A '
1/ Tứ giác BCEF có

BEC =

BFC = 90
0


Tứ giác BCEF nt (tứ giác có 2 đỉnh liên )
Có

ACF ~


ABE (g.g)

AE
AF
AB
AC
=


AC.AE = AB.AF
2/ Kẻ đk CK của (O).
Có OA là đờng trung bình của

KBC

OA = 1/2BK
Chứng minh tứ giác AKBH là hbh

BK = AH

AH = 2OA.
3.a/ Có tứ giác BFECnt



BCE +

BFE = 180
0



BFE +

AFE = 180
0


BCE =

AFE
Lại có

BCA =

BAd = 1/2sđ cung AB



AFE =

BAd

d// EF
b/ Vì d là tt của (O) nên d

OA, mà FE // d

FE

OA

CMTT ta đợc : FD

OB, ED

OC
S
ABC
= S
AEOF
+ S
BDOF
+ S
CEOD
=
2
1
OA.FE +
2
1
OB.DF +
2
1
OC.DE =
2
1
R(FE + DF + DE)
=
2
1
R.2p = p.R

Bài 4 :
x244x2216x9
2
++=+
(đk : -2

x

2)

9x
2
+ 16 = 4(2x + 4) + 16(2 - x) + 16
)x2)(4x2( +

9x
2
+ 16 8x 16 32 + 16x = 16
)x2)(4x2( +

9x
2
+ 8x 32 = 16
)x2)(4x2( +

81x
4
+ 64x
2
+ 1024 + 144x

3
572x
2
512x = 256(4x 2x
2
+8 4x)

81x
4
+ 144x
3
512x
2
512x + 1024 + 512x
2
2048 = 0

81x
4
+ 144x
3
512x 1024 = 0

(9x
2
32)(9x
2
+ 32) + 16x(9x
2
32) = 0


(9x
2
32)(9x
2
+ 16x + 32) = 0





=++
=
)2(032x16x9
)1(032x9
2
2
Giải (1) ta đợc x =

3
24
Giải (2) : PT (2) VN
Đề thi tuyển sinh năm 2006 2007
Bài 1 : Cho biểu thức A =










+


+








2x
1x
1x
2x
:
1x
1
x
1

với x > 0, x

1, x

4.

1/ Rút gọn A.
2/ Tìm x để A = 0.
Bài 2 : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho parabol (P) : y = x
2
và đờng thẳng (d) :
y = 2(a 1)x + 5 2a (a là tham số).
1/ Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P).
2/ Chứng minh rằng với mọi a (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3/ Gọi hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x
1
, x
2
. Tìm a để x
1
2
+ x
2
2
= 6.
Bài 3 : Cho (O) đờng kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc
với AB tai I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (M khác M, N, B) Nối AC cắt MN tại E.
Chứng minh :
1/ Tứ giác IECB nội tiếp.
2/ AM
2
= AE.AC.
3/ AE.AC AI.IB = AI
2
.
Bài 4 : Cho a


4, b

5, c

6 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 90. Chứng minh : a + b + c

16.
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ A =
x3
2x
. 2/ A = 0


x3
2x
= 0


2x
= 0

x = 4 (loại)

Bài 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là n
o
của pt :
x
2

= 2(a 1)x + 5 2a

x
2
2(a 1)x + 2a 5 = 0 (1)
1/ Với a = 2 thì ta có pt : x
2
2x 1 = 0. Giải pt ta đợc x
1
= 1 +
2
, x
2
= 1 -
2
Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là (1 +
2
; 3 +
2
), (1 -
2
; 3 -
2
)

2/ Xét (1) có

= [-(a 1)]
2
1.(2a 5) = a
2
2a + 1 2a +5 = a
2
4a + 4 = (a 2)
2





0 với mọi m

(1) luôn có 2 n
o
p/b

(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b.
3/ Vì x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (d) và (P) nên x
1
, x
2

là n
o
của (1).
Theo Vi-et ta có x
1
+ x
2
= 2(a - 1), x
1
.x
2
= 2a 5
Để x
1
2
+ x
2
2
= 6

( x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
.x
2

= 6 thì
[2(a 1)]
2
2(2a 5) = 6

4a
2
8a + 4 4a + 10
6 = 0

4a
2
12a + 8 = 0

a
2
3a + 2 = 0

a = 1, a = 2.
Bài 3 :
1/ Tứ giác IECB có

EIB +

ECB = 90
0
+ 90
0
= 180
0


Tứ giác IECB nt
A
E
I
O
B
M
N
C
2/ Có AB

MN tại I nên MI = NI

AB là trung trực của MN

AM = AN

sđ cung AM =
sđ cung AN


AMN =

ACM


AME ~

ACM (g.g)



AM
AE
AC
AM
=

AM
2
= AE.AC
3/ Có AM
2
= AI.AB = AI(AI + IB) = AI
2
+ AI.IB

AM
2
AI.IB = AI
2


AE.AC AI.IB = AI
2
.
Bài 4 : Đặt a = x + 4 (x

0), b = y + 5 (y


0), c = z + 6 (z

0), khi đó : a
2
+ b
2
+ c
2
= 90 đợc viết
lại là : (x + 4)
2
+ (y + 5)
2
+ (z + 6)
2
= 90

x
2
+ 8x + 16 + y
2
+ 10y + 25 + z
2
+ 12z + 36 = 90

x
2
+ 8x + y
2
+ 10y + z

2
+ 12z = 13
Có x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2xz + 12x + 12y + 12z

x
2
+ 8x + y
2
+ 10y + z
2
+ 12z = 13

(x + y + z)
2
+ 12(x + y + z)

13
Nếu x + y + y < 1 thì (x + y + z)2 + 12(x + y + z) < 13 (Vô lí)
Nếu x + y + y

1 thì a + b + c = x + y + z + 15

1 + 16 = 16.
Đề thi tuyển sinh năm 2007 2008

Bài 1 : Cho biểu thức P =








+
++








+
3x
4x2x
x.
2x
5
1
với x

0 và x


4
1/ Rút gọn P.
2/ Tìm x để P > 1
Bài 2 : Cho phơng trình x
2
2(m + 1)x + m 4 = 0 (1), (m là tham số).
1/ Giải phơng trình (1) với m = -5.
2/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m.
3/ Tìm m để
21
xx
đạt GTNN (x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2/).
Bài 3 : Cho (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không
đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt
ME, MF với đờng tròn (O), (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB;
các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF vơi các đờng thẳng OM và OH.
1/ Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
2/ Chứng minh : OH.OI = OK.OM
3/ Chứng minh IA, IB là các tiếp tuyến của (O).
Bài 4 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn : x
2

+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 để x +
y là số nguyên.
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ P =
2x
4x


. 2/ P = 1 khi 0

x < 4.
Bài 2 :1/ Khi m = -5, ta có pt x
2
+ 8x - 9 = 0

x
1
= 1, x
2
= -9.
2/ Có


= [-(m + 1)]
2
1.(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m

2
+ m + 5 = (m +
2
1
)
2
+
4
19
>0

PT luôn có 2 n
o
p/b với mọi m.
3/ N
o
của pt là x
1
= m +
5mm
2
++
, x
2
= m -
5mm
2
++
5mmm5mmmxx
22

21
++++++=
=
5mm2
2
++
= 2
5mm
2
++
Có m
2
+ m + 5 = (m +
2
1
)
2
+
4
19



4
19


5mm
2
++



2
19

2
5mm
2
++

19
.
Vậy GTNN của
21
xx
là
19
khi m = -1.
Bài 3 :
K
O
A
M
I
B
E
F
H
1/ 5 điểm M, E, O, H, F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO.
2/


OHM ~

OKI (g.g)

OI
OM
OK
OH
=


OH.OI = OM.OK
3/ Có

MEO ~

EKO (g.g)

OK
OE
OE
MO
=


MO.OK = OE
2
Mà OE = OA nên MO.OK = OA
2



OK
OA
OA
MO
=



MOA ~

AOK (c.g.c)


OMA =

OAK. Mà

OMA =

OIK (cmt)



OAK =

OIK

Tứ giác IAKO nt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp )




OAI =

OKI = 90
0
(2 góc nt cùng chắn cung OI của (IAKO))

OA

IA

IA là tt của (O).
Lại có

OAI =

OBI = 90
0


IB là tt của (O).
Bài 4 : x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 (1)
Cách 1 : Đặt x + y = t (t


Z)

y = t x

y
2
= t
2
2xt + x
2
ta đợc pt :
x
2
+2(t
2
2tx + x
2
) +2x(t x) 5x 5(t x) + 6 = 0.

x
2
+2t
2
4tx + 2x
2
+ 2xt 2x
2
5x 5t + 5x + 6 = 0

x

2
- 2xt + 2t
2
5t + 6 = 0 (*)
Có
'

= (-t)
2
-1.(2t
2
5t + 6) = t
2
2t
2
+ 5t 6 = -t
2
+ 5t 6
Để (1) có n
o
(x; y) thì (*) có n
o
x.
Để (*) có n
o
x thì
'


0 hay -t

2
+ 5t 6

0

t
2
- 5t + 6

0

(t - 3)(t - 2)

0

2

t

3

pt (*) có n
o
x
1, 2
= t

6t5t
2
+

Mà t

Z nên t

{3; 2}.
- Với t = 3 thì x = 3

y = 0.
- Với t = 2 thì x = 2

y = 0.
Vậy với (x = 3; y = 0), (x = 2; y = 0) thì x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số
nguyên.
Cách 2 : x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6

(x + y)
2
5(x + y) + 6 + y
2
= 0,

(x + y 3)(x + y 2) + y

2
= 0.
- Nếu y = 0 thì



=
=
02x
03x






=
=
2x
3x
- Nếu y

0 thì y
2


0, khi đó :
(x + y 3)(x + y 2) + y
2
= 0


(x + y 3)(x + y 2) < 0












<+
>+



>+
<+
02yx
03yx
02yx
03yx













<+
>+



>+
<+
2yx
3yx
2yx
3yx





<+<
líôV
3yx2

Vì x + y

Z nên không có số nguyên nào thoả mãn lớn hơn 2 và nhỏ hơn 3. Do đó không

có cặp số (x; y) nào thoả mãn 2 < x + y < 3.
VËy víi (x = 2; y = 0), (x = 3; y = 0) th× x
2
+ 2y
2
+ 2xy – 5x – 5y = -6 vµ x + y lµ sè
nguyªn.