Một số dạng toán chuyên đề về phép biến hình tổng hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.85 MB, 18 trang )
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
ÔN TẬP PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1. Biểu thức tọa độ của phép dời hình:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ
( , )
v a b
, các điểm:
; , ; ,
M x y M x y
;
M x y
,
0 0
;
I x y
và đường thẳng
: 0
ax by c
.
Tên Định nghĩa Biểu thức tọa độ
Phép tịnh tiến
0
v
T v
v
T M M MM v
v
x x a
M T M
y y b
( )
Phép đối
xứng trục
d
§
Phép đối
xứng trục
d
§
0 0
0
§ ( )
d
M M
M M M M
M d MM
§ ( ) ( )
.
by c
x
a
M M I
ax c
y
b
§ ( )
;
§ ( )
.
Ox
Oy
x x
M M
y y
x x
M M
y y
Phép đối
xứng tâm
I
§
I
M M IM IM
§ ( )
0
0
2
2
O
I
x x
M M
y y
x x x
M M
y y y
§ ( )
§ ( )
Phép quay
,
I
Q
,
I
Q M M
,
IM IM
IM IM
0
0 0
90
0 0
;
( )
.
I
x y y x
M Q M
y x x y
2
0
2
;
( )
tan /
;
tan /
O
y
x
M Q M II
k
y k x
y x
k
x y
Phép đồng
nhất I
I M M
Phép dời hình
F
F M M
M N MN
F N N
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng
nhau.
- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình.
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: 0
ax by c
, điểm
,
M x y
. Gọi
, § ( )
M x y M
. Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
§ ( ) ( )
.
by c
x
a
M M I
ax c
y
b
Chứng minh:
Gọi
0 0 0
sao cho ,
M x y MM MM .
0
0 0
0 0
0
0
2
0
2
ax by c
x
ax by c
a
a x x b y y
by ax c
y
b
Mà
M
là điểm trên đoạn
MM
sao cho
0
M
là trung điểm.
0
0
2
2
.
by c
x
x x x
a
y y y ax c
y
b
Vậy (I ) được chứng minh.
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
,
M x y
và số thực
0
0 90
. Gọi
;
,
O
M x y Q M
. Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay
;O
Q
:
2
trong đó
2
;
tan
( )
tan
,
O
y
y x
x
M Q M k II
k
x y
y k x
Chứng minh:
Gọi
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm
,
M x y
.
+ Khi
0
M
x
có hệ số góc
tan ;
M
M
y y
k Ox
x x
và
: 0
M M
y x x y
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Gọi
: 0
ax by
là đường thẳng thỏa
0 0
, , , 0 ;90
2
Ox
,
có hệ số
góc
tan , tan tan tan
2 2 2
tan ,
2
1 tan , .tan 1 tan tan
2 2 2
y
Ox y x
a
x
k Ox
y
b
Ox x y
x
0
:
0
:
+ Khi
0 : 0 tan , tan
2
M
x Ox y k Ox
.
Gọi
Đ
;
,
O
M x y Q M M M
. Áp dụng bổ đề 1, ta có
by c b
y
x x y
x
a a
k
ax c a
y kx
y y x
b b
*) Trường hợp suy biến: - Nếu
Đ
0
, 0 : 0
Ox
Ox Ox y M M
.
- Nếu
Đ
0
, 90 : 0
Oy
Ox Oy x M M
.
Vậy (II ) được chứng minh.
2. Một số tính chất của phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự
giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
M
O
x
y
M
/ 2
x
O
y
M
/ 2
M
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
- Dùng định nghĩa.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa.
- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh.
- Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết
qua một phép dời hình.
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép
dời hình.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh
, , ,
A B C D
qua
1) Phép tịnh tiến
AB
T
; 2) Phép đối xứng trục
§
AB
;
3) Phép đối xứng tâm
§
O
; 4) Phép quay
0
;90
O
Q
.
Hướng dẫn giải
1)
;
AB AB
T A B T B B BB AB
;
.
AB
AB
T C C CC AB
T B B BB AB
2)
§ ;
AB
AB AB
1 1
1 1
§ ;
§ .
AB
AB
C C BC BC
D D AD AD
A
O
C
D
1
C
B
1
D
A
B
O
C
D
C’
B’
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
3)
§ ;§
O O
A C B D
.
4)
0
2
2
0
;90
2
; 90
O
OA OA
Q A A
OA OA
0
2
2
0
;90
2
; 90
O
OB OB
Q B B
OB OB
0
2
2
0
;90
2
; 90
O
OC OC
Q C C
OC OC
0
2
2
0
;90
2
; 90
O
OD OD
Q D D
OD OD
Bài 2: Cho hai hình vuông
và
ABCD A B C D
( như hình vẽ ) có
AB A B
. Tìm một
phép dời hình biến hình vuông
thành
ABCD A B C D
.
Hướng dẫn giải
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông
ABCD
theo
v AA
( như hình vẽ ) ta được
ảnh của nó là hình vuông
1 1 1
A BC D
.
- Thực hiện quay hình vuông
1 1 1
A BC D
tâm
A
, góc quay
1
;
A D A D
ta được hình
vuông
A B C D
.
Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến
hình vuông
thành
ABCD A B C D
.
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau
và
1 2
O O
. Tìm tất cả các phép dời hình biến
đường tròn này thành đường tròn kia.
A
B
D
C
B
A
C
D
D
A
B
C
A’
B’
C’
D’
1
B
1
C
1
D
2
A
A
B
C
D
O
2
D
2
B
2
C
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Hướng dẫn giải
Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:
- phép tịnh tiến
1 2
O O
T
,
- phép đối xứng tâm
O
Đ
(O là trung điểm của
1 2
OO
),
- phép quay I, với
I
,
- phép đối xứng trục
Đ
.
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm
1
;4 , 3;5
2
M v . Tìm tọa độ điểm
ảnh của M qua các phép dời hình
a)
v
T
; b)
§
Ox
; c)
§
Oy
; d)
§
O
.
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh
của A qua phép quay tâm O góc quay 90
0
.
Hướng dẫn giải
1/ a) Gọi
1 1 1
, , ,
v
M x y M x y T M
.
Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
1
1
1
v
x x a
T M M
y y b
, ta có:
1
1
1 5
3
2 2
4 5 9
x
y
Vậy điểm ảnh của M qua
v
T
là
1
5
;9
2
M .
b) Gọi
2 2 2
, §
Ox
M x y M
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Ox
Đ
:
2
2
2
2
2
1
§
2
4
Ox
x x
x
M M
y y
y
Vậy điểm ảnh của M qua
§
Ox
là
2
1
; 4
2
M .
c) Gọi
3 3 3
, §
Oy
M x y M
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Oy
Đ
:
2
O
1
O
O
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
3
3
3
3
3
1
§
2
4
Oy
x x
x
M M
y y
y
Vậy điểm ảnh của M qua
§
Oy
là
3
1
; 4
2
M .
d) Gọi
4 4 4
, §
O
M x y M
. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
O
Đ
:
4
4
4
4
4
1
§
2
4
O
x x
x
M M
y y
y
Vậy điểm ảnh của M qua
§
O
là
4
1
; 4
2
M .
2/ Cách 1: Gọi
0
;90
O
A Q A
. Gọi
3;0 , 0;4
B C lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên các trục Ox, Oy.
Phép
0
;90
O
Q
biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật
OB A C
.
Ta thấy
0;3 , 4;0
B C
. Vậy điểm ảnh của A qua
0
;90
O
Q
là
4;3
A .
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay
0
0 0
90
0 0
;
( )
.
I
x y y x
M Q M
y x x y
Suy ra
0
;90
4;3 .
O
Q A A
Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ
( 2;3)
v , đường thẳng d có phương trình:
3 5 3 0
x y
. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
v
T
.
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
1;5
M , đường tròn (C) có phương trình
2 2
2 4 4 0
x y x y
, đường thẳng d có phương trình
2 4 0.
x y
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục
: 1 0
x y
.
Hướng dẫn giải
1/ Gọi
, ;
v v
M x y T M d T d
.
Cách 1:
Chọn
1;0 3;3
v
M d T M M d
.
Vì d’//d nên
:3 5 0
d x y C
,
M d
C = 24.
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là:
3 5 24 0.
x y
Cách 2:
Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
v
T
:
' 2
' 3
x x
y y
' 2
' 3
x x
y y
Thay vào phương trình của d ta được:
3 5 24 0.
x y
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là:
3 5 24 0.
x y
Cách 3:
Lấy
,
M N
bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo
vectơ
v
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
2/ a) Gọi
1 1 1
, ,
M C d
lần lượt là ảnh của
, ,
M C d
qua phép đối xứng trục
Đ
Ox
.
+ Ta có
1
1; 5 .
M
+ Đường tròn (C) có tâm
1; 2 ,
I
bán kính
3
R
. Đường tròn ảnh (
1
C
) của (C) có tâm là
’ 1;2
Ox
I Đ I và bán kính
3
R
.
Vậy phương trình (
1
C
) là:
2 2
1 2 9.
x y
+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Đ
Ox
:
' '
' '
x x x x
y y y y
Thay vào phương trình của d ta được:
’ 2 ’ 4 0.
x y
Vậy phương trình của
1
d
là
2 4 0.
x y
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( )
.
by c
x
a
M M
ax c
y
b
Thay tọa độ điểm
M
và hệ số của đường thẳng
vào ta có
1.5 1
4
1
1.1 1
2
1
x
y
Vậy
2
Đ 4;2
M M
.
Từ biểu thức tọa độ
, ta có
by c c by
x x
a a
M M
ax c c ax
y y
b b
§ ( )
+ Pt đường thẳng
2
d
ảnh của d qua
Đ
là
2 4 0 2 7 0
c by c ax
x y
a b
Vậy
2
:2 7 0.
d x y
+ Pt đường tròn
2
C
ảnh của (C) qua
Đ
là
2 2
2
2
1 2 9 1 9
c by c ax
x y
a b
Vậy
2
2
2
: 1 9
C x y
.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
1; 1 , 3;1 , 2;3 .
A B C Tìm toạ độ
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm
; .
D x y
Để ABCD là hình bình hành thì
BA CD
. Nên ( )
BA
T D C
.
Với
4; 2 , 2; 3
BA CD x y
.
Do đó:
2 4 2
3 2 1
x x
y y
.
Vậy
2;1 .
D
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai
đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông
góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc
cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất.
2) Có ba thành phố
, ,
A B C
tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng.
Tìm vị trí I trong
ABC
sao cho có thể xây dựng một bến xe mà tổng khoảng cách từ I tới
các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
1) + Giả sử coi con sông rất hẹp:
a b
Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm
vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a.
+ Thực tế: a song song với b
Các đường thẳng a, b cố định
MN
cố định.
Nên
’ ’
MN
T A A A N AM
.
Ta có
’ ’
AM BN A N NB A B
Cách dựng:
- Dựng
MN
A T A
. Nối A’, B có
A B b N
.
- Từ N hạ đường thẳng d
a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
2) Thực hiện phép
0
;60
: ;
B
Q I J A A
. Ta có
0 0
; 60 ; ; 60 .
BI BJ BA BA
0
; ; 60 ;
BI BA BI BA BJ BA
A
J
A
C
B
I
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
BIA BJA AI A J
IA IB IC JA IJ IC
ngắn nhất khi
, , ,
A I J C
thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I
ở giữa J và C. Thì
0
120 ;
BIC
0
120
AIB BJA
.
Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc
0
120
.
Cách dựng:
- Dựng ảnh A’ của A qua
0
;60
B
Q .
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.
Nên I chính là điểm cần dựng.
Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với
AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB.
Mặt khác
0
60
CBA
và
0
60
ABA
nên I phải nằm trong
ABC
.
Nên
, , ,
A I J C
thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và
IA IB IC JA IJ IC
ngắn nhất.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng một
đường thẳng song với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định
bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước.
Hướng dẫn giải
Giả sử đã dựng được cát tuyến
/ /
d
cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là
MN và M’N’ sao cho
MN M N l
cho trước.
2
O
1
O
N
M
N
M
1
M
O
O
l
v
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Kéo dài MN về phía N lấy điểm
1
M
sao cho
1
MM l
đặt
1
MM l
.
Thực hiện
1
:
l
T O O
với
1
OO l
.
Thực hiện
2
:
v
T O O
với
1
v M N N M
.
2
O
,
1 1
MM l M N MN M N MN
Gọi
1
N
là giao điểm thứ 2 của
và
1
O
2
OO d
( d là trung trực của đoạn
1
OO
).
Vậy cát tuyến
phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn
và
1 2
O O
, song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc
2
l
R R R R
).
Bài 3: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai đường
thẳng đó, hãy tìm các điểm
,
A a B b
sao cho
ABC
là tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Giả sử đã dựng được
ABC
đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Với phép quay
0
; 60
C
Q
điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua B nên
suy ra cách dựng như sau:
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng
0
; 60C
a Q a
bằng cách kẻ
CH a
tại H, tìm ảnh
H
của
H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng
a
qua
H
và
a CH
.
- Gọi
B a b
, lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có
A a
.
C
B
A
H
a
b
a’
H’
A’
B’
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Rõ ràng
ABC
là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm
ABC
cần
dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH.
Bài 4: Cho ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ.
a) Chứng minh : NC BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH QN.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
0 0
;90 ;90
;
A A
Q N B Q C Q
0
;90A
Q NC BQ
.
Vậy :
;
NC BQ NC BQ
.
H
N
M
P
Q
C
B
A
b)
0
1 1
;90
; ; ;
A
A
Đ B B Q C B Q N
. Do đó :
1
.
CB QN
Mà AH là đường trung bình của
CBB
1
Nên AH // CB . Vậy
: AM QN.
Bài 5: Qua tâm G của ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường
thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 60
0
.
Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Ta có : a CB = {M} ; b BA = {Q}
Mà :
0
; 120G
Q a b
(1)
0 0
; 120 ; 120
;
G G
Q C B Q B A
0
; 120G
Q CB BA
(2)
Từ (1), (2)
0
; 120G
Q M Q
GM = GQ
GMQ
cân
Tương tự:
P
M
N
Q
G
A
B
C
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
GNP cân MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O).
Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua A, M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua B, M
3
là điểm đối
xứng của M
2
qua C. Tìm quỹ tích của điểm M
3
.
Hướng dẫn giải
D
M3
M2
M1
M
O
C
B
A
Gọi D là trung điểm của MM
3
thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định;
3
D
Đ M M
.
Do đó quỹ tích điểm M
3
là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn
(O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O)
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
Tia BO cắt đường tròn (O) tại D.
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
H
M
O
B
C
A
D
Ta có
BCD
=90
0
nên DC//AH, AD//CH
ADCH là hình bình hành
2
AH DC OM
.
Vì
OM
không đổi
T
2
OM
(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là ảnh của
(O) qua phép
2
OM
T
.
Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục
H'
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn
thẳng BC và đtròn (O).
Ta có:
BAH HCB
;
'
BAH BCH
. Do đó
’
HCH
cân tại C
H và H’ đxứng qua BC.
Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di động trên
(O) thì trực tâm
ABC
di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép
BC
Đ
.
Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
M
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần
lượt tại M và D.
Theo chứng minh ở cách 1, ta có
2
AH DC OI
.
Trong
AHM
có OI//AH và OI =
1
2
AH
OI là đường trung bình của tam giác AHM
I là trung điểm của HM
H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố định.
Vậy khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên (O)
thì trực tâm
ABC
di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép
I
Đ
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định
. Biết rằng
trực tâm H của tam giác là một điểm cố định và đường tròn ngoại tiếp của tam giác luôn đi
qua điểm cố định
P H
. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ
tích O.
Hướng dẫn giải
Gọi
H
Đ H
, và theo giả thiết thì
H O
- đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
H
A
H
B C
O
P
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Vì
Đ H H
, mà
,
H
cố định
H
cố định.
Rõ ràng do
,
P H
cùng nằm trên đường tròn
O
, suy ra tâm O nằm trên đường trung
trực của
PH
.
Vậy quỹ tích O là đường trung trực của đoạn
PH
, với
H
Đ H
.
Bài 4: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho
AC BD
AD AB
. Tìm quỹ
tích đỉnh C của hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho
A O
, tia Ox trùng với tia AD và chọn
1;0
D .
Giả sử
,
B x y
, thì C
1;
x y
.
Từ giả thiết:
. .
AC AB AD BD
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 . 1
1 1 1
1 1
2 1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 0
x y x y x y
x x x y x y y x y
x x y y x y x y
x y x y x x x y
x y x y x x
x y x y x x y x
x y x y x
và
2 2
1 0
x y
2
2 2 2
2 1 0 1 2 (1)
x y x x y
I
A
O
;
B x y
1;
C x y
D
x
y
Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
Từ (1) suy ra quỹ tích của B là đường tròn tâm tại điểm
1;0
I bán kính
2
, với
Đ
A
I D
.
Rõ ràng
AD
T B C
.
Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn
; 2
C AD
.
Hết
