LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ĐỊNH LÍ VI - ÉT
I. Định lý Vi-et thuận:
Nếu phương trình bậc hai dạng: ax
2
+ bx + c = 0
( a≠0)
có nghiệm ta đều có thể viết được các nghiệm đó dưới
dạng:

a
b
x
a
b
x
2
2
2
1
∆−−
=
∆+−
=

( )
0≥∆
hoặc
a
b
x
a

b
x
∆+−
=
∆+−
=
'
2
''
1

( )
0
'
≥∆
Trong đó
acb 4
2
−=∆
(hoặc
acb −=∆
2''
; b chẵn;
b = 2b
’
)
Ta tính được tổng 2 nghiệm và tích 2 nghiệm theo
các hệ số a,b,c
và biệt thức
∆

( hoặc
'
∆
)
Các kết quả tính toán ấy cho thấy mối liên hệ chặt
chẽ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai dạng
ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) với hệ số a,b,c của phương
trình ấy.
1
Mi liờn h ó c Vi- ột, nh toỏn hc phỏp
phỏt hin vo u th k XVII v c phỏt biu
thnh nh lý mang tờn ụng
nh lý Viột: Nu x
1
;x
2
l hai nghim ca
phng trỡnh
ax
2
+ bx + c =0 (a0) thỡ:








=

=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
II. nh lý Viet o:
Nu cú 2 s x
1
, x
2
tho món



=
=+
Px.x
Sxx
21
21
thỡ chỳng l nghim
s ca phng trỡnh bc hai: X
2

- SX + P = 0
(iu kin 2 s x
1
, x
2
l S
2
4P 0)
Chỳ ý:
Trc khi ỏp dng h thc Viet cn tỡm iu kin
phng trỡnh cú 2 nghim





)0'(0
0a
III. CC NG DNG CA NH Lí VIẫT GII
BI TON BC HAI.
NG DNG 1: Tính tổng và tích các nghiệm phơng trình bậc
hai mà không cần giải phơng trình ấy.
2
*)Phương pháp:
• Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để
phương trình có 2 nghiệm ⇔



≥≥

≠
)0'Δ(0Δ
0a
• áp dụng hệ thức Viét ta có:







=
−
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*)Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích (nếu có)
của các phương trình sau đây : a) x
2
– 7x +4 = 0
b) x
2

– mx -3 = 0 (ẩn x)
Giải:
a) x
2
– 7x + 4 = 0 (a=1,b=-7,c=4)
∆
= (-7)
2
- 4.1.4=49-16 = 33>0, phương trình có
hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
. Theo vi ét ta có:







==
==+
4
1
4
.
7
1
7

21
21
xx
xx
b) x
2
-mx-3=0 ( a=1,b =-m,c=-3)
3
∆
= b
2
– 4ac = (-m)
2
- 4.1.(-3) = m
2
+12 > 0 (
m∀
)
Phương trình có hai nghiệm x
1
,x
2
. Theo vi ét ta có :



−=
=+
3.
21

21
xx
mxx
Bài 2: Cho phương trình :(m + 1)x
2
+ (2m – 1)x -2 =
0 (1) (ẩn x)
Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình
(1);không giải phương trình hãy tính x
1
2
+ x
2
2
theo
m.
Giải: Ta phải có



≥−
−≠
⇔




≥∆
≠+
(**)04
(*)1
0
01
2
acb
m
m
Giải(**):
⇔
(2m -1)
2
– 4(m + 1).(-2)
≥
0

⇔
4m
2
- 4m + 1 + 8m + 8
≥
0

⇔
4m
2
+4m +1 + 8
≥

0

⇔
(2m + 1)
2
+ 8 > 0 (
m∀
)
Từ (*) và (**) suy ra PT (1) có 2 nghiệm phân
biệt x
1
,x
2
với
m∀
1≠
4
Theo định lý vi ét ta có :







+
−
=
+
−−

=+
1
2
.
1
)12(
21
21
m
xx
m
m
xx
Mặt
≠
: x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x

2
=
1
2
.2
1
)12(
2
+
−
−






+
−−
mm
m
=
2
2
)1(
54
+
+
m
m

Tương tự ta cũng tính được x
1
3

+ x
2
3
*) Bài tập đề nghị:
Bài 1: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích
(nếu có) của các phương trình sau đây:
1. 4x
2
+ 2x – 5 = 0
2. 9x
2
- 12x +4 = 0
3. 5x
2
+2x +2 = 0
4. 159x
2
- 2x – 1 = 0
5. 2x
2
- 5x + 3 = 0
Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm,
rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) x
2
- 2x + m = 0

b) x
2
+ 2(m-1)x + m
2
= 0
ỨNG DỤNG 2: TÝnh nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai.
5
*)Phương pháp:
1) cho PT bậc 2:ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1).
PT (1) có 2 nghiệm x
1
=1, x
2
=
a
c

⇔
a + b + c
= 0
Chứng minh:
*) Phần thuận: Nếu x
1
=1, x
2
=

a
c

⇒
a + b + c = 0
Thật vậy : Do x
1
= 1 là nghiệm của phương
trình nên,ta có:
a.1
2
+ b.1 + c = 0 hay a + b +c = 0
x
2
=
a
c
cũng là nghiệm của phương trình nên:

2
2
. . 0 0
0( )
( ) 0 0
0
c c c bc ac
a b c
a a a a a
c loai
c a b c a b c

a b c
 
+ + = ⇔ + + =
 ÷
 
=

⇔ + + = ⇔ ⇒ + + =

+ + =

Vậy: Nếu x
1
=1, x
2
=
a
c

⇒
a + b + c = 0.
*)Phần đảo: Nếu a + b + c = 0
⇒
x
1
= 1,
a
c
x =
2

6
Thật vậy : Do a+b+c = 0
⇒
a = -(b+c), Thay
vào PT (1) ta được:
[ ]
2 2 2
( ) 0 ( ) (1 ) 0
1
1
1 0
(1 ) ( ) 0
( ) 0
( )
b c x bx c b x x c x
x
x
x
x b c x c
c
c
x
b c x c
x
b c
a
− + + + = ⇔ − + − =
=

=


− =



⇔ − + + = ⇔ ⇔ ⇔



=
+ + =
=

− +




Vậy: Nếu a + b + c = 0
⇒
x
1
= 1,
a
c
x =
2
.
b) Cho PT: ax
2

+ bx + c = 0 (a
≠
0) (2).
PT (1) có 2 nghiệm x
1
=-1, x
2
= -
a
c

⇔
a - b + c
= 0
(Chứng minh tương tự như trên)
*) Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Tìm nghiệm các phương trình sau nhanh
nhất
a) x
2
– 6x + 8 = 0
b) 11x
2
– 13x – 24 = 0
c) 11x
2
– 13x – 24 = 0
Giải:
7
a) PT x

2
– 6x + 8 = 0 có
2
' ( 3) 8 1 0∆ = − − = >
PT có 2 nghiệm x
1
;x
2
thoã mãn



=
=
⇔



=
=+
4
2
8.
6
2
1
21
21
x
x

xx
xx

b) PT 11x
2
+ 13x -24 = 0 có a + b + c = 11 + 13 + (-
24) = 0
Nên PT có nghiệm x
1
=1; nghiệm x
2
=
11
24−
=
a
c
c) PT 11x
2
- 13x -24 = 0 có a - b + c = 11 + 13 + (-24)
= 0
Nên PT có nghiệm x
1
= -1; nghiệm x
2
=
11
24
=
−

a
c
Bài tập 2: Cho phương trình.
x
2
+ (2m+1)x+ m
2
-5= 0 (1),(ẩn x).
Xác định m để PT(1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao
cho x
1
=1.Tìm nghiệm còn lại?
Giải :
Ta có:
214)5(4)12(4
222
+=−−+=−=∆ mmmacb
PT(1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho x
1
=1,
8




−=
=
⇔










−=
=
−≥
⇔



=−+++
≥+
⇔



=++
≥∆

⇔
3
1
3
1
4
21
05121
0214
0
0
2
m
m
m
m
m
mm
m
cba
+) m=1 PT(1) có 2 nghiệm x
1
=1; x
2
=-4
+) m=-3 PT(1) có 2 nghiệm x
1
=1; x
2
= 4

*) Bài tập đề nghị: Tính nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:
1) 7x
2
– 9x + 2 = 0
2) 23x
2
– 9x - 32 = 0
3) 1975x
2
+ 4x -1979 = 0
4) (5 +
2
)x
2
+ (5 -
2
)x -10 = 0
5) 31,1x
2
– 50,9x + 19,8 = 0
ỨNG DỤNG 3: T×m hai sè biÕt tæng b»ng S vµ tÝch bµng P.
*) Phương pháp:
Gọi 1 số là x,số còn lại là S-x.Theo bài ra ta có PT:
(S-x)x = P
⇔
x
2
– Sx + P = 0 (1)
Nếu

04)(
2
≥−−=∆ PS
thì PT(1) có 2 nghiệm. Các
nghiệm đó là các nghiệm cần tìm.
9
Tổng quát: Nếu gọi 2 số cần tìm lần lượt là u,v sao
cho:



=
=+
Pvu
Svu
.
thì u,v là 2 nghiệm của PT: x
2
- Sx + P =
0 (ĐK: S
2
- 4P
0≥
)
*) Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: a) Tìm hai số u,v biết : u + v = 2; u.v = 9
Giải:
Xét S
2
- 4P = (2

2
) - 4.9 = -32 < 0
⇒
không có hai số u,v nào thoã mãn bài toán
b) Tìm hai số u,v biết u + v = 32; u.v = 231
Giải:
Xét S
2
- 4P = 32
2
- 4.231 = 100>0. Vậy u,v là ngiệm
của PT :
x
2
- 32x + 231 =0

9
2
1032
;21
2
1032
100231.1.4)32(
21
2
=
−
==
+
=

=−−=∆
xx
Vậy 2 số cần tìm là :



=
=
9
21
v
u
hoặc



=
=
21
9
v
u
10
Bài tập 2:
a) Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a
2
.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
Ta có:




=
=+
2
a2uv
a6v2u2
⇔



=
=+
2
a2vu
a3vu
Do (3a)
2
- 4 . 2a
2
= a
2
> 0 nên u, v là nghiệm của phương
trình bậc 2.
t
2
- 3at + 2a
2
= 0 giải được t
1

= a ; t
2
= 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
b) Tìm phương trình bậc 2 nhận x
1
; x
2
là nghiệm và



=
=+
6xx
13xx
21
2
2
2
1
(*)
Biến đổi hệ (*) ta có:



=
=−+
6xx
13xx2)xx(

21
21
2
21
⇔





=



−=+
=+
6xx
5xx
5xx
21
21
21
⇔











=
−=+



=
=+
6x.x
5xx
6x.x
5xx
21
21
21
21
c) Giải hệ phương trình:





=
=+
)2(27xy
)1(4yx
3
3


(Ta quy về tìm x, y sao cho



=
=+
Pxy
5yx
)
11
⇒ x
1
, x
2
là nghiệm phương trình: x
2
- 5x + 6 = 0
⇒ x
1
, x
2
là nghiệm phương trình: x
2
+ 5x + 6 = 0
Từ (1) có
( )
28yx64yxxy3yx4yx
3
3

33
3
=+⇔=+++⇔=+
Vậy hệ (1) (2) có dạng



=
=+
27xy
28yx
do 28
2
- 4 . 27 > 0 nên x, y
là nghiệm của phương trình: t
2
- 28t + 27 = 0. Giải được t
1
= 1 ;
t
2
= 27. Hệ có 2 nghiệm:



=
=
27y
1x
;




=
=
1y
27x
d) Giải phương trình:
6
1x
x5
x.
1x
x5
x
=






+
−
+







+
−
(Đ/K: x ≠
-1)
Đặt:






+
−
=
1x
x5
xu
; v =
6
1x
x5
x
=







+
−
+
(Đ/K: x ≠
-1)
u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho:



=
=+
6v.u
5vu

Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t
2
- 5t + 6 = 0 
t
1
= 3; t
2
= 2.
Từ đó có:



=
=
2v
3u

1
1
hoặc



=
=
3v
2u
2
2
.
12
Phương trình đã cho ⇔





−≠



=+−
=+−
1x
02x3x
03x2x
2

2
giải được x
1
= 1; x
2
=
cho (thoả mãn)
e) Cho phương trình: x
2
+ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d;
phương trình :
x
2
+ cx + d= 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng
chúng đều ≠ 0.
Giải: Áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho
có:
c + d = - a (1) c . d = b (2)
a + b = - c (3) a . b = d (4)
Từ (1) ⇒ a + c = - d
(3) ⇒ a + c = - b
Từ (2) ⇒ c =1 (Vì b = d ≠ 0)
Từ (4) ⇒ a = 1 (Chia 2 vế cho b = d ≠ 0)
Thay a = c = 1 vào (1) ⇒ d = - 2 ⇒ b = - 2
Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)
*)Bài tập đề nghị: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
đây:
1) u + v = -7; u.v = 12
2) u + v = -5; u.v = -24
3) u - v = 10; u.v = 24

4) u
2
+ v
2
= 85; u.v = 18
13
db
=⇒



5) u + v =
1
2
; u.v =
1
16
NG DNG 4: áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị của tham
số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc.
*) Phng phỏp: Cú th thc hin cỏc bc:
- Bc 1: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh ó cho
cú nghim x
1
, x
2
.
- Bc 2: p dng h thc Viet, ta cú:






=
=+
)m(21
)m(21
gx.x
fxx
(*)
- Bc 3: Kt hp (*) vi iu kin (H thc cho trc) suy ra
phng trỡnh cú n l tham s t ú tỡm c tham s.
(Chỳ ý cn i chiu tham s cn tỡm c vi iu kin
phng trỡnh u cú nghim s).
*) Cỏc dng toỏn c bn:
Cho phng trỡnh: ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong ú a, b, c ph
thuc tham s m.
Yờu cu bi toỏn t ra: Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
(1) cú 2 nghim x
1
; x
2
tho món mt trong cỏc iu kin:
a)
1 2
x x

+ =
b)

2 2
1 2
x x k+ =
c)
1 2
1 1
n
x x
+ =
d)
2 2
1 2
x x h+
e)
3 3
1 2
x x t+ =
14
Phương pháp giải:
Điều kiện chung:
0∆ ≥
(*). Theo định lý Viét ta có:
1 2
1 2
(1)
. (2)
b
x x S
a
c

x x P
a
−

+ = =




= =


a) Trường hợp:
1 2
x x
α β γ
+ =
(3)
Giải hệ:
1 2
1 2
x x S
x x
α β λ
+ =


+ =

1 2

;x x⇒
Thay các giá trị của x
1
; x
2
vào (2)
⇒
m. Chọn các giá trị của m
thoả mãn (*)
b)Trường hợp:
2 2
1 2
x x k+ =

2
1 2 1 2
( ) 2x x x x k⇔ + − =
Thay
1 2
b
x x
a
−
+ =
= S;
1 2
.
c
x x P
a

= =
ta có: S
2
- 2P = k (4). Giải (4)
⇒
m
Chọn m thoả mãn (*)
c)Trường hợp:
1 2
1 1
n
x x
+ =

1 2 1 2
x x nx x b nc⇔ + = ⇔ − =
(5)
Giải (5). Chọn m thoả mãn (*)
d) Trường hợp:
2 2
1 2
x x h+ ≥

2
2 0S P h⇔ − − ≥
(6)
Giải bất phương trình (6). Chọn m thoả mãn (*)
e) Trường hợp:
3 3
1 2

x x t+ =

3
3S PS t⇒ − =
(7).
Giải (7). Chọn m thoả mãn (*).
*)Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình:
15
x
2
– (m+5)x – m + 6 = 0
Có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn một trong 2 điều kiện sau:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b) 2x
1
+ 3x
2
= 13
Giải:
Ta có:
2 2
( 5) 4( 6) 14 1m m m m∆ = + − − + = + +
Tam thức
2
14 1m m+ +

có hai nghiệm phân biệt là:
1 2
2
7 4 3; 7 4 3
14 1 ( 7 4 3)( 7 4 3)
m m
m m m m
= − − = − +
⇒ + + = + + + −
Điều kiện phương trình có nghiệm là:
0∆ ≥
Giả sử: x
2
> x
1
. Ta có hệ:
2 1
1 2
1 2
1(1)
5(2)( )
6(3)
x x
x x m I
x x m
− =


+ = +



= − +

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: 2x
2
= m + 6
2
6
2
m
x
+
⇔ =
Trừ (2) cho (1) vế theo vế ta có: 2x
1
= m + 4
1
4
2
m
x
+
⇔ =
Thay
1
4
2
m
x
+

=
và
2
6
2
m
x
+
=
vào (3):
2 2
4 6
. 6 ( 4)( 6) 4( 6) 10 24 4 24 14 0(**)
2 2
m m
m m m m m m m m m
+ +
= − + ⇔ + + = − + ⇔ + + = − + ⇔ + =
0m⇔ =
hoặc m = -14. Các giá trị này của m thoả mãn (*)
Vây: m = 0 hoặc m=-14
Cách 2
Không cần lập
∆
.
16
Giải (I)
2
14 0m m⇔ + = ⇔
m = 0 hoặc m = -14

Thử lại:
+) Khi m = 0: Ta có: x
2
– 5x + 6 = 0 phương trình có 2
nghiệm là 2 và 3 đúng điều kiện: x
2
– x
1
= 1
+) Khi m = -14 ta có: x
2
+ 9x +20 = 0. Phương trình có 2
nghiệm là -5 và -4 thoả mãn điều kiện x
2
– x
1
= -4 – (-5) = 1.
Vậy : Các giá trị m phải tìm là: m = 0, m = -14.
a) Theo giả thiết, ta có:
'
1 2
1 2
1 2
2 3 13(1)
5(2)
. 6(3)
x x
x x m
x x m


+ =

+ = +


= − +

Từ (1
’
) và (2)
1 2
2 3 ; 3 2x m x m⇒ = + = −
. Thay
1 2
2 3 ; 3 2x m x m= + = −
vào
(3) ta được:
(2+3m)(3-2m) = - m+6
2
6 60 0m⇔ − + =
2
0m m⇔ − =
( Rút gọn cho
- 6 )
⇔
m = 0 hoặc m = 1, thoả mãn (*)
Hoặc thử lại.
Bài tập 2: Cho phương trình x
2
- 2(m - 2)x + (m

2
+ 2m - 3) = 0.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài giải:
Ta phải có:







+
=+
≠
>−+−−−=
(3)

(2)
(1)
5
xx
x
1
x
1
0.xx
03)2m(m2))(m(
21
21
21
22'
Δ
17
(1) ⇔ ∆' = m
2
- 4m + 4 - m
2
- 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 ⇔ m <
6
7
(2) ⇔ m
2
+ 2m - 3 ≠ 0 ⇔ (m - 1)(m + 3) ≠ 0 ⇔ m ≠ 1; m ≠ - 3
(3) ⇔
0).5)((
5.
2121

21
21
21
=−+⇔
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
 Trường hợp: x
1
+ x
2
= 0 ⇔ x
1
= - x
2
⇒ m = 2 không
thoả mãn điều kiện (1)
 Trường hợp: 5 - x
1
.x
2
= 0 ⇔ x
1
.x
2
= 5

Cho ta: m
2
+ 2m - 3 = 5 ⇔ (m - 2)(m + 4) = 0



−=
=
⇔
K)§ m·n(tho¶ 4m
(lo¹i) 2m
Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân
biệt thoả mãn
5
x
x
1
x
1
21
21
x+
=+
Bài tập 3:
a) Tìm m để phương trình: 3x
2

+ 4 (m - 1)x + m
2
- 4m + 1 = 0
có 2 nghiệm phân biệt x
1
. x
2
thoả mãn:
)xx(
2
1
x
1
x
1
21
21
+=+
Giải:
* Trước hết phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
≠ 0
nên phải có:
∆’ > 0 ⇔ 4 (m - 1)
2
- 3 (m
2
- 4m + 1) > 0 ⇔ m

2
+ 4m + 1 > 0.
⇔ m < - 2 -
3
hoặc m > -2 +
3
(*)
18
* Theo hệ thức Viet ta có:
3
)m1(4
xx
21
−
=+
;
3
1m4m
x.x
2
21
+−
=
(m
2
- 4m + 1 ≠ 0) ⇔ m ≠ 2 ±
3
(**)
Từ hệ thức của x
1

, x
2
ta có:
( )
0
2
1
xx
1
xx
2
xx
xx
xx
21
21
21
21
21
=








−+⇔
+

=
+
⇔ x
1
+ x
2
= 0 (1) hoặc
0
2
1
xx
1
21
=−
(2)
- Từ (1) có:
1m0)m1(
3
4
=⇔=−
- Từ (2) có:
2
1
1m4m
3
2
=
+−
⇔ m
2

- 4m + 1 = 6
⇔ m
2
- 4m - 5 = 0 ⇔



=
−=
5m
1m
* Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta được m =
1 ; m = 5.
Như vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phương trình đã cho thoả
mãn đầu bài
(Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:
19












+=+

≠
+−
=
−
=+
≥
)xx(
2
1
x
1
x
1
0
3
1m4m
x.x
3
)m1(4
xx
0'Δ
21
21
2
21
21
Khi đó:
2
xx
xx

xx
21
21
21
+
=
+
nếu chia cho x
1
+ x
2
sẻ làm
mất nghiệm)
b) Cho phương trình: x
2
+ bx + c = 0 có các nghiệm x
1
, x
2
;
phương trình:
x
2
- b
2
x + bc = 0 có các nghiệm x
3
, x
4
. Biết x

3
- x
1
= x
4
- x
2
=
1. Tìm b và c.
Giải:
* Trước hết phải có:



≥−
≥−
0bc4b
0c4b
4
2
(*)
* Theo giả thiết và theo hệ thức Viet có:







=

=+
=
−=+
bcx.x
bxx
cx.x
bxx
43
2
43
21
21
⇔
( ) ( )
( )( )







=++
=+++
=
−=+
bc1x1x
bx1x1
cx.x
bxx

21
2
21
21
21
)4(
)3(
)2(
)1(
20
(Vì x
3
= x
1
+ 1 ; x
4
= x
2
+ 1)
Từ (1) và (3) có: b
2
+ b - 2 = 0 ⇔ (b - 1) (b + 2) = 0 ⇔



−=
=
2b
1b
Từ (4) có: x

1
x
2
+ x
1
+ x
2
+ 1 =bc ⇔ c - b + 1 = bc (5)
Với b = 1 thì (5) đúng khi đó pt : x
2
+ bx + c = 0 trở thành x
2
+
x + c = 0
Có nghiệm nếu ∆ = 1 - 4c ≥ 0 ⇔
4
1
c
≤
Pt: x
2
- b
2
x + bc = 0 trở thành x
2
- x + c = 0 cũng có nghiệm
nếu
4
1
c

≤
:
- Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c ⇒ c = - 1
Khi đó phương trình: x
2
- b
2
x + bc = 0 trở thành x
2
- 4x + 2 = 0
có nghiệm là
22
±
.
Phương trình: x
2
+ bx + c = 0 trở thành x
2
- 2x - 1 = 0 có
nghiệm là
21
±
* Kết luận: (b = 1 ;
4
1
c
≤
) hoặc (b = - 2 ; c = - 1)
(Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*))
c) Tìm các số p và q của phương trình: x

2
+ px + q = 0 sao cho
các nghiệm của nó thoả mãn:



=−
=−
35xx
5xx
3
2
3
1
21
Giải: * Trước hết phải có điều kiện: ∆ > 0 ⇔ p
2
- 4q > 0
21
Giải hệ sau:
35xx
5xx
qx.x
pxx
3
2
3
1
21
21

21
=−





=−
=
−=+
)4(
)3(
)2(
)1(
Từ (3) có: (x
1
- x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
x
2

= p
2
- 4q = 25 (5)
Từ (4) có:
( )
[ ]
35xxxx5)xxxx)(xx(xx
21
2
21
2
221
2
121
3
2
3
1
=−+=++−=−
⇒ (x
1
+ x
2
)
2
- x
1
x
2
= p

2
- q = 7 (6)
Kết hợp (5) và (6) ta có:



=−
=−
7qp
25q4p
2
2
(*)
Giải được q = - 6 ; p
1, 2
= ± 1
Nghiệm của hệ (*) là:



−=
=
6q
1p
;



−=
−=

6q
1p
thoả mãn điều kiện: p
2
-
4q > 0
Kết luận:



−=
=
6q
1p
hoặc



−=
−=
6q
1p
*) Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho phương trình x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0
(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có
nghiệm x
1

= 2x
2
.
Bài 2: Cho phương trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó
trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
22
c) Xác định m để các nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả
mãn: x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào
m.
ỨNG DỤNG 5: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sö dông ®Þnh
lý ViÐt ®¶o.
*) Phương pháp:
Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x

1
; x
2
là
các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet đảo).
Nếu x
1
+ x
2
= S ; x
1
.x
2
=p thì x
1
, x
2
là nghiệm của phương
trình
x
2
- Sx + P = 0 (S
2
- 4P ≥ 0)
*) Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho x
1
=
2
13 +

; x
2
=
31
1
+
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x
1
; x
2
Ta có: x
1
=
2
13 +
; x
2
=
31
1
+
=
( )( )
2
1331
−
=
−
−+
3131

Nên x
1
.x
2
=
2
13 +
.
31
1
+
=
2
1
x
1
+ x
2
=
2
13 +
+
31
1
+
=
3
23
Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x
1

; x
2
là x
2
-
3
x+
2
1
= 0
Hay 2x
2
- 2
3
x + 1 = 0
Bài tập 2: Cho phương trình: x
2
+ 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình
bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm
phương trình (1)
Cách giải:
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ
thức viét, ta có:
x
1

+ x
2
= -5; x
1
.x
2
= - 1
Gọi y
1
; y
2
là các nghiệm của phương trình phải lập, ta
có:
y
1
+ y
2
=
44
21
xx +
y
1
y
2
=
44
21
xx .
Ta có:

44
21
xx
+
= (x
1
2

+ x
2
2
)
2
- 2x
1
2
.x
2
2
= 729 – 2 = 727
44
21
xx
.
= (x
1
.x
2
)
4

= (- 1)
4
= 1
Vậy phương trình cần lập là: y
2
- 727y + 1 = 0
*) Bài tập đề nghị:
24
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là
3
+
2

và
23
1
+
Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x
1
.x
2
= 4 và
1
1
1
−x
x
+
1

2
2
−x
x
=
4
7
2
2
−
−
k
k
Bài 3: Xác định có số m, n của phương trình: x
2
+ mx +
n = 0
Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n.
Bài 4: Gọi α, β là các nghiệm của phương trình: 3x
2
+ 7x
+ 4 = 0 không phải phương trình hãy thành lập phương trình
bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là:
1β
α
−
và
1α
β
−

.
Bài 5: Cho a là số thực sao cho a + 1 ≠ 0. Lập phương
trình bậc 2 có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn các hệ thức:
4x
1
x
2
+ 4 = 5 (x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
- 1) (x
2
- 1) =
1a
1
+
(2)
ỨNG DỤNG 6: Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (a
≠
0) thµnh

nh©n tö.
*) Phương pháp:
25