Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
ĐẶT VẤN ĐỀ
Số phức đóng vai trò quan trọng như là công cụ đắc lực nhằm giải quyết
hiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp.
Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vực
và quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết trên quan điểm
áp dụng các tính chất của số phức.
Số phức cũng là chuyên đề quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và
thi ĐH – CĐ. Nhận thức được điều đó, tổ toán trường THPT Lê Quý Đôn mạnh
dạn đưa ra một số quan điểm về chuyên đề số phức, tiến hành hội thảo cùng các
đồng nghiệp trong cụm và các trường bạn trong thành phố góp ý xây dựng.
Chúng tôi rất mong được sự góp ý chân thành từ các bạn đồng nghiệp để để
chuyên đề được hoàn thiện hơn, hội thảo thành công tốt đẹp.
1
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC
II. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG
THỨC LƯỢNG GIÁC
VẤN ĐỀ 8: SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( Hẹn năm sau)
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ ĐÃ QUA
2
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức

PHẦN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
Số Phức (dạng đại số) có dạng
z a bi= +
với a, b
RÎ
, a gọi là phần thực,
b gọi là phần ảo, i là số ảo, i
2
= –1.
z là số thực ⇔ phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0).
z là số thuần ảo ⇔ phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0).
Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo.
Hai số phức
'
' ' ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
ì
ï
=
ï
+ = + ÛÎ
í
ï
=
ï
î

.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
£
và
Ì¡ £
.
2. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức z = a + bi (a, b
)RÎ
xác định một điểm M(a; b) hay xác định
một véc tơ
( ; )u a b=
r
trong mặt phẳng (oxy). Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa
tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian
véc tơ hai chiều. Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức.

3. Tổng hai số phức, hiệu hai số phức
( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ + + = + + +
.
( ) ( )
( ) ( )
' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ - + = - + -
.
Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số
phức z là –z . Vậy –z = -a – bi.
Véc tơ
u
r

biểu diễn số phức z, véc tơ
'u
r
biểu diễn số phức z' thì véc tơ
'u u+
r r
biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ
'u u-
r r
biểu diễn số phức z – z’.
4. Nhân hai số phức.
( ) ( )
( )
( )
' '  ' ' '   'a bi a b i aa bb ab ba i+ + = - + +
.
( ) ( )k a bi ka kbi k R+ = + Î
.
5. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số
z a bi= -
3
y
O a
b
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức

1 1
2 2
; ' ' ; . ' . ';
z z

z z z z z z z z z z
z z
æ ö
÷
ç
÷
= ± = ± = =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
;
2 2
.z z a b= +
.
z là số thực ⇔
z z=
; z là số ảo ⇔
z z= -
.
6. Môdul của số phức.
Số thực
2 2
z a b= + Î ¡
gọi là môdul của số phức z = a + bi.
2 2
z a b zz OM= + = =
uuur

với
( )
;M a b
là điểm biểu diễn số phức z.
0, , 0 0z z C z z" = =³ Î Û
.
. ' . 'z z z z=
;
'
'
z z
z
z
=
;
' ' 'z z z z z z- ± +£ £
.
7. Chia hai số phức.
Số nghịch đảo của số phức z là số phức
1
z
-
thoả mãn
1
. 1z z
-
=
. Kí hiệu
1
1

z
z
-
=
;
1
2
1
z z
z
-
=
(z
≠
0);
1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z
z z z
z
-
= = =
;
'
'
z

w z wz
z
= =Û
8. Căn bậc hai của số phức.

w x yi= +
là căn bậc hai của số phức
z a bi= +
khi và chỉ khi
2
w z=
⇔
2 2
2
x y a
xy b
ì
ï
- =
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
.
Số 0 có một căn bậc hai là số w = 0.
Số z

0¹
có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w.
Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là
a±
.
Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là
i a± -
.
9. Giải phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C
Î £
, A
0¹
).
* Tính
2 2
4B A C
d
= - =D
,
d
là 1 căn bậc hai của ∆.
*
0D ¹
: pt(*) có hai nghiệm phân biệt
2
B
z
A

d
- ±
=
.
*
0=D
: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép)
2
B
z
A
= -
.
Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì
z
cũng là
4
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số
thực thì ta biết được nghiệm còn lại.
10. Dạng lượng giác của số phức.
Mỗi góc lượng giác
( , )Ox OM
j
=
gọi là một Acgumen của số phức z.
Khi đó số phức
( )
2 2
2 2 2 2

cos sin 0
a b
z a bi a b i r i
a b a b
j j
æ ö
÷
ç
÷
ç
= + = + + = + ¹
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
+ +
với
2 2
, cos , sin
a b
r a b
r r
j j
= + = =
gọi là dạng lượng giác của số phức z.
1 cos sin ( )z z i R
j j j
= = +Û Î

.
11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Cho
(cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i
j j j j
= + = +
. Khi đó

. ' '. cos( ') sin( ')z z rr i
j j j j
é ù
= + + +
ë û
.

cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
j j j j
é ù
= - + -
ë û
.
12. Công thức Moa–vrơ:
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n

r i r n i n
j j j j
é ù
+ = +
ê ú
ë û
,
( )
*
n NÎ
.
( )
cos sin cos sin
n
i n i n
j j j j
+ = +
.
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Số phức
(cos sin )z r i
j j
= +
, (r > 0) có hai căn bậc hai là
2 2
cos sin cos sin , 0,1
2 2 2 2
k k
r i r i k
j j j p j p

æ ö æ ö
+ +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
± + = + =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Mở rộng: Số phức
(cos sin )z r i
j j
= +
(r > 0) có n căn bậc n là
2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k k
r i k n
n n
j p j p
æ ö
+ +
÷
ç
÷

+ = -
ç
÷
ç
è ø
PHẦN II. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA MỘT SỐ PHỨC
Để tìm phần thực, phần ảo của một số phức ta đưa số phức đó về dạng
đại số.
1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
5
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
VÍ DỤ 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau
a.
( ) ( ) ( )
2 4 3 5 7 4 3z i i i= + - + -
b.
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 3 3 2z i i i= - - - +

c.
3 2
1
i i
z
i i
- +
= -
+

Bài giải
a.
( ) ( )
26 2 28 21 54 19z i i i= + + - = -
Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19.
b.
( ) ( )
3 4 12 5 15z i i i= - - - - = - +
Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là 1.
c.
( )
( )
( ) ( )
3 1
3 1 3 1
1 2 1 2
2 2 2
i i
z i i i
- -
- +
= - - = - - -

3 3 2 2 3 1
2 2
i
- - -
= +
Vậy phần thực của z là
3 3

2
-
, phần ảo của z là
2 2 3 1
2
- -
VÍ DỤ 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau
a.
( )
10
1z i= +
b.
( ) ( ) ( )
2 20
1 1 1 1z i i i= + + + + + + +
Bài giải
a. Ta có
( )
2
1 2i i+ =
suy ra
( ) ( )
10 5
1 2 32i i i+ = =
Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 32.
b. Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số
hạng đầu là 1, công bội là
( )
1 i+
. Suy ra:

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
10
2
21 10
10 10
1 1 . 1
1 1 1 2 1
2 1 2
1 1
i i
i i i
i
z
i i i
i
é ù
- + +
ê ú
- + - +
+ +
ê ú
ë û
= = = =
- - -
- +

( )

10 10
2 2 1 i= - + +
. Vậy phần thực của z là
10
2-
, phần ảo của z là
10
2 1+
6
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
VÍ DỤ 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
( )
10
3z i= +
Bài giải
Ta có
( )
10
10
10
5 5
3 2 cos sin 2 cos sin
6 6 3 3
z i i i
p p p p
é ù
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
ê ú

÷ ÷
= + = + = +
ç ç
÷ ÷
ê ú
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ë û

10 10 10 10 9 9
5 5 1 3
2 cos 2 sin 2 . 2 . 2 2 3
3 3 2 2
i i i
p p
æ ö
÷
ç
÷
ç
= + = + - = -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

Vậy phần thực của z là
9
2
, phần ảo của z là
9
2 3-
.
VÍ DỤ 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
( )
( )
10
5
3
3
i
z
i
+
=
+
Bài giải
Ta có
( )
( )
( )
( )
10
10 10
5 5
5

2 cos sin
3 3
6 6
3
3
2 cos sin
6 6
i
i i
z
i
i
i
p p
p p
é ù
æ ö
÷
ç
ê ú
÷
+
ç
÷
+ +
ê ú
ç
÷
ç
è ø

ë û
= = =
é ù
æ ö
- -
-
÷
ç
+
ê ú
÷
+
ç
÷
ê ú
ç
÷
ç
è ø
ë û

5
5 5
cos sin
3 3
2
5 5
cos sin
6 6
i

i
p p
p p
æ ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
=
æ ö
- -
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5 5
5 5
2 cos sin 2

2 2
i i
p p
æ ö
÷
ç
÷
= + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là
5
2
.
VÍ DỤ 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( ) ( ) ( )
2 10
1 3 1 3 1 3z i i i= + + + + + +
Bài giải
Tổng trên là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có
( )
( ) ( )
10
10 10
1 3 1 3

10 10
1 3 . . 2 .cos 2 . sin 1
3 3
3 3
i i
z i i
i
p p
+ - -
æ ö
æ ö
÷
֍
ç
÷
÷
= + = + -
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è ø
è ø
(Hs làm tiếp).

7
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
VÍ DỤ 6. Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết
5z =
và
( )
3z i- Î ¡
.
Bài giải
Gọi phần thực, phần ảo của z lần lượt là x, y
( )
;x y Î ¡
. Ta có
2 2
5 25z x y= + =Û
(1)
( )
( ) ( )
3 3 3 3z i x yi i y x i x- = - - = + - =ÎÛ¡
(2).
Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4.
VÍ DỤ 7(KD.2010). Tìm số phức
z
thỏa mãn
2z =
và
2
z
là số ảo.
Bài giải

Giả sử số phức z đó là z = x+iy,
,x y Î ¡

2 2
2x y+ =Þ
(1).
Ta lại có
( )
2 2 2
2z x y xyi= - +
là số ảo
2 2
0x y- =Û
(2).
Từ (1) và (2) có hệ phương trình
2 2
2 2
1
1
1
2
1
0
1
1
x y
x y
x
x y
y

x y
x
y
é
= =
ê
ê
= = -
ê
ê
ì
ì
ï
ï
=
+ =
ê
ï
ï
ï
Û
í
ê
í
ï
= -
ï
- =
ê
ï

ï
î
ï
î
ê
ì
ï
ê
= -
ï
ê
í
ê
ï
=
ï
ê
î
ë
Vậy có 4 số phức z thoả mãn là
1 ; 1 ;1 ; 1i i i i+ - - - - +
.
VÍ DỤ 8 CĐ 2010. Cho số phức
z
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i- + + = - +
.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z
.
Bài giải
Giả sử số phức z đó là z = x+iy,
,x y z x yi= -Î Þ¡
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 6 4 2 2i z i z x y x y i- + + = + + - -
,
( )
2
1 3 8 6i i- + = -
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
2
6 4 8 2
2 3 4 1 3
2 2 6 5
x y x
i z i z i
x y y
ì ì
ï ï
+ = = -
ï ï
- + + = - + ÛÛ
í í
ï ï

- - = - =
ï ï
î î
.
Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5.
VÍ DỤ 9. Tìm các căn bậc hai của số phức
16 30i+
.
Bài giải
8
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
Giả sử w = x+iy,
,x y Î ¡
là căn bậc hai của số phức
16 30i+
khi và chỉ
khi
2 2
5
16
3
2 30
x
x y
y
xy
ì
ì
ï
ï

=
- =
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
=
ï ï
î
ï
î
hoặc
5
3
x
y
ì
ï
= -
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Vậy có hai căn bậc hai của số phức

16 30i+
là
5 3 ; 5 3i i+ - -
.
1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau
a.
( ) ( )
3 3
2 3i i+ - -
b.
7
7
1 1
2
i
i
i
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
c.

( ) ( ) ( )
33
10
1 1
1 2 3 2 3
1
i
i i i
i i
æ ö
+
÷
ç
÷
+ - + + - +
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
Bài 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau
a.
( )
( )
50
49
1
3

i
z
i
+
=
+
b.
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
p p
æ ö
÷
ç
÷
- +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
c.
10
10
1
z

z
+
biết
1
1z
z
+ =
Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết
5z =
và
7
1
z i
z
-
Î
+
¡
Bài 4. Cho
1 2
;z z Î £
thỏa mãn:
1
3z =
,
2
4z =
,
1 2
5z z- =

. Tìm phần thực
phần ảo của số phức
1
2
z
z
z
=
Bài 5. Cho số phức
z x yi= +

( )
;x y Î ¡
. Tìm điều kiện của x; y để số phức
( )
( )
2 z i z- +
là số thuần thực.
Bài 6. Biết số
( )
( )
2 z i z- +
là một số thuần ảo, hãy tìm
( )
2 2z i- +
.
Baøi 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
2
(3 2 )(2 5 )

(3 )
(4 3 )
i i
z i
i
+ +
= - +
+
Baøi 8.Viết số phức sau dưới dạng a+bi.
a)
2 2
(1 ) (1 – )i i+ -
b)
3 3
(2 ) (3 )i i+ - -
c)
2
(3 4 )i+
9
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
d)
3
1
3
2
i
æ ö
÷
ç
÷

-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
e)
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
i i
+ - -
+ - +
f)
6
(2 )i-

Baøi 9. Cho các số phức
1 2 3
1 2 , 2 3 , 1z i z i z i= + = - + = -
. Tính
a)
1 2 3
z z z+ +
b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z+ +

c)
1 2 3
z z z
d)
2 2 2
1 2 3
z z z+ +
e)
1 2 3
2 3 1
z z z
z z z
+ +
f)
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
+
+
Baøi 10. Tìm x, y sao cho
a)
(1 2 ) (1 2 ) 1i x y i i- + + = +
b)
3 3
3 3
x y
i

i i
- -
+ =
+ -
Baøi 11. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử, với a, b, c
∈
R:
a)
2
1a +
b)
2
2 3a +
c)
4 2
4 9a b+
d)
2 2
3 5a b+
e)
4
16a +
f)
3
27a -
g)
3
8a +
h)
4 2

1a a+ +
Baøi 12. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau
a)
1 4 3i- +
b)
4 6 5i+
c)
1 2 6i- -
d)
5 12i- +
Baøi 13. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau.
e)
2
1
1
i
i
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
f)

2
1 3
3
i
i
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
g)
1 2
2 2
i-
h) i, –i
VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi
( )
2 2
2 2 2 2

cos sin
x y
z x yi x y i z i
x y x y
j j
æ ö
÷
ç
÷
ç
= + = + + = +
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
+ +
è ø
Sau đó sử dụng linh hoạt công thức Moa–vrơ. Sau đây là một số ví dụ cơ bản.
2.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
VÍ DỤ 1. Viết số phức
1 3z i= - +
dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một
acgument của z.
Bài giải
Biến đổi
1 3 2 2
1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3
z i i i
p p
æ ö
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= - + = + = +
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
ç
÷
è ø
ç
è ø
. Suy ra
10
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức

z có một acgument là
2
3
p
j
=
.
VÍ DỤ 2. Viết số phức
cos sin
5 5
z i
p p
= -
dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một
acgument của z.
Bài giải
Biến đổi
cos sin cos sin
5 5 5 5
z i i
p p p p
æ ö
æ ö æ ö
÷
÷ ÷ç
ç ç
÷
÷ ÷
= - = - + -
ç

ç ç
÷
÷ ÷
ç
ç ç
÷ ÷
÷
ç ç
ç
è ø è ø
è ø
. Suy ra z có một
acgument là
5
p
-
.
Nhận xét: Thường học sinh hay nhầm lẫn
cos sin
5 5
z i
p p
= -
là dạng
lượng giác và z có một acgument là
5
p
.
VÍ DỤ 3. Tìm một acgument của số phức
40

20
1 3
(2 2 ) .
1
i
z i
i
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
= +
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
Bài giải
Biến đổi:
( )
20
20 20 20
(2 2 ) 2 cos sin 2 cos 5 sin 5
4 4
i i i
p p

p p
æ ö
÷
ç
÷
+ = + = +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
( )
40
40
40 40
40 40
1 3 2 cos sin 2 cos sin
3 3 3 3
i i i
p p p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = + = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

ç ç
è ø è ø
( ) ( ) ( )
( )
40
40
1 cos sin cos 10 sin 10
4 4
i i i
p p
p p
æ ö
- -
÷
ç
÷
- = + = - + -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Suy ra
( )
( )
( )
40
40
20

20
40
1 3
1 3
(2 2 ) . 2 2 .
1
1
i
i
z i i
i
i
æ ö
+
+
÷
ç
÷
ç
= + = +
÷
ç
÷
ç
è ø
-
-

( )
( ) ( )

( )
40
20
40 40
2 . cos sin
3 3
2 cos 5 sin 5 .
cos 10 sin 10
i
i
i
p p
p p
p p
æ ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
= +
- + -
11
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức


60
25 25
2 cos sin
3 3
i
p p
æ ö
÷
ç
÷
= +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
60
2 cos sin
3 3
i
p p
æ ö
÷
ç
÷
= +
ç
÷
ç

÷
ç
è ø
. Vậy z có một
acgument là
3
p
.
Các em H.S thường gặp phải khó khăn khi cố gắng khai triển luỹ thừa
( )
( )
40
40
20
(2 2 ) , 1 3 , 1i i i+ + -
. Khi gặp luỹ thừa bậc cao, ta nên đưa về dạng
lượng giác, sau đó vận dụng công thức Moa–vrơ.
Chúng ta sẽ bàn kĩ hơn về ứng dụng dạng lượng giác được trình bày trong
VẤN ĐỀ 6, 7 áp dụng cho một số bài toán: Chứng minh đẳng thức lượng giác,
giải hệ phương trình
2.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Baøi 1.Tìm một Acgument của số phức sau:
a)
2 2 3.i- +
b) 4 – 4i c)
1 3.i-
d)
cos . sin
4 4
i

p p
-
e)
sin .cos
8 8
i
p p
- -
f)
(1 . 3)(1 )i i- +
Baøi 2. Tìm phần thực, phần sảo của các số phức sau:
a)
( ) ( )
2 cos18 sin 18 cos 72 sin 72
o o o o
i i+ +
b)
cos 85 sin 85
cos 40 sin 40
i
i
+
+
o o
o o
c)
0 0
0 0
2(cos 45 .sin 45 )
3(cos15 . sin 15 )

i
i
+
+
d)
2 2
2(cos .sin )
3 3
2(cos .sin )
2 2
i
i
p p
p p
+
+
Baøi 3.Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau
a)
1 3i-
b)
(1 3)(1 )i i- +
c)
2. .( 3 )i i-
d)
1 3
1
i
i
-
+

e)
5
tan
8
i
p
+
f)
3
(1 )(1 2 )
i
i i
+
+ -
Baøi 4.Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau:
a)
6
(2 )i+
b)
( )
60
1 3i- +
c)
40
7
1 3
(2 2 ) .
1
i
i

i
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
-
12
Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012. Chuyờn ờ: Sụ Phc
d)
100
1
cos sin
1 4 4
i
i
i
p p
ổ ử ổ ử
+
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ

+
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
-
e)
( )
17
1
3 i-
Baứi 5.Tim phõn thc, phõn ao cua cac sụ phc sau.
a)
( )
5
cos12 sin 12
o o
i+
b)
( )
7
0 0
2 cos 30 sin 30i
ộ ự
+
ờ ỳ
ở ỷ
c)
2010 2010
(1 ) (1 )i i+ + -

d)
2010
1i
i
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
e)
5 7
(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i
p p
- +
f)
2011
2011
1
z
z
+
, biờt

1
1z
z
+ =
Baứi 6.Chng minh
a)
5 3
sin 5 16 sin 20 sin 5 sint t t t= - +
b)
5 3
cos 5 16 cos 20 cos 5 cost t t t= - +
c)
2 3
sin 3 3 cos sint t t= -
d)
3
cos 3 4 cos 3 cost t t= -
.
Baứi 7.Chng minh
30
1
3
i
i
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
l s o.
VN ấ 3: PHNG TRINH TRONG TP Sễ PHC
Trong mc ny ta xột vic gii phng trỡnh trong ú n s ca mi phng
trỡnh l mt s phc z. Chu y rng cac phng trinh mõu mc, cac phng phap
giai mõu mc trong phng trinh vi cac hờ sụ va õn sụ la sụ thc c chuyờn
thờ nguyờn ven sang phng trinh phc. iờm khac biờt vi phng trinh trong
tõp sụ thc la phng trinh phc bõc n luụn co n nghiờm, tinh ca nghiờm bụi.
Khụng co trng hp phng trinh vụ nghiờm. Sau õy ta xet mụt sụ vi du c
ban sau.
3.1. MễT Sễ VI DU MINH HOA
Dang 1. Phng trinh bõc nhõt va phng trinh quy vờ bõc nhõt.
VI DU 1. Gii phng trỡnh sau trờn tp s phc:
a.
2 1 0iz i+ - =
b.
2
z i
i
z i
-
=
+
c.
( )

1 2 2 0i z i- - + =
Bai giai
a.
( )
1
1 1
2 1 0
2 2 2
i
iz i z i
i
- -
+ - = = = +
.
13
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
b.
( )
2
2
z i
z i
i
z i i z i
z i
ì
ï
-¹
-
ï

ï
= Û
í
ï
- = +
+
ï
ï
î

( )
1 2 2
z i
i z i
ì
ï
-¹
ï
ï
Û
í
ï
- = - +
ï
ï
î
2 4 3
.
1 2 5 5
z i z i

i
z z i
i
ì ì
ï ï
¹ ¹
ï ï
ï ï
Û Û
í í
- +
ï ï
= = - -
ï ï
ï ï
-
î î

Vậy phương trình có nghiệm là
4 3
5 5
z i= - -
.
c.
2 4 3
.
1 2 5 5
i
z z i
i

-
= = +Û
-
Vậy
4 3
.
5 5
z i= -
VÍ DỤ 2. Giải các phương trình sau.
a.
( ) ( )
2
2 2 1z z i z i iz i+ - - = + -
b.
2
0
2 3
1
z i
iz i
z
- =
+ -
+
Bài giải
a. Khai triển vế trái và thu gọn ta đưa phương trình về dạng
( ) ( )
2
5 5 1
2 2 1 3 5

3 3 3
i
z z i z i iz i iz i z i
i
-
+ - - = + - = - = = - -Û Û
Vậy phương trình có nghiệm là
5 1
3 3
z i= - -
b. ĐK:
, 3 2z i z i± - +¹ ¹
Thực hiện quy đồng vế trái của phương trình ta được phương trình
( )
( )
( )
2
2
2 3
0 0
2 3
1
1 2 3
i z i
z i
iz i
z
z iz i
- -
- = =Û

+ -
+
+ + -

( ) ( )
3 2
2 3 0 /
13 13
i z i z i t m
-
- - = = +Û Û
Vậy phương trình có nghiệm là
3 2
13 13
z i
-
= +
.
Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng
2
1 0,z z+ "¹
.
Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng
2
1i = -
.
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
Giải phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C

Î £
, A
0¹
).
* Tính
2 2
4B A C
d
= - =D
,
d
là 1căn bậc hai của ∆
*
0D ¹
: pt(*) có hai nghiệm phân biệt
2
B
z
A
d
- ±
=
.
14
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
*
0=D
: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép)
2
B

z
A
= -
.
Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì
z
cũng là
nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số
thực thì ta biết được nghiệm còn lại. Không có trường hợp phương trình bậc hai
vô nghiệm.
VÍ DỤ 1. Giải phương trình trên tập số phức:
( ) ( )
2
1 2 1 2 4 0i z i z- - + - =
.
Bài giải
Pt:
( ) ( )
2
1 2 1 2 4 0i z i z- - + - =

( )
2
1 2
2 1 0
1
i
z z i
i
+

- - + =Û
-
( ) ( ) ( )
2
1 3 2 1 0 . 1z i z i+ - - + =Û
Ta có:
( ) ( )
2
1 3 8 1 2i i i= - + + =D
Gọi
( )
,Z x yi x y= + Î ¡
là căn bậc hai của 2i khi đó ta có

2 2
1; 1
0
1; 1
1
x y
x y
x y
xy
ì
é
ï
= =
- =
ï
ï

ê
Û
í
ê
ï
= - = -
=
ê
ï
ë
ï
î
Khi đó,
D
có một căn bậc hai là 1 + i. Vậy (1) có hai nghiệm là
1 2
3 1 1 3 1 1
2 , 1
2 2
i i i i
z i z i
- + + - - -
= = = = - +
.
Nhận xét: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lý Viét vẫn đúng trong trường
hợp xét phương trình bậc 2 trên tập hợp số phức.
VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau trên tập số phức
( ) ( )
2
2 3 4 3 1 0i z i z i- + - + - =

.
Bài giải
Cách 1. Giải theo biệt thức
D
Cách 2. Nhẩm nghiệm.
Ta có:
( ) ( )
2 3 4 3 1 0i i i- + - + - =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm z

= 1 và
( ) ( )
1 1 1 5
1 2 3
2 3 13 13
c i i
z i i
a i
- +
= = = - - = -
-
.
VÍ DỤ 3. Cho a, b, c là ba số phức phân biệt khác 0 và
a b c= =
.
15
Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012. Chuyờn ờ: Sụ Phc
Chng minh rng nu mt nghim ca phng trỡnh
2
0az bz c+ + =

cú
mụul bng 1 thỡ
2
b ac=
.
Bai giai
Gia s
1 2
,z z
l cỏc nghim ca phng trỡnh
2
0az bz c+ + =
vi
1
1z =
.
Theo inh ly Viet ta co
1 2 2
1
1
.
c c
z z z
a a z
= =
suy ra
2
1
1
. 1.

c
z
a z
= =
Bi vỡ
1 2
,
b
z z a b
a
+ = - =

2
1 2
1z z+ =ị
.
Suy ra
( )
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1
1 1z z z z z z
z z
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ + = + + =

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ


( )
2
2
2
1 2 1 2
.
b c
z z z z b ac
a a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = - = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(pcm).
Dng 3: Phng trỡnh quy v bc hai

VD4.( thi tuyn sinh Cao ng khi A, B 2009).
Gii phng trỡnh sau trờn tp s phc
4 3 7
2
z i
z i
z i
- -
= -
-
.
õy la phng trinh cha õn mõu. Trc khi giai ta nờn t K cho phng
trinh.
Bai gii
Vi iu kin z
ạ
i, khi o pt:
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 7 2 3 4 1 7 0 1z i z i z i z i z i- - = - - - + + + =
Ta cú
( ) ( )
2
3 4 4 1 7 3 4i i i= + - + = -D
Ga s
( )
,z x yi x y= + ẻ Ă
l cn bc hai ca
D
khi ú ta cú h sau xỏc

nh x, y:

2 2
2; 1
3
2; 1
2 4
x y
x y
x y
xy
ỡ
ộ
ù
= = -
- =
ù
ù
ờ

ớ
ờ
ù
= - =
=
ờ
ù
ở
ù
ợ

D
co mụt cn bõc hai la 2 i. Pt(1) co hai nghiờm la
( )
3 /z i t m= +
,
( )
1 2 /z i t m= +
.
16
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
3z i= +
,
1 2z i= +
.
VÍ DỤ 5. Giải phương trình với z là số phức:
( ) ( )
2
2 2
4 12 0z z z z+ + + - =
.
Phương trình trên là phương trình bậc 4 phải có đủ 4 nghiệm ( Tính cả nghiệm
bội ). Trong phương trình có biểu thức
2
z z+
chung nên ta giải như sau.
Bài giải
Đặt
2
t z z= +

, ta có pt:
2
6
4 12 0
2
t
t t
t
é
= -
ê
+ - = Û
ê
=
ê
ë
Vậy phương trình đã cho tương tương với:
1
2
2
2
3
4
1 23
2
6 0
1 23
2 0
2
1

2
i
z
z z
i
z
z z
z
z
é
- +
ê
=
ê
ê
é
+ + =
ê
- -
ê
ê
Û
=
ê
ê
+ - =
ê
ê
ë
=

ê
ê
= -
ê
ë
.
KL: Pt có 4 nghiệm là
1 2 3 4
1 23 1 23
; ; 1; 2
2 2
i i
z z z z
- + - -
= = = = -
.
VÍ DỤ 6. Giải phương trình với ẩn z là số phức:
2
4 3
1 0
2
z
z z z- + + + =
.
Bài giải
Vì z = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có
( )
2
2
2

1 1 1 1 1 5
0 0. 1
2 2
z z z z
z z z
z
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- + + + = - - - + =Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Đặt
1
,t z
z
æ ö
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷

ç
è ø
giải pt:
2 2
1 3
5
2
0 2 2 5 0 .
1 3
2
2
i
t
t t t t
i
t
é
+
ê
=
ê
- + = - + =Û Û
ê
-
ê
=
ê
ë
+ Nếu
1 3

2
i
t
+
=
, ta có:
( ) ( )
2
1 1 3
2 1 3 2 0 2
2
i
z z i z
z
+
- = - + - =Û
Vì
8 6i= +D
, có căn bậc hai là 3+i và -3-i, nên
17
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức

( )
1
2
1 3 3
1
4
2
1 3 3 1 1

4 2 2
i i
z i
i i
z i
é
+ + +
ê
= = +
ê
Û
ê
+ - -
ê
= = - +
ê
ë
.
+ Nếu
1 3
2
i
t
-
=
, ta có :
( )
2
2 1 3 2 0z i z- - - =
3

4
1
1 1
2 2
z i
z i
é
= -
ê
ê
Û
ê
= - -
ê
ë
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là
1 2
1 1
1 ;
2 2
z i z i= + = - +

3 4
1 1
1 ;
2 2
z i z i= - = - -
.
Phương trình trên xuất phát từ phương trình bậc 4 đối xứng hoặc bán đối xứng
quen thuộc trong tập số thực dạng

( )
4 3 2
0, 0ax bx cx bx a a- + + + = ¹
,
( )
4 3 2
0, 0ax bx cx bx a a+ + + + = ¹
Sau đây ta xét một số ví dụ khác được suy ra từ những phương trình
thường gặp trong tập số thực như dạng:
• Bậc 4 trùng phương.
• Dạng
( ) ( ) ( ) ( )
. . .x a x b x c x d e- - - - =
với
a b c d+ = +
.
• Dạng
2 2
2 2
, . ' 0
' ' ' ' ' '
ax bx a cx dx c
e a a
a x b x a c x d x c
+ + + +
+ = ¹
+ + + +
.
• Dạng
( ) ( )

4 4
x a x b c- + - =
• Nhẩm nghiệm sau đó hạ bậc bằng phép chia đa thức hoặc sử
dụng lược đồ HoocNe.
• Phương trình quy về dạng tích bằng 0.
VÍ DỤ 7. Giải phương trình
2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
z z
z z z z
+ =
- + + +
. HD: Đặt
3
2t z
z
= +
VÍ DỤ 8. ( Dạng bất thường). Giải phương trình
3 2 . 1 4 0z i z i+ + - =
HD. Sử dụng phương pháp tìm phần thực, phần ảo số phức
( )
, ,z x yi x y= + Î ¡
VÍ DỤ 9. Tìm giá trị tham số
m∈¡
sao cho
( )
( )
2 2

2 2 0z i z mz m m- + + - =
18
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
a. Chỉ có đúng một nghiệm phức
b. Chỉ có đúng một nghiệm thực
c. Có ba nghiệm phức
Bài giải
Kí hiệu phương trình
( )
( )
( )
2 2
2 2 0 1z i z mz m m- + + - =
( )
( )
2 2
1
2 2 2
z i
Pt
z mz m m
é
=
ê
Û
ê
+ + -
ê
ë
Do các hệ số của phương trình (2) đều là số thực và có biệt thức

' 2m∆ = ∈¡
.
* Nếu
' 0∆ >
thì pt(2) có hai nghiệm thực.
* Nếu
' 0∆ =
thì pt(2) có một nghiệm thực, không có nghiệm phức.
* Nếu
' 0∆ <
thì pt(2) có hai nghiệm phức, không có nghiệm thực. Do vậy
a. Phương trình (1) Chỉ có đúng một nghiệm phức
' 2 0 0m m⇔ ∆ = ≥ ⇔ ≥
.
b. Phương trình (1) chỉ có đúng một nghiệm thực
' 2 0 0m m⇔ ∆ = = ⇔ =
.
c. Phương trình (1) có ba nghiệm phức
' 0 0m⇔ ∆ < ⇔ <
3.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
3 2
1 3
Z
i
i
= +
- +


b)
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 6 3 1 3i Z i Z i i- + + + + = - +

c)
2
0Z Z+ =

d)
2
4 1 4 1
5 6 0
1 1
z z
z z
æ ö æ ö
+ +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- + =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
- -
è ø è ø


e)
( )
4
4
4 82Z Z+ - =

f)
( ) ( )
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0Z Z Z Z Z Z+ + + + + - =

g)
( )
2
os i sin os sin 0Z c Z c i
j j j j
- + + =
.
Bài 2. Tìm những số thực a, b để có thể phân tích

( ) ( )
4 3 2 2 2
2 3 2 2 1Z Z Z Z Z Z aZ b+ + + + = + + +
rồi giải phương trình
4 3 2
2 3 2 2 0Z Z Z Z+ + + + =
trên
£
.

Baøi 3.Giải các phương trình sau trên tập số phức ( x là ẩn)
19
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
a)
2
3. 1 0x x- + =
b)
2
3 2. 2 3. 2 0x x- + =
c)
2
3 2 0x x- + =
d)
4
2 16 0x + =
e)
5
( 2) 1 0x + + =
.
Baøi 4.Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn)
a)
2
 4  10 0z z+ + =
b)
2
5  9 0z z- + =
c)
2
2  3  1 0z z- + - =
c)

4 2
5  6  0z z- + =

e)
3
 8 0z + =
Baøi 5.Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn)
a)
2
(3 2 ) ( ) 3i z i i- + =
b)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ - +
=
- +
c)
1 1
3 3
2 2
z i i
æ ö
÷
ç
÷
- = +
ç

÷
ç
÷
ç
è ø
d)
3 5
2 4
i
i
z
+
= -
e)
( ) ( ) ( )
2 3 1 3z i i z i+ = - - +
f)
2
( 3 )( 2 5) 0z i z z+ - + =
g)
( )
3
7 3
2 1
2 1
i i
z
i
+ +
=

+
-
h)
2 2
( 4)( 2 10) 0z z z+ + + =
i)
4
1
z i
z i
æ ö
+
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
Baøi 6.Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn)
a)
2
3 . 2 4 0i z z i- - + =
b)
2
2(1 ) 4 2 0z i z i+ + + + =


c)
( ) ( )
2
2 + 2 2 3 0z i z i+ + - =
Baøi 7.Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
( )( ) 0z z z z+ - =
b)
2
2 0z z+ + =
c)
2
2z z= +
d)
2 3 2 3z z i+ = +
e)
2
2
4 8 8z z+ =
f)
3
z z=
g)
2
2
4 8 8z z+ =
h)
2
0z z+ =

i)
2
2
0z z+ =
k)
2 2 4z z i+ = -
l)
2 1 8z z i- = - -
m)
2
0z z- =
Baøi 8.Giải các phương trình sau trên tập số phức
a)
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
æ ö
+ +
÷
ç
÷
- + =
ç
÷
ç
÷
ç
- -

è ø
b)
( )
( )
( )
2
5 3 3 0z i z z z+ - + + =
c)
2
2 2 1 0z iz i- + - =
d)
( ) ( )
3 2
1 3 3 0z i z i z i- + + + - =
e)
( )
( )
2
   2  2   0z i z z+ - + =
f)
2
80 4099 100 0z z i- + - =
20
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
Baøi 9.Giải các pt sau trên tập số phức biết chúng có một nghiệm thuần ảo.
a)
3 2
2 2 0z iz iz- - - =
b)
3 2

( 3) (4 4 ) 4 4 0z i z i z i+ - + - - + =
Baøi 10. Tìm m để phương trình sau:
( )
( )
2 2
2 2 0z i z mz m m+ - + - =
a) Chỉ có đúng một nghiệm phức.
b) Chỉ có đúng một nghiệm thực.
c) Có ba nghiệm phức.
Baøi 11. Tìm m đê phương trình sau:
3 2
(3 ) 3 ( ) 0z i z z m i+ + - - + =
có ít
nhất một nghiệm thực.
Baøi 12. Tìm tất cả các số phức z sao cho
( 2)( )z z i- +
là số thực.
Baøi 13. Giải các phương trình trùng phương
a)
4 2
6 25 0z z- + =
b)
4 2
24(1 ) 308 144 0z i z i- - + - =
c)
4 2
6(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + =
d)
4 2
8(1 ) 63 16 0z i z i- - + - =

Baøi 14. Cho
1 2
,z z
là nghiệm của phương trình:
( )
2
1 2 2 3 0z i z i- + + - =
.
Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
2 2
1 2
z z+
b)
2 2
1 2 1 2
z z z z+
c)
3 3
1 2
z z+
d)
1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
z z
z z z z
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç

÷ ÷
+ + +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
e)
3 3
2 1 1 2
z z z z+
f)
1 2
2 1
z z
z z
+
Baøi 15. Cho
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0x x- + =
.
Tính giá trị của các biểu thức:
a)
2010 2010
1 2
x x+

b)
2011 2011
1 2
x x+
c)
1 2
,
n n
x x n N+ Î

Baøi 16. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng là
a)
2 3i+
và
1 3i- +
b)
2i
và
4 4i- +
Baøi 17. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm
a)
3 4i
a
= +
b)
7 3i
a
= -
c)
2 5i

a
= -
d)
2 3i
a
= - -
e)
3 2i
a
= -
f)
i
a
= -
g)
(2 )(3 )i i
a
= + -
h)
51 80 45 38
2 3 4i i i i
a
= + + +
i)
5
2
i
i
a
+

=
-

Baøi 18. Tìm tham số
m Î ¡
để phương trình
2
1 0z mz m- + + =
có hai
nghiệm z
1
, z
2
thoả mãn điều kiện:
2 2
1 2 1 2
1z z z z+ = +
.
21
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
Baøi 19. Tìm tham số
m Î ¡
để phương trình
2
3 5 0z mz i- + =
có hai
nghiệm z
1
, z
2

thoả mãn điều kiện:
3 3
1 2
18z z+ =
.
Baøi 20. Cho
1 2
,z z
là nghiệm phương trình
( )
2
1 2 (3 2 ) 1 0i z i z i+ - + + - =
.
Tính giá trị của biểu thức sau
a)
2 2
1 2
A z z= +
b)
2 2
1 2 1 2
B z z z z= +
c)
1 2
2 1
z z
C
z z
= +


VẤN ĐỀ 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
BÀI TOÁN: TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – MAX, MIN MÔĐUL
4.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: Tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và
phần ảo
Giả sử số phức z có dạng
( )
, ,z x yi x y= + Î ¡
. Từ giả thiết đề bài ta
thiết lập biểu thức giữa x, y. Sau đây là một số biểu thức thường gặp.
Biểu thức Đường tương ứng
( )
2 2
0, 0ax by c a b+ + = + ¹
Đường thẳng
2
, 0y ax bx c a= + + ¹
Đường parabol
( )
, 0
ax b
y ad bc
cx d
+
= - ¹
+
Đường hyperbol
( ) ( )
2 2
2

x a y b R- + - =
Đường tròn
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Elíp.
4.1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
VÍ DỤ 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn
a.
1 2z i z- + = +
b.
2 2z i z z i- = - +
c.
( )
2
2
4z z- =
d.
( )
( )
2 z i z- +
là số thuần ảo.
Bài giải
Giả sử
( )
;z x yi x y= + Î ¡
và

( )
;M x y
là điểm biểu diễn của z.
22
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
a.
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2z i z x y i x yi- + = + - + + = + -Û

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2x y x y- + + = + +Û
3 1 0x y- + =Û
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường thẳng có phương trình là
3 1 0x y- + =
Mở rộng: khi giả thiết đề bài sửa thành
1 2z i z- + > +
ta biến đổi được
3 1 0x y- + <
và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn số z là nửa mặt phẳng
không chứa gốc tọa độ bờ là đường thẳng
3 1 0x y- + =
.
b.
( ) ( )
2 2 2 1 2 1z i z z i x y i y i- = - + + - = +Û

( ) ( )
2

2 2
2
1 1
4
x
x y y y+ - = + =Û Û
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một parabol có phương trình là
2
4
x
y =
Mở rộng: ta sẽ kết luận như thế nào nếu biểu thức lien hệ là
2
4
x
y >
?
c.
( )
2
2
1
4 4 4z z xyi y
x
- = = = ±ÛÛ Û
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là hai hyperbol có phương trình
1
y
x
=

và
1
y
x
= -
.
d.
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2z i z x y x y y x i- + = = - - + + + - -
là số thuần ảo khi
phần thực bằng 0
( )
2
2
1 5
1
2 4
x y
æ ö
÷
ç
÷
- + - =Û
ç
÷
ç

÷
ç
è ø
.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường tròn có phương trình
( )
2
2
1 5
1
2 4
x y
æ ö
÷
ç
÷
- + - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
23
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
Mở rộng: ta kết luận như thế nào nếu hệ thức tìm được là
( )
2
2

1 5
1
2 4
x y
æ ö
÷
ç
÷
- + - <
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
?
4.1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
a. Phần thực của z bằng -2 b. Phần ảo của z bằng 3
c. Phần thực của z thuộc
( )
1;2-
d. Phần ảo của z thuộc
1; 3
é ù
ê ú
ë û
e. Phần thực của z thuộc
( )
1;2-

và phần ảo của z thuộc
1; 3
é ù
ê ú
ë û
Bài 2. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a.
1z =
. b.
2 3 3z i- + =
c.
2z i- £
d.
1 4 2i z-£ £
Bài 3. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a.
2 3z i z i+ = - -
b.
3
1
z i
z i
-
=
+
là số thực c.
1
z i
z i
-

=
+
d.
3 4z z i= - +
e.
2
z
là số ảo f.
2 2
( )z z=
g.
3
1
3
z i
z i
-
=
+
h.
1 (1 )z i z- = +
i.
3 4z z+ + =
4.2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: Sử dụng các quỹ tích hình học cơ bản
Chú ý rằng, mỗi số phức z = x + yi tương ứng với một điểm M(x;y) trong
mặt phẳng phức oxy, và ngược lại. Môdul
o
z z-
là khoảng cách giữa hai điểm
tương ứng M(x; y) và M

o
(x
o
; y
o
) tương ứng với hai số phức z, z
o
.
Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học.
Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi
1 2
z z z z- = -
Đường trung trực của đoạn thẳng M
1
M
2
,
với M
1
, M
2
tương ứng với z
1
, z
2
.
( )
, 0
o
z z R R- = >

Đường tròn tâm M
o
, bán kính R, với M
o

là điểm ứng với z
o
.
1 2
2 2 0z z z z a c- + - = > >
Elip tâm sai là F
1
, F
2
tương ứng với M
1
,
M
2
và khoảng cách F
1
F
2
= 2c.
1 2
2 0z z z z a- - - = >
Hyperbol tâm sai là F
1
, F
2

tương ứng với
M
1
, M
2
và khoảng cách F
1
F
2
= 2c
24
Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2012. Chuyên đề: Số Phức
4.2.1.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
VÍ DỤ 2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z biế
a.
2 3 1z i z i- + = + -
b.
4 2 5z i+ - =
c.
4 4 10z z- + + =
d.
2 2 3z z- - + =
Bài giải
Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
a. Xét hai điểm A(2;-3) và B(-1;1)
Nhận thấy
( ) ( )
2 2
2 3 2 3z i x y MA- + = - + + =
.

Tương tự
1z i MB+ - =
.
Vậy giả thiết
2 3 1z i z i MA MB- + = + - =Û
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
b. Xét điểm I(-4;2)
Từ giả thiết:
4 2 5 5z i IM+ - = =Û
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-4;2), bán kính R = 5.
c. Xét hai điểm
( )
1
4;0F
và
( )
2
4;0F -
Giả thiết
1 2
4 4 10 10z z MF MF- + + = + =Û
Suy ra tập hợp các điểm M là Elip có tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ
dài trục nhỏ 2b = 6. phương trình chính tắc là:
2 2
1
25 9
x y
+ =
d. Xét hai điểm
( )

1
2;0F
và
( )
2
2;0F -
Giả thiết:
1 2
2 2 3 3z z MF MF- - + = - =Û
. Suy ra tập hợp các điểm M
là Hypebol có tiêu cự 2c = 4, độ dài trục thực 2a = 3, độ dài trục ảo 2b =
7
.
Phương trình chính tắc là :
2 2
4 4
1
9 7
x y
- =
.
VÍ DỤ 3. Trong các số phức z thỏa mãn
1 2z i- + £
, tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất.
Bài giải
25