GIÁO ÁN ĐH A2 Số tiết 6
GIÁO ÁN TOÁN A2 HỆ ĐẠI HỌC
TÊN BÀI GIẢNG:
CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT)
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC
 MỤC ĐÍCH:
- Có kó năng thực hiện các phép toán trên ma trận.
- Nhận biết được ma trận bậc thang.
- Biết sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang.
- Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.
- Biết được ma trận khả nghòch và biết tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận vuông
bằng thuật toán Gauss-Jordan. Biết cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính n phương
trình, n ẩn bằng cách sử dụng ma trận nghòch đảo.
- Hiểu được đònh thức của một ma trận, hiểu và vận dụng được công thức Laplace để tính
đònh thức. Nắm được các tính chất cơ bản của đònh thức.
TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP
4
4.1
Bài tập: 13, 15, 17, 23, 28, 30 trang 44, 45, 46.
Phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình đại số tuyến
tính.
Hệ Phương trình đại số tuyến tính.
* Dạng:







=+++

=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaaxa
bxaxaxa



2211
2222121
1121211

(1)
* Dạng ma trận: AX = B (2)
Trong đó:
A =













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa



21
22221
11211

, X =












n
x
x

x

2
1
, B =












m
b
b
b

2
1
45’
10’
Hướng dẫn
giải.
Diễn giải.
1

4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
A gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận hằng số.
Ngoài ra ta còn thiết lập ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở rộng
của hệ phương trình.
Các ví dụ 1, 2 trang 27.
+ Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: b
1
= b
2
= … = b
m
= 0
+ Nghiện của hệ (1).
+ Hệ phương trình tương thích, ẩn số tự do, ẩn số cơ sở.
+ Hệ phương trình tương đương.
Các phép toán sơ cấp trên hàng của ma trận.
1) Hoán vò hai hàng R
i
↔ R
j
2) Thay một hàng bằng chính hàng đó sau khi nhân với một số khác 0:
λR
i
→ R
i

(λ ≠ 0).
3) Thay một hàng bằng chính hàng đó cộng với một hàng khác sau khi
đã nhân với một số bất kì: λR
j
+ R
i
→ R
i

Ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang chính tắc
Sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng ta có thể đưa ma trận mở
rộng của một hệ phương trình tuyến tính về dạng bậc thang chính tắc
là ma trận mở rộng của một hệ phương trình mới tương đương với hệ
phương trình đã cho.
+ Giới thiệu ma trận có dạng bậc thang chính tắc (GT trang 28)
Phương pháp Gauss-Jordan.
Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính ta dùng phương pháp
Gauss-Jordan theo các bước sau:
* B1: Thiết lập ma trận mở rộng.
* B2: Dùng các phép toán sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A’ về
dạng bậc thang chính tắc A’’.
* B3: Giải hệ phương trình với ma trận mở rộng A’’.
Ví dụ: 1, 2, 3 trang 29, 30, 31.
Ma trận Nghòch đảo.
Đònh nghóa: Cho A∈M
n
(|R), A được gọi là khả nghòch (không suy
biến), nếu tồn tại ma trận B∈M
n
(R), sao cho A.B = BA = I

n
B gọi là ma trận nghòch đảo của A, kí hiệu là A
-1
, ta có:
AA
-1
= A
-1
A = I
n
Nếu A không khả nghòch ta nói A là ma trận suy biến.
Đònh lí: * Nếu A là ma trận khả nghòch thì ma trận nghòch đảo A
-1
là
duy nhất.
* (A
-1
)
-1
= A
* (A
1
A
2
)
-1
= A
2
-1
A

1
-1
* (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
[Giáo trình trang 32]
10’
10’
30’
30’
Diễn giải.
Diễn giải
minh họa
Diễn giải.
Hướng dẫn
giải.
Diễn giải.
Hướng dẫn
2
5.3
5.4
1
1.1
Thuật toán Gauss-Jordan để tìm ma trận nghòch đảo của một ma
trận vuông cấp n.

* B1: Lập ma trận M = [A | I
n
]
* B2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để biến đổi [A | I
n
]
về dạng bậc thang [I
n
| B].
* Kết luận: A
-1
= B
Các ví dụ: 1, 2, 3 trang 34, 35, 36 giáo trình.
Giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính bằng cách sử dụng ma trận
nghòch đảo.
* Đònh lý: Cho hệ phương trình n phương trình, n ẩn số AX = B.
Nếu A không suy biến thì phương trình đã cho có một nghiệm duy
nhất X = A
-1
B.
(Giáo trình trang 37)
* Ví dụ: trang 37.
* Bài tập: 73, 74 trang 48; 77, 80 trang 49.
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC
Hoán vò cấp n.
Hoán vò cấp n.
* Đònh nghóa 1: Cho X là một tập hợp có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách
sắp xếp n phân( tử của X theo một thứ tự nhất đònh được gọi là hoán
vò của X.
Ví dụ: X = {a, b, c}

Có 6 cách sắp xếp:








cba
cba
,








bca
cba
,









cab
cba








acb
cba
,








bac
cba
,









abc
cba
Theo ngôn ngữ ánh xạ ta có đònh nghóa sau:
* Đònh nghóa 2: Cho X là một tập hợp có n phần tử, một hoán vò cấp n
là một song ánh từ X lên chính nó.
Không mất tính tổng quát, bằng cách đánh số các phần tử; một
hoán vò cấp n thường được viết như sau:














=
)()3()2()1(
321
n
n
σσσσ

σ


45’
10’
Hướng dẫn
giải.
Diễn giải
Minh họa
3
1.2
2
2.1
Chú ý: Nếu X có n phần tử thì ta có n! hoán vò cấp n của X. Tập tất cả
các hoán vò cấp n được kí hiệu là S
n
. Như vậy S
n
có phần tử.
Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ.
a) Nghòch thế: Cho σ ∈ S
n
. Một cặp phần tử (i, j) được gọi là nghòch
thế. Nếu ta có i < j => σ(i) > σ(j).
b) Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ:
Gọi S(σ) là tổng tất cả các nghòch thế của σ.
* Nếu S(σ) là số chẵn, ta nói σ là hoán vò chẵn.
* Nếu S(σ) là số lẻ, ta nói σ là hoán vò lẻ.
Ví dụ: Cho σ =









51342
54321
σ có 4 nghòch thế, S(σ) = 4, vậy σ lá hoán vò chẵn.
Đònh thức:
Đònh nghóa: Cho ma trận vuông cấp n (n ≥ 1)
A =














nn
n
n

aaa
aaa
aaa




1211
22221
11211
Đònh thức của ma trận A, kí hiệu det A, D(A) hoặc |A| được
xác đònh như sau:
det A =
∑
∈
−
n
S
nn
S
aaa
σ
σσσ
σ
)()2(2)1(1
)(
)1( 
(1)
(Tổng này có dạng n! số hạng)
Chẳng hạn:

* A =








2221
1211
aa
aa
n = 2 ta có 2 hoán vò








21
21
1
σ
và









12
21
2
σ
Trong đó có 1 hoán vò lẻ là σ
2
; từ (1) ta có:
det A =
2112
)0(
1211
)(
21
)1()1( aaaa
SS
σσ
−+−
det A =
21122211
aaaa −
* A =













333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
n = 3 ta có 6 hoán vò σ
1
, σ
2
, σ
3
, σ
4
, σ
5
, σ
6
. Trong đó có 3 hoán vò
10’
15’
Diễn giải.

Diễn giải.
Hướng dẫn
tính.
4
3
4
4.1
σ
1
, σ
2
, σ
3
chẵn, có 3 hoán vò σ
4
, σ
5
, σ
6
lẻ.
Từ (1) ta có:
det A =
233113
)0(
312312
)0(
332211
)(
221
)1()1()1( aaaaaaaaa

SSS
σσσ
−+−+−
122133
)0(
133122
)0(
332211
)(
221
)1()1()1( aaaaaaaaa
SSS
σσσ
−+−+−
=> det A =
213213312312332211
aaaaaaaaa ++

211233311322322311
aaaaaaaaa −−−
Để dễ nhớ ta dùng qui tắc Sarrus sau:
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo chính mang dấu cộng.
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ mang dấu trừ.
Tính chất cơ bản của đònh thức.
1) Ta có D(A) = D(A
T
) ; D(AB) = D(A) D(B) = D(BA)
2) Nếu đổi chổ 2 hàng (cột) bất bì cho nhau thì đònh thức đổi dấu.
Đặc biệt: Nếu 1 ma trận có 2 hàng (2 cột) giống nhau thì đònh
thức bằng 0.

3) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử trên hàng đều
là một tổng của hai số thì ta có thể tách đònh thức đã cho thành tổng
của hai đònh thức.
4) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử đều là tích
của λ với một số thì ta có thể đưa λ ra ngoài dấu đònh thức.
5) Đònh thức không đổi khi ta cộng vào một hàng với một hàng khác
sau khi đã nhân với một hằng số.
Cho các ví dụ minh họa.
Đònh lý Laplace.
Đònh thức con bù, phần bù đại số.
Cho ma trận A =














nnnn
n
n
aaa
aaa

aaa




21
22221
11211
* Đònh thức con bù của phần tử a
ij
, kí hiệu M
ij
là đònh thức của
ma trận con có được từ A bằng cách bỏ hàng i, cột j.
Ví dụ: cho A =










987
456
321
M
23

=
6148
87
21
−=−=
* Phần bù đại số của phần tử a
ij
. Kí hiệu A
ij
là một số được xác
20’
15’
Diễn giải.
Minh họa.
5
4.2
đònh như sau:
A
ij
= (-1)
i+j
M
ij
Ví dụ: A
23
= (-1)
2+3
M
23
= -M

23
= 6
Đònh lý Laplacce:
Cho A =
[ ]
ni
ni
ij
a
,1
,1
=
=
Ta có:
* det A =
∑
=
n
j
ijij
Aa
1
(khai triển theo hàng thứ i)
* det A =
∑
=
n
i
ijij
Aa

1
(khai triển theo cột thứ i)
Ví dụ: Giáo trình trang70.
15’
 TỔNG KẾT: (5 phút).
- Ma trận nghòch đảo, thuật toán Gauss để tìm ma trận nghòch đảo, để giải hệ phương trình
đại số tuyến tính.
- Cách tính đònh thức cấp 2, cấp 3, công thức Laplace.
- Bài tập về nhà trang 48, 49, bài 92, 93 trang 50; bài 105, 106 trang 51.
 RÚT KINH NGHIỆM:


Ngày tháng năm 2006
Khoa Tổ bộ môn
Ngày tháng năm 2006
Giảng viên
6
GIÁO ÁN SỐ 3 Số tiết 6
ĐH A
2
TÊN BÀI GIẢNG:
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC (TT)
CHƯƠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
 MỤC ĐÍCH:
- Nắm các phương pháp tính đònh thức.
- Điều kiện khả nghòch của một ma trận vuông, tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận
vuông bằng ma trận phụ hợp, ma trận liên lợp.
- Hạng của ma trận, các tính chất của hạng, đònh thức con cơ sở.
- Biết hệ phương trình đại số tuyến tính và dạng ma trận của hệ.
- Nắm và vận dụng được qui tắc Cramer.

TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP
§5
5.1
5.2
5.3
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghòch.
Ma trận phụ hợp, ma trận liên hợp của một ma trận vuông.
+ Ma trận phụ hợp của
nj
mi
iij
aA
,1
,1
)(
=
=
=
là ma trận
nj
mi
iij
AA
,1
,1
)(
=
=
=
. Tong đó A

ij
là
phần bù đại số của phần tử a
ij
.
+ Ma trận liên hợp của
A
, kí hiệu A
V
, là
T
V
AA =
* Cho ví dụ.
Đònh lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận A∈M
n
(R) khả nghòch là det A
≠0.
Chứng minh (GT trang 68, 69)
* Điều kiện cần: det A. det B = 1
* Điều kiện đủ: • Lập A A
V
(A
V
A)
• Lưu ý
0,det
11
==
∑∑

≠
==
n
ji
k
jkik
n
k
ikik
AaAAa
=> AA
V
= det A.I
n

Tương tự A
V
A = det A.I
n
Vậy A có nghòch đảo
A
A
A
V
det
1
=
−
Cáo bước để tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phụ hợp.
* B1: Tính det A: det A = 0 => A không có ma trận nghòch đảo. det A ≠ 0,

thực hiện B2.
20’
25’
Diễn giảng
Minh họa
Hướng dẫn
7
§6
6.1
6.2
§7
7.1
7.2
* B2: Tính Aij để xác đònh ma trận phụ hợp
[ ]
nj
ni
ij
AA
,1
,1
=
=
=
Suy ra
T
V
AA =
* B3: Xác đònh
T

A
A
A
det
1
1
=
−
Ví dụ 1 trang 34.
Các Phương pháp tính toán đònh thức.
Dùng công thức khai triển Laplace.
Lưu ý: Nhân một hàng với một số chọn thích hợp rồi cộng vào một hàng
khác để làm triệt tiêu các phần tử của một cột ngoại trừ một phần tử.
Phương pháp dẫn về đònh thức tam giác.
Dùng tính chất của đònh thức để biến đổi đònh thứcvề dạng đònh thức tam
giác.
Các ví dụ trang 70, 71 giáo trình.
Hạng của ma trận.
Đònh nghóa: Cho ma trận A∈M
mxn
(|R)
+ Nếu trong ma trận A ta tách ra k hàng, k cột bất kì thì các phần tử trên
các giao điểm của các hàng và các cột đó tạo thành một ma trận vuông
cấp k. Đònh thức của ma trận này được gọi là đònh thức con cấp k của ma
trận A [ta có k ≤ min (m, n)].
+ Hạng của ma trận A, kí hiệu r (A) là cấp lớn nhất của đònh thức con khác
không của A.
* Chú ý: Nếu r (A) = r thì 0 ≤ r ≤ min (m, n) và lúc đó mọi đònh thức con
cấp lớn hơn r đều bằng 0. [r (A) = 0 ⇔ A = 0]
+ Nếu r (A) = r thì A có chứa ít nhất một đònh thức con khác không cấp r,

mỗi đònh thức con khác không cấp r bất kì của A được gọi là một đònh thức
con cơ sở của A.
+ Một ma trận A có thể có nhiều đònh thức con cơ sở. Ta chọn xét một
trong các đònh thức con cơ sở, lúc đó hàng và cột mà trên các giao điểm
của chúng là các phần tử của đònh thức con cơ sở đã chọn được gọi là hàng
và cột cơ sở.
Các tính chất.
* Tính chất 1: r (A) = r (A
T
) ∀A∈M
mxn
(R).
* Tính chất 2: Gọi A’ là ma trận có được từ A sau một số hữu hạn các phép
biến đổi sơ cấp trên hàng, ta nói A’ là ma trận tương đương với A và ta có
r(A’) = r (A).
* Tính chất 3: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một
hàng không (hàng toàn số 0).
* Tính chất 4: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một
hàng là một tổ hợp tuyến của các hàng khác.
* Tính chất 5: Hạng của một ma trận bậc thang dòng bằng số hàng khác
không của ma trận đó.
25’ Diễn giảng
Minh họa.
8
§1
§2
2.1
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng phép toán sơ cấp về hàng
(giáo trình trang 77).
Bài tập: 19, 28, 33, 36

CHƯƠNG IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.
Đònh nghóa:
* Hệ phương trình đại số tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng:







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



2211
22222121
11212111

(1)
Hệ (1) ⇔ AX = B
Với A =
[ ]

nj
mi
ij
a
,1
,1
=
=
gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình.
X =












n
x
x
x

2
1
gọi là ma trận cột ẩn số.

B =












m
b
b
b

2
1
gọi là ma trận cột hằng số.
Trong quá trình giải, ta thường dùng ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở
rộng của hệ phương trình.
* Khi tất cả các hằng số b
1
, b
2
, ……, b
m
đều bằng 0 thì hệ (1) được gọi là hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất.
* Nghiệm của hệ (1) là bộ (x
1
, x
2
, ……, x
n
) sao cho mọi phương trình trong
hệ được thỏa.
* Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
* Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm tầm thường là
(0, 0, …, 0)
* Hệ phương trình cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính (GT).
Các đònh lý.
Đònh lý Cramer.
Cho hệ phương trình tuyến tính có n phương trình, n ẩn. Gọi A là ma trận
hệ số của phương trình, lúc đó nếu det A ≠ 0 thì hệ có một nghiệm duy
nhất (x
1
, x
2
, ……, x
n
) với
njx
j
j
,1, =
∆
∆

=
. Trong đó ∆
j
là đònh thức của ma
trận có được từ A bằng cách thay cột thứ j bởi vectơ cột hằng số B.
Chứng minh (GT trang 73).
* Bước 1: Tồn tại nghiệm C
0
= A
-1
B.
* Bước 2: Nghiệm duy nhất.
45’
15’
25’
9
* Bước 3: Tính nghiệm:
njxBAC
j
j
,1,
1
0
=
∆
∆
=⇔=
−
- Ví dụ: Giáo trình trang 74, 75.
- Bài tập: Giáo trình trang 93, 94

45’
 TỔNG KẾT BÀI (5 phút):
- Điều kiện khả nghòch, nghòch đảo của một ma trận vuông.
- Hạng của ma trận.
- Qui tắc Cramer.
- Bài tập về nhà: từ bài 85 đến bài 95 trang 94, 95 giáo trình.
 RÚT KINH NGHIỆM:


Ngày tháng năm 2006
Khoa Tổ bộ môn
Ngày tháng năm 2006
Giảng viên
GIÁO ÁN SỐ 4 Số tiết 6
ĐH A
2

TÊN BÀI GIẢNG: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH(TT)
 MỤC ĐÍCH:
- Hiểu và vận dụng được đònh lý Kronecker-Capelli để giải hệ phương trình tuyến tính.
- Nắm được các đònh lý về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP
10
2.2
2.3
Đònh lý về hệ phương trình cơ sở.
Hệ phương trình đại số tuyến tính tương đương với hệ phương trình cơ sở
của nó.
* Giới thiệu về hệ phương trình cơ sở: Nếu r (A) = r, chọn một đònh thức
con cơ sở của

[ ]
BAA |
~
=
, ta có các hàng cơ sở tương ứng. Hệ gồm r phương
trình của hệ mà các hệ số chưa hệ số các hàng cơ sở được gọi là hệ phương
trình cơ sở của hệ đã cho.
* Chứng minh:
+ Mọi nghiệm của hệ đã cho hiển nhiên là nghiệm của hệ cơ sở.
+ Mỗi hàng bất kì của
A
~
là một tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ
sở. Như vậy mỗi phương trình của hệ đã cho đều có thể thu được bằng các
phép toán tuyến tính từ hệ cơ sở => Mọi nghiệm của hệ cơ sở là nghiệm
của hệ đã cho.
Đònh lý Kronecker Capelli:
Hệ phương trình AX = B tương thích khi và chỉ khi r (A) = r (
A
~
) với
[ ]
BAA |
~
=
.
Nếu r (A) = r (
A
~
) = n: hệ có một nghiệm duy nhất.

Nếu r (A) = r (
A
~
) < n: hệ có vô số nghiệm.
* Chứng minh:
i) Điều kiện cần: Cho hệ phương trình tương thích, tức là có nghiệm x
1
= c
1
,
x
2
= c
2
, ……, x
n
= c
n
, sao cho:
mibcacaca
ininii
,1;
2211
==+++
Suy ra













=












++













+












m
mn
n
n
n
mm
b
b
b
a
a
a
c
a

a
a
c
a
a
a
c



2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1

Như vậy cột cuối cùng của ma trận mở rộng
A
~
là một tổ hợp tuyến
tính của các cột trước đó, nên ta có thể bỏ được, vậy ta có r (
A
~

) = r (A).
ii) Điều kiện cần: Cho r (
A
~
) = r (A), ta tách r cột cơ sở của ma trận A; vì r(
A
~
) = r (A) nên chúng cũng là r cột cơ sở của
A
~
.
Không giảm tính tổng quát, chúng ta sử dụng r cột đầu là r cột cơ sở. Như
vậy cột cuối cùng của ma trận
A
~
là một tổ hợp tuyến tính của r cột đầu.
Do đó ta có thể tìm được các số c
1
, c
2
,…, c
r
sao cho:













=












++













+












mmr
r
r
r
mm
b
b
b
a
a
a
c
a
a
a
c

a
a
a
c

2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1

Suy ra:
mibacacac
iirrii
,1;
2211
==+++
Đặt x
1
= c
1
, x
2

= c
2
, ……, x
r
= c
r
, x
r+1
= …… = x
n
= 0
Ta có: c
1
a
i1
+ c
2
a
i2
+ …… + c
r
a
ir
+ …… + c
n
a
in
= b
i
15’

30’
Diễn giải.
Diễn giải.
Giải thích.
11
§3
§4
4.1
Nghóa là (c
1
, c
2
, ……, c
r
, 0, 0,…, 0) là nghiệm của hệ đã cho, vậy hệ số cho
là tương thích.
Bây giờ xét hệ phương trình cơ sở.







=+++
=+++
=+++
rnrnrr
nn
nn

bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



2211
22222121
11212111

(*)
* Nếu r (
A
~
) = r (A) = r = n.
Thì hệ (*) là hệ có n phương trình, n ẩn, đònh thức của hệ khác 0 nên theo
đònh lý Cramer, hệ (*) có nghiện duy nhất, vậy hệ đã cho có nghiệm duy
nhất.
* Nếu r (
A
~
) = r (A) = r < n. Ta có:
Hệ (*) ⇔








−−−=+++
−−−=+++
−−−=+++
++
++
++
rnrrrrrnrr
nnrrrr
nnrrrr
axabxaxaxa
xaxabxaxaxa
xaxabxaxaxa



1)1(2211
21)1(222222121
11)1(111212111

Cho các ẩn x
r+1
,…, x
n
những giá trò c
r+1
,…, c
n
∈ R tùy ý (các ẩn tự do)
thì hệ (*) là hệ Cramer và nó có nghiệm duy nhất x
1

= c
1
, x
2
= c
2
,…, x
r
= c
r
,
(những c
i
, i = 1,n phụ thuộc vào c
r+1
,…, c
n
) và như vậy (c
1
, c
2
…, c
r
, c
r+1
,…, c
n
)
là nghiệm của (*), cũng là nghiện của hệ đã cho.
Vì c

r+1
,…, c
n
chọn tùy ý nên hệ đã cho có vô số nghiệm.
Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
* B1: Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận
[ ]
BAA |
~
=
về dạng ma trận bậc thang, từ đó xác đònh r (A) và r (
A
~
)
* B2: Dùng đònh lý Kronecker Capelli để xét sự tương thích của hệ.
Nếu r (A) < r (A’) : kết luận hệ vô nghiệm
Nếu r (A) = r (A’) : qua bước 3.
* B3: Giải hệ phương trình cơ sở để tìm nghiệm (số hàng khác không).
- Các ví dụ 1, 2, 3 giáo trình trang 81, 82, 83
- Bài tập: 123, 125, 127, 138, 139, 145, 148 trang 98, 99, 100
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng AX = 0
A∈M
mxn
, X∈ M
nx1
.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm tầm thường là
(0, 0, 0, …, 0). Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn tương
thích.

Đònh lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính không thuần
nhất có nghiệm không tầm thường là r (A) < n
10’
25’
60’
5’
10’
Hướng dẫn
giải.
Diễn giải.
Giải thích.
12
4.2
4.4
Đònh lý này là hệ quả của đònh lý Kronecker Capelli.
Từ đònh lý 1, ta có ngay các hệ quả sau:
* Hệ quả 1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất mà số phương trình bé
hơn số ẩn thì luôn có nghiệm khác không.
* Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
mà số phương trình bằng số ẩn có nghiệm khác không là đònh thức của hệ
bằng 0.
(Vì r (A) < n ⇔ det A = 0)
Đònh lý 2: Nếu các vectơ cột C
1
, C
2
…, C
n
là nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất AX = 0 thì ô«3 hợp tuyến tính bất kì.

C = λC
1
+ A
2
C
2
+… + A
n
C
n
cũng là nghiệm của hệ.
Chứng minh: C
1
, C
2
…, C
n
là nghiệm của hệ nên ta có:
AC
1
= AC
2
= ……= AC
n
= 0. Từ đó suy ra AC = 0, suy ra C là nghiệm
của hệ.
Đònh lý 3: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
hạng r và n ẩn số có dạng λ
1
C

1
+ λ
2
C
2
+…… + λC
n-r
trong đó C
1
, C
2
…, C
n-r
là
các nghiệm riêng độc lập tuyến tính bất kì và λ
1
, λ
2
…, λ
h-r
là các số thực bất
kì.
Các nghiệm C
1
, C
2
…, C
n-r
được gọi là hệ nghiệm cơ sở.
Đònh lý 4: Tổng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

với nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Chứng minh: Xét hệ phương trình AX = B, hệ phương trình thuần
nhất tương ứng là AX = 0.
Giả sử C =












n
c
c
c

2
1
và D =













n
d
d
d

2
1
lần lượt là nghiệm của hệ không
thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng, ta có AC = B và AD = 0, suy ra:
A (C+D) = AC + AD = B + 0 = B
Vậy C+D là nghiệm của hệ phương trình AX = B.
Như vậy: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình AX = B bằng nghiệm
tổng quát của hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0 cộng với một
nghiệm riêng bất kì của hệ không thuần nhất.
- Ví dụ: trang 85 giáo trình.
- Bài tập: bài 158, 160 giáo trình trang 102.
5’
5’
10’
10’
10’
10’
10’

Giải thích.
Giới thiệu
về tổ hợp
tuyến tính,
độc lập
tuyến tính.
Lưu ý r<n.
Hướng dẫn
giải.
 TỔNG KẾT BÀI (5 phút):
- Đònh lý Kronecker Capelli, phương pháp giải.
13
- Nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
- Bài tập trang 99, 100, 103, 104 giáo trình.
 RÚT KINH NGHIỆM:


Ngày tháng năm 2006
Khoa Tổ bộ môn
Ngày tháng năm 2006
Giảng viên
14