Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2003
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.44 KB, 4 trang )
Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003
đáp án thang điểm
đề thi chính thức
Môn thi : toán Khối D
Nội dung điểm
Câu 1. 2điểm
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
24
2
xx
y
x
+
=
.
1 điểm
Tập xác định :
R
\{ 2 }.
Ta có
2
24 4
.
22
xx
yx
xx
+
==+
2
22
0
44
' 1 . ' 0
4.
(2) (2)
x
xx
yy
x
xx
=
= = =
=
[]
4
lim lim 0
2
xx
yx
x
= =
tiệm cận xiên của đồ thị là:
yx=
,
tiệm cận đứng của đồ thị là:
2
lim
x
y
=
2x =
.
Bảng biến thiên:
Đồ thị không cắt trục hoành.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 2).
0,25đ
0,5đ
0,25đ
2) 1 điểm
Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt
m
d
phơng trình
4
22
2
x mx m
x
+=+
có hai nghiệm phân biệt khác 2
2
( 1)( 2) 4
mx =
có hai nghiệm phân biệt khác 2
10m >
1.m >
Vậy giá trị cần tìm là
m
1.
m
>
0,5đ
0,5đ
x
2
6
2
2 4O
y
x
0 2 4 +
y + 0
0 +
2 +
+
y CĐ CT
6
1
Câu 2. 2điểm
1) Giải phơng trình
222
tg cos 0
24 2
xx
x
sin
(1)
=
1 điểm
Điều kiện: (*). Khi đó
cos 0
x
()
2
2
1sin1
(1) 1 cos 1 cos
222
cos
x
x x
x
=+
() ( )
22
1sin sin 1cos cosx xx =+ x
() ( )
1 sin (1 cos )(1 cos ) 1 cos (1 sin )(1 sin )x xx xx + =+ + x
()
1 sin (1 cos )(sin cos ) 0xxxx + + =
2
sin 1
2
cos 1 2
tg 1
4
x k
x
x xk
x
x k
=+
=
==+
=
= +
()
k Z
.
Kết hợp điều kiện (*) ta đợc nghiệm của phơng trình là:
2
4
x k
x k
=+
= +
()
.
k
Z
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2) Giải phơng trình (1).
22
2
22
xx xx+
3=
1 điểm
Đặt .
2
20
xx
tt
=>
Khi đó (1) trở thành
2
4
3340(1)(4)0ttttt
t
= =+ ==4t
(vì
t
)
0>
Vậy
2
2
24
xx
xx
= =2
1
2.
=
=
x
x
Do đó nghiệm của phơng trình là
1
2.
=
=
x
x
0,5đ
0,5đ
Câu 3. 3điểm
1) 1 điểm
Từ
()
suy ra có tâm và bán kính
22
:( 1) ( 2) 4+ =Cx y ()C (1; 2)I
2.R =
Đờng thẳng có véctơ pháp tuyến là
n
d
(1; 1). =
uur
Do đó đờng thẳng đi qua
và vuông góc với
d
có phơng trình:
(1; 2)I
12
11
xy
xy
30
= +
=.
Tọa độ giao điểm của
và là nghiệm của hệ phơng trình:
H
d
10 2
(2;1).
30 1
xy x
H
xy y
= =
+= =
Gọi
là điểm đối xứng với qua . Khi đó
J
(1; 2)I
d
23
(3;0)
20
JHI
JHI
xxx
J
yxx
==
==
.
Vì đối xứng với ( qua
nên có tâm là và bán kính
Do đó có phơng trình là:
(')C
(C
)C
d
(')C
22
(3;0)J
2.R =
')
(3) 4 +xy=.
Tọa độ các giao điểm của ( và là nghiệm của hệ phơng trình: )C (')C
22
22 2
22
10 1
(1) ( 2) 4 1, 0
3, 2.
(3) 4 2 860
(3) 4
xy yx
xy xy
xy
xy xx
xy
= =
+ = = =
==
+= +=
+=
Vậy tọa độ giao điểm của và ( là và ()C ')C (1; 0)A (3;2).B
0,5
0,25đ
0,25đ
2
2) 1 điểm
Ta có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định là
k
d
1
(1; 3 ; 1)=
uur
nk
và
. Vectơ pháp tuyến của là
2
(; 1;1)=
uur
nk
()P (1; 1; 2)=
r
n .
Đờng thẳng
có vectơ chỉ phơng là:
k
d
2
12
,(31;1;13)0
k k k
r
Nên
2
1 13
1.
11 2
kk k
k
= = =
Vậy giá trị
cần tìm là
0,5đ
0,5 đ
3) 1 điểm
Ta có (
P
) (
Q
) và = (
P
) (
Q
), mà
AC
AC
(
Q
)
AC
AD
, hay
. Tơng tự, ta có
BD
nên
BD
(
P
), do đó CBD . Vậy
A
và
B
A
,
B
nằm trên mặt cầu đờng kính
CD.
0
90=CAD
0
90=
Và bán kính của mặt cầu là:
22
1
22
CD
R BC BD== +
222
13
22
a
AB AC BD=++=.
Gọi
H
là trung điểm của
BC
AH
BC.
Do
BD
(
P
) nên
BD
AH
AH
(
BCD
).
Vậy
AH
là khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng (
BCD)
và
12
.
22
a
AH BC==
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Câu 4. 2điểm
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
1 điểm
23
1
'.
(1)
x
y
x
=
+
'0 1yx==.
Ta có
3
(1) 0, 2, (2) .
5
y(1)
yy= = =
Vậy
[]
1; 2
(1) 2
max
yy
==
và
[]
1; 2
min ( 1) 0.yy
= =
0,5đ
0,5đ
2) Tính tích phân
2
2
0
I xxd=
x
.
1 điểm
Ta có
2
00
1x xx
, suy ra
12
22
01
() () = +
I x x dx x x dx
12
23 32
01
1.
23 32
= + =
xx xx
0,5đ
0,5đ
unn k
==
r uuruur
31
() ||
k
dPun
rr
k 1.=k
.
A
B
C
D
P
Q
H
3
Câu 5. 1điểm
Cách 1
:
Ta có
(
202122224
1) ...
nnn n
nn n
n
n
x Cx Cx Cx C
+= + + ++
,
011222333
( 2) 2 2 2 ... 2
nn n n n n
nn n n
n
n
x Cx Cx Cx Cx C
+= + + + ++
.
Dễ dàng kiểm tra
1, 2= =nn
không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với
thì
3n
33 2 3 22 1
.
nnnnn
xxxxx
==
Do đó hệ số của
33
n
x
trong khai triển thành đa thức của là
2
(1)(2++
nn
xx)
n
C
303 11
33
2. . 2. .
nnnn
aCCC
=+
.
Vậy
2
33
5
2(2 3 4)
26 26
7
3
2
=
+
= =
=
n
n
nn n
an n
n
Vậy
là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng).
5=n n
Cách 2:
Ta có
23
2
332
2
00 00
12
(1)(2) 1 1
12
2.
n
n
nnn
i
k
nn nn
ni k niikkk
nn nn
ik ik
xx x
x
x
xC C xCxCx
x
x
== ==
++= + +
==
Trong khai triển trên, luỹ thừa của
x
là
33n
khi
23ik =
3k
, hay
Ta chỉ có hai trờng hợp thỏa điều kiện này là
23ik+=.
0,i= =
hoặc
i1, 1k= =
.
Nên hệ số của
33n
x
là .
033 11
33
..2 ..2
nnn nn
aCCCC
=+
Do đó
2
33
5
2(2 3 4)
26 26
7
3
2
=
+
= =
=
n
n
nn n
an n
n
Vậy
là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng).
5=n n
0,75đ
0,25đ
hoặc
0,75đ
0,25đ
4
