ỨNG DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN
1) Lý thuyết:
a) Nếu A, B là các biểu thức nhận các giá trị dương thì:
(
)( )A B A B+ −
= A – B
A B+
và
A B−
là hai biểu thức liên hợp của nhau
b) Với X , Y là hai biểu thứ bất kỳ ta có.

3 3
2 2
3 3 3
( )( )X Y X XY Y+ − +
= X + Y
3 3
X Y+
;
3 3
2 2
3
X XY Y− +
được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau

3 3
2 2
3 3 3
( )( )X Y X XY Y− + +
= X – Y

3 3
X Y−
;
3 3
2 2
3
X XY Y+ +
được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau
2) Bài tập:
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
A =
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 21 25
+ + + +
+ + + +
Giải:
Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút
gọn.
Số tổng quát :

1
4k k+ +
=
4
( 4 )( 4 )
k k
k k k k
+ −
+ + + −

=
4
4
k k
k k
+ −
+ −
=
4
4
k k+ −
( k = 1 , 2 , 3, …, 25)
Áp dụng đẳng thức
1
4k k+ +
=
4
4
k k+ −
ta có
A =
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 21 25
+ + + +
+ + + +
=
5 1 9 5 13 9 25 21

4 4 4 4

− − − −
+ + + +
=
5 1 9 5 13 9 21 17 25 21
4
− + − + − + + − + −
=
25 1
4
−
=
5 1
4
−
= 1
Bài 2 : Giải phương trình:
1 1 1
1 1 2 2 3x x x x x x
+ +
+ + + + + + + +
= 1
Giải :
Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát của từng số hạng trong vế trai sau đó áp dụng cho
từng trường hợp cụ thể để rút gọn vế trái
ĐK : x
≥
0 . Số hạng tổng quát của mỗi biểu thức trong phương trình :
1 1
1 ( 1 )( 1 )
k k

k k k k k k
+ −
=
+ + + + + −
=
1
1
k k
k k
+ −
+ −
=
1k k+ −
(k
≥
0 )
Áp dụng đẳng thức này với k = x , x + 1 , x + 2 cho vế trái của phương trình
Phương trình tương đương với:

1 2 1 3 2x x x x x x+ − + + − + + + − +
= 1
⇔
3x x+ −
= 1
⇔

3x +
=
x
+ 1

⇔
x+ 3 = x + 2
x
+ 1
⇔

x
= 1
⇔
x = 1 (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :x = 1
Bài 3 : Rút gọn biểu thức :
1 1 1 1

5 4 4 5 6 5 5 6 7 6 6 7 25 24 24 25
+ + + +
+ + + +
Giải :
Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút
gọn.
Số hạng tổng quát là :
1
( 1) 1.k k k k+ + +
=
1
( 1) ( 1 )k k k k+ + +
=
1
( 1). .( 1 )( 1 )
k k

k k k k k k
+ −
+ + + + −
=
1
1.
k k
k k
+ −
+
=
1 1
1k k
−
+
Áp dụng đẳng thức
1
( 1) 1.k k k k+ + +
=
1 1
1k k
−
+
ta có :

1 1 1 1

5 4 4 5 6 5 5 6 7 6 6 7 25 24 24 25
+ + + +
+ + + +

=
=
1 1 1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 23 24 24 25
− + − + + − + −
=
1 1
4 25
−
=
1 1
2 5
−
=
3
10
Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức :

1 1
1
2 1 2
n n
n n
< + − <
+
Giải :
Bài này ta chứng minh 2 bất đẳng thức liên tiếp
( 1 )( 1 )
1

1
n n n n
n n
n n
+ − + +
+ − =
+ +
=
1 1
1 1
n n
n n n n
+ −
=
+ + + +
Với n là số nguyên dương ta có :
2
n
<
1n n+ +
< 2
1n +
=>
1 1 1
2 1 1 2n n n n
< <
+ + +
Hay :
1 1
1

2 1 2
n n
n n
< + − <
+
Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :
2
1 1 1 1
26 2 10
1 2 3 25
− < + + + + <
Giải :
Đặt M =
1 1 1 1

1 2 3 25
+ + + +
=> M = 2
1 1 1 1

2 1 2 2 2 3 2 25
 
+ + + +
 ÷
 
Theo bài 4 thì với n là số nguyên dương ta có :
1
1 1
2
n n n n

n
+ − < < − −
=>
1 1 1 1

2 1 2 2 2 3 2 25
 
+ + + +
 ÷
 
>
2 1 3 2 25 24 26 25− + − + + − + −
=
26
-1

1 1 1 1

2 1 2 2 2 3 2 25
+ + + +
<
1 0 2 1 24 23 25 24− + − + + − + −
=
25 0−
= 5
Vậy : 2
1 1 1 1
26 2 10
1 2 3 25
− < + + + + <

Bài 6 : So sánh 2 số biết : A = 3- 2
2
; B = 2
2
-
7
Giải:
A= 3- 2
2
=
(3 2 2)(3 2 2)
3 2 2
− +
+
=
2
9 (2 2)
3 2 2
−
+
=
9 8
3 2 2
−
+
=
1
3 2 2+
B = 2
2

-
7
=
(2 2 7)(2 2 7)
2 2 7
− +
+
=
2
(2 2) 7 8 7 1
2 2 7 2 2 7 2 2 7
− −
= =
+ + +
V ì 0 < 2
2
+
7
< 3 + 2
2
nên
1
3 2 2+
<
1
2 2 7+
Vậy A < B
Bài 7: Cho các số dương a , b , c thoả mãn a > b .Chứng minh rằng:

a c a+ −

<
b c b+ −
Giải:
a c a+ −
=
( )( )a c a a c a
a c a
+ + + −
+ +
=
a+c
a c a
a
+ −
+
=
c
a c a+ +
b c b+ −
=
( )( )b c b b c b
b c b
+ + + −
+ +
=
b c b
b c b
+ −
+ +
=

c
b c b+ +
Vì a > b nên
a c a+ +
>
b c b+ +
=>
1 1
a c a b c b
<
+ + + +
=>
c
a c a+ +
<
c
b c b+ +
Vậy
a c a+ −
<
b c b+ −
Bài 8: Cho các dương a , b ,c thoả mãn a > c , b > d
Chứng minh rằng:
a b a b+ − −
<
c d c d+ − −
Giải:
Âp dụng kết quả bài toán trên ta có:
a > c =>
a c a+ −

<
c b c+ −
=>
a b a b+ − −
<
c b b+ −
-
c
b > d =>
b c b+ −
<
d c d+ −
=>
b c b+ −
-
c
<
d c d+ −
-
c
Áp dụng tính chất bắc cầu từ 2 bất đẳng thức trên
=>
a b a b+ − −
<
d c d+ −
-
c
Bài 9: Cho a > b > 0 .So sánh 2 biểu thức:

3 3

1a a+ −
và
3 3
1b b+ −
Giải:
3 3
1a a+ −
=
32 2
3 3
3
1
( 1) 1.
a a
a a a a
+ −
+ + + +
=
32 2
3 3
3
1
( 1) 1.a a a a+ + + +
3 3
1b b+ −
=
32 2
3 3
3
1

( 1) 1.
b b
b b b b
+ −
+ + + +
=
32 2
3 3
3
1
( 1) 1.b b b b+ + + +
Vì a > b > 0 nên:
32 2
3 3
3
1
( 1) 1.a a a a+ + + +
<
32 2
3 3
3
1
( 1) 1.b b b b+ + + +
Vậy
3 3
1a a+ −
<
3 3
1b b+ −
Bài 10: So sánh : A =

3 3
20 32+
; B =
3
3
24 28+
Giải:
Ta có : A – B =
3 3
20 32+
-
3
3
24 28−
= (
3 3
32 28−
) – (
3
2
24 20−
)
=
3 32 2
3 3
32 28
32 32. 28 28
−
+ +
-

3
32 2
3
3
24 20
24 24. 20 20
−
+ +
=
3 32 2
3 3
4
32 32. 28 28+ +
-
3
32 2
3
3
4
24 24. 20 20+ +
Ta có :
3 32 2
3 3
32 32. 28 28+ +
>
3
32 2
3
3
24 24. 20 20+ +

=>
3 32 2
3 3
4
32 32. 28 28+ +
<
3
32 2
3
3
4
24 24. 20 20+ +
=>
3 32 2
3 3
4
32 32. 28 28+ +
-
3
32 2
3
3
4
24 24. 20 20+ +
< 0
Vậy : A < B
Bài 11: Tìm x thoả mãn
29 9x x+ − +
= 2
ĐKXĐ : x

≥
- 9
Giả sử x thoả mãn
29 9x x+ − +
= 2
=>
( 29 9)( 29 9)
29 9
x x x x
x x
+ − + + + +
+ + +
= 2 =>
29 9
29 9
x x
x x
+ − −
+ + +
= 2 =>
20
29 9x x+ + +
= 2
29 9x x+ + +
= 10 =>
29 9 2
29 9 10
x x
x x


+ − + =


+ + + =


=>
29 6
9 4
x
x

+ =


+ =


=> x = 7 (TNĐK)
Bài 12: Cho số dương a thoả mãn (
2
5 3a + +
)
3
= 35.Tính
2
5a +
- a
Giải:
(

2
5 3a + +
)
3
= 35 =>
2
5 3a + +
=
3
35
=>
2 2
3
2
( 5 )( 5 )
35
5
a a a a
a a
+ − + +
=
+ −
=>
2 2
3
2
5
35
5
a a

a a
+ −
=
+ −
=>
3
2
5
35
5a a
=
+ −
=>
2
5a +
- a =
3
5
35
Bài 13: Cho các số dương x , y thoả mãn
2 2
( 5 )( 5 ) 5x x y y+ − + − =
Tính : x
5
+ y
5
Giải:
Ta có :
(
)

(
)
2 2
5 5x x x x+ + + −
=
(
)
(
)
2 2
5 5y y y y+ + + −
= 5
=>
2
2
5
5
5
x x
x x
+ + =
+ −
;
2
2
5
5
5
y y
y y

+ + =
+ −
Theo điều kiện bài cho ta có :
2
2
2
2
5
.( 5 ) 5
5
5
( 5 ). 5
5
y y
x x
x x
y y

+ + =

+ −



+ + =

+ −

=>
2 2

2 2
5 5
5 5
x x y y
y y x x

+ − = + +


+ − = + +


Cộng từng vế tương ứng ta có :
- x – y = x + y => x = - y => x
5
= - y
5
=> x
5
+ y
5
= 0
Bài 14 : giải phương trình :

2
2
1
2
2(1 1 )
x x

x
− =
+ +
Giải :
ĐK : x
≥
- 1
2
2
1
2
2(1 1 )
x x
x
− =
+ +

⇔

2 2
2 2
2 ( 1 1)
2
2( 1 1) ( 1 1)
x x x
x x
− + −
=
+ + + −


⇔
2 2
2
2 ( 1 1)
2 2(1 1)
x x x
x
− + −
=
+ −
⇔
2 2
2
2 ( 1 1)
2 2
x x x
x
− + −
=

⇔
x – 2 =
2
( 1 1)x+ −

⇔
x – 2 = 2 + x - 2
1 x+

⇔

2
1 x+
= 4
⇔
1 + x = 4
⇔
x = 3 (TMĐK)
Bài 15 : Rút gọn : S =
1 1 1 1

16 18 20 22 22 24 62 64
+ + + +
+ + + +
Bài 16 : Tìm số nguyên dương n thoả mãn

1 1 1
19
1 2 2 3 1n n
+ + + =
+ + − +
Bài 17 : Rút gọn

1 1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
+ + + +
+ + + +
Bài 18 : So sánh : A =
2008 2006−
; B =

2006 2004−