MỤC LỤC
PHẦN A: MỞ ĐẦU
1
I. Lý do chọn đề tài
Quang hình học nghiên cứu đường đi của ánh sáng qua các môi
trường trong suốt và đồng nhất, đó là những đường thẳng được gọi là tia
sáng. Vẽ đúng đường đi các tia sáng qua các dụng cụ quang học ta được
những đường thẳng và đường gãy, hợp với các mô hình của dụng cụ quang
học tạo ra những hình có dạng hình học, trong đó có mô hình giữa vật và
ảnh mà ta cần xác định vị trí, độ lớn và tính chất của chúng. Trong thực tế
các hệ quang học đồng trục được ứng dụng rất nhiều trong các linh kiện và
thiết bị quang học. Ví dụ: Kính thiên văn, máy ảnh, kính hiển vi, …
Quang hệ đồng trục là một dạng toán hay và khó trong phần quang
hình học của môn Quang học đại cương. Việc giải toán sẽ có rất nhiều
phương pháp nhưng việc giải thế nào để ngắn gọn và dễ hiểu thì có hai
cách cơ bản đó là giải hệ ghép và giải lần lượt qua từng thấu kính. Giải
toán về hệ thấu kính là phần bài tập mà người tìm hiểu thường gặp khó
khăn, cần tư duy và vận dụng kiến thức toán học nhiều. Các tài liệu quang
học hiện tại rất ít đề cập tới việc giải hệ ghép vì vậy đề tài đưa ra hy vọng
sẽ tài liệu bổ ích để người đọc và sinh viên khoa Vật lí có thể tham khảo
trong việc học tập và nghiên cứu của mình.
Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm
phong phú hơn nữa các tài liệu môn học này để các sinh viên chuyên ngành
Vật lí và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham khảo, đó là lí
do để tôi chọn đề tài “Quang hệ đồng trục và phương pháp giải quang hệ
đồng trục”.
Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận, đề tài chỉ dừng lại ở việc
nêu ra khái quát cơ sở lí thuyết và các phương pháp giải cũng như các dạng
bài tập liên quan đến đề tài nghiên cứu.
2
II. Lịch sử vấn đề

Hiện nay, tài liệu về bài tập có nội dung về quang hệ đồng trục tương
đối ít, chưa có nhiều công trình nghiên cứu riêng.
Hầu hết các tác giả nghiên cứu về quang hệ đồng trục đều đã đưa ra
phương pháp giải lần lượt qua từng thấu kính và được sử dụng khá phổ
biến còn riêng cách dùng hệ ghép thì còn khá hạn chế.
III. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập minh họa về
quang hệ đồng trục đồng thời làm phong phú thêm tư liệu học tập.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và đưa ra tổng quan về lí thuyết của hệ quang học đồng
trục.
Nghiên cứu và đưa ra các phương pháp giải của hệ quang học đồng
trục.
V. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống bài tập và lí thuyết quang hệ đồng trục gồm các thấu kính
được ghép song song với nhau.
VI. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên
quan.
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu.
VII. Phạm vi của đề tài
Khái quát cơ sở lí thuyết về hệ quang học đồng trục.
3
Đưa ra các phương pháp giải cũng như các dạng bài tập về hệ quang
học đồng trục.
VIII. Giả thuyết khoa học
Nếu có một hệ thống lý thuyết và phương pháp giải quang hệ đồng
trục được trình bày một cách khoa học thì có thể góp phần nâng cao hiệu
quả dạy và học môn Quang học đại cương.

4
Hình 1.1
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ QUANG HỆ ĐỒNG
TRỤC LÍ TƯỞNG
1.1 Những định nghĩa cơ bản
Các hệ quang học thường gồm những mặt phản xạ và khúc xạ ánh
sáng ngăn cách nhau bởi những môi trường trong suốt, đồng chất.
Một hệ quang học gồm các mặt cầu được gọi là đồng trục, nếu tâm
của tất cả các mặt cầu này cùng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng
này được gọi là quang trục chính của quang hệ.
Một hệ quang học đồng trục được coi là lí tưởng, nếu một chùm tia
sáng đồng qui đi qua nó vẫn còn là chùm đồng qui. Một hệ quang học đồng
trục bất kì, nếu chỉ xét với các chùm
tia gần trục cũng được coi là lí
tưởng.
Trên hình 1.1 biểu diễn một hệ
quang học đồng trục lí tưởng có
quang trục chính O
1
O
4
. Gọi
MM
′
và
NN
′
là các mặt khúc xạ ngoài cùng của quang hệ.
5

Hình 1.2
Cho một chùm tia sáng tới quang hệ song song với quang trục chính.
Những tia này được coi như xuất
phát từ một điểm sáng nằm trên
quang trục chính và ở xa vô cực.
Sau khi đi ra khỏi hệ quang học lí
tưởng chùm tia này vẫn còn là
chùm đồng qui. Tùy thuộc vào hệ
quang học cụ thể nó có thể là
chùm hội tụ, chùm phân kì hay chùm song song (hình 1.1a).
Điểm F nằm trên quang trục chính là giao điểm của những tia ra khỏi
quang hệ, được gọi là tiêu điểm chính thứ hai của hệ. Như vậy tiêu điểm
chính
F
′
có thể nằm ở phía sau hay phía trước hệ quang học, nó cũng có thể
nằm ở bên trong hệ,
F
′
là điểm liên hợp với điểm nằm trên quang trục
chính và ở xa vô cực trong không gian vật.
Trong không gian vật cũng có điểm F nằm trên quang trục chính có
tính chất sau đây: chùm tia sẽ xuất phát từ F (hay hội tụ tại F) sau khi đi ra
khỏi quang hệ sẽ trở thành chùm tia song song với quang trục chính. Điểm
F được gọi là tiêu điểm chính thứ nhất của hệ (hình 1.1b). Các mặt phẳng
đi qua tiêu điểm chính F và
F
′
, vuông góc với các quang trục chính là các
tiêu diện thứ nhất và thứ hai tương ứng của quang hệ. Tiêu diện thứ nhất là

mặt phẳng liên hợp của mặt phẳng ở xa vô cực trong không gian ảnh; còn
tiêu diện thứ hai là mặt phẳng liên hợp với mặt phẳng ở xa vô cực trong
không gian vật.
Một chùm tia sáng xuất phát từ một điểm bất kì nằm trên tiêu diện thứ
nhất sau khi ra khỏi hệ quang học sẽ trở thành chùm tia song song, làm với
quang trục chính một góc nào đó (hình 1.3).
Bây giờ ta hãy xét hai mặt phẳng liên hợp nhau, vuông góc với quang
trục chính. Giả sử vật là một đoạn thẳng AB có độ cao là y nằm trên mặt
6
Hình 1.3
Hình 1.4
phẳng thứ nhất, thì ảnh của nó là
A B
′ ′
có độ cao
y
′
sẽ nằm trên mặt phẳng
thứ hai, hơn nữa ảnh
A B
′ ′
có thể
cùng chiều hoặc ngược chiều với
AB, có thể lớn hơn, nỏ hơn hoặc
bằng vật AB tùy theo vị trí của hai
mặt phẳng liên hợp ta xét.
Tỉ số giữa độ cao của ảnh và
của vật xác định độ phóng đại dài:
y
β

y
′
=
Trong đó y và
y
′
là những độ dài đại số, tuân theo quy ước về dấu đã
nói ở trên.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng, có thể tìm được hai mặt phẳng
liên hợp, sao cho nếu vật nằm trên mặt phẳng này sẽ cho ảnh nằm trên mặt
phẳng kia và có độ phóng đại dài
β 1= +
.
Thật vậy, ta vẽ tia đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F đến mặt khúc xạ
đầu tiên tại I (hình 1.4). Tia này ra
khỏi mặt khúc xạ sau cùn tại điểm
I
′
và song song với quang trục
chính.
Khoảng cách
O I
′ ′
có thể lớn
hơn hay nhỏ hơn OI tùy thuộc vào
tính chất của hệ, trong trường hợp
hình vẽ thì
O I OI
′ ′
>

. Đường truyền thực của tia sáng bên trong quang hệ ta
không cần biết đến.
7
Ta lại vẽ tia 2 song song với quang trục chính và cách nó một khoảng
cách
O I
′ ′
đến gặp mặt khúc xạ đầu tiên tại K. Ra khỏi mặt khúc xạ cuối
cùng của hệ tại điểm
K
′
, tia này qua tiêu điểm chính
F
′
(tia
2
′
) . Bởi vì hệ
quang học lí tưởng, nên chùm đồng qui (1-2) tới quang hệ mà điểm đồng
qui là P, sau khi ra khỏi hệ vẫn còn là chùm đồng qui
(1-2 )
′ ′
mà điểm đồng
qui là
P
′
. Bất kì một tia sáng nào đi qua P cũng có tia tương ứng đi qua
P
′
.

Như vậy các điểm P và
P
′
là hai điểm liên hợp với nhau và
P
′
là ảnh của
điểm P. Vẽ các mặt phẳng H và
H
′
đi qua các điểm P và
P
′
tương ứng,
vuông góc với quang trục chính. Đoạn thẳng HP nằm trong mặt phẳng H
cho ảnh tương ứng là
H P
′ ′
nằm trong mặt phẳng
H
′
. Hơn nữa ảnh
H P
′ ′
cùng chiều với vật HP và có cùng độ cao với vật (
HP H P
′ ′
=
). Như vậy,
một vật bất kì nằm trong mặt phẳng H, qua quang hệ sẽ cho ảnh tương ứng

nằm trong mặt phẳng
H
′
với độ phóng đại dài
β 1= +
.
Mặt phẳng H được gọi là mặt phẳng chính thứ nhất, còn mặt phẳng
H
′
được gọi là mặt phẳng chính thứ hai của hệ quang học đồng trục. Các giao
điểm H và
H
′
của các mặt phẳng này với quang trục chính được gọi là các
điểm chính thứ nhất và thứ hai tương ứng của hệ. Các mặt phẳng chính (các
tiêu điểm chính) có thể cả hai nằm ở trong hệ hoặc bên ngoài hệ, cả hai
cùng ở một phía của hệ hoặc một trong hai nằm ở trong hệ, điều đó phụ
thuộc vào tính chất của từng hệ cụ thể. Khoảng cách từ tiêu điểm chính thứ
nhất F đến điểm chính thứ nhất H của hệ là tiêu cự thứ nhất f của hệ (
8
Hình 1.5
HF f=
). Tương tự như vậy ta có tiêu cự thứ hai
H F f
′ ′ ′
=
; f và
f
′
là những

độ dài đại số. Chúng là dương nếu tiêu điểm đang xét nằm bên phải hệ,
ngược lại là âm.
Nếu biết vị trí các mặt phẳng chính H ,
H
′
và các tiêu điểm chính F,
F
′
của một quang hệ đồng trục nào đó, ta có thể dễ dàng dựng ảnh của một
vật cho bởi quang hệ đó.
Chẳng hạn ta dựng
ảnh của đoạn thẳng AB
vuông góc với quang trục
chính.
Vẽ từ B tí 1 song song
với quang trục chính, nó cắt
mặt phẳng chính H tại điểm
P. Theo tính chất của các
mặt phẳng chính, tia
1
′
, liên hợp với tia 1 phải đi qua điểm
P
′
của mặt
phẳng chính
H
′
(
HP H P

′ ′
=
) là điểm liên hợp với P. Vì tia 1 song song với
quang trục chính nên tia liên hợp
1
′
đi qua tiêu điểm chính
F
′
.
Bây giờ cũng từ điểm B ta vẽ tia 2 đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F,
nó cắt mặt phăng chính H tại điểm I. Tia
2
′
liên hợp với tia 2 sẽ đi qua
điểm
I
′
của mặt phẳng chính
H
′
, là điểm liên hợp của điểm I (
HI H I
′ ′
=
).
Vì tia 2 đi qua tiêu điểm chính F, nên tia liên hợp
2
′
đi song song với

quang trục chính.
B
′
là giao điểm của hai tia
1
′
và
2
′
nên là ảnh của điểm
9
B và
A B
′ ′
là ảnh của AB cho bởi quang hệ cũng vuông góc với quang trục
chính.
1.2 Tiêu cự. Độ tụ
Bây giờ ta hãy tìm mối liên hệ giữa các tiêu cự f và
f
′
của hệ quang
học đồng trục gồm các mặt cầu khúc xạ có chiết suất n của môi trường phía
trước và chiết suất
n
′
của môi trường phía sau quang hệ. Trên hình 1.6 ghi
các giá trị dương của đoạn thẳng.
Từ các tam giác đồng dạng FHI và BPI ta có:
f s
y y y

− −
=
′ ′
− −
(1.1)
Tương tự, từ các tam giác đồng dạng
P H F
′ ′ ′
và
P B I
′ ′ ′
, ta có:
f s
y y y
′ ′
=
′
−
(1.2)
Từ hai hệ thức trên rút ra:
f y s
f ys
′
= −
′
(1.3)
Vì
s u
s u
′

=
′
do đó:
f y u
f yu
′ ′
= −
′
(1.4)
Theo định lí Lagrage – Helmholtz, ta có:
y u n
yu n
′ ′
=
′
Vậy:
f n
f n
=
′ ′
(1.5)
10
Trong trường hợp phía trước và phía sau quang hệ có chiết suất như
nhau, thì tiêu cự f và
f
′
bằng nhau và ngược dấu:
f = -
f
′

(1.6)
Đại lượng:
n n
f f
′
Φ = = −
′
n n
f f
′
Φ = = −
′
(1.7)
Là độ tụ của quang hệ. Độ tụ càng lớn thì tiêu cự f càng bé, do đó tia
sáng càng bị khúc xạ mạnh bởi quang hệ. Độ tụ của quang hệ có thể dương
âm hoặc bằng không.
Khi
0Φ >
, thì
f 0
′
>
, tiêu điểm
F
′
là ảnh thật của vật ở xa vô cực. Hệ
quang học lúc này là một hệ hội tụ.
Khi
0Φ <
, thì

f 0
′
<
, tiêu điểm
F
′
là ảnh ảo của vật ở xa vô cực. Hệ
quang học lúc này là một hệ phân kì.
Khi
0
Φ =
, thì
f
′
= ∞
, tiêu điểm
F
′
ở xa vô cực. Hệ quang học lúc
này là một hệ vô tiêu.
1.3 Các công thức cơ bản
Vị trí của vật AB có thể được đặc trưng bằng khoảng cách x tính từ F
đến điểm A (
FA x=
), hoặc khoảng cách s từ điểm chính H (
HA s=
). Vị trí
của ảnh
A B
′ ′

cho bởi quang hệ được đặc trưng bởi khoảng cách
x
′
tính từ
F
′
(
F A x
′ ′ ′
=
), hoặc bằng khoảng cách
s
′
tính từ
F
′
tới
A
′
(
H A s
′ ′ ′
=
). Cần
chú ý rằng các đại lượng
x, x , s, s , f, f
′ ′ ′
là những độ dài đại số.
Chúng ta tìm mối liên hệ giữa đại lượng
x

′
xác định vị trí ảnh với đại
lượng x, xác định vị trí của vật và các tiêu cự f và
f
′
của hệ.
Từ các tam giác đồng dạng có đỉnh tại F (hình 1.5) ta có hệ thức:
11
AB y
HI y
=
′
−
(1.8)
Tương tự, từ các tam giác đồng dạng có đỉnh chung tại
F
′
, ta có:
H P y f
A B y x
′ ′
= =
′ ′ ′ ′
(1.9)
Từ hai hệ thức trên, ta có:
xx ff
′ ′
=
(1.10)
Biểu thức (1.10) là công thức Newton.

Trong trường hợp
f f
′
= −
, công thức Newton sẽ có dạng:
2
xx f
′
= −
(1.11)
Từ công thức này, ta dễ dàng chuyển sang tìm mối liên hệ giữa các
khoảng cách s và
s
′
, tính từ các điểm chính H và
H
′
tương ứng.
Từ hình 1.5, ta thấy (-x) = (-s) – (-f)
Tức là: x = s – f
Tương tự:
x s - f
′ ′
=
Thay các biểu thức của x và
x
′
và công thứ (1.11), làm vài phép biến
đổi, cuối cùng ta được:
f f

1
s s
′
+ =
′
(1.12)
Biểu thức (1.12) là công thức Gauss.
Trong trường hợp
f f
′
= −
, công thức (1.12) trở thành:
1 1 1
s s f
− =
′ ′
(1.13)
Các công thức (1.10 – 1.13) là những công thức cơ bản của hệ quang
học đồng trục.
12
Hình 1.6
1.4 Độ phóng đại dài
Từ các công thức (1.8) và (1.9), ta có các công thức của độ phóng đại
dài
β
cho bởi quang hệ đồng trục:
y f x
β
y x f
′ ′

= = − = −
′
(1.14)
Nếu biểu diễn
β
theo s và
s
′
, thì từ định lí Lagrange – Helmholtz ta
có:
y nu
y n u
′
=
′ ′
Nhưng
u s
,
u s
′
=
′
nên:
y ns
β
y n s
′ ′
= =
′
(1.15)

Trong đó n và
n
′
là chiết suất của môi trường trước và sau hệ tương
ứng,
β 0
>
, tức là y và
y
′
cùng dấu, nên ảnh cùng chiều với vật;
β 0<
, tức
là y ngược dấu với
y
′
, nên ảnh ngược chiều với vật.
Để dựng ảnh của một điểm nằm ngoài quang trục chính, ta chỉ cần
dựng hai trong ba tia sau đây:
a) Tia song song với quang trục chính, ra khỏi quang hệ liên hợp và nó
đi qua tiêu điểm chính thứ hai
F
′
.
b) Tia tới đi qua tiêu điểm
chính thứ nhất F, sau khi đi ra
khỏi quang hệ tia liên hợp với nó
song song với quang trục chính.
c) Nếu môi trường trước và
sau quang hệ có chiết suất như

nhau thì tia tới đi qua điểm chính
13
thứ nhất H, sau khi ra khỏi quang hệ tia liên hợp với nó sẽ đi qua điểm
chính thứ hai
H
′
và song song với tia tới.
CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUANG HỆ ĐỒNG
TRỤC
I. GIẢI BÀI TẬP QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC LẦN LƯỢT CHO
TỪNG THẤU KÍNH
1.1 Phương pháp giải
Giải bài toán hệ quang học nói chung (hệ thấu kính nói riêng) bao
gồm hai bước:
- Bước 1: Lập sơ đồ tạo ảnh.
- Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan cho mỗi khâu của sơ đồ để
giải bài toán theo yêu cầu của đề (quy ước dấu đối với vật ở trước thấu kính
thì d > 0 và ở sau thấu kính thì d < 0, d là khoảng cách từ vật tới thấu kính.
Đối với khoảng cách
d'
từ ảnh tới thấu kính thì quy ước ngược lại so với
vật).
+ Công thức thấu kính:
1 1 1
d d' f
.
+ =
+ Xác định số phóng đại ảnh:
d'
k

d
=
k
hệ
= k
1
.k
2
=
1 2
1 2
' '
. .
d d
d d
+ Độ tụ của hệ 2 thấu kính mỏng đồng trục ghép sát:
14
D = D
1
+ D
2
hay
1 2
1 1 1
f f f
= +
. Đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi hệ 2
thấu kính ghép là đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi thấu kính tương đương.
+ Nguyên lý thuận nghịch của sự truyền ánh sáng: Nếu ánh sáng
truyền đi theo đường nào thì cũng truyền ngược lại theo đường đó (nếu ánh

sáng từ môi trường (1) sang môi trường (2) theo đường
AIA
′
thì cũng
truyền theo chiều
A IA
′
từ môi trường (2) sang môi trường (1).
Bước 1:
a. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhau một đoạn l:
Giả sử vật thật AB đặt trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L
1
và L
2
trước L
1
,cho ảnh
1 1
A B
′ ′
, ảnh này coi là vật đối với L
2
.
Nếu
1 1
A B
′ ′
ở trước L
2
thì đó là vật thật.

Nếu
1 1
A B
′ ′
ở sau L
2
thì đó là vật ảo.
Thấu kính L
2
cho ảnh
2 2
A B
′ ′
của vật
1 1
A B
′ ′
. Vậy
2 2
A B
′ ′
là ảnh cuối
cùng qua hệ.
Vậy
2 2
A B
′ ′

là ảnh sau cùng của AB qua hệ thấu kính.
Tóm tắt theo sơ đồ.

b. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép sát nhau:
15
L
d1
1
d
′
AB
2 2
A B
′ ′
Với hệ này có 2 cách:
+ Lập sơ đồ như hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhưng khoảng
cách L
1
đến L
2
là l = 0.
+ Hoặc dùng thấu kính tương đương là tiện lợi:
Giả sử vật thật AB trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L
1
và
L
2
ghép sát tương tự mục (a) ta có sơ đồ tạo ảnh
AB
1 1
A B
′ ′


2 2
A B
′ ′
Khi áp dụng công thức về thấu kính để giải chỉ cần nhớ l là khoảng
cách 2 thấu kính luôn bằng 0:
1
d
′


+ d
2
= 0 => d
2
=
1
d
′
−
.
Ta có:
1 1 1
1 1 1
d d f
+ =
′
và:
2 2 2
1 1 1
d d' f

+ =
Mà ta luôn có d
2
=
1
d
′
−


=>
1 1 1
1 1 1
.
d d' f
+ =
Suy ra:
1 2 1 1
1 2
1 1 1 1
d' d' f f
1 1 1
d d' f

+ = +




+ =



+ Nhận thấy 2 thấu kính f
1
, f
2
ghép sát tương ứng với hệ thấu kính có
tiêu cự f:
1 2
1 1 1
f f f
+ =
hay D
1
+ D
2
= D.
16
L
2
L
1
2
d
′
d
2
1
d
′

d
1
Lúc này ta có sơ đồ tạo ảnh
Bước 2: Thực hiện tính toán.
Nội dung khảo sát của 1 hệ thấu kính rất đa dạng, nhưng nhìn chung
thường gặp 3 yêu cầu chính:
(1). Xác định các đặc điểm của ảnh sau cùng.
(2). Xác định các đặc điểm cấu tạo của hệ.
(3). Tìm điều kiện để hệ cho ảnh ảo, ảnh thật, 2 ảnh, 1 ảnh duy nhất.
Để giải đáp được 3 yêu cầu này, cần lưu ý đến 3 kết quả sau:
+ Ảnh
1 1
A B
′ ′
qua L
1
được xác định bởi
1
d
′
.
Khi
1 1
A B
′ ′
đóng vai trò vật với L
2
thì đặc điểm của nó được xác định
bởi d
2

, trong mọi trường hợp, ta luôn có
1
d
′
+ d
2
= l; hay d
2
= l –
1
d
′
(l là
khoảng cách giữa 2 thấu kính).
+ Số phóng đại ảnh sau cùng được xác định bởi:
2 2 2 2 1 1 2 1
2 1
2 1
1 1
A B A B A B d d
k . k .k .
d d
AB A B AB
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= = = =
′ ′
+ Hệ vô tiêu: ảnh cuối cùng
2 2
A B
′ ′

có độ lớn không đổi khi ta di
chuyển vật lại gần thấu kính: l = f
1
+ f
2
(chú ý: f
1
, f
2
có giá trị đại số: dương
với thấu kính hội tụ, âm với thấu kính phân kỳ).
17
1.2 Một số bài tập minh họa
Bài 1: Trước thấu kính hội tụ (L
1
) (tiêu cự f
1
= 10cm), có vật sáng AB
đặt vuông góc với trục chính, cách thấu kính đoạn d
1
= 40cm.
a. Xác định ảnh A
1
B
1
của AB tạo bởi (L
1
) . Vẽ đường đi của chùm tia
sáng từ B.
b. Sau (L

1
) và cách (L
1
) đoạn a = 4cm, đặt thêm thấu kính phân kì (L
2
)
có tụ số D
2
= - 10dp sao cho hai trục chính trùng nhau.
Xác định ảnh
A B
′ ′
của vật tạo bởi hệ hai thấu kính.
c. Bây giờ AB ở rất xa hệ hai thấu kính. Người ta muốn thay hệ hai
thấu kính (L
1
, L
2
) bằng một thấu kính hội tụ (L) sao cho ảnh của AB tạo bởi
hệ (L
1
, L
2
) và bởi (L) có vị trí trùng nhau, độ lớn bằng nhau.
Tính tiêu cự của (L) và định vị trí của (L) đối với (L
2
).
Bài giải:
a. Xác định ảnh A
1

B
1
Ta có:
d
1
= 400cm >> f
1
cm.
Có thể coi là vật AB ở vô cực so với (L
1
). Ảnh A
1
B
1
được tạo ra tại
tiêu diện ảnh.
1
d 10cm
′
=
.
Do đó:
1
1
1
d 1
k 0,025
d 40
′
= − = − = −

Ảnh thật ngược chiều bằng 1/40 vật và cách thấu kính 10 cm.
Đường đi của chùm tia sáng từ B:
18
Hình 2.1
Hình 2.2
b. Xác định ảnh
A B
′ ′
:
Sơ đồ tạo ảnh:
Theo trên ta có:
1
d 10cm.
′
=
1
d 10cm.
′
=
19
Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2
2
2 2
2
2 2
d a d 6cm;

1
f 0,1m 10cm
D
6 10
d f 60
d 15cm.
d f 6 10 4
′
= − = −
= = − = −
− −
′
= = = =
− − − −
Ảnh
A B
′ ′
là ảnh thật, cách thấu kính (L
2
) một đoạn 15cm.
Ta cũng có:
1 1
2 1
1 1
2 1
2 1
A B A B A B
. k .k
AB A B AB
d d 15 10

.
d d 6 400
1
16
′ ′ ′ ′
= =
  
′ ′
 
= − − =
 ÷ ÷
 ÷
 ÷ ÷
−
 
  
= −
Ảnh ngược chiều với vật và bằng
1
16
lần vật.
c. Tiêu cự và vị trí của thấu kính tương đương:
AB
A B
′′ ′′
Vì
A B A B
′′ ′′ ′ ′
=
nên

A B
′′ ′′
cũng ngược chiều với vật. (L) phải là thấu
kính hội tụ.
Vì AB ở rất xa ta có:
A B f. tan α f. α
′′ ′′
= ≈
(
α
góc trông của AB)
Đối với hệ (L
1
+ L
2
):
2
2 1 1 1 1
1 1 2
2
1
2
A B d
k ; A B f . tan α f . α
A B d
d
A B .f . α.
d
′ ′ ′
= = = ≈

′
′ ′
⇒ =
Theo đề ta suy ra:
20
(L
1
)
( )
2
1
2
d 15
f .f .10 25 cm
d 6
′
= = =
Vị trí của (L) được xác định bởi:
2 2
O O f d 25 15 10cm.
′
= − = − =
Bài 2: Cho hệ đồng trục hai thấu kính hội tụ L
1
, L
2
lần lượt có tiêu cự
f
1
= 30cm, f

2
= 20cm, đặt cách nhau 15cm. Nguồn điểm S ở trên trục trước
L
1
và cách L
1
10 cm.
a. Xác định ảnh
S
′
tạo bởi hệ.
b. Giữ vật S và L
1
cố định, tịnh tiến L
2
xa dần L
1
. Hỏi ảnh dịch chuyển
như thế nào?
c. Giữ cố định khoảng cách giữa S và L
1
, L
2
, tịnh tiến L
1
theo hướng
vuông góc với trục một đoạn 2cm. Xác định vị trí của ảnh cho bởi hai thấu
kính.
Bài giải:
a. Ta có sơ đồ tạo ảnh S qua hệ qua hệ L

1
, L
2
:
Vật thật S S
1
(ảnh ảo).
S
1
(vật thật)
S
′
S cho qua L
1
ảnh ảo S
1
xác định bởi:
1 1
1 1 1
1 1
d f 15.30
OS d 15cm 0 S :
d f 15 30
′
= = = = − < ⇔
− −
ảo.
( )
1
d 1 d 15 15 30cm 0.

′
= − = − − = >
1
S⇔
là vật thật của L
2
cho qua L
2
ảnh
S
′
xác định bởi:
2 2
2 2
2 2
d f 30.20
d O B 60cm 0
d f 30 20
′
′
= = = = >
− −
S
′
⇔
là ảnh thật cách L
2
60cm.
b. Giữ S và L
1

cố định nên S
1
cố định. Ở vị trí ban đầu điểm vật thật S
1
cách thấu kính L
2
một đoạn d
2
= 30cm.
21
L
1
d
1

1
d
′
L
2
d
2

2
d
′
Hình 2.3
(Bài toán trở thành: cho điểm vật thật S
1
cố định cách thấu kính hội tụ

L
2
một đoạn x
s
= d
o
= 30 cm và S
1
ở trên trục chính kéo L
2
ra xa vật theo
hướng song song trục chính. Khảo sát chiều chuyển động của ảnh
S
′
).
Khi tịnh tiến L
2
ra xa S
1
luôn luôn là vật thật ở ngoài O
2
F
2
nên
F
′
luôn
luôn là ảnh thật
d 0
′

⇔ >
.
Chọn S
1
làm gốc tọa độ, chiều dương từ trái qua phải (chiều của tia
sáng tới). Ta có:
1 1
S O d x= =
với
30 x≤ < ∞
.
Đặt: y = S
1
S =
d d 0
′
+ >
( )
2
2
2
1
df 20x
d
d f x 20
20x x
S S f x y d d x .
x 20 x 20
′
= =

− −
′ ′
= = = + = + =
− −
Khi tịnh tiến L
2
thì x tăng trong [30, ∞] và [30, ∞]
∈
miền xác định
của y.
Ta có:
( )
( )
2
2
x 40x
y f x
x 20
−
′
= =
−
; vì
( )
2
x 20 0,− >
22
y
′
⇒

theo dấu của
2
x 40x−
.
Ta có bảng biến thiên theo thực tế quang học:
x 30 40 60 ∞
y
′
−
0 +
( )
y f x
=
90 80 90
Xem bảng biến thiên trên ta thấy: Khi tịnh tiến L
2
ra xa khoảng cách x
= d tăng từ 30 đến 40 thì y =
1
S S
′
giảm từ 90cm đến 80cm nghĩa là
S
′
chuyển động ngược chiều ánh sáng tới và
S
′
dừng lại tại vị trí cực tiểu cách
S
1

một đoạn
1 min
S S
′
= 80cm. Sau đó
1
S S
′
tăng dần tức là
S
′
lại chuyển động
theo chiều ánh sáng tới.
c. Khoảng cách từ S tới L
1
, L
2
không thay đổi nên khoảng cách
1
d 15cm
′
= −
và d
2
= 30cm,
2
d 60cm.
′
=
Nhưng khi dịch chuyển L

1
xuống
một đoạn 2 cm thì S cách trục chính của L
1
đoạn SK = OO
1
= 2cm.
Dựng đường thẳng
( )
2
δ // L
cách L
2
đoạn 60cm, cắt trục chính của L
2
tại
H
′
. Ta có:
( )
1 2
S =δ S O .
′
∩
Theo hình vẽ ta có:
2
1 2
SH O H 60
2
S H O H 30

′ ′
= = =
(a)
1
2 1 1
S H SH 15 10 5
0,5
O O SO 10 10
−
= = = =
′
(b)
Từ (a) và (b)
1
1 1
S H S H
. 1.
S H O H
′ ′
⇒ =
′
23
Hình 2.4
1
S H
1 S H 2cm.
O O
′ ′
′ ′
= ⇒ =

′
Vậy
S
′
ở phía dưới trục chính của L
2
, cách L
2
60cm và cách trục
chính của L
2
2cm.
Bài 3: Một vật phẳng nhỏ AB đặt trên trục chính của một thấu kính
hội tụ (O
2
) có tiêu cự f
2
= 15cm và cách thấu kính 49cm. Đặt xen vào giữa
vật và thấu kính (O
2
) một thấu kính (O
1
). Khi khoảng cách giữa hai thấu
kính là 28cm, người ta thu được ảnh cuối cùng gấp 3 lần vật.
a. Định tiêu cự f
1
của thấu kính (O
1
).
b. Vẽ đường đi của chùm tia sáng từ một điểm vật qua hệ hai thấu

kính.
Bài giải:
a. Sơ đồ tạo ảnh:
AB A
1
B
1
A B
′ ′
Xét lần lượt mỗi ảnh, ta có:
Với A
1
B
1
: d
1
= 49 – 28 = 21 (cm)
1
1
1
21f
d
21 f
′
=
−
1 1
1
1 1 1
f f

f d f 21
k = =
− −
.
24
(L
2
)
(L
1
)
2
2
d
d


′

1
1
d
d


′

Hình 2.5
Với
A B

′ ′
: d
2
= l -
1
d
′
= 28 -
1
1
21f
21 f−
=
1
1
588 49f
21 f
−
−
k
2
=
( )
1
2
1
2 2 1
1
15 21 f
f 15

588 49f
f d 34f 273
15
21 f
−
= =
−
− −
−
−
.
Theo đề:
1 1
2
1
1 1
A B A B A B
k . k . k 3.
AB A B AB
′ ′ ′ ′
= = = =
Suy ra:
1
1 1
1
15 f
3 5 f 34f 273 .
34f 273
= ⇒ = −
−

Ta có hai trường hợp:
11 11 11
12 12 12
273
5f 273 34f f 7cm
39
273
5f 34f 273 f 9,4cm
29

= − ⇒ = =




= − ⇒ = ≈


Vậy O
1
là thấu kính hội tụ có tiêu cự 7cm hoặc 9,4cm.
b. Đường đi của chùm tia sáng:
Bài 4: Cho hệ đồng trục gồm thấu kính hội tụ L
1
tiêu cự f
1
= 20cm và
thấu kính phân kì L
2
tiêu cự f

2
= -40cm, đặt cách nhau 30cm, vật sáng AB =
25