Hình học giải tích và không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 19 trang )
1
Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
,,i j k
1i j k
.
B.
1 2 3 1 2 3
;; aa a a a a i a j a k
; M(x;y;z)
OM xi y j zk
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
1.
'; '; 'u v x x y y z z
2.
'; '; 'u v x x y y z z
3.
( ; ; )ku kx ky kz
4.
. ' ' 'uv xx yy zz
5.
' ' ' 0u v xx yy zz
6.
2 2 2
u x y z
7.
' ' ; ' ' ; ' ';;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
uv
y z z x x y
8.
,uv
cùng phương
[ , ] 0uv
9.
cos ,
.
.
uv
uv
uv
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C
xxx
;y
G
=
3
A B C
yyy
; z
G
=
3
A B C
zzz
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
xzy
5. ABC là một tam giác
AB AC
0
khi đó S=
1
2
AB AC
6. ABCD là một tứ diện
AB AC
.
AD
0, V
ABCD
=
1
,
6
AB AC AD
, V
ABCD
=
1
.
3
BCD
Sh
(h là đường
cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG & MẶT
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng được xác định bởi: M(x
0
;y
0
;z
0
),
( ; ; )n A B C
. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0 Ax+By+Cz+D=0.
một số mặt phẳng thƣờng gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
()
[ , ]
ABC
n AB AC
c/
nn
d/
nu
và ngược lại e/ d
d
uu
f/ d
d
nu
.
1;0;0i
0;1;0j
0;0;1k
O
z
x
y
2
II. Đƣờng thẳng
IV.
Đƣờng cong
Đường thẳng được xác định bởi: M(x
0
;y
0
;z
0
),
u
=(a;b;c)
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C
là hai VTPT và VTCP
12
[]u n n
.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
; Oy:
0
0
x
z
; Oz:
0
0
x
y
b/ (AB):
AB
u AB
; c/
1 2
12
uu
; d/
1 2
12
un
.
III. Góc- Kh/C
Góc giữa hai đường thẳng
*cos( , ’)=cos =
.'
.'
uu
uu
;
Góc giữa hai mp
*cos( , ’)=cos =
.'
.'
nn
nn
;
Góc giữa đường thẳng và mp
*sin( , )=sin =
.
.
nu
nu
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
), :Ax+By+Cz+D=0, : M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u
,
’ M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
'u
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M, )=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M, )=
1
[ , ]MM u
u
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d( , ’)=
00
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
uu
III. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S) I(a;b;c),bán kính R
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
2 2 2
a b c d
1. d(I, )>R: (S)=
2. d(I, )=R: (S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M
khi đó
n
=
IM
)
3. Nếu d(I, )<R thì sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
22
- ( , )R d I
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với
+H= (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với )
3
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z 20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2
2
:
1 1 1
y
xz
vặt phẳng (P):x+2y 3z+4=0. Viết
phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .
ĐS: Chuẩn
51
; ; 1
22
D
, Nâng cao
3
12
1
xt
d y t
zt
2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4
ĐS: a. x
2
+y
2
+z
2
3x 3y 3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B( 1;2;4) và đường thẳng
2
1
:
1 1 2
y
xz
.
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
5
ĐS: a.
2
2
:
2 1 1
y
xz
d
, b. M( 1;0;4).
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
1
2
23
:
2 1 1
y
xz
d
,
1
1
11
:
1 2 1
y
xz
d
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d
1
.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’( 1; 4;1), b.
2
13
:
1 3 5
y
xz
.
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
2
11
:
3 1 2
y
xz
d
và
2
12 3
:
10 2
xt
d y t
zt
.
a. Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d
1
và
d
2
.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).
6
ĐS: a. 15x+11y 17z 10=0, b.
5
OAB
S
.
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z 2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
ĐS:
22
2
1 1 1x y z
.
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d
k
là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): x+3ky z+2=0,
( ): kx y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d
k
Vuông góc với mặt phẳng (P):x y 2z+5=0.
7
ĐS: k=1.
8. (Khối D_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x y+2=0 và đường thẳng d
m
là giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ): (2m+1)x+(1 m)y+m 1=0, ( ): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d
m
song song với mặt
phẳng (P).
ĐS:
1
2
m
.
