CHUYEÂN ÑEÀ
LUYỆN THI ðẠI HỌC


HµM Sè
HµM Sè HµM Sè
HµM Sè Mò
Mò Mò
Mò – LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT

Quy nhơn, năm 2011
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 1


DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng :
x
a m
=
, trong đó
0, 1
a a
> ≠
và m là số

đ
ã cho.

●
N
ế
u
0
m
≤
, thì ph

ươ
ng trình
x
a m
=
vơ nghi
ệ
m.
●
N
ế
u
0
m
>
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
log .
a
x m
=



Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
+ −
+ − =
2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +

3)
x x 1
3 .2 72
+
=
4)
x 1 x 2
3 2.3 25
+ −
− =

5)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+ − −
+ = +

6)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49
−
   
− =
   
   
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình logarit cơ bản có dạng : log
a
x m
=
, m là số đã cho.
● ðiều kiện :
0
0 1
x
a



<
< ≠

● Phương trình có nghiệm :
m

x a
=
.

Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =
2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
− − − + =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + − =
4)
(

)
x 1
2
log 2 5 x
+
− =

5)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
6)
2
x
x
log 16 log 7 2
− =
.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Sử dụng cơng thức :
a a
β
α
α β

= ⇔ =
.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x
3
x x x 3
1
9 27 . 81
3
−
+
 
=
 
 
2)
x 1 2x 1
4.9 3 2
− +
=
.
CHUYÊN ĐỀ 1.



PHƯƠNG

TRÌNH


MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH

trang 2

B PHNG TRèNH LOGARIT.
S dng cụng thc :
(
)
0 0
log log
b c
b c
a a
b c





> >
=
=
.

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau :
1)
(
)

(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
2)
( )
( )
( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
+ = + +

3)
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +


4)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
=

5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = + +

6)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + =
.

DAẽNG 3. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ

A PH

NG TRèNH M

.
Ph

ng trỡnh d

ng :
2
. . 0
x x
a a

+ + =
.



t :
0
x
t a
>
=
.

Khi
ủ

ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
0
t t

+ + =
.

Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau :
1)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ +
=

2)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0

+ +
=

3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 0
2 2


=


.

Ph

ng trỡnh d

ng :
. . 0
x x
a a


+ + =
.
t :
0

x
t a
>
=
. Suy ra :
1
0
1
x
x
a
a t

= = >
.

Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph

ng trỡnh b

c hai :
2
1
0 0
t
t t t


+ + = + + =
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 3


Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

2)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
.

Phương trình dạng :
. . 0
x x

a b
α β γ
+ + =
. Với
. 1
ab
=
.
● ðặt :
0
x
t a
>
=
. Suy ra :
1
x
b
t
=
.
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ

c hai :
2
1
0 0
t
t t t
α β γ α γ β
+ + = ⇔ + + =
.

Bài 3. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
− + + =

2)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =
.
Ph

ươ
ng trình d
ạ
ng :
( )
2 2
. . 0
x
x x
a ab b
α β γ
+ + =
.
●
Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho :
2
x
a
( ho
ặ
c
2
x
b
)
●

Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
0
x x
b b
a a
α β γ
   
   
   
+ + =
.
ðặ
t :
0
x
b
t
a
 
 
 

= >
.

Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =

2)
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =

3)
x x x
27 12 2.8
+ =
.

Phương trình dạng :
( ) ( ) ( )

. .
f x g x h x
a
a a
α β αβ
+ − =
. Với
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= +
.
● ðặt :
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
0

0
f x
h x f x g x
g x
v
u a
a a u

v a
+





= >
⇒ = =
= >

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 4

● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai :
(
)
(
)
. .
u v uv v u v
α β αβ α β α
+ − = ⇔ − = −

( )( )
.
0
u
v u

v
β
α β
α



=
− − = ⇔
=

Bài 5. Giải các phương trình sau :
1)
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

2)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +

3)
( )
2
2 2

x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +

4)
x x x
8.3 3.2 24 6
+ = +
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình có chứa :
log , log , log
k
a a x
x x a
.
● ðặt :
log
a
t x
=
. Suy ra :
, .
1
log log
k k
x

x
a t a
t
= =


Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
2)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

3)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+

+ = 4)
(
)
(
)
x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =

5)
2 2
2 x
log x.log (4x ) 12
=
6)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=
.

Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :

(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x
=
.
●

ðặ
t :
(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x A
= =
.
●
Khi
ñ
ó :
(
)

( )
( )
( )
1

2
log log log
log
log log
A
A
a
b
b
a
a
b
x A x a
x b
x A


 
⇔
 




= =

=
=
. Suy ra :
log
log
A
A
A
b
a
a
b
x
a
x b
 
= =
 
 


1

log log log log log
log
A A A
x x
b b b
a
a a a

b b b
x a x x a
x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ =
     
     


( )

.
log log log
A
a
b b
b
a
a A a
b
 
⇔ =
 
 
⇔ =
●
T
ừ
(1) suy ra :
log log

.
b
a
b
a
A
a a
x b b
 
 
 
= =


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 5

Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2 3
log log x
x = 2)
(
)
(
)
2 3 3 2
log log log log
x x

=

3)

7 3
log x log ( x 2)
= +

4)

(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
.

Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình.
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x.

Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

2)
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −

3)
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =
.
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 :
(
)
( )

0 1, 0

log .
f x
a
a b
a b
f x b





< ≠ >
= ⇔
=

●
D
ạ
ng 2 :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )

log log .lo
g

f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ = .

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
4
4
3 log x 1
log x 2
x 2
−
−
=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=

−
+ − + +

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
x
log 5
6 5
x .5 5
−
−
=
2)
lgx 2
x 1000x
=

3)
x x
3 2
2 3
=
3)
2
x 2x x

2 .3 1,5
−
=

5)
2
x x
5 .3 1
=
6)
x
x
x 2
3 .8 6
+
=
.

DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Ph
ươ
ng pháp : Nh
ẩ
m nghi
ệ
m và s
ử
d
ụ
ng tính

đơ
n
đ
i
ệ
u
để
ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các tính ch
ấ
t sau :
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang
6

● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng
(

)
;
a b
thì phươ
ng trình :
(
)
f x C
=
có không quá m
ộ
t nghi
ệ
m trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(

)
0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
0
f x C
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
f x C
=
.
●
Tính ch
ấ

t 2 : N
ế
u hàm f t
ă
ng trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
và hàm
g là hàm m
ộ
t hàm gi
ả
m
trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
thì ph
ươ
ng trình
(
)
(

)
f x g x
=
có nhi
ề
u nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(
)

0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
(
)
0 0
f x g x
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
f x g x
=

.

Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x x x
3 4 5
+ =

2)
x x
4 3 1
− =

3)
(
)
(
)
x x
x
2 3 2 3 4
− + + =
.
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2
log x 3 x
= −
2)
x

3
2 2 log x
= −

3)
x
2 3 x
= −
4)
2
log x
x 2.3 3
+ =
.


BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
82
3log x
log x
2x 2x 5 0
−
+ − =
2)
3 3
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2
+ + + + + −
+ = +


3)
(
)
(
)
2 2
3 3 3
log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8
+ + + + + = +
4)
(
)
2 4
log x log x 3 2
− − =

5)
( )
( )
2
8 8
4
2log 2x log x 2x 1
3
+ − + =
6)
x 27 3
3
log 3 3log x 2log x

4
− =
7)
2 2
x
log 2 log 4x 3
+ =
8)
(
)
(
)
x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6
+ − = −

9)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +
10)
82
4 16
log 4x

log x
log 2x log 8x
=

11)
(
)
(
)
x 1
x
log cos x sin x log cosx cos2x 0
− + + =
12)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang
7

13)
( )
( )
( )

2
1 2
2
2
1
2
3
log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
 
+ − + −
 
 
= +
+ +
14)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=

15)
( ) ( )
2 3
4 2 2
1
log x 1 log x 2 2log 4 x 1
3

+ = + + − +
16)
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0
− =

17)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2
 
 
+ + =
18)
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + =

19)
( ) ( )
3

1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
+ − − − − =
20)
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =

21)
2 3 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
− + + + =
22)
x
3
1 6
3 log 9x
log x x
 
+ = −
 
 

23)
4 2
2x 1

1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
24)
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ =

25)
(
)
( )
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
− +
+ − + − =
26)
2 1
2
2log 2x 2 log 9x 1 1
+ + − =

27)

( )
x x
2 2
x
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
+ + + =
−
28)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =

29)
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − =
30)
( ) ( )

2
3
3
log x 1 log 2x 1 2
− + − =

31)
( ) ( )
2
2 4 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
+ + − + =
32)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

33)
(
)
(
)
2
2
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0

− + − − =
34)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

35)
2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0
− + − =
36)
(
)
(
)
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
− + + =
.
HẾT










Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 1



DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
●
0 1
a
< <


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(ngh
ị
ch bi

ế
n)
●

1
a
>


( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


g x
f x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(đồng biến)
Ví dụ 1. Giải bất phương trình :
2
x x 1
x 2x
1
3

3
− −
−
 
≥
 
 
.


- ðiều kiện :
2
x 0
x 2x 0
x 2
≤

− ≥ ⇔

≥

.
- Bất phương trình
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1
− −
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ − −

(1)
+ Nếu
x 0
≤
thì
x 1 1 x
− = −
, khi đó
( )
2
1 x 2x 2x 1
⇔ − ≥ −
(lng đúng vì
x 0
≤
)
+ Nếu
x 2
≥
thì
x 1 x 1
− = −
, khi đó
( )
2 2
1 x 2x 1 x 2x 1 0
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥

( )
( )

x 1 2 loai

x 1 2 chon

≤ −
⇔

≥ +



- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
]
)
S ;0 1 2;

= −∞ ∪ + +∞

.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2

3
3
log x
log x
3 x 6
+ ≤
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Ta có :
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
.
- Khi đó bất phương trình
(
)
3 3 3 3
log x log x log x log x
3 3

x x 6 x 3 log x log 3
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

( )
2
3 3 3 3
1
log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3.
3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
1
S ;3
3
 
=
 
 
.

CHUYÊN ĐỀ 2.


BẤT

PHƯƠNG

TRÌNH


MŨ – LOGARIT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 2

BÀI TẬP.
1)
3
x 2
log
x
5 1
−
<
2)
( )
2
log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
 
 

 
+ +
 
 
 
 
 
 
≥
 
 

3)
1 1
2
2 2 2
log x log x
log x
5 x .2 6.x+ >
4)
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.

B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
●
0 1

a
< <


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)

●

1

a
>


(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥
(
ñồ
ng bi
ế
n)

Ví dụ . Giải bất phương trình :
1 2
3

1 2x
log log 0
1 x
+
 
>
 
+
 

- Bpt
2
2
1 2x 1 2x
0 0
1 2x x
1 x 1 x
1 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x

log 0 1
1 2x 1
1 x 1 x
2 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 1 2
1 x 1 x
+ +

 
> >
 
+
+ +  
> >
 
 
   + +
+ +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
> >
   
+ −
+ +
   
> <
 
 
+ +
+ + 
< <
 
+ +
 


x 1 x 0
x 0
x 1

< − ∨ >

⇔ ⇔ >

> −

.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;
= +∞
.
BÀI TẬP.
1)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
 
+
<
 
+
 
2)
(
)
2

π 2
4
log log x 2x x 0
 
+ − <
 
 

3)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > −
4)
3
2x 3
log 1
1 x
−
 
<
 
−
 

5)

(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
6)
(
)
x x
2
log 7.10 5.25 2x 1
− > +

7)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
 
− ≥ −
 
− −
 
8)

2
2x
x
log 64 log 16 3.
+ ≥


Biờn son : GV HUNH C KHNH

trang 3

Bt phng trỡnh dng :
( )
(
)
log
x
f
g x a
>
, ta xột hai tr

ng h

p c

a c

s


:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0 1
log
1
a
a
x
f
g x
g x f x
g x
g x f x
f x
g x a
f x


<









<





<




>




>



< <
>



Vớ d . Gii bt phng trỡnh :
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >
.
- Bpt
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1
1 3
x
1 3
5x 8x 3 x 4x 8x 3 0
2 2
x
2 5
3
3
5x 8x 3 0

x x 1
x x 1
3
5

5
x
x 1
x 1
x 1
5x 8x 3 x
1 3
4x 8x 3 0
x x
2 2





< <





< < < <







< <


+ < + <




< <






+ >





< >
< >





>


>






>
>



+ >









+ >


< >




2







.
- V

y nghi

m c

a b

t ph

ng trỡnh l :
1 3 3
S ; ;
2 5 2

= +


.
BI TP.
1)
(
)
2

3x x
log 3 x 1

>
2)
(
)
x 1
log 2x 2
+
>

3)
x
1
log x 2
4




4)
(
)
x
x 3
log log 9 72 1





5)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
+ >
6)
(
)
( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
+
<


7)
(
)
2
log x 3x 2
2
log x log2
+

>
+
8)

(
)
( )
3
a
a
log 35 x
3.
log 5 x

>



DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A BT PHNG TRèNH M.
Vớ d 1.
Gi

i b

t ph

ng trỡnh :
x x 2
x x

2.3 2
1
3 2
+



.
- iu kin :
x x
3 2 0 x 0.


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 4

- Chia cả tử và mẫu cho
x
2
, ta ñược :
x
x x 2
x
x x
3
2. 4
2.3 2
2
1 1

3 2
3
1
2
+
 
−
 
−
 
≤ ⇔ ≤
−
 
−
 
 

(*)

-
ðặ
t :
( )
x
3
t , 0 t 1
2
 
= < ≠
 

 
.
- Khi
ñ
ó (*) tr
ở
thành
2t 4 t 3
1 0 0 1 t 3
t 1 t 1
− −
− ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤
− −
.
- Với
x
3
2
3
1 t 3 1 3 0 x log 3
2
 
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
 
 
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
3
2
S 0;log 3

 
=


 
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 4.5 5
− − − − + −
− <
.
- ðặt :
x 5 3 x 2
u 5 0, v 5 0
− −
= > = >
.
- Khi ñó bpt trở thành :
( )
2
2 2
u
4u 5v u 4uv 5v vi v 0
v
− < ⇔ − < >

(
)
(

)
2 2
u 4uv 5v 0 u v u 5v 0 u 5v 0 u 5v
⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ <
x 5 1 3 x 2
5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < −
(*)

- Bpt (*)
( ) ( )
2
2
x 2 0
2 x 6
x 6 0

x 6 0
x 6
x 6
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
9 x 2 x 6

− ≥

⇔ ≤ <



− <


⇔

− ≥

≥
≥




⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  

< <
− + <
− > −





.
- V
ậ
y nghi
ệ

m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
[
)
S 2;18
= .
Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
2 2
2x 4x 2 2x x 1
2 16.2 2 0
− − − −
− − ≤
.
- Ta có :
2 2 2 2
2x 4x 2 2x x 1 2x 4x 2 2x x 1 2
2 16.2 2 0 2 16.2 2 0
− − − − − − − + −

− − ≤ ⇔ − − ≤


(
)
(
)
2 2
2 x 2x 1 x 2x 1
2 4.2 2 0.
− − − − −
⇔ − − ≤

-
ðặ
t :
2
x 2x 1
t 2 , t 0.
− −
= >

- Bpt tr
ở
thành :
( )
( )
2 3 2
1
t 4 2 0 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0

t
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤

( ) ( ) ( )
2
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2.
 
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
 

- V
ớ
i
2
2 2
x 2x 1
t 2 2 2 x 2x 1 1 x 2x 2 0 1 3 x 1 3
− −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + .
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :

S 1 3;1 3
 
= − +
 
.

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 5

Ví dụ 4. Giải bất phương trình :
2x 1 2x 1 x
3 2 5.6 0
+ +
− − ≤
.
- Ta có :
x x
2x 1 2x 1 x 2x 2x x
2
3 2 5.6 0 3.3 2.2 5.6 0 3. 2. 5 0
3
2 3
+ +
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
   
   
   
.
- ðặt :

x
3
t , t 0
2
 
= >
 
 
.
- Bpt trở thành :
2
1 1
3t 2. 5 0 3t 5t 2 0 t 2
t 3
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
-
ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
0 t 2
< ≤
.
- Với
x
3
2
t 2
3
2 x log 2
2
≤ ⇔

 
≤ ⇔ ≤
 
 
.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
3
2
S ;log 2
 
= −∞


 
.
BÀI TẬP.
1)
1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +

+ − + >
2)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
   
+ >
   
   

3)
x x x
2.14 3.49 4 0
+ − ≥
4)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − ≥
.


B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Ví dụ 1.
Gi
ả

i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ ≥
.
- ðiều kiện :
0 x 1
< ≠
.
- Bpt
( ) ( )
1
2
2
4 2 2 2
8 2
1 3 1
log x log 2x 0 log x . 1 log x 0
log x log x 2
 
 
⇔ + ≥ ⇔ + + ≥
 

 
 
 

- ðặt :
2
t log x
= .
- Bpt trở thành :
( ) ( )
2
t 1
3 1 1 3 t 1 t
t . 1 t 0 1 t 0 0
t 0.
t 2 2 t t
≤ −
 

+ +
 
+ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔
 
 

>
 

 


- Với
2
2
1
log x 1
t 1
x

2
t 0 log x 0
x 1.

≤ −
≤ −
≤



⇔ ⇔



> >


>


- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1

0 x
2
x 1.

< ≤


>


- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
( )
1
S 0; 1;
2
 
= ∪ +∞


 

.

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang
6

Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
 
 
− + <
 
 
 
 
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Bpt

( ) ( )
1 1
3
4 2 2
2 2
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
− −
 
 
⇔ − + <
 
 
 
 


( ) ( )
( )
[ ] [ ]
( )
2
4 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 2
2 2 2 2

log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x
log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x .
   
⇔ − − + − <
   
⇔ − − + − <

-
ðặ
t :
2
t log x
=
.
- Bpt tr
ở
thành :
2
4 2 2
2
3 log x 2
3 t 2
t 13t 36 0 4 t 9
2 t 3 2 log x 3
− < < −
− < < −


− + < ⇔ < < ⇔ ⇔



< < < <



1 1
x

8 4
4 x 8.

< <

⇔

< <


- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
( )
1 1
S , 4,8
8 4
 
= ∪
 
 
.
BÀI TẬP.
1)

(
)
(
)
2 2
4 2
1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2
+ + + > + +
2)
(
)
x
x
2
3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >
.

DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC.

Dạng :
log log
a
b
u v
<
, ta thường giải như sau : ðặt
log

a
t u
=
( hoặc
log
b
t v
=
) ñể ñưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số.

Ví dụ : Giải bất phương trình :
(
)
5 4
log 3 x log x
+ >
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- ðặt :
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
.
- Bpt trở thành :
( )

t t
t t t
5
1 2
log 3 2 t 3 2 5 3. 1
5 5
   
+ > ⇔ + > ⇔ + >
   
   
. (*)
- Hàm số
( )
t t
1 2
x 3.
5 5
f
   
= +
   
   
nghịch biến trên
ℝ
và
(
)
1 1.
f
=


- Bpt (*)
(
)
(
)
t 1 t 1
f f
⇔ > ⇔ <
.
- Với
4
t 1 log x 1 0 x 4.
< ⇔ < ⇔ < <

- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;4
= .

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 7

Dạng :
1 1
log log
a
b

u v
>
, ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của
log
a
u
và
log
b
v
trong tập xác ñịnh của phương trình.
● Trong TXð, nếu
log
a
u
và
log
b
v
cùng dấu thì :

1 1
og og .
log log
a
b
a
b
l

u l v
u v
⇔
> <

Ví dụ : Giải bất phương trình :
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x
>
+ −
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
1 x 0 3
0 x 1 1
1 x

2
3
0 3 2x 1
1 x
x 0;1
2

− < ≠
 
< + ≠
− < <

 
⇔ ⇔
  
< − ≠
≠ <

 
≠
 

●

(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > ⇔ + > ⇔ >

●
(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
− > ⇔ − > ⇔ <


- Ta có b
ả
ng xét d
ấ
u :

- T
ừ

ñ
ó ta có các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :

1)
V
ớ
i
1 x 0
− < <
thì
VT 0, VP 0
< >
, suy ra bpt vô nghi
ệ
m.

2)

V
ớ
i
0 x 1
< <
thì
VT 0, VP 0.
> >
Khi
ñ
ó bpt
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x
⇔ + < −
2
3 2x x 1 x .
3
⇔ − > + ⇔ <

3) Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,

> <
suy ra bpt vô nghiệm.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
2
S 0 x
3
 
= < <
 
 
.
BÀI TẬP.

1)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
− +
2)
( ) ( )
3x 5 6x 2
log 4 log 16 0

− − − −
− ≥
.

Dạng :
log log log
a a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < +
, ta th
ườ
ng gi
ả
i nh
ư
sau : Xét hàm s
ố

(
)
log
a
f t t t
= +


ñồ
ng bi

ế
n khi
0
t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< ⇔ <

Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
.
- ðặt :
(
)
2 2

u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra :
2
v u x 3x 2
− = − +
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 8

- Bpt trở thành :
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > +
. (*)
- Xét hàm số :
(
)
3
t log t t
f
= +
, ta có :
( )
1
' t 1 0, t 0
tln3

f
= + > ∀ >
nên hàm số ñồng biến khi
t 0
>
. Do ñó (*)
(
)
(
)
u v u v
f f
⇔ > ⇔ >
.
- V
ớ
i
2 2 2
u v x x 1 2x 2x 3 x 3x 2 0 1 x 2.
> ⇔ + + > − + ⇔ − + < ⇔ < <

- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph

ươ
ng trình là :
(
)
S 1;2
= .
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
Ví dụ :
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
 
− + ≤ +
 
−
 
.
-
ð
i
ề

u ki
ệ
n :
x 2.
≥
.
- Ta có :
●

(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥


●

1
x 2 x 1 1 x 1 1 1
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−


3
1 1
8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
 

⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
 
− −
 
.
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi
VT 2
x 2 0
x 2
VP 2
x 2


=
− =
 
⇔ ⇔ =
 
=
=




.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
{
}
S 2
= .


BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
−
−
 
− ≤
 
 
2)
( ) ( )
x 1 x 3
x 3 x 1
10 3 10 3
+ −
+ −
− < +

3)
2
x x 2 3
2 x 1 x
1

3 6.3
3
+ − −
− −
+ >
 
 
 
4)
2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x
+ < +
5)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +
6)
1 1
x x
6 6
1
log 3.4 2.9 log 5

x
− −
 
+ + =
 
 

7)
2 2
3
2 2
x x 1 x x 1
x 1 2x 1
log log
2x 1 x 1
− − + −
 
+ +
 
>
 
 
+ +
 
 
8)
(
)
2 2 2
2 1 4

2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −

9)
( ) ( )
2 3
3 4
2
log x 1 log x 1
0
x 5x 6
+ − +
>
− −

10)
( ) ( )
2 3
2 3
2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −
.

HẾT


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
1



DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
● ðặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
● Sử dụng các phép biến đổi để đưa vê hệ phương trình đại số theo ẩn x, hoặc y, hoặc x
và y.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :
x y
x y
2 .3 12
3 .2 18.

=

=


- Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế của hai phương trình ta được :
2 2
2 2

x y.log 3 2 log 3
x.log 3 y 1 2.log 3.
+ = +


+ = +


Nhận xét : ðây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =


- Ta có :
2
2
2
2
1 log 3
D 1 log 3 0
log 3 1
= = − ≠



2 2
2
x 2
2
2 log 3 log 3
D 2 2log 3
1 2log 3 1
+
= = −
+


2
2
y 2
2 2
1 2 log 3
D 1 log 3
log 3 1 2log 3
+
= = −
+

- Suy ra hệ có nghiệm :
x
y
D
x 2
D
D

y 1
D

= =




= =


.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
( )
1 4
4
2 2
1
log y x log 1 1
y
x y 25. 2

− − =



+ =



-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
y x 0
y x

1
0
y 0.
y
− >

>


⇔
 
>
>




- Ta có :
(
)

(
)
(
)
4 4 4 4
1 log y x log y 1 log y 1 log y x
⇔ − − + = ⇔ = + −

( ) ( )
4 4
4
log y log y x 4 y y x 4 y x.
3
 
⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
 

- Khi đó hpt
( )
2
2
x 3
4x
4x
y
y
y 4
33

x 3

4x
x 3
x 25
loai .
x 3
3
y 4

=


=
=



=
  

⇔ ⇔ ⇔
 

=

= −
 

 
+ =



 

 
= −
  = −
 




CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH

t
r
an
g
2

- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 3
y 4
=


=

.

Vớ d 3. Gii h phng trỡnh :
(
)
( ) ( )
3 2
2 2 2
2log y log x 1 1
log y log x 1 .log 3 2

= +


=



- iu kin :
x 0
y 0
>


>

.
- Khi ủú hpt
3 2
3 2 2
2
2

3 2 3
2
2log y log x 1
2log y log x 1 log x 3
x 9

log y
log x 1
log y log x 1 log 2
y 8
log 3
y
= +

= + =

=





=
= =
=






.
- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 9
y 8
=


=

.
BI TP.
1)
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3

+ =


=


2)
( )
( ) ( )
x 2y
x y
2 2

1
3
3
log x y log x y 4




=





+ =


3)
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y
4 2
y
2 2
+

=



+
=

+

4)
(
)
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4

+ =


+ =



5)
( )
x y
5
3 .2 1152
log x y 2


=



+ =


.
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh :
( ) ( )
logx log y
log7 log5
5 7
7x 5y

=


=



-

i

u ki

n :
x 0
y 0

>


>

.
- L

y logarit theo c

s

10 c

hai v

ta
ủ
c :
( ) ( )
log x.log5 log y.log7
log7 log x log7 log5 log y log5
=



+ = +




-
t
u logx, v logy
= =
. Khi
ủ
ú h

cú d

ng :
2 2
u.log5 v.log7 0
u.log7 v.log5 log 5 log 7
=


=


Nhn xột : õy l h phng trỡnh bc nht hai n cú dng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =



- Ta cú :
2 2
log5 log7
D log 7 log 5 0
log7 log5

= =



( )
2 2
u
2 2
0 log7
D log 5 log 7 .log7
log 5 log 7 log5

= =



( )
2 2
v
2 2
log5 0
D log 5 log 7 .log5
log7 log 5 log 7

= =


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
3

- Suy ra hệ có nghiệm :
u
v
D
u log7
D
D
v log5
D

= = −




= = −


, suy ra

1
x
7
1
y
5

=




=


.
- Vậy hệ có nghiệm :
1
x
7
1
y
5

=




=



.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
( )
3
3
log 2
log xy
2 2
4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)

= +


+ − − =



-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x.y 0
>
.

- Nh
ậ
n xét :
b b
log c log a
a c=
. Do
ñ
ó
(1)

(
)
3
3
log xy
log xy
2
2 2 2⇔ = +
.
-
ðặ
t :
(
)
3
log xy
t 2 t 0
= >
. Ta có :

(
)
2 2
t 1 loai
t 2 t t t 2 0
t 2

= −
= + ⇔ − − = ⇔

=


- Với
t 2
=
thì
3
log xy 1
=
hay
xy 3
=
.
- Biến ñổi (2)
( ) ( )
(
)
( )
2

x y 6
x y 3 x y 18 0
x y 3

+ =
⇔ + − + − = ⇔

+ = −



- Khi ñó hệ phương trình ñã cho
x y 6
x 3 6 x 3 6
x.y 3

y 3 6 y 3 6
x y 3
vo nghiem
x.y 3

+ =


 
= − = +


 
=

 ∨
  

⇔ ⇔

= + = −
 
 

+ = −





=




- Vậy hệ có hai nghiệm :
(
)
3 6; 3 6
− +
và
(
)
3 6; 3 6
+ −

.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
2 2
5 3
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1

− =


+ − − =



- ðiều kiện :
3x 2y 0
3x 2y 0.
+ >


− >


- Hệ phương trình
(
)
(
)

(
)
( ) ( ) ( )
5 3
3x 2y 3x 2y 5 1

log 3x 2y log 3. 3x 2y 2

+ − =

⇔

 
+ = −

 


- Từ (2) ta ñặt :
(
)
(
)
5 3
t log 3x 2y log 3. 3x 2y
 
= + = −
 
. Suy ra :
( )

t
t 1
3x 2y 5
*
3x 2y 3
−

+ =


− =


. Thay vào
(1) ta ñược :
(
)
t
t t 1
5 .3 5 15 15 t 1
−
= ⇔ = ⇔ =
.
- Với
t 1
=
thì
( )
3x 2y 5 x 1
* .

3x 2y 1 y 1
+ = =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 

- Vậy hệ phương trình có nghiệm :
x 1
y 1
=


=

.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
4

Lưu ý : Với phương trình dạng :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1

log log 2
a b
f x g x k
f x g x f x g x

− =


   
+ = −

   

, thông thường
ta giải theo hướng ñặt :
(
)
(
)
(
)
(
)
log log
a b
t f x g x f x g x
   
= + = −
   
. Suy ra :

(
)
(
)
t
f x g x a
+ =

và
(
)
(
)
.
t
f x g x b
− =
Thay vào (1) ta tìm ñượ
c t.

BÀI TẬP.
1)
2 2 2
3 3 3
xlog 3 log y y log x
xlog 12 log x y log y
+ = +


+ = +


2)
x y
2 2 8
x y 4

+ =

+ =


3)
y 1 x
x y
3 2 5
4 6.3 2 0
+

− =


− + =


4)
8 8
log y log x
4 4
x y 4
log x log y 1


+ =

− =


5)
x y
2
y
log y log x 2
x 3x y 20 log x
+ =



− − = +


6*)
2 2
2
2x 2 2x y y
2y 2 2x y
4 2 4 1
2 3.2 16
− +
+ +

− + =



− =



7*)
y x
log xy log y
2x 2y 3

=


+ =


.

DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC
Hệ phương trình dạng :
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
, 0 2

f x f y
g x y





=
=
. Ta gi
ả
i nh
ư
sau :
Xét hàm s
ố
:
(
)
y f t
=

●
N
ế
u hàm s
ố
:
(
)

y
f t
=

ñơ
n
ñ
i
ệ
u, thì
(1)
suy ra
x y
=
. Thay
x y
=
vào
(2)
ta
ñượ
c h
ệ

ñơ
n gi
ả
n.
●
N

ế
u hàm s
ố
:
(
)
y f t
=
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
t a
=
thì nó thay
ñổ
i chi
ề
u bi
ế
n thiên m
ộ
t l
ầ
n

khi qua a. T
ừ

(1)
suy ra
x y
=
ho
ặ
c n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
a
.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :
x y
3
2
2
x y (1)
x
log log 4y 10 (2)
2
e e


− = −


+ =



- ðiều kiện :
x 0
y 0
>


>

.
- Phương trình (1)
x y
x y
e e
⇔ − = −
(3).
- Xét hàm số :
(
)
t
t e t
f
= −
liên tục với mọi

t 0
>
. Mặt khác :
(
)
t
' t 1 0 , t 0
f e
= − > ∀ >
. Do
ñó hàm số
(
)
t
f
ñồng biến khi
t 0
>
. Khi ñó (3) ñược viết dưới dạng :
(
)
(
)
x y x y.
f f
= ⇔ =

- Thay
x y
=

vào (2) ta ñược :
( )
3
2 2 2
2
x
log log 4x 10 log x 1 2 2 3log x 10
2
+ = ⇔ − + + =


2
log x 1 x 2.
⇔ = ⇔ =

- Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
(
)
(
)
x; y 2; 2 .
=


Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g

5

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
(
)
(
)
2 2
ln 1 x ln 1 y x y (1)
2x 5xy y 0 (2)

+ − + = −

− + =


- ðiều kiện :
x 1
y 1
> −


> −

.
- Phương trình (1)
(
)
(
)

ln 1 x x ln 1 y y
⇔ + − = + −
(3).
- Xét hàm số :
(
)
(
)
t ln 1 t t
f
= + −
liên t
ụ
c v
ớ
i m
ọ
i
t ( 1; )
∈ − +∞
. M
ặ
t khác :
( )
1 t
' t 1 , t ( 1; )
1 t 1 t
f
−
= − = ∀ ∈ − +∞

+ +
. Ta thấy
(
)
' t 0 t 0.
f
= ⇔ =
Hàm số ñồng biến trong
(
)
1; 0
− và nghịch biến trong
(
)
0;
+∞
. Khi ñó (3) ñược viết dưới dạng :
(
)
(
)
x y x y
f f
= ⇔ =

hoặc
xy 0.
<

● Nếu

xy 0
<
thì vế trái của (2) luôn dương. Suy ra hệ vô nghiệm.
● Nếu
x y
=
, thay vào (2) ta ñược :
2 2
2x 5xx x 0 x 0.
− + = ⇔ =

- Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
(
)
(
)
x; y 0; 0 .
=

BÀI TẬP.
1)
x
y
2 2x 3 y
2 2y 3 x

+ = +


+ = +



2)
x y
2 2
3 3 y x
x xy y 12

− = −


+ + =


.

Dùng phương pháp ñánh giá.
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
log log 1 1
3 2 0 2
x y y x xy
xy y






− = − +
− + =

- ðiều kiện :
x 0
y 0
>


>

.
- Xét phương trình (1)
● Nếu
x y
>
thì
2 2
log y log x
< . Suy ra
VP 0, VT 0.
< >
Do ñó hệ vô nghiệm.
● Nếu
x y

<
thì
2 2
log y log x
> . Suy ra
VP 0, VT 0.
> <
Do ñó hệ vô nghiệm.
● Vậy
x y
=
là nghiệm của (1). Khi ñó hệ phương trình
x y

xy 3y 2 0
=

⇔

− + =


2
x y
x y
x y 1

x 1
x y 2.
x 3x 2 0

x 2
=

=
= =



⇔ ⇔ ⇔
=

 

= =
− + =




=



- Vậy hệ có hai nghiệm :
(
)
(
)
1;1 , 2;2 .



BÀI TẬP.
1)
(
)
(
)
x y
2 2
2 2
log y log x xy 1
x y 1
e e

− = − +


+ =


2)
(
)
(
)
2 2
3 3
x y log y log x xy 2
x y 16


− = − +


+ =


.



Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
6

BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0
 − + =


− =


2)

3x 2
x x 1
x
2 = 5y - 4y
4 2
y
2 2
+



+
=

 +

3)
2 2
x y x 1
x y y x
2 2 x y
+ −

+ = +


− = −


4)

2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3

− + − =


− =



5)
(
)
(
)
2 2
ln 1 x ln 1 y x y
x 12xy 20y 0.
 + − + = −


− + =


6)
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1

y y 2y 2 3 1
−
−

+ − + = +


+ − + = +



7)
( )
2 2
2 2
2 2
x xy y
log (x y ) 1 log (xy)
x,y
3 81
− +

+ = +

∈

=


ℝ

8)
(
)
( )
2
x x 2
log 3y 1 x
x,y
4 2 3y
 − =

∈


+ =

ℝ

9)
( )
( )
2
2
2
x 4x y 2 0
x,y
2log x 2 log y 0

− + + =


∈

− − =


ℝ
10)
(
)
( )
3 2
x
3 2
y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

+ − − =


+ − − =



11)
2
2
3 3
3 3 10
1

log log 0
2
x y
x y
+

+ =


− =


12)
3x 1 y 2 y 3x
2
2 2 3.2
3x 1 xy x 1
+ − +

+ =


+ + = +



13)
( ) ( )
2 2
2

y x
2
3 2
x 2010
2009
y 2010
3log x 2y 6 2log x y 2 1
−

+
=

+


+ + = + + +

14)
2 2 2
3 3 3
xlog 3 log y y log x
xlog 12 log x y log y
+ = +


+ = +


15)
( )

( )
( )
3
3
log 2
log xy
2 2
4 4 4
4 2 xy
log x y 1 log 2x log x 3y

= +


+ + = + +


16)
( )
3
2 x
x log y 3
2y y 12 .3 81y
+ =



− + =




17)
(
)
(
)
( ) ( )
2
1 x 2 y
1 x 2 y
2log xy 2x y 2 log x 2x 1 6
log y 5 log x 4 1
− +
− +

− − + + + − + =


+ − + =




HẾT











Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 1



Bài 1. Cho phương trình:
2 2
3 3
log x log x 1 2m 1 0
+ + − − =
(m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn
3
1 ; 3
 
 

(Chính thức…….khối A năm 2002)
Bài 2. Giải phương trình:
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0

− =
.
(Dự bị 1…….khối A năm 2002)

Bài 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
x
x 3
log log (9 -72) 1
≤
.
(Chính thức…….khối B năm 2002)
Bài 4. Giải hệ phương trình:
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0
 − + =


− =




(Dự bị 1…….khối B năm 2002)
Bài 5. Giải phương trình:
8
4 2
2
1 1
log (x 3) log (x 1) log (4x)
2 4
+ + − =

(Dự bị 2…….khối B năm 2002)
Bài 6. Giải hệ phương trình:
3x 2
x x 1
x
2 = 5y - 4y
4 2
y
2 2
+



+
=

 +

(Chính thức…….khối B năm 2002)

Bài 7. Giải hệ phương trình:
(
)
( )
3 2
x
3 2
y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

+ − − =


+ − − =



(Dự bị 1…….khối D năm 2002)
Bài 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
(

)
x 2x 1 x
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2
+
+ ≥ −


(Dự bị 2…….khối D năm 2002)
Bài 9.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
x 1 x x 1
15.2 1 2 1 2
+ +
+ ≥ − +

(Dự bị 1…….khối A năm 2003)
Bài 10.
Gi
ả
i h
ệ
ph

ươ
ng trình:
y x
x y
log xy log y
2 2 3

=


+ =



CAÙC

ÑEÀ T
HI

ÑAÏI HOÏC
2002
–
2010

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 2

(Dự bị 2…….khối A năm 2003)
Bài 11. Tìm m ñể phương trình

(
)
2
2 1
2
4 log x log x m 0
− + =
có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
(Dự bị 1…….khối B năm 2003)
Bài 12. Giải bất phương trình:
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + ≤

(Dự bị 2…….khối B năm 2003)
Bài 13. Giải phương trình:
2 2
x x 2 x x
2 2 3
− + −
− =
.
(Chính thức…….khối D năm 2003)
Bài 14. Cho hàm số
(
)
x

f(x) xlog 2 x 0,x 1
= > ≠
.
Tính
'
f (x)
và giải bất phương trình
'
f (x) 0
≤
.
(Dự bị 1…….khối D năm 2003)
Bài 15. Giải phương trình:
(
)
x
5
log 5 4 1 x
− = −
.
(Dự bị 2…….khối D năm 2003)
Bài 16. Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log (y x) log 1
y
x y 25


− − =



+ =


(Chính thức…….khối A năm 2004)
Bài 17.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2
π
2
4
log log x 2x x 0
 
+ − <
 
 
.
(Dự bị 1…….khối A năm 2004)
Bài 18.
Gi
ả

i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.
(Dự bị 2…….khối A năm 2004)
Bài 19.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
x 1
2 6x 11
4
x 2
−
+ −
>
−
.
(Dự bị 1…….khối B năm 2004)

Bài 20.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 x
log x log 3
>
.
(Dự bị 2…….khối B năm 2004)
Bài 21.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
x y x 1
x y y x
2 2 x y
+ −

+ = +



− = −



(Dự bị 1…….khối D năm 2004)
Bài 22.
Tìm m
ñể
h
ệ
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
2x x 1 2 x 1
2
7 7 2005x 2005
x (m 2)x 2m 3 0
+ + + +

− + ≤


+ + + + ≥




(Dự bị 1…….khối A năm 2005)
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

trang 3

Bài 24. Giải hệ phương trình:
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3

− + − =


− =



(Chính thức…….khối B năm 2005)
Bài 25. Giải phương trình:
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
−
−
 

− ≤
 
 
.
(Dự bị 1…….khối B năm 2005)
Bài 26. Giải bất phương trình:
(
)
x 1
log 2x 2.
+
− >

(Dự bị 1…….khối A năm 2006)
Bài 28.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =

(Dự bị 2…….khối A năm 2006)
Bài 29.
Gi
ả
i b

ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
x x 2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
.
(Chính thức…….khối B năm 2006)
Bài 30. Giải phương trình:
( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0.
+ − − − − =

(Dự bị 1…….khối B năm 2006)
Bài 31. Giải phương trình:
2 2
x x 1 x x 2
9 10.3 1 0.
+ − + −
− + =


(Dự bị 2…….khối B năm 2006)
Bài 32. Chứng minh rằng với mọi a > 0 , hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
x y
ln(1 x) ln(1 y)
y x a
e e

− = + − +

− =


(Chính thức…….khối D năm 2006)
Bài 33. Giải phương trình:
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
.
(Chính thức…….khối D năm 2006)
Bài 34. Giải phương trình:
(
)
(
)
x x 1 x x
4 2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0.
+
− + − + − + =


(Dự bị 1…….khối D năm 2006)
Bài 35.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
ln(1 x) ln(1 y) x y
x 12xy 20y 0.
+ − + = −



− + =



(Dự bị 2…….khối D năm 2006)
Bài 36.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:

3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2
− + + <

(Chính thức…….khối A năm 2007)
Bài 37.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−

+ − + = +


+ − + = +

