HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

§25: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
( Tiết 1 )
I. MỤC TIÊU
+ Hiểu được hệ trục toa độ trong không gian, hiểu được toạ độ của một điểm
và toạ độ của một vectơ đối với hệ toạ độ trong không gian
+ Nắm được các biểu thức tọa độ các phép toán véc tơ trong không gian.Vận
dụng vào làm bài tập
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
Hoạt động 1: Hình thành định
nghĩa hệ trục tọa độ trong
không gian.
- Cho học sinh nêu lại định nghĩa
hệ trục tọa độ Oxy trong mặt
phẳng.
- Giáo viên vẽ hình và giới thiệu
hệ trục trong không gian.
- Giáo viên đưa ra kí hiệu và tên
gọi
(?) Có nhận xét gì về véc tơ
; ;i j k
r r r
Hoạt động 2: Định nghĩa tọa độ
của các điểm và vectơ.
(?) Trong không gian Oxyz, cho

điểm M tuỳ ý.Có thể phân tích
OM
uuuur
theo 3 vectơ
, ,i j k
r r r
được hay
không Có bao nhiêu cách?
Từ đó giáo viên dẫn tới đ/n tọa độ
của 1 điểm
(?) Điểm 0 có tọa độ ?

(?) Cho h/sinh nhận xét tọa độ
của điểm M và
OM
uuuur

* GV: cho h/s làm ví dụ.
Cho học sinh đứng tại chỗ trả lời.
I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1.Hệ trục tọa độ: (SGK)
KH:Oxyz hoặc kg 0xyz ( 0x, 0y, 0z đôi một vuông
góc)
*O: gốc tọa độ
*Ox, Oy, Oz:là 3 trục với các véc tơ đơn vị
; ;i j k
r r r
*(Oxy);(Oxz);(Oyz): các mặt phẳng tọa độ và
đôi một vuông góc với nhau
Chú ý :

2 2 2
1; . . . 0i j k i j i k j k= = = = = =
r r r r r rr r r
2. Tọa độ của 1 điểm.
Trong KG 0xyz . Điểm M có tọa độ (x;y;z) nếu
OM xi yz zk= + +
uuuur r r r
. Ký hiệu M(x;y;z) hoặc
M=(x;y;z)

( ; ; ) . . .M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
• Chú ý : 0(0;0;0)

• Ví dụ : M(1;-2;4)
2 4OM i j k⇒ = − +
uuuur r r r
3.Tọa độ của vectơ
*
( , , ) . . .a x y z a x i y j z k
= ⇔ = + +
r r r r r
1


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

Hoạt động 3: Biểu thức tọa độ
của các phép toán vectơ.

- GV cho h/s nêu lại tọa độ của
vectơ tổng, hiệu, tích của 1 số với
1 vectơ trong mp Oxy.
- Từ đó Gv mở rộng thêm trong
không gian và gợi ý h/s tự chứng
minh.
* Từ định lý đó trên, gv cần dắt
hs đến các hệ quả:
(?) GV gọi hs đứng tại chỗ làm a
(?) GV gọi 3 hs lên bảng làm các
phần còn lại của Vd2; vd3
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa lời giải
*Tọa độ điểm M là tọa độ
0M
uuur
Ví dụ 1: Tìm tọa độ của 3 vectơ sau biết

2 3 ; 4 2 ; 3a i j k b j k c j i= − + = − = −
r r r r r r r r r r
KQ:
(2; 3;1); (0;4; 2); ( 3;1;0)a b c= − = − = −
r r r
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.
Đlý: Trong Oxyz cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( , , )a a a a b b b b= =
r r
1.
1 1 2 2 3 3

( , , ) (1)a b a b a b a b± = ± ± ±
r r
2.
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) ( , , ) (2)ka k a a a ka ka ka= =
r
( )∈¡k
Hệ quả:
*
1 1 2 2 3 3
; àa b a b a b v a b= ⇔ = = =
r r
;
*
0, ;b a b
→
≠
r r ur
c.ph
k⇔ ∃ ∈¡
th/mãn:
1 1
2 2
3 3
a kb
a kb
a kb
=



=


=

*Nếu
( ; ; ); ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
thì

( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur


, ,
2 2 2
+ + +
 
 ÷
 
A B A B A B
x x y y z z
M
M là tr.đ của AB
V dụ 2: Cho
( 1, 2,3); (3,0, 5)a b= − = −
r r

a. Tìm tọa độ của
c
r
biết
2 3c a b= −
r r r
b. Tìm tọa độ của
c
r
biết
3 4 2 0a b c− + =
r r r r
Bài giải :
a, ( 11;4;21)c = −
r
b. Giả sử
c
r
(x;y;z) . Ta có

15
3 12 2 0
2
15 23
6 2 0 3 ( ;3; )
2 2
3 20 2 0 23
2
x
x

y y c
z
z

=

− − + =


−

+ = ⇔ = ⇒ =
 
 
+ + = −


=

r
V dụ 3: Cho
( 1;0;0), (2;4;1), (3; 1;2)− −A B C
a. Chứng minh rằng A,B,C không thẳng hàng
b. Tìm tọa độ của D để tứ giác ABCD là hbh a,
(3;4;1); (4; 1;2)AB AC= = −
uuur uuur
không cùng phương nên
A,B,C không thẳng hàng.
b, D(0;-5;1)
3. Củng cố

+ Học bài và làm bài tập 1-3 SGK ( trang 68.) 3.1;3.2;3.4(SBT)


&
§26: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

( Tiết 2 )
I. MỤC TIÊU
+ Rèn luyện các bài toán về tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của vectơ, khoảng cách
2 điểm
+Sử dụng thành thạo ứng dụng tích vô hướng vào làm bài tập
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Kiểm tra bài cũ
(?) Nêu biểu thức tọa độ và ứng dụng tích vô hướng 2 véc tơ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
-Gv: Yêu cầu hs nhắc lại đ/n tích
vô hướng của 2 vectơ và biểu
thức tọa độ của chúng.
Từ đ/n biểu thức tọa độ trong
mp, gv nêu lên trong không
gian.
(?) Nêu công thức tính độ dài
véc tơ; khoảng cách 2 điểm;
cách tính góc 2 véc tơ trong mp.
Từ đó GV mở rộng trong Kg

(?) Gọi Hs đưng tại chỗ làm
vd1. Sau đó cho hs nhận xét và
chính xác hóa
III. Tích vô hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
( , , ), ( , , )
.
a a a a b b b b
a b a b a b a b
= =
= + +
r r
r r
2. Ứng dụng
• Độ dài của vectơ
2 2 2
1 2 3
→
= + +a a a a
• Khoảng cách giữa 2 điểm.
2 2
( ) ( )= = − + −
uuur
B A B A
AB AB x x y y
• Gọi
ϕ

là góc hợp bởi
a
r
và
b
r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
os
.
.
a b a b a b
ab
C
a b
a a a b b b
ϕ
+ +
= =
+ + + +
rr
r r
•
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b⊥ ⇔ + +
r r
=0
VD1: Cho
(3; 0;1); (1; 1; 2); (2;1; 1)

= − = − − = −
r r r
a b c
Tính :
( )+
r r r
a b c
và
+
r r
a b

Bài làm
(3;0;3) .( ) 6
(4; 1; 1) 3 2
b c a b c
b a b a
+ = ⇒ + =
+ = − − ⇒ + =
r r ur r r
r r r r
VD2:Cho A(1;0;0); B(0;0;1); C(2;1;1)
a) CMR: A;B;C không thẳng hàng
b) Tính góc cosB của tam giác ABC
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
Bài làm
a)
( 1;0;1); (1;1;1)AB AC= − =
uuur uuur
;AB AC⇒

uuur uuur
không cùng
phương .
Vậy 3 điểm A;B;C không thẳng hàng
3


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?) Gọi 3 hs làm Vd2
(?)Cho hs nhận xét và chính xác
hóa
(?) Cho hs nêu phương pháp làm
a)
(?)Gọi 2 hs làm ví dụ 3
(?)Sau đó cho hs nhận xét và
chính xác hóa
b)
. 2
cos os( ; )
10
.
BA BC
B c BA BC
BA BC
= = =
uuuruuur
uuur uuur
uuur uuur
( 1;0;1) 2

(1;1;1) 3 ô
(2;1;0) 5
ác là : 2 3 5
AB AB
AC AC ABC vu ng tai A
BC BC
Chu vitam gi P

= − ⇒ =


= ⇒ = ⇒ ∆


= ⇒ =

= + +
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
*Diện tích là: S=
1
6
2
Ví dụ 3 :Trong Kg 0xyz cho tứ diện ABCD biết
A(5;3;-1); B(2;3;-4) ; C(1;2;0);D( 3;1;-2)
a) CMR : ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc
b) CMR: D.ABC là hình chóp đều
c) Xđ tọa độ chân đường vuông góc H của h/c
D.ABC Tính độ dài đường cao h/c .

Bài làm
a)
( 3;0; 3); (2; 1; 2)
. 0
AB CD
AB CD CD AB
= − − = − −
⇒ = ⇒ ⊥
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Tương tự ta có ĐPCM
b) Ta có AB=AC=BC=
3 2
DA=DB=DC=3
Vậy D.ABC là hình chóp đều
c)Vì D.ABC là hình chóp đều nên chân đường
vuông góc H của h/c D.ABC là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác đều ABC hay H là trọng tâm
tam giác ABC
8 8 5
( ; ; )
3 3 3
H
−
⇒
3. Củng cố
+ Nhắc lại biểu thức toạ độ và ứng dụng của tích vô hướng.
+ Học bài và làm bài tập 4 SGK ( trang 68.); 3.5;3.8 (SBT)
BTVN:0xyz cho A(-1;-2;3) ;B(0;3;1);C(4;2;2). Tính diện tích tam giác ABC và
cosB

&
BS : HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (T1)
4


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

I. MỤC TIÊU
+ Rèn luyện ỹ năng giải toán về tọa độ của véc tơ, tọa độ một điểm dựa vào các
Phép toán về véc tơ
+ Hs biết cách CM 3 điểm thẳng hàng ; 3 điểm không thẳng hàng
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Kiểm tra bài cũ
(?) Nêu định lý các phép toán véc tơ .Nêu cách tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng
Tọa độ trọng tâm tam giác
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV: Gọi 3 hs làm bài
3.1;3.2;3.4(SBT)
Dưới lớp : GV kiểm tra vở BT
hs và yêu cầu hs quan sát bài
làm của bạn
BT1: Cho
(1;2; 3); ( 1;1;2)a b− = −
r r

(3;4;3)c
uur
a)Tìm tọa độ
u

r
t/m:
3 2 2u a b c= − +
r uur r r
b)CM:
;a b
r r
không cùng phương.
CMR:
; ;c a b
r r r
không đồng phẳng
BT2: 0xyz cho A(1;0;1);
B(0;0;2)
C(0;1;1); D(-2;1;0)
a) CMR : A;B;C;D không
đồng phẳng
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của
tứ diện
(?) Gọi Hs đưng tại nhận xét và
chính xác hóa. Từ đó củng cố
tính chất 2 véc tơ cùng phương
và ứng dụng của nó
(?) Nêu địều kiện 3 véc tơ
không đồng phẳng và đồng
Dạng I. Các bài toán về tọa độ véc tơ; điểm
Bài 3.1(SBT):
(2; 1;2); (3;0;1); ( 4;1; 1)a b c− − −
r r uur
a)

3. 2m a b c= − + ⇒
ur r r r
( 4; 2;3)m − −
uur

b)
2. 4n a b c= + + ⇒
r r r r
( 9;2;1)n −
uur
Bài 3.2(SBT):
(1; 3;4)a −
uur
a)
0 0
(2; ; )b y z
uur
cùng phương với
a
r
:k b ka⇔ ∃ =
r r

0 0
0 0
2
6; 8
1 3 4
y z
y z⇔ = = ⇒ = − =

−
b) Gọi
( ; ; ).c x y z
r
Ta có
;a b
r r
ngược hướng nên
1.
0 : .( 3)
.4
x k
k y k
z k
=


∃ < = −


=

2 2
2 4.26 26 4 2
* â ( 2;6; 8)
a c k k k
V y c
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
− −
r r

r
Bài 3.4(SBT):
a) A(1;3;1); B(0;1;2:)); C(0;0;1)

( 1; 2;1); (0; 1; 1)AB AC− − − −
uuur uuur
*
;AB AC
uuur uuur
không c.ph .Vậy A;B;C k
0
th/ hàng
b) M(1;1;1); N(-4;3;1); P(-9;5;1)
( 5;2;0)MN NP= = −
uuuur uuur
. Vậy M;N ;P thẳng hàng
• Hai véc tơ
;a b
r r
cùng phương
:k b ka⇔ ∃ =
r r
( hoặc tọa độ của chúng tương ứng tỉ lệ với điều
kiện nếu phân số có mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
5


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

phẳng

GV chữa BT1:
(?) Gọi Hs đứng tại chỗ làm a
(?) từ điều giả sử thiết lập hệ pt
ẩn m;n
(?)Giải hệ pt trên. Từ đó KL
ĐPCM
(?) Nêu phương pháp làm a)
(?) Nhắc lại trọng tâm tứ diện
(?)Sau đó cho hs nhận xét và
chính xác hóa
• Ứng dụng : CM 3 điểm thẳng hàng hoặc
không thẳng hàng
• Cho
;a b
r r
không cùng phương . Khi đó nếu tồn
tại số m và n để:
c ma nb= +
r r r
thì
;a b
r r
;
c
r
đồng
phẳng. Ngược lại thì
;a b
r r
;

c
r
không đồng
phẳng
BT1: Cho
(1;2; 3); ( 1;1;2)a b− = −
r r
;
(3;4;3)c
uur
a)
3 2 2u a b c= − +
r uur r r
nên
(10;13; 5)u −
uur
b)Ta có
1 2 3
1 1 2
−
= = ⇒
−

;a b
r r
không cùng phương.
Giả sử
∃
m và n thỏa mãn:
c ma nb= +

r r r
7
3
3
2
4 2
3
3 3 2
2 3 3
m
m n
m n n
m n
n m

=

= −


−
 
⇒ = + ⇔ =
 
 
=− +

− =




(không tỏa mãn)
Vậy không
∃
m và n thỏa mãn:
c ma nb= +
r r r
.
Hay
; ;c a b
r r r
không đồng phẳng
BT2: 0xyz cho A(1;0;1); B(0;0;2);C(0;1;1); D(-
2;1;0)
a) Tương tự CM :
; ;AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
b)Gọi M là trung điểm của AB
1 3
( ;0; )
2 2
M⇒
Gọi N là trung điểm của CD
1 1
( ;1; )
2 2
N⇒ −
Trọng tâm G của tứ diện là trung điểm của MN
Vậy G(0;

1
;1)
2
3. Củng cố
+ Nhắc lại biểu thức toạ độ điểm ;véc tơ
+ Học bài và hoàn thiện BT
+ Nêu công thức tính độ dài véc tơ; khoảng cách 2 điểm; cách tính góc 2 véc tơ trong
mp

&
BS : HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (T2)
I. MỤC TIÊU
6


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

+ Nắm được biểu thức tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của vectơ, khoảng cách 2
điểm
+ Biết cách tính tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của véc tơ và khoảng cách giữa
hai điểm.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV: Gọi 3 hs lên bảng
(?1) Nêu biểu thức tọa độ Tích
vô hướng và ứng dụng tích vô
hướng
(?2) Bài 3.5 (?3) Bài tập về

nhà
Dưới lớp : GV kiểm tra vở BT
Hs
BT1: Cho tứ diện 0ABC có
A(-1;0;0); B(0;5;-7);C(0;1;-1)
a) CMR: 0A
⊥
(OBC)
b) Tính khoảng cách từ C
đến mp(0AD)
(?)Cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài tập làm các bạn
(?) Gọi hs lên bảng làm a)
DạngII. Tích vô hướng và ứng dụng tích vô hướng
• Bài 3.5(SBT): Cho A(1;1;1); B(-1;1;0); C(3;1;1)
Giả sử M trên mp(0xz) có tọa độ là M(x;0;z)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) 1 ( 1)
( 1) 1
( 3) 1 ( 1)
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
( 1) 1 ( 3) 1 ( 1)
5
4 2 1
5 7
6

( ;0; )
8 2 9 7
6 6
6
MA x z
MB x z
MC x z
x z x z
MA MB MC
x z x z
x
x z
M
x z
z
= − + + −
= + + +
= − + + +

+ + + = − + + −

= = ⇔

+ + + = − + + +



=

+ =


−

⇔ ⇔ ⇒
 
− = −


=


• BTVN: 0xyz cho A(-1;-2;3) ;B(0;3;1);C(4;2;2).
Tính diện tích tam giác ABC và cosB
Bài làm
*
( 1; 5;2); (4; 1;1)BA BC= − − = −
uuur uuur
. 1
cos os( ; )
2 15
.
BA BC
B c BA BC
BA BC
= = =
uuuruuur
uuur uuur
uuur uuur
2
59

sin 1 os ( sin 0)
60
1 531
. .sin
2 2
ABC
B c B Do B
S BA BC B
∆
⇒ = − = >
⇒ = =

• BT1: A(-1;0;0); B(0;5;-7);C(0;1;-1)
a. CMR: 0A
⊥
(OBC)
b.Tính khoảng cách từ C đến mp(0AB)
Bài làm
a)
( 2;0;0) 2OA OA= − ⇒ =
uuur

(0;5; 1) 26OB OB= − ⇒ =
uuur

(0;1; 1) 2OC OC= − ⇒ =
uuur
7



HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?) Cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài tập làm các bạn
(?) Cho hs nêu phương pháp
làm a
GV chữa phần b
(?) Nêu công thức tính d(C;
(0BA)
(?) Tính diện tích tam giác
0AB
(?) Tính diện tích tam giác 0BC
(?) Tính k/c tương ứng
0 .0 0 0 0
0 (0 )
0 0
0 .0 0
A B A B
A BC
A C
A C

= ⊥


⇒ ⇒ ⇒ ⊥
 
⊥
=




uur uur
uur uuur
b)
0 0 0
1 1
. ( ;(0 ) 0 .
3 3
ABC BA BC
V S d C BA A S
∆ ∆
= =
* Tính diện tích
∆
0AB;
∆
0BC

0
1
.2. 26 26
2
AB
S
= =
V

·
0 .0 3 2

os(0 ;0 ) sin( 0 )
13 13
0 . 0
B C
c B C B C
B C
= = ⇒ =
uur uuur
uur uuur
uur uuur


0
1 2
. 26. 2. 2
2
13
BC
S
= =
V
Vậy d(C;(0BA))=
4
26
3. Củng cố
+Xem lại định nghĩa và phương trình đường tròn, khái niệm mặt cầu
+BTVN: Cho A(1;1;1); B(-1;1;0); C(3;1;1)
a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm E để tứ diện ABCE có AB;AC;AE đôi một vuông góc tại E

&
§27: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (BÀI TẬP)
( Tiết 3 )

I. MỤC TIÊU
8


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

+Giải thành thao về hai dạng toán cơ bản sau:
- Toạ độ của một điểm véc tơ, biểu thức toạ độ véc tơ
- Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng tích vô hướng hai vec tơ
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
Gv:Gọi 3 HS làm bài 1;3;4(SGK)
Dưới lớp yêu cầu hs làm BT sau
Bài tập 1 : Trong không gian
Oxyz cho
a(1; 3;2); b(3;0;4); c(0;5;-1).−
r
r r
a) Tính toạ độ véc tơ
1
v 3a b 2c
2
= − +
r

r r
r
b) Tính
a.b
r
r
;
a.(b c).−
r
r r
;
a 2c−
r r
.
Bài tập 2
a) Tìm M
∈
0x sao cho M cách
đều 2 điểm A(1;2;3);B(-3;-3;2)
b)Cho 3 điểm A(2;0;4) ; B(4;
3
;5) C(sin5t;cos3t;sin3t).
Tìm t để AB
⊥
0C
( ?) GV cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài làm của 3 bạn
( ?) GV gọi 2 hs làm bài tập
1(b) ;và bài tập 2(a)
( ?) GV cho hs nhận xét và chính

xác hóa bài làm của 2 bạn
GV : Chữa phần b
Bài 1 (SGK)
a) KQ:
1 55
(11; ; )
3 3
d =
ur
b) KQ:
(0; 27;3)e = −
r
Bài 3 (SGK)
*ABCD là hình bình hành nên

(2;0;2)AD BC C= ⇒
uuur uuur
* Tương tự ta có tọa độ các đỉnh còn lại
Bài 4 (SGK)
* . 6; 3 5; 2 5
6 1
os( , )
5
3 5.2 5
a b a b
c a b
= = =
⇒ = =
ur r r r
ur r

Bài tập 1 : Trong không gian Oxyz cho
a(1; 3;2); b(3;0;4); c(0;5;-1).−
r
r r
Bài làm
b)
a.b
r
r
=1.3+0+2.4=11

a.(b c)−
r
r r
=1(3-0)+3(0-5)+2(4+1)=-2

a 2c−
r r
=(1;-13;4)

a 2c−
r r
=
186
Bài tập 2
a) Tìm M
∈
0x để M cách đều 2 điểmA(1;2;3);B(-
3;3;2)
Giả sử M(x;0;0)

2 2 2 2
( 1) 13; ( 3) 13MA x MB x= − + = + +
M cách đều hai điểm A;B
MA MB⇔ =

⇔
2 2
( 1) 13 ( 3) 13x x− + = + +

8 8 1x x⇔ − = ⇔ = −
Vậy M(-1;0;0)
b)
(2; 3;1); (sin 5 ; os3 ;sin 3 )AB OC t c t t
= =
uuur uuur
9


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

( ?) Tính tọa độ véc tơ
;AB OC
uuur uuur

( ?) AB
⊥
0C khi nào
( ?) Nêu cách giải pt lg trên. Gọi
hs đứng tại chỗ giải pt
. 0

2.sin 5 3 os3 sin 3 0
3 os3 sin3 2.sin5
sin(3 ) sin( 5 )
3
3 5 2
3
24 4
3 5 2
3
3
OC AB OC AB
t c t t
c t t t
t t
k
t t k
t
t k
t t k
π
π
π π
π
π
π
π
π π
⊥ ⇔ =
⇔ + + =
⇔ + = −

⇔ + = −
−


+ = − +
= +


⇔ ⇔


−


= −
+ = + +




uuur uuur
Vậy
24 4
3
k
t
t k
π π
π
π

−

= +


−

= −


(k
∈
Z)
3. Củng cố
+ Nắm vững thành thạo ba dạng bài tập trên.
+BTVN: 3.14; 3.15; 3.16(SBT)
&
10


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

§28: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. MỤC TIÊU
+Hs nắm được dạng phương trình mặt cầu; điều kiên để một phương trình là
phương trình mặt cầu
+ Viết được phương trình mặt cầu , tìm được tâm và bán kính khi biết phương
mặt cầu.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1. Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
( ?) M(x ;y ;z) nằm trên mặt cầu
khi nào . Từ đó đưa ra định lý
( ?) Viết pt m/c a)
( ?) Gọi 2 hs làm 2 ý còn lại
(?) Cho hs nhận xét và chính xác
hóa bài tập làm các bạn
( ?) Triển khai pt
x
2
+y
2
+z
2
+2Ax+2By+2Cz+D = 0
về dạng (1)
( ?) Khi nào (2) là pt m/c .Xác
định tâm và bk tương ứng
IV. MẶT CẦU.
1.Bài toán : Cho mặt cầu (S)tâm I(a;b;c), bán kính
r.:
M(x;y;z)
( )S IM r∈ ⇔ =

2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r⇔ − + − + − =

⇔

(x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=r
2
. (1)
PT(1) gọi là pt mặt cầu (S).
* Định lý (SGK).
*PT mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính r là: x
2
+y
2
+z
2
=r
2
.
*Ví dụ 1:Viết pt m/c trong các TH sau
a) Tâm I(1;- 2; 3) và có bán kính r = 5.
b) Đường kính AB vớí A(2;3;-6); B( -4; 1;2)
c) Hãy viết pt sau về dạng (1)
x
2
+y
2
+z
2

+4x-6y+2z-1 = 0 .(2)
PT(2) có là pt m/c không. Tìm tâm và bk
HD
a) PT: (x-1)
2
+(y+2)
2
+(z-3)
2
=25
b) Goi I là trung điểm của AB .
Khi đó I(-1;2;-2)là tâm m/c đk AB, Bk m/s là r=
26
Vậy Pt m/c là (x+1)
2
+(y-2)
2
+(z+2)
2
=26
c) x
2
+y
2
+z
2
+4x-6y+2z-2 = 0 .(2)

⇔
( x+2)

2
+(y-3)
2
+(z+1)
2
= 16
PT(2) có là pt m/c tâm I(-2;3;-1) và bk r=4
2. Nhận xét:
• Mặt cầu trên có thể viết dưới dạng :
x
2
+y
2
+z
2
–2ax–2by–2cz+d = 0
(d = a
2
+ b
2
+ c
2
–R
2
.)
• PT: x
2
+y
2
+z

2
+2ax+2by+2cz+d = 0 (2)
11


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?) Gọi 2 hs làm Ví dụ 2 . Gọi hs
nhận xét
Để lập pt m/c ta có thể lập theo 2
dạng (1); hoặc (2)
(?) Lập hệ pt ẩn a;b;c;d Sau đó
giaỉ hệ pt và KL

GV:hướng dẫn cách 2 và yêu cầu
HS về nhà hoàn thiện
là pt mặt cầu tâm I(-a;-b;-c),bk
2 2 2
r a b c d= + + −

với a
2
+ b
2
+ c
2
– d > 0
*Ví dụ 2: Pt sau có là pt m/c không . Tìm tâm và bán
kính tương ứng
a/ x

2
+y
2
+z
2
–2x+4y–6z+2 = 0
b/ 2x
2
+2y
2
+2z
2
–2x-4y+5z-1= 0
Bài làm
a) Phải là pt m/c tâm I(1;-2;3)
bk r=
2 2 2
1 ( 2) 3 2 12+ − + − =

2 2 2
2 2 2
) 2x 2y 2z – 2x 4y 5z 1 0
5 1
x y z – x 2y z 0
2 2
b + + − + − =
⇔ + + − + − =
*Ví dụ 2: Viết pt m/c ngoại tiếp tứ diện ABCD với
A(1;0;0), B(0;2;0). C(0;0;3), D(1;2;3).
Bài giải:

Cách 1: Giả sử m/c cần tìm có dạng
x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by+2cz+d =0(vớia
2
+b
2
+c
2
–d >0
Vì m/c qua 4 điểm A;B;C;D nên tọa độ của chúng
thỏa mãn pt trên .Ta có hệ pt
1
1 2 0
2
4 4 0 1
9 6 0 3
2
14 2 4 6 0
0
a
a d
b d b
c d
c
a b c d

d
−

=

+ + =



+ + = = −
 
⇔
 
+ + = −
 
=
 
+ + + + =


=

Vậy pt m/c cần tìm là x
2
+y
2
+z
2
-2y-3z=0
Cách 2: Gọi I(a;b;c) là tâm m/c khi đó ta có

IA=IB=IC=ID
3. Cũng cố và dặn dò:
* Phương trình mặt cầu, viết phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính của nó.
*BTVN :5 ;6(SGK)

&
§29: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
12


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

I. MỤC TIÊU
+Hs có kỹ năng giải toán về phương trình mặt cầu; điều kiên để một phương
trình là phương trình mặt cầu
+ Viết được phương trình mặt cầu , tìm được tâm và bán kính khi biết phương
mặt cầu.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ
(?) Nêu phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R và điều kiện để phương
trình x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax -2by-2cz + d =0 là phương trình mặt cầu . Khi đó hãy tìm tâm và bán
kính tương ứng
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung

(?) GV gọi 4 hs lên bảng làm
Bài 5; 6 (SGK)
Dưới lớp:
1. Lập pt m/c đi qua 3 điểm
A(0;8;0);B(4;6;2);C(0;12;4)
và tâm nằm trên mp (Oyz)
2. Lập pt m/c đi qua 4 điểm
A(1 ;0;0);B(0;-2;0);C(0;0;4)
và gốc tọa độ 0
(?) Gv gọi hs nhận xét bài 5 và
nêu cách làm khác . Qua đó củng
cố 2 dạng pt m/c
(?) Gv gọi hs nhận xét bài 6 .
Qua đó cho biết dể lạp pt m/c cần
tìm đại lượng nào
GV tổng quát cách viết pt m/c và
Bài 5(SGK)
a) x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x -2y+1=0 (1)
Cách 1 :
Ta có a=4;b=1;c=0 d=1 nên a
2
+ b
2
+ c

2
-d=16>0
Vậy (1) là pt m/c tâm I(4 ;1 ;0) và bán kính R=4
Cách 2 :

2 2 2
(1) ( 4) ( 1) 16x y z
⇔ − + − + =
Vậy (1) là pt m/c tâm I(4 ;1 ;0) và bán kính R=4

( )
( )
2 2 2
2 2 2
) 3x 3y 3z – 6x +8y 15 3 0 2
8
x y z – 2x + y 5 1 0 1
3
b z
z
+ + + − =
⇔ + + + − =
Vậy (2) là pt m/c tâm I(1 ;
4 5
; )
3 2
− −
và b.k R=
361
6

Bài 6(SGK)
a)
( 2;4; 4) 6AB AB
= − − ⇒ =
uuur
Gọi I là trung điểm AB .Khi đó I(3 ;-1 ;5)
Mặt cầu đk AB là mặt cầu tâm I(3;-1;5) bán kính R=3
Vậy pt m/c là
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z
− + + + − =
) án kính là R=AC= 5b B
. Vậy pt mặt cầu là
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 5x y z
− + − + − =
Tổng quát :Để lập pt m/c có 2 cách
C1 :Tìm tọa độ tâm I(a ;b ;c) và tính bán kính R
Khi đó pt m/c có dạng (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
13


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014


củng cố qua 2 bt 1;bt2
Gọi 2 hs làm Bt1; Bt2 trên lớp
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa bài làm của bạn
C2 : Giả sử pt m/c có dạng
x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by+2cz+d =0(vớia
2
+b
2
+c
2
–d >0)
dùng gt lập pt ẩn a ;b ;c ;d .Tìm a ;b ;c ;d và KL
Bt2. Lập pt m/c đi qua 4 điểm A(1 ;0;0)B(0;-2;0);
C(0;0;4) và gốc tọa độ 0
Bài làm
Giả sử pt m/c có dạng
x
2
+y
2
+z
2

-2ax-2by-2cz+d =0 (vớia
2
+b
2
+c
2
–d >0)
Do m/c đi qua 4 điểm A(1 ;0;0)B(0;-2;0); C(0;0;4)
và gốc tọa độ 0 nên ta có hệ pt

1
1 2 0
2
4 4 0
1
16 8 0
2
0
0
a d
a
b d
b
c d
c
d
d

− + =
=





+ + =
 
=−
⇔
 
− + =
 
=
 
=

=


Vậy pt m/c là x
2
+y
2
+z
2
-x+2y-4z=0
BT1: Lập pt m/c đi qua 3 điểm A(0;8;0);B(4;6;2);
C(0;12;4) và tâm nằm trên mp (Oyz)
Bài làm
Giả sử m/c cần lập có tâm I(a ;b ;c) .Vì tâm nằm trên
mp (Oyz) nên a=0 hay I(0;b;c)

2 2 2 2
2 2 2 2
(8 ) 16 (6 ) (2 )
(8 ) (12 ) (4 )
IA IB b c b c
IA IC
b c b c

= − + = + − + −


⇔
 
=
− + = − + −



7
5
b
c
=

⇔

=


mặt cầu có tâm I(0;7;5) và bán kính R=

26
. Vậy pt
m/c là x
2
+(y-7)
2
+(z-5)
2=
26
3. Củng cố
1.Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
– 4x + 2z + 1 =0
b) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
+ 6y - 2z - 2 =0
2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm: A(4;-3;1) và B (0;1;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
b) Viết phương trình mặt cầu qua gốc toạ độ O và có tâm B.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm nằm trên Oy và qua hai điểm A;B.
&

§30: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. MỤC TIÊU:
14


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

- Học sinh nắm được khái niệm véc tơ pháp tuyến của mp , tích có hướng
của hai véc tơ ; ý nghỉa của tích có hướng của 2 véc tơ
-Nắm được pt tổng quát của mp ; xác định được véc tơ pháp tuyến và lập
pt tổng quát của mp trong các trường hợp đôn giản
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
(?) GV đưa ra hình ảnh các véc
tơ trong thực tế cho hs nhận định
véc tơ pháp tuyến và đưa ra nhận
xét các véc tơ pháp tuyến của
mp
(?)GV nêu bài toàn 1 sau đó HD
học sinh CM
(?)
1 2 3 1 2 3
( ; ; ); ( ; ; )a a a a b b b b
r r
là hai véc
tơ không cùng phương và có giá
song song hoặc nằm trong (P)
Nêu cách xác định 1 véc tơ pháp

tuyến (P)
(?) Tìm tọa độ
àAB v AC
uuur uuur
I. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
1. Định nghỉa 1: Ch mp(P) và véc tơ
0n ≠
r r
Véc tơ
n
r
được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P)
nếu giá của
n
r
vuông góc với (P)
NX:*Một mp có vô số véc tơ pháp tuyến ,các véc tơ
pháp tuyến luôn cùng phương với nhau
* Cho mp(P) đi qua M
0
và có véc tơ pháp tuyến
n
r

Khi đó
0
( )M P MM n∈ ⇔ ⊥
uuuuur r
2. Bài toán 1: Trong 0xyz cho
1 2 3 1 2 3

( ; ; ); ( ; ; )a a a a b b b b
r r
là
hai véc tơ không cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trong (P) . Khi đó mp(P) nhận
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ; ; )n a b a b a b a b a b a b− − −
uur
Là véc tơ pháp tuyến của (P)
Định nghỉa 2: Trong 0xyz cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ); ( ; ; )a a a a b b b b
r r
Véc tơ
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ; ; )n a b a b a b a b a b a b− − −
uur
được gọi là tích
có hướng của hai véc tơ
àav b
r r

KH:
n a b= ∧
r r r
hoặc
n =
r
[
; ]a b

r r
*
( )a b
∧
uur r
;( )a a b b
⊥ ∧ ⊥
r uur r r
• Chú ý :
1 2 3 1 2 3
( ; ; ); ( ; ; )a a a a b b b b
r r
là hai véc tơ không
cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong
(P) . Khi đó (P) có 1 véc tơ pháp tuyến:
n a b= ∧
r r r
Ví dụ 1: Cho A(2;-1;3); B(4;0;1);C(-10;5;3). Tìm tọa
độ véc tơ pháp tuyến (ABC)
Bài làm
n
r
15


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?)Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến
(ABC)
GV dẫn dắt hs vào bài toán 1;2 .

Từ đó nên đn pttq của mp
(?) Gọi 2 hs làm Ví dụ 2
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa bài làm của hs
(2;1; 2)
;
( 12;6;0)
AB
AB AC
AC

−

⇒

−


uuur
uuur uuur
uuur
không cùng phương
(12;24;24)AB AC∧ =
uuur uuur
=12(1;2;2).
Vậy
n =
r
(1;2;2) là véc tơ pháp tuyến (ABC)
• Nếu A;B;C không thẳng hàng thì

AB AC∧
uuur uuur
là véc
tơ pháp tuyến (ABC)
II. Phương trình tổng quát của mp
Bài toán 1: Cho mp(P) đi qua M
0
=(x
0
;y
0;
z
0
) và có véc
tơ pháp tuyến
n
r
(A;B;C) .Khi đó
0 0 0
( ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0M x y z P A x x B y y C z z∈ ⇔ − + − + − =
Bài toán2:Tập hợp M(x;y;z) t/m pt :Ax+By+Cz+D=0
(với
2 2 2
#0A B C+ +
) là một mp nhận véc tơ
n
r
(A;B;C)
là véc tơ pháp tuyến
1. Định nghĩa pttq của mp(SGK)

NX: *Nếu mp(P) có pt : Ax+By+Cz+D=0 thì
mp(P) có một véc tơ pháp tuyến là
n
r
(A;B;C) và
M(x;y;z) nằm trên (P) nếu tọa độ thỏa mãn pt trên
* pt mp(P) đi qua M
0
=(x
0
;y
0;
z
0
) và có véc tơ
pháp tuyến
n
r
(A;B;C) là :
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
Ví dụ 2
a) Cho mp(P): 4x-2y-6z+4=0 .Tìm một véc tơ pháp
tuyến và một điểm trên (P)
b)Lâp ptmp qua 3 điểm A(2;-1;3);B(4;0;1);C(-10;5;3)
Bài làm
a) Véc tơ pháp tuyến là
n
r
(4 ;-2 ;-6) hoặc

n
r
(2;-1;-
3)
Thayy=0;z=0 vào pt ta có x=-1.Vậy M(-1 ;0 ;0)
( )P∈
b) theo ví dụ 1 ta có mp(ABC) nhận
n =
r
(1;2;2) là
véc tơ pháp tuyến và qua A(2;-1;3) nên có pttq là
1(x-2)+2(y+1)+2(z-3)=0 hay x+2y+2z-6=0
3. Củng cố : -Tích có hướng 2 véc tơ ; véc tơ pháp tuyến 2 véc tơ ; pttq của mp ;
Phương pháp lập pttq của mp
- BTVN : 1 ;2 ;5(SGK)
&

TCBS: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG(T1)
16


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

I. MỤC TIÊU:
- Học sinh tính thành thạo tích có hướng của hai véc tơ ; sử dụng tích có
hướng để tìm véc tơ pháp tuyến của mp
- Xác định được véc tơ pháp tuyến và lập pt tổng quát của mp trong các
trường hợp đôn giản trong SGK
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ (Cùng bài giảng)

2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV: Gọi 4 học sinh làm Bài
1(a;b); Bài 5(a); Bài 2; bài 5(b)
Dưới lớp kiểm tra vở BT của hs và
yêu cầu hs lập ptmp (P) trong các
TH sau
1. Lập ptmp qua A(0;3;-2) và
song song với mp (Q): x-
y+2z=0
2. Lập ptmp qua A(0;3;-2) và
chứa giao tuyến hai mp (Q): x-
y+2z=0 và (R) : 2x+3y-3=0

( ?) GV gọi hs nhận xét và chính
xác hóa bài 1(SGK). Từ đó GV
yêu cầu hs nêu cách tính tích có
hướng của 2 véc tơ qua định thức
Và nêu phương pháp pt tq của mp
(HSTL : Cần tìm 1 điểm và 1
vtpt)
( ?) GV gọi hs nhận xét và chính
xác hóa bài 2(SGK). Từ đó nêu
tính chất véc tơ pháp tuyến của mp
(HSTL:Giá của vtpt vuông góc mp
• Lập phương trình mặt phẳng
*Nếu mp(P) có pt : Ax+By+Cz+D=0 thì mp(P)
có một véc tơ pháp tuyến là
n
r

(A;B;C) và
M(x;y;z) nằm trên (P) nếu tọa độ thỏa mãn pt
trên
* Để lập pttq của mp ta có 2 cách:
C1:Ttìm tọa độ 1 điểm trên mp và tọa độ 1 véc
tơ pháp tuyến của mp . Giả sử mp(P) đi qua
M
0
=(x
0
;y
0;
z
0
) và có véc tơ pháp tuyến
n
r
(A;B;C)
có pt là :
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
C2:Giả sử pttq của mp có dạng
Ax+By+Cz+D=0 (A
2
+B
2
+C
2
#0)
Tìm A;B;C;D thay vào ta được ptmp

Chú ý:1. Nếu
n a
n b

⊥

⇒

⊥


r r
r r
Chọn
n a b
= ∧
r r r
2. M(x
0
;y
0
;z
0
) ; (P) :Ax+By+Cz+D=0

0 0 0
0 0 0
( )
( )
M P

M P
∈ ⇔ + + + =
∉ ⇔ + + + ≠
Ax By Cz D 0
Ax By Cz D 0
Bài 1(SGK)
a) Phương trình mp đi qua điểm M(1;-2;4) và
nhận véc tơ pháp tuyến
n
r
(2;3;5) là
2(x-1)+3(y+2)+5(z-4)=0
⇔
2x+3y+5z-16=0
b) Vì mp song song với giá của véc tơ
(3;2;1)u
r
và
( 3;0;1)v −
r
nên nhận véc tơ
n
r
=[
u
r

;
v
r

]= (2 ;-6 ;6) làm véc tơ pháp tuyến. Vập
ptmp cần tìm là :
2(x-0)-6(y+1)+6(z-2)=0
Bài 2(SGK)
Mp trung trực của AB đi qua điểm A(2;3;7) và
nhận
(2; 2; 4)AB = − −
uuur
làm véc tơ pháp tuyến của mp
17


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa bài 5 của hs. Qua đó nêu cách
tìm vtpt của mp qua 3 điểm
GV : Nhấn mạnh sai lầm của hs
khi hoàn thiện 5(b) là không kiểm
tra ptmp khi thu được . Từ đó GV
cho hs nêu cách chỉ ra điểm thuộc
hay không thuộc mp
( ?) Nêu PP CM 4 điểm A ;B ;C ;D
không đồng phăng
( ?)Gọi hs lên bảng làm bài tập
trên lớp TH1 : Cho hs nx và chính
xác hóa
GV gọi hs nêu PP làm bài tập trên
lớp TH2 và HD nếu cần
( ?) Nx gì tọa độ B ;C trên giao

tuyến.Cách tìm thế nào
( ?) Có nx gì về mp cần tìm với
A ;B ;C
nên có pt là: 2(x-2)-2(y-3)-4(z-7)=0
Bài 5(SGK)
A(5;1;3); B(1;6;2);C(5;0;4); D( 4;0;6)
a) * Lập ptmp (ACD)
( 0; 1;1)
( 2; 1; 1)
( 1; 1;3)
AC
n AC AD
AD

−

⇒ = ∧ = − − −

− −


uuur
r uuur uuur
uuur
là vtpt của
mp(ACD) . Vậy ptmp là 2x+y+z-14=0
* Lập ptmp (BCD) : Tương tự
b)
( 4;5; 1)
[ ; ] ( 5; 7; 15)

( 1;5; 2)
AB
AB CD n
CD

= − −

⇒ = − − − =

= − −


uuur
uuur uuuur r
uuur

Mp (Q) qua AB và có vtpt
n
r
nên có pt là
5x+7y+15z-77=0
*D(4 ;0 ;6) .Tọa độ D không thỏa mãn pt trên nên
( )D Q∉
hay CD//(Q)
Vậy Mp qua AB và song song CD có pt là
5x+7y+15z-77=0
Để CM 4 điểm A ;B ;C ;D không đông phẳng ta
lập ptmp qua 3 điểm sau đó CM điểm còn lại
không nằm trên mp đó
• Lập ptmp qua A(0;3;-2) và song song với mp

(Q): x-y+2z=0
(Q) có vtpt là
n
r
(1;-1;2)
Do mp cần tìm song song (Q) nên nhận
n
r
(1;-1;2)
làm vtpt .
Vậy pt là : 1(x-0)-1(y-3)+2(z+2)=0
• Lập ptmp qua A(0;3;-2) và chứa giao tuyến hai
mp (Q): x-y+2z=0 và (R) : 2x+3y-3=0
B1:Tìm tọa độ2 điểm phân biệt B ;C trên giao tuyến
(Tọa độ thỏa mãn hệ
x y 2z 0
2x 3y 3 0
− + =


+ − =

)
B1 : Lập pt mp qua 3 điểm pb
3. Củng cố : -Phương pháp lập pttq của mp , ứng dụng ptmp;
-Tính tích có hướng của 2 vec tơ và ứng dụng tích có hướng khi tìm vtpt
- BTVN : 3.17 ;3.18 ;3.19 ;3.20(SBT)
Bài tập : Lập ptmp tiếp xúc mặt cầu (x-1)
2
+(y-2)

2
+(z+5)
2
=16 tại điểm M(1 ;-2 ;-5)
&
§31: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. MỤC TIÊU:
18


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

- Nắm được pt tổng quát của mp trong các trường hợp đặc biệt và lập pttq
mp trong một số trường hợp đặc biêt
-Nắm được điều kiện 2 mp song song và vuông góc sử dụng làm Bt
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Kiểm tra bài cũ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
(?) Khi D=0 ta nhận xét gì về điểm
0(0;0;0)
(?) Khi A=0 có nx gì về vtpt của mp
và vtcp trục 0x và vị trí mp(P) và
0x
(?) (P) //0x khi nào ; (P) chừa 0x khi
nào
(?) Khi A=B=0 có nx gì về (P) và
mp(0xy)
(?) Nêu pt mp tọa độ và tọa độ các
điểm trên mp tọa độ đó

GV dẫn dắt hs đi đến pt mp theo
đoạn chắn
(?) mp trong ví dụ có dạng như thế
nào
(?) Nêu cách tìm B;C
I.Phương trình tổng quát của mp
2. Các trường hợp riêng
0xyz cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0 (A
2
+B
2
+C
2
#0)
TH1:
0 ( ) 0mp P D
∈ ⇔ =
TH2: Nếu một trong 3 số A;B;C bằng 0
*A=0 : (P) song song hoặc chứa 0x và
(P)//0x có dạng By+Cz +D=0 ( với BCD#0)
(P)
⊃
0x có dạng By+Cz=0 (với BC#0)
*Tương tự : B=0: (P)// hoặc chứa 0y
C=0: (P)// hoặc chứa 0z
TH3: Nếu hai trong 3 số A;B;C bằng 0
*A =B=0: (P) song song hoặc trùng (0xy) và
(P) //(0xy) khi D#0; (P)
≡
(0xy) khi D=0

* A =C=0: (P) song song hoặc trùng (0xz) và
(P) //(0xz) khi D#0; (P)
≡
(0xz) khi D=0
* C=B=0: (P) song song hoặc trùng (0yz) và
(P) //(0yz) khi D#0; (P)
≡
(0yz) khi D=0
*(0xy)có pt là z=0 ; M
(0 ) ( ; ;0)xy M x y∈ ⇔
*(0xz)có pt là y=0 ; M
(0 ) ( ;0; )xz M x z∈ ⇔
*(0yz)có pt là x=0 ; M
(0 ) (0; ; )yz M y z∈ ⇔
TH4: Nếu 4 số A;B;C;D đều khác 0

Ax By Cz D 0 1
x y z
a b c
+ + + = ⇔ + + =
(2)
(P) cắt các trục 0x;0y;0z lần lượt tại các điểm
A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c). Pt(2) gọi là pt của
mp theo đoạn chắn
• Ví dụ:Lập ptmp chứa 0x và qua điểm A(1;-2;1)
Do mp chứa trục 0x nên có pt dạng:
By+Cz=0 ( với BC#0)
Do mp đi qua A nên ta có -2B+C=0
⇒
C=2B

Vậy ptmp là y+2z=0
III. Điều kiện để 2 mp song song và vuông góc
(P) : Ax+By+Cz+D=0 vtpt
n
r
(A;B;C)
19


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

(?) Khi nào (P)//(Q) ;(P)
≡
(Q) ; (P)
cắt (Q)
(?) Gọi hs làm ví dụ . Cho hs nhân
xét và chính xác hóa
(?) Tìm vtpt của (Q);(R)
(?) Nêu quan hệ vtpt của (P) và vtpt
của (Q);(R). Từ đó nêu cách tìm
vtpt của (P)
(Q) : A’x+B’y+C’z+D’=0 vtpt
n
r
’(A’;B’;C’)
1. Điều kiện để 2 mp song song
Với quy ước phân số có mẫu 0 khi và chỉ khi tử 0 :
*(P)//(Q)
'
#

' ' ' '
# '
n k n A B C D
A B C D
D kD

=

⇔ ⇔ = =



r ur

*(P)
≡
(Q)
'
' ' ' '
'
n k n A B C D
A B C D
D kD

=

⇔ ⇔ = = =

=



r ur

*(P) cắt (Q) khi 2 vtpt không cùng phương
• Vídụ :Lập ptmp qua A(1;3 ;1) và song song
mp(P) có pt : x+3z-4=0
(Không có mp thỏa mãn)
2.Điều kiện để 2 mp vuong góc
(P)
( ) ' AA' ' ' 0Q n n BB CC⊥ ⇔ ⊥ ⇔ + + =
r ur
• Ví dụ : Lập ptmp(P) đi qua A(1 ;-1 ;0) và vuông
góc với (Q) : 2x+4y-z=0 ; (R) : 3x-5z+7=0
Bài làm :
Vtpt của (Q) là
(2;4; 1);
Q
n = −
uur
Vtpt của (R) là
(3;0; 7)
R
n −
uur
Gọi
n
r
là vtpt của (P), theo gt
R
Q

n n
n n

⊥


⊥


uur r
uur r
Q R
n n n⇒ = ∧
r r r
(P) có vtpt là (-28 ;11 ;-12) có pt là
-28(x-1)+11(y+1)-12(z-0)=0
3. Củng cố : -Liên hệ giủa vtpt của 2 mp song song và 2 mp vuông góc
+BTVN : 3 ;4 ;6 ;7 ;8(SGK)
&
§32: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. MỤC TIÊU:
20


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

- Nắm được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mp và sử
dụng công thức vào làm các bài tập
-Vận dụng điều kiện 2 mp song song và vuông góc ; ứng dụng tích có
hướng vào làm Bt

II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1.Kiểm tra bài cũ
( ?) Lập pt mp qua 2 điểm A(1 ;0 ;-7) ;B(4 ;2 ;-6) và vuông góc (P) : 3y+4x-2=0
2.Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV nêu ĐL(SGK)
( ?) Gọi hs nêu cách tính k/c giữa
2 mp //
( ?) GV gọi 2 hs làm ví dụ
( ?) Gọi hs nx và chính xác hóa
bài làm của hs
IV. Khoảng cách từ một điểm đến 1mp
*Định lý : M(x
0 ;
y
0 ;
z
0)
; (P) : Ax+By+Cz+D=0

0 0 0
2 2 2
Ax
( ;( ))
By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +

*Nx: Nếu (P)//(Q) thì d((P);(Q))=d(M;(Q)),
với M tùy ý thuộc mp(P)
• Ví dụ 1:
a) Tính k/c từ M(1;2;-3) đến mp(P): x+2y-
2z+10=0. Lập pt mặt cầu tâm M và tiếp xúc (P)
b) (P) : x+3y-z+4=0 ; (Q) :2x+6y-2z+10=0
CMR (P)//(Q).Tính k/c giửa 2 mp(P) và (Q)
Bài làm a)Đs : d(M ;(P))=7
Phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc (P)có
bán kính là R= d(M ;(P))=7là :
(x-1)
2
+(y-2)
2
+(z+3)
2
=49
b)
1 3 1 4
#
2 6 2 10
−
= =
−
nên (P)//(Q)
Cho x=0 ;y=0 thay vào ptmp(P) ta có z=4
1
(0;0;4) ( ) (( );( )) ( ;( ))
11
M P d P Q d M Q

∈ ⇒ = =
• Ví dụ 2 :Cho A(2 ;3 ;0) ; (P) :2x+2y+z-17=0
(Q) :x+2y-2z=0
21


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

( ?) GV gọi hs nêu phương pháp
làm a) sau đó lên trình bày. Cho
hs nx và chính xác hóa bài làm
Gv : Chữa b)
( ?) Tính k/c từ M đến (P) và
(Q) . Từ gt có điều gì
( ?) Kết luận tập hợp điểm M
thỏa mãn yêu cầu bài toán
a) Tìm tọa độ điểm M trên 0z cách đều A và mp(P)
b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp (P) và (Q)
Bài làm
a) Do M trên 0z nên có tọa độ là M( 0 ;0 ;c)
MA
2
=4+9+c
2
; d(M ; (P))=
17
3
c −
Điểm M trên 0z cách đều A và mp(P) nên ta có pt


2
2 2
17
13 8 34 172 0
9
c
c c c
−
= + ⇔ + − =
b) Giả sử M(x;y;z) cách đều 2 mp (P) và (Q). Ta có

2x 2y z 17 x 2y 2z
7 7
2x 2y z 17 x 2y 2z
2x 2y z 17 -(x 2y 2z)
3 17 0
3 4 17 0
x z
x y z
+ + − + −
=
+ + − = + −

⇔

+ + − = + −

+ − =

⇔


+ − − =


Vậy tập hợp M thỏa mãn là mp có pt : x+3z-17=0
Hoặc mp có pt:3x+4y-z-17=0
4. Củng cố : Ct tính khoảng cách từ 1 sđiểm đến 1 mp
BTVN : 3.21 ;3.24(SBT)
&
§33: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I.MỤC TIÊU:
-Rèn luyện kỹ năng lập pt tq của mp
- Thiết lập kỹ năng tìm vtpt qua ưng dụng của tích có hướng của 2 vet tơ
22


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1.Kiểm tra bài cũ (cùng bài giảng)
2.Bài mới
Phương pháp Nội dung
( ?) nêu PP lập pttq của mp
( ?) Gọi 4 hs làm 3.17 (b ;c)
3.19SBT ; 7(SGK)
Dưới lớp làm bài 3.29 ; 3.26(SBT)
( ?) Gọi hs nx và chính xác hóa
3.17 ;3.19 (SBT). Qua đó cho hs
nhắc lại vtpt của mp song song
hoặc chứa giá 2 véc tơ cho trước

( ?) Gọi hs nx và chính xác hóa bài
7(SGK) . Qua đó GV cho hs nhắc
lại đk 2 mp vuông góc và ứng
dụng tích có hướng tìm vtpt của
mp
( ?)Gọi 2 hs làm bài 3.21 và
3.26(SBT)
DẠNG TOÁN 1 : Lập pt tổng quát của mp
• Cách 1: Tìm tọa độ một điểm M(x
0 ;
y
0
;z
0
) và
một vtpt
n
r
(A ;B ;C) của mp . Khi đó pttq là :
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
• Cách 2:Giả sử ptmp có dạng :
Ax+By+Cz+D=0
(
2 2 2

A B C+ +
#0) . Tìm A ;B ;C ;D
Bài 3.17(SBT)
b)HD : Do mp song song với già 2 véc tơ
;u v
r r
Vtpt
của mpct là
(2; 1;1)n u v= ∧ = −
r r r
.
KQ : 2x-y+z-2=0
c)
(3;2;1); (4;1;0) ( ) à
( 1;4; 5)
MN MP Vtpt MNP l
n MN MP
⇒
= ∧ = − −
uuuur uuur
r uuuur uuur
KQ : x-4y+5z-2=0
Bài 3.19(SBT)
a) Vtpt (ABC) là
(4;4;4)n AB AC= ∧ =
r uuur uuur
KQ : x+y+z-9=0
b)Vtpt (1 ;1 ;1). PTMP : x+y+z-10=0
Bài 7(SGK)
HD :

(4;2;2)AB
uuur
( ) : 2 7 0x y z
β
− + − =
có vtpt là
(2; 1;1)n
β
−
uur
Gọi
n
r
là vtpt của mpct. Khi đó
n AB
n AB n
n n
β
β

⊥

⇒ = ∧

⊥


r uuur
r uuur r
r r

Để tìm vtpt của mp ta dùng một kiến thức sau :
• (P) song song hoặc chứa giá 2 véc tơ
;u v
r r
thi
có vtpt là
n u v= ∧
r r r
• (P)//(Q) : Ax+By+Cz+D=0 thì pt(P) có dạng
Ax+By+Cz+D
1
=0( với D
1
#D)
23


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

( ?) Gọi hs nx và chính xác hóa bài
làm của hs .qua đó củng cố cách
Xđ vtpt nừa nêu
•
( ) ( ) ; à ( ) ( )
P Q
P Q n n n l vtpt P khi n P
⊥ ⇔ ⊥ ⊥
uur uur r r
• Nếu
n a

Ta chon n a b
n b

⊥

= ∧

⊥


r r
r r r
r r
Bài 3.21(SBT)
(2;2;1)
( 4;3;2)
(1;2; 1)
AB
AB n n
n
β
β


⇒ ∧ = −

−


uuur

uuur uur r
uur
Mp qua AB và vuông góc (
β
) có vtpt là
( 4;3;2)n −
r
Vậy pt là 4x-3y-2z+3=0
Bài 3.26(SBT)
(2;1; 2)
n n
n n n
n n
α β
α β γ
α γ

⊥

⇒ = ∧ = −

⊥


uur uur
uur uur uur
uur uur
Mp qua M(3 ;-1 ;-5) và vuông góc (
β
) và

( )
γ
nên
vtpt là
(2;1; 2)n −
r
Vậy pt là 2x+y-2z-15=0
3. Củng cố : Xem lại bài tập đã chữa
+BTVN : BT1:Cho 4 điểm A(1 ;0 ;1)’B(0 ;0 ;2) ; C(0 ;1 ;1) ; D(-2 ;1 ;0)
a) Lập pt mp qua AB và // CD
b) Lập pt mp qua B và //CD và vuông góc (Q) :3x+2y-8z+2=0
c) CMR: ABCD là tứ diện
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và k/c từ A đến mp(BCD)
&
TCNC: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I.MỤC TIÊU:
-Rèn luyện kỹ năng lập pt tq của mp và xây dựng vtpt của mp
-Giới thiệu một sô tính chất và ứng dụng của tích có hướng của 2 véc tơ. Hs vận
dụng ứng dụng đó để làm một số bài đơn giản
24


HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN . 2013-2014

II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1.Kiểm tra bài cũ
2.Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV : gọi 3 hs lên bảng làm bài về
nhà a ;b ;c. Dưới lớp yêu cầu hs

(?) Nêu phương pháp lập pttq của
mp và cách tìm véc tơ pháp tuyến
một số TH thường dùng
BT2 : Cho A(0 ;0 ;2) ; B(0 ;1 ;0) ;
C(1 ;2 ;3)
a) CMR : A ;B ;Ckhông thẳng
hàng. Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của 0 trên (ABC)
b) Tìm tọa độ điểm S trên oy
sao cho tứ diện SABC có thể
tích bằng 8
(?) Gv gọi hs nhận xét và chính
xác hóa a;b;c
(?)GV cho hs nêu PP tính thể tích
tứ diện ABCD. Từ đó đặt vấn đề
vào ứng dụng của tích có hướng.
(?) GV cho hs tính tích có hướn 2
vét tơ cùng phương .Từ đó nêu t/c
tích có hướng 2 véc tơ
(?) Từ t/c và CT tính diện tích đã
học nêu cách tính qua tích có
hướng
(?) GV HD hs CM theo tích hỗn
tạp 3 véc tơ
BT1:Cho 4 điểm A(1 ;0 ;1)’B(0 ;0 ;2) ; C(0 ;1 ;1) ;
D(-2 ;1 ;0)
a)Lập pt mp qua AB và // CD
b)Lập ptmp (P)qua B // CD và vuông góc
(Q) :3x+2y-8z+2=0
c)CMR: ABCD là tứ diện

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và k/c từ D đến
mp(BCA)
Bài làm
a) VTpt của mp cần tìm là
n AB CD= ∧
r uuur uuur
Kiểm tra tọa độ D không thỏa mãn pt rồi KL
b)
P
Q
P Q
n CD
n CD n
n n

⊥

⇒ = ∧

⊥


uur uuur
r uuur uur
uur uur
Vậy (P) (P)qua B // CD và vuông góc
(Q) :3x+2y-8z+2=0 có vtpt
n
r
c)Cách 1 : Lập ptmp(ABC) sau đó CM điểm D

không thuộc mp(ABC)
Ptmp(ABC) là :x+y+z-2=0
Thay tạo độ D vao ptmp(ABC) ta có -3=0 (vô lý)
Vậy ABCD là tứ diện
V.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG
1. Tính chất của tích có hướng 2 véc tơ
*[ ; ] ; [ ; ] ; [ ; ] 0
* [ ; ] . .sin( ; )
u v u u v v u kv u v
u v u v v u
⊥ ⊥ = ⇔ =
=
urur r urur r r r urur r
urur r r r r
*
; ;u v
ω
r r ur
đồng phẳng khi và chỉ khi
[ ; ]. 0u v
ω
=
r r ur
2. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
*
1
2
ABC
S AB AC
= ∧

V
uuur uuur
*ABCD là hbh ta có
ABCD
S AB AD= ∧
uuur uuur
*ABCD là tứ diện thì
1
; .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
c)CMR: ABCD là tứ diện
Cách 2 :
( 1;0;1)
; ( 1; 1; 1); ( 3;1; 1)
( 1;1;0)
; . 3#0
AB
AB AC AD
AC
AB AC AD

= −

 

⇒ = − − − = − −

 
= −


 
=
 
uuur
uuur uuur uuuur
uuur
uuur uuur uuur
25