Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170-+=,
dxy
2
:50+-=. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd
12
, một tam
giác cân tại giao điểm của dd
12
, .

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175

3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=
=Û
ê
--=
ë
+-+

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL: xy330+-= và xy310-+=

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250-+=.
dxy
2
:36–70+=. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d

1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

·
d
1
VTCP a
1
(2;1)=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)=
r

Ta có: aa
12
.2.31.60=-=
uuruur
nên dd
12

^ và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: dAxByAxByAB:(2)(1)020-++=Û+-+=
d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3

2(1)
-
é
=
Û=Û--=Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy:350+-=
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy:350--=
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy:350+-=; dxy:350--=.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy
1
:7170-+=, dxy
2
:50+-=, P(0;1) . ĐS: xy330+-=; xy310-+=.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350++=, dxy
2
:310++= và điểm
I(1;2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt dd
12
, lần lượt tại A và B sao cho
AB 22= .


·
Giả sử AaadBbbd
12
(;35);(;31)--Î--Î ; IAaaIBbb(1;33);(1;31)=---=--+
uuruur

I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-
Þ=Û
í
-+=--
î
uuruur


·
Nếu a 1= thì b 1=
Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu a 1¹ thì
b
baab

a
1
31(33)32
1
-
-+=--Û=-
-

ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với tab=-).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-
+ Với tabba220,2=-Þ-=-Þ==- xy:10ÞD++=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

--
=ị-=ị== xy:790ịD--=

Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10++= ,
dxy
2
:210= . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d
2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB20+=
uuuruuurr
.

ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MAMB20+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0

Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220++=+= ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.

ã


Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb
1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
--=---
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v MBMA3=
ị

MBMA3=
uuuruuur
(1) hoc MBMA3=-
uuuruuur
(2)
(1)
ị

A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử
--
ù
ỗữ
ị--=
ớ
ốứ
ù
--
ợ
hoc (2)
ị


( )
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị--=
ớ
ợ


Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40--=+-= ln lt ti A, B sao cho
MAMB230= .

ã
Gi s Aaad
1
(;35)-ẻ, Bbbd
2
(;4)-ẻ.
Vỡ A, B, M thng hng v MAMB23= nờn
MAMB
MAMB
23(1)

23(2)
ộ
=
ờ
=-
ở
uuuruuur
uuuruuur

+
ab
a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị

ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra dxy:0-=.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-=--=
ị-
ớớ
-=--=
ợợ
. Suy ra dx:10-= .
Vy cú dxy:0-= hoc dx:10-= .

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho OAOB(3)+ nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):

xy
ab
1+= (a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị.
M OAOBabab332312+=+=
ab
a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ
=
ù
ỡ

=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ

Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy1360
62
+=+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OAOB+ nh nht.

ã
xy260+-=

Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.


ã
ng thng (d) i qua M(1;2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
AaBb(;0);(0;) vi ab.0ạ
ị
Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1+=.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1+=. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22

949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1+=

ab
20
10,
9
==
ị
dxy:29200+-=.


Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).

ã
xyxy360;20+-=--=

Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua M(2;1) v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S 4= .

ã
Gi AaBbab(;0),(0;)(,0)ạ l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1+= .
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ




baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.

ã
Khi ab 8= thỡ ba28+=. Nờn: badxy
1
2;4:240==ị+-=.

ã
Khi ab 8=- thỡ ba28+=- . Ta cú: bbb
2
440222+-==- .
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=-+ị-++-=
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=--ị++-+=.
Cõu hi tng t:
a) MS(8;6),12= . S: dxy:32120--=; dxy:38240-+=


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy230+=. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .

ã
PT ng thng (
D
) cú dng: axby(2)(1)0++=

axbyab20++= ab
22
(0)+ạ
Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+
7a
2
8ab + b
2

= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng dxy:2340++=.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45 .

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng: axby(–2)(1)0+-=
Û
axbyab–(2)0++= ab
22
(0)+¹.
Ta có:
ab

ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450--=
Û

ab
ab
5
5
é
=
ê
=-
ë

+ Với ab5= . Chọn ab5,1==
Þ
Phương trình xy:5110
D

+-=.
+ Với ab5 =- . Chọn ab1,5==-
Þ
Phương trình xy:530
D
-+=.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng dxy:220--= và điểm I(1;1) .
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng
d một góc bằng
0
45 .

·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng: axbyc0++= ab
22
(0)+¹.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2

1
2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ab3=
Þ

D
: xyc30++=. Mặt khác dI(;)10
D
=
c4
10
10

+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ba3=-
Þ

D
: xyc30-+=. Mặt khác dI(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8

12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm: xy360;++= xy3140+-=; xy380;--= xy3120-+=.

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d
1
, d
2
có
phương trình lần lượt là xy320++=và xy340-+=. Gọi A là giao điểm của d
1
và d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại B , C
( B và C khác A ) sao cho
ABAC
22
11
+

đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA
12
(1;1)=ÇÞ- . Ta có dd
12
^ . Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)
Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM
2
1
khi H º M, hay
D
là đường thẳng đi qua M

và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
: xy20+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2)- , dxy
1
:350++=, dxy
2
:350-+=. ĐS: xy:10
D
++=.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng dxy():–3–40= và đường
tròn Cxyy
22
():–40+=. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).

·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î

(C)
Þ
(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: xy2340++=. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45 .


ã

D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ
v VTCP u (3;2)=-
r
. Gi s Btt(13;22)
D
--+ẻ.
AB
0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=

uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3
13
ộ
=
ờ
--=
ờ
ờ
=-
ở
.

Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử
--
ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy:360--= v im N(3;4) .
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
bng
15
2
.

ã
Ta cú ON (3;4)=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON: xy430-=. Gi s Mmmd(36;)+ẻ.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1

(,).(,)3
2
D
D
===



mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+--
=+==-=
+ Vi mM1(3;1)=-ị- + Vi mM
1313
7;
33
ổử
--
=ị-
ỗữ
ốứ


Cõu 19. Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng dxy:220-+=. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC .

ã

Gi s BbbCccd(22;),(22;)--ẻ.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu.0=
uuur
r


B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ

ị
AB
25
5
=
ị
BC
5

5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5



cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở



Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30+-=, dxy
2
:90+-= v
im A(1;4) . Tỡm im BdCd
12
,ẻẻ sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
Gi BbbdCccd
12
(;3),(;9)-ẻ-ẻ
ị
ABbb(1;1)=---
uuur
, ACcc(1;5)=--
uuur
.

D
ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ

=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
---+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ c 1= khụng l nghim ca (*) nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)


bc
b
c
c
bbcc
c

2
2222
2
(1)(5)
1(1)
1
(5)
(1)(1)(1)(5)(2)
(1)
ỡ
+-
-=
ù
-
ù
ớ
-
ù
+++=-+-
ù
-
ợ

T (2)

bc
22
(1)(1)+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi bc2=-, thay vo (1) ta c cb4,2==
ị
BC(2;1),(4;5) .
+ Vi bc=- , thay vo (1) ta c cb2,2==-
ị
BC(2;5),(2;7)- .
Vy: BC(2;1),(4;5) hoc BC(2;5),(2;7)- .

Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20++=; dmxmym
2
:(2)(1)350++=. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d

2
. Tỡm m sao cho PAPB+ ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35
ỡ
-+-=-
ớ
-+-=-+
ợ
.
Ta cú
mm
Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử
--
==-+>"
ỗữ
--

ốứ


ị
dd
12
, luụn ct nhau. Ta cú: AdBddd
1212
(0;1),(2;1),ẻ-ẻ^
ị

D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216+Ê+==

ị
PAPB 4+Ê. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB


P(2; 1) hoc P(0; 1)


m 1= hoc m 2= . Vy PAPB+ ln nht

m 1= hoc
m 2= .

Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D): xy220= v hai im A(1;2)- ,
B(3;4) . Tỡm im Mẻ(D) sao cho MA MB
22
2 + cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=--
uuuruuur

Ta cú: AMBMttft
222
215443()+=++=
ị
ftf
2
min()
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ


ị
M
262
;
1515
ổử
-
ỗữ
ốứ


Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng dxy:230-+= v 2 im AB(1;0),(2;1) .
Tỡm im M trờn d sao cho MAMB+ nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy(23).(23)300-+-+=>
ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị
A (3;2)
Â
-
ị
Phng trỡnh ABxy:570
Â

+-=.
Vi mi im M
ẻ
d, ta cú: MAMBMAMBAB
ÂÂ
+=+.
M MAMB
Â
+ nh nht

A
Â
, M, B thng hng

M l giao im ca A
Â
B vi d.
Khi ú: M
817
;
1111
ổử
-
ỗữ
ốứ
.



Trn S Tựng PP to trong mt phng

Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy250= v ng trũn (C): xyx
22
20500+-+=. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100+--+=

Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng dxy:380= . Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

ã
Tỡm c C (1;1)
1
- , C
2
(2;10)-- .

+ Vi C
1
(1;1)-
ị
(C):
22
xyxy
111116
0
333
+-++=
+ Vi C
2
(2;10)--
ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=

Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230+-=,
dxy
2
:3450++=, dxy
3

:4320++=. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v
tip xỳc vi d
2
v d
3
.

ã
Gi tõm ng trũn l Itt(;32)-
ẻ
d
1
.
Khi ú: dIddId
23
)(,)(, =


tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+




t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1
:6100= , dxy
2
:3450++=, dxy
3
:4350--=.

S: xy
22
(10)49-+= hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.

Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
: xy380++=,
xy':34100
D
-+= v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm Itt(38;)--
ẻ

D
.. Ta cú: dIIA(,)
D
Â

=



tt
tt
22
22
3(38)410
(382)(1)
34
---+
=--++-
+


t 3=-
ị
IR(1;3),5-=
PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25-++=.

Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng xy:4330
D
-+= v
xy':34310
D
--=. Lp phng trỡnh ng trũn C() tip xỳc vi ng thng
D

ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi '.
D
Tỡm ta tip im ca C()v '
D
.

ã
Gi Iab(;) l tõm ca ng trũn (C). C() tip xỳc vi
D
ti im M(6;9) v C() tip
xỳc vi
D
Â
nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8


a
abab
dIdI
aa
IMu
ab
ab
543
4333431
(,)(,')
433685

4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD
ỡ
ỡ
-
-+--
ỡ
=
ùù
-+=-
=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=
+=
ợ
ợ
uuur
r


aa

ab
a
ab
b
251504685
10;6
543
190;156
4
ỡ
-=-
ù
ộ
==

-
ớ
ờ
=-=
=
ở
ù
ợ

Vy: Cxy
22
():(10)(6)25-+-= tip xỳc vi '
D
ti N (13;2)
hoc Cxy

22
():(190)(156)60025++-= tip xỳc vi '
D
ti N(43;40)--

Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua A(2;1)- v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222
222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở

a)
ị
aa1;5== b)
ị
vụ nghim.
Kt lun: xy
22

(1)(1)1-++= v xy
22
(5)(5)25-++=.

Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy():240--=. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi Immd(;24)()-ẻ l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==.

ã
m
4
3
= thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.

ã
m 4= thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy

22
(4)(4)16-+-=.

Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
xy3480+=. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).

ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB (4;2)=
uuur
ị
d: 2x + y 4 = 0
ị
Tõm I(a;4 2a)
Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010-=-+

2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31
2
ộ
=

ờ
=
ờ
ở


ã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2

ị
I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ

ốứ
, R =
65
2

ị
(C): xy
2
2
314225
(27)
24
ổử
-++=
ỗữ
ốứ


Cõu 9. Trong h to Oxy cho hai ng thng dxy:230+-= v xy:350
D
+-=. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc d v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I

ẻ
d
ị
Iaa(23;)-+ . (C) tip xỳc vi
D
nờn:
dIR(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=

ờ
=-
ở

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9



ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-= hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340++-=. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I (23;0)- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22

ỡ
=
ớ
=+
ợ
, IIA'ẻ
ị
Itt(23;22)
Â
+ .
AIIAtI
1
2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur

ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4-+-=

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450+=. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42

;
55
ổử
ỗữ
ốứ


ã
(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M

ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
(C
Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử

-++=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420+-++=. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB 3= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R 3= . PT ng thng IM: xy34110--=. AB 3= .
Gi Hxy(;) l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ



xy

xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ
--=
ù
ớ
-++=
ù
ợ




xy
xy
129
;
510
1111
;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ

==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử
--
ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã
Vi H
129
;
510
ổử
--
ỗữ

ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=
ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)43-+-=.

ã
Vi H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=
ị
PT (C
Â

): xy
22
(5)(1)13-+-=.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4-+-= v im
K(3;4) . Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm I (1;2) , bỏn kớnh R 2= .
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB 22= .
M IK 22= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+ T
1
() cú bỏn kớnh RR
1
2==
ị
Txy

22
1
():(3)(4)4-+-=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+ T
2
() cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20-+-=.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1
;0,(2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.

ã
im D(d;0) d

1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1
3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ

-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43
+-
=+-=
-

Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l b1- v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:

( )
bb

bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+

ị

bbb
bbb
4
35
3
1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2

= l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1
): xy43120--= v (d
2
):
xy43120+-=. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2
) v trc Oy.

ã
Gi AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ=ầ=ầ
ị

ABC(3;0),(0;4),(0;4)-
ị

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d: xy10--= v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8-++=, (C
2
): xy
22
(5)(4)32++-=. Vit phng trỡnh

ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).

ã
Gi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C
1
), (C
2
). Gi s Iaad(;1) ẻ .
(C) tip xỳc ngoi vi (C
1
), (C
2
) nờn IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,=+=+ị=


aaaa

2222
(3)(3)22(5)(5)42-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R = 2

ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2++=.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11


·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20++=. Viết phương trình tiếp
tuyến của
( )
C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30

o
.

·
CxyIR
22
():(1)1(1;0);1++=Þ-=. Hệ số góc của tiếp tuyến (
D
) cần tìm là 3± .

Þ
PT (
D
) có dạng xyb
1
:30
D
-+= hoặc xyb
2
:30
D
++=
+ xyb
1
:30
D
-+= tiếp xúc (C) dIR
1
(,)
D

Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
1
():3230
D
-±+=
+ xyb
2
():30
D
++= tiếp xúc (C) dIR
2
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy

2
():3230
D
+±+=.

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6250+--+= và
đường thẳng (d): xy330+-=. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45 .

·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (
D
): axbycc0(0)++=¹.
Từ:
dI
d
(,)5
2
cos(,)
2
D
D
ì
=
ï
í

=
ï
î

Þ

abc
abc
2,1,10
1,2,10
é
==-=-
ê
===-
ë

Þ

xy
xy
:2100
:2100
D
D
é
--=
ê
+-=
ë
.

Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn Cxy
22
():(1)(1)10-+-= và đường thẳng
dxy:220--=. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C(), biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d một góc
0
45 .

·
(C) có tâm I (1;1) bán kính R 10= . Gọi nab(;)=
r
là VTPT của tiếp tuyến
D
ab
22
(0)+¹,
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5

-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ab3=
Þ

D
: xyc30++=. Mặt khác dIR(;)
D
=
c4
10
10
+
Û=
c

c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ba3=-
Þ

D
: xyc30-+=. Mặt khác dIR(;)
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-

Û
ê
=
ë

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: xy360;++= xy3140+-=; xy380;--= xy3120-+=.

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C
1
): xyxy
22
–2–2–20+=, (C
2
): xyxy
22
–8–2160++=.

·
(C
1
) có tâm I
1
(1;1) , bán kính R
1
= 2; (C
2
) có tâm I
2
(4;1) , bán kính R

2
= 1.
Ta có: IIRR
1212
3==+
Þ
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Þ
(C
1
) và (C
2
) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: yaxbaxyb():():0
DD
=+Û-+= ta có:
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 12


ab
aa
dIR
ab
hay

dIR
ab
bb
ab
22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
472472
1
44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ
=
ùùù

+

ớớớớ
=
+-
-+
ợ
ùùù
==
=
ùùù
ợợ
+
ợ

Vy, cú 3 tip tuyn chung: xyxyx
123
24722472
():3,():,()
4444
DDD
+-
==-+=+

Cõu 22. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): xy
22
(2)(3)2-+-= v
(C): xy
22
(1)(2)8-+-=. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C) v (C).


ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R 2= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R'22= .
Ta cú: IIRR'2
Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) tip xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II (1;1)
Â
=--
uur

ị
PTTT: xy70+-=

Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1

():230+--= v
Cxyxy
22
2
():88280+--+=. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca C
1
() v C
2
().

ã
C
1
() cú tõm I
1
(0;1) , bỏn kớnh R
1
2= ; C
2
() cú tõm I
2
(4;4) , bỏn kớnh R
2
2= .
Ta cú: IIRR
1212
54=>=+
ị
CC
12

(),() ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: xc0+=.
Khi ú: dIddIdcc
12
(,)(,)4==+

c 2=-
ị
dx:20-=.
+ Nu d khụng song song vi Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: dyaxb: =+.
Khi ú:
dId
dIddId
1
12
(,)2
(,)(,)
ỡ
=
ớ
=
ợ



b
a
bab
aa
2

22
1
2
1
144
11
ỡ
-+
=
ù
ù
+
ớ
-+-+
ù
=
ù
++
ợ



ab
ab
ab
37
;
42
33
;

42
737
;
2412
ộ
==
ờ
ờ
ờ
==-
ờ
ờ
=-=
ờ
ở


ị
dxy:34140-+= hoc dxy:3460--= hoc dxy:724740+-=.
Vy: dx:20-=; dxy:34140-+=; dxy:3460--=; dxy:724740+-=.

Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():450+--= v
Cxyxy
22
2
():68160+-++=. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca C
1

() v C
2
().

ã
C
1
() cú tõm I
1
(0;1) , bỏn kớnh R
1
3= ; C
2
() cú tõm I
2
(3;4)- , bỏn kớnh R
2
3= .
Gi s tip tuyn chung
D
ca CC
12
(),() cú phng trỡnh: axbycab
22
0(0)++=+ạ.

D
l tip tuyn chung ca CC
12
(),()



dIR
dIR
11
22
(,)
(,)
D
D
ỡ
=
ớ
=
ợ



bcab
abcab
22
22
23(1)
343(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
-+=+
ù

ợ

T (1) v (2) suy ra ab2= hoc
ab
c
32
2
-+
= .
+ TH1: Vi ab2= . Chn b 1=
ị
ac2,235==-
ị
xy:22350
D
+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 13

+ TH2: Vi
ab
c
32
2
-+
= . Thay vo (1) ta c:
a
abab
ab
22

0
22
4
3
ộ
=
ờ
-=+
=-
ờ
ở
.

ị
y:20
D
+= hoc xy:4390
D
--=.

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340++-=. Tia Oy ct (C) ti im
A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I (23;0)- , bỏn kớnh R 4= . Tia Oy ct (C) ti A(0;2) . Gi J l tõm ca (T).
Phng trỡnh IA:
xt

yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
. Gi s JttIA(23;22)()+ẻ .
(T) tip xỳc ngoi vi (C) ti A nờn AIJAtJ
1
2(3;3)
2
=ị=ị
uuruur
.
Vy: Txy
22
():(3)(3)4-+-=.

Cõu 26. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
1+= v phng trỡnh:
xymxmy
22
2(1)450+++= (1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m

) tip xỳc vi (C).

ã
(C
m
) cú tõm Imm(1;2)+- , bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45=+++,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI mm
22
(1)4=++ , ta cú OI < R
Â

Vy (C) v (C
m
) ch tip xỳc trong.
ị
R
Â
R = OI ( vỡ R > R)
ị
mm
3
1;
5
=-=.

Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh Cxy
22
1

1
():(1)
2
-+= v
Cxy
22
2
():(2)(2)4-+-=. Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi C
1
() v ct C
2
()
ti hai im MN, sao cho MN 22= .

ã
C
1
() cú tõm I
1
(1;0) , bỏn kớnh R
1
1
2
= ; C
2
() cú tõm I
1
(2;2) , bỏn kớnh R
2
2= . Gi H l

trung im ca MN
ị

MN
dIdIHR
2
2
222
(,)2
2
ổử
==-=
ỗữ
ốứ

Phng trỡnh ng thng d cú dng: axbycab
22
0(0)++=+ạ.
Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù

ớ
ù
=
ợ



acab
abcab
22
22
2
222
ỡ
ù
+=+
ớ
++=+
ù
ợ
. Gii h tỡm c a, b, c.
Vy: dxydxy:20;:760+-=+-=; dxy:20--=; dxy:720--=

Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
650++=. Tỡm im
M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng
0
60 .

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 14


ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60(1)
120(2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB nờn:
(1)
ã
AMI = 30
0


IA
MI
0
sin30
=
MI = 2R mm
2
947+==
(2)
ã
AMI = 60
0

IA
MI
0
sin60
=
MI =
23
3
R m
2
43
9
3
+= Vụ nghim Vy cú
hai im M
1
(0; 7 ) v M

2
(0; 7- )

Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+--=+-=. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.

ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R 5= .
Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0
thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra IMR=252= .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy
22
(2)(1)20-+-=.
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng
D
, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
xy
xy
22

(2)(1)20(1)
2120(2)
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ

Kh x gia (1) v (2) ta c:
( ) ( )
y
yyyy
y
22
2
3
210120542810
27
5
ộ
=
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở

Vy cú hai im tha món bi l:
( )
M 6;3 hoc M

627
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


Cõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9-++= v ng
thng dxym:0++=. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC
vuụng.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA 32ị=



m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-

ộ
=-
=-=
ờ
=
ở

Cõu hi tng t:
a) Cxydxym
22
():1,:0+=-+= S: m 2= .

Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9-++= v ng
thng dxym:340-+=. Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c
hai tip tuyn PA, PB ti ng trũn (C) (A, B l hai tip im) sao cho PAB l tam giỏc u.

ã
(C) cú tõm I(1;2)- , bỏn kớnh R 3= .
D
PAB u
ị
PIAIR226===
ị
P nm trờn ng
trũn (T) cú tõm I, bỏn kớnh r 6= . Do trờn d cú duy nht mt im P tho YCBT nờn d l tip
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 15


tuyn ca (T)
ị

m
m
dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ
=
==
ờ
=-
ở
.

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650+--+=
v Cxy
22
():9
Â
+=. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng 4,8.


ã
(C) cú tõm
( )
O 0;0 , bỏn kớnh ROA 3==. Gi HABOM=ầ
ị
H l trung im ca AB
ị
AH
12
5
= . Suy ra: OHOAAH
22
9
5
=-= v
OA
OM
OH
2
5==.
Gi s Mxy(;). Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25

ỡ
ù
ỡ
ẻ+--+=

ớớ
=
+=
ợ
ù
ợ

xx
yy
45
30
ỡỡ
==

ớớ
==
ợợ

Vy M(4;3) hoc M(5;0) .

Cõu 33. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4-++=. M l im
di ng trờn ng thng dyx:1=+. Chng minh rng t M k c hai tip tuyn MT
1

,
MT
2
ti (C) (T
1
, T
2
l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng TT
12
i qua im
A(1;1)- .

ã
(C) cú tõm I (1;2)- , bỏn kớnh R 2= . Gi s Mxxd
00
(;1)+ẻ.
IMxxxR
222
000
(1)(3)2(1)82=-++=++>=
ị
M nm ngoi (C)
ị
qua M k c
2 tip tuyn ti (C).
Gi J l trung im IM
ị

xx
J

00
11
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
. ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
kớnh
IM
R
1
2
= cú phng trỡnh
xxxx
Txy
22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử
+--++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

T M k c 2 tip tuyn MT

1
, MT
2
n (C)
ị

ã
ã
ITMITMTTT
0
1212
90,()==ịẻ
TTCT
12
{,}()()ị=ầ
ị
to TT
12
, tho món h:

xxxx
xy
xxxyx
xy
22
22
0000
000
22
11(1)(3)

()()
(1)(3)30(1)
224
(1)(2)4
ỡ
+--++
ù
-+-=
ị--+--=
ớ
ù
-++=
ợ

To cỏc im TT
12
, tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh TT
12
l xxyxx
000
(1)(3)30--+--=.
A(1;1)- nm trờn TT
12
nờn xxx
000
1(3)30-++--=

x
0

1=
ị
M(1;2) .

Cõu 34. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(1)25++= v im
M(7; 3). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M ct (C) ti hai im A, B phõn bit sao
cho MA = 3MB.

ã

MC
P
/()
270=>ị M nm ngoi (C). (C) cú tõm I(1;1) v R = 5.
Mt khỏc:

MC
PMAMBMBMBBH
2
/()
.333==ị=ị=
uuuruuur
IHRBHdMd
22
4[,()]ị=-==
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 16


Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).

a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é
=
--
ê
=Û=Û
=-
ê
+
ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình xy

22
(2)(1)25-++= theo một dây cung có độ dài
bằng l 8= .

·
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0
Û
ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8= nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.

( )
abab
dIdabab
ab
22
22
22
,333
---
==Û-=+
+

a
aab
ab

2
0
860
3
4
é
=
ê
Û+=Û
=-
ê
ë


·
a = 0: chọn b = 1
Þ
d: y – 2 = 0
·
a = b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, Cxyxy
22
():26150+-+-=, l 8= . ĐS: dxy:340-=; dy:0= .
b) d đi qua Q(5;2) , Cxyxy

22
():4850+---=, l 52= .
ĐS: dxy:30--=; dxy:177710--=.
c) d đi qua A(9;6) , Cxyxy
22
():820+--=, l 43= .
ĐS: dyx:212=-; dyx
121
:
22
=-+

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : xyxy
22
2880++--=. Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng dxy:320+-= và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài l 6= .

·
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng: xyc c30,2++=¹.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

( )
c
c
dI

c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++
é
=-
Þ==Û
ê
=--
ë
+
.
Vậy phương trình
D
cần tìm là: xy341010++-= hoặc xy341010+--= .
Câu hỏi tương tự:
a) Cxy
22
():(3)(1)3-+-=, dxy:3420120-+=, l 25= .
ĐS: xy:3450
D
-+=; xy:34150
D
--=.


Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():(4)(3)25++-= và
đường thẳng xy:34100
D
-+=. Lập phương trình đường thẳng d biết d ()
D
^ và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.

·
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d
D
^ nên
PT của d có dạng: xym430++=.
Ta có: dI
1
(,())
D
= IH = AIAH
2222
534-=-=
Û

m
m
m
22
27
169

4
13
43
é
=
-++
=Û
ê
=-
ë
+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: xy43270++= và xy43130+-=.

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230+---= và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.

·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 25<
Þ
M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IAIHIHIM
2222

2252523-=-³-=.
Dấu "=" xảy ra
Û
H
º
M hay d
^
IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1;1)=-
uuur


Þ
Phương trình d: xy20-+=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): xyxy
22
84160+---=, M(–1; 0). ĐS:
dxy:5250++=

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.

·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û

D
OAB vuông cân tại O. Khi đó dOd
52

(,)
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
(2)(6)0(0)-+-=+¹
dOd
52
(,)
2
=
Û

AB
AB
22
2652
2
--
=
+

Û
BABA
22
4748170+-=
Û

BA
BA

24555
47
24555
47
é
--
=
ê
ê
-+
ê
=
ê
ë

+ Với BA
24555
47
--
= : chọn A = 47
Þ
B = 24555--

Þ
d:
( )
xy47(2)24555(6)0--+-=
+ Với BA
24555
47

-+
= : chọn A = 47
Þ
B = 24555-+

Þ
d:
( )
xy47(2)24555(6)0-+-+-=
Câu hỏi tương tự:
a) Cxyxy
22
():4690++-+=, M(1;8)- . ĐS: xyxy710;177390++=++=.

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6260+-+-= và điểm
A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
(3)(3)0,0-+-=+¹
Û
axbyab330+--=.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B

Þ
AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có: dIdADAB
11
(,)22()
22
===
abab
ab
22
333
22
---
Û=
+

PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 18

bababab
2222
422Û=+Û=Û=± . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: xy60+-= hoặc xy0-=.

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13+= và (C
2

):
xy
22
(6)25-+=. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

·
(C
1
) có tâm O(0; 0), bán kính R
1
= 13 . (C
2
) có tâm I
2
(6; 0), bán kính R
2
= 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22

(2)(3)0(0)-+-=+¹. Gọi ddOdddId
122
(,),(,)==.
Từ giả thiết
Þ
RdRd
2222
1122
-=-
Û
dd
22
21
12-=
Û

aabab
abab
22
2222
(623)(23)
12
----
-=
++


Û
bab
2

30+=
Û

b
ba
0
3
é
=
ê
=-
ë
.

·
Với b = 0: Chọn a = 1
Þ
Phương trình d: x 20-=.

·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d: xy370-+=.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mxy4 0+=, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240+--+-= có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.


·
(C) có tâm Im(1;), bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

mmm
IHdI
mm
22
45
(,)
1616
+
=D==
++
;
m
AHIAIH
m
m
2
22
2
2
(5)20
25
16
16
=-=-=
+
+



IAB
S 12
D
=
Û

m
dIAHmm
m
2
3
(,).12325480
16
3
é
=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ë


Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1+=, đường thẳng
dxym():0++=. Tìm m để C()cắt d() tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

·

(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B dOd(;)1Û<
Khi đó:
· ·
OAB
SOAOBAOBAOB
111
..sin.sin
222
==£. Dấu "=" xảy ra
Û

·
AOB
0
90= .
Vậy
AOB
S lón nhất
Û

·
AOB
0
90= . Khi đó dId
1
(;)
2
= m 1Û=± .

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d(): xmy2120++-= và

đường tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440+-+-=. Gọi I là tâm đường tròn C(). Tìm
m sao cho d() cắt C() tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.

·
C() có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt C() tại 2 điểm phân biệt A, B dIdR(,)Û< mm
2
221232Û-+-<+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19

mmmmmmR
222
14418954170Û-+<+Û++>ÛÎ
Ta có:
·
SIAIBAIBIAIB
IAB
119
.sin.
222
=£=
Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9

2
khi
·
AIB
0
90= Û AB = R 232= Û dId
32
(,)
2
=
Û mm
32
2
122
2
-=+ mm
2
216320Û++= m 4Û=-
Câu hỏi tương tự:
a) Với dxmym:–230++=, Cxyxy
22
():4460++++=. ĐS:
mm
8
0
15
=Ú=

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn Cxyxy
22

():4690++-+= và
điểm M(1;8)- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

·
(C) có tâm I (2;3)- , bán kính R 2= .
PT đường thẳng d qua M(1;8)- có dạng: daxbyab:80+-+= ( ab
22
0+¹).

· ·
IAB
SIAIBAIBAIB
1
..sin2sin
2
D
==.
Do đó:
IAB
S
D
lớn nhất
Û

·
AIB
0
90=
Û

dIdIA
2
(,)2
2
==

Û

ba
ab
22
113
2
-
=
+

Û
aabb
22
7661180-+=
Û

ab
ab
7
717
é
=
ê

=
ë
.
+ Với ba17=Þ=
Þ
dxy:710++= + Với ba717=Þ=
Þ
dxy:177390++=

Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460++++= và
đường thẳng D: xmym–230++= với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.

·
(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D
ABC
=
·
IAB
SIAIBAIB
1
..sin

2
= =
·
AIBsin
Do đó
IAB
S lớn nhất
Û
sin
·
AIB = 1
Û

D
AIB vuông tại I
Û
IH =
IA
1
2
= (thỏa IH < R)

Û

m
m
2
14
1
1

-
=
+

Û
15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15

Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440+-+-=, xmy:2120
D
++-=. ĐS: m 4=- .
b) Với Cxyxy
22
():2450+---=, xmy:20
D
+-=. ĐS: m 2=-

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: xy–5–20= và đường tròn (C):
xyxy
22
2480++--=. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 20

tam giỏc ABC vuụng B.

ã
Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh

yx
xyxy
yx
xy
22
0;2
2480
1;3
520
ỡ
ỡ
==
++--=

ớớ
=-=-
--=
ợ
ợ
. Vỡ
A
x 0> nờn ta c A(2;0), B(3;1).

Vỡ
ã
ABC
0
90= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).

Cõu 48. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (C ): xyxy
22
2480++--= v
ng thng (
D
): xy2310--= . Chng minh rng (
D
) luụn ct (C ) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im M trờn ng trũn (C ) sao cho din tớch tam giỏc ABM ln nht.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R = 13 . dIR
9
(,)
13
D
=<
ị
ng thng (
D
) ct (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM

SABdM
1
.(,)
2
D
D
= . Trong ú
AB khụng i nờn
ABM
S
D
ln nht

dM(,)
D
ln nht.
Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi (
D
). PT ng thng d l
xy3210+-=.
Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C). To P, Q l nghim ca h
phng trỡnh:
xyxy
xy
22
2480
3210
ỡ
++--=
ớ

+-=
ợ

xy
xy
1,1
3,5
ộ
==-
ờ
=-=
ở

ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy dM(,)
D
ln nht

M trựng vi Q.

Vy ta im M(3; 5).

Cõu 49. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2450+---= v A(0;
1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.

ã
(C) cú tõm I(1;2) v R= 10 . Gi H l trung im BC. Suy ra AIIH2.=
uuruur
H
37
;
22
ổử

ỗữ
ốứ

ABC
D
u
ị
I l trng tõm. Phng trỡnh (BC): xy3120+-=
Vỡ B, C
ẻ
(C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:

xyxyxyxy
xyxy

2222
24502450
3120123
ỡỡ
+---=+---=

ớớ
+-==-
ợợ

Gii h PT trờn ta c: BC
7333373333
;;;
2222
ổửổử
+--+
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.

Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35-+-= v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
(C) cú tõm I(3; 4). Ta cú:
ABAC
IBIC
ỡ

=
ớ
=
ợ

ị
AI l ng trung trc ca BC.
D
ABC vuụng cõn
ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca
ã
BAC . Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45 .
Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45 . Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA (2;1)=
uur

ạ
(1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to
ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi ua(1;)=
r
l VTCP ca d. Ta cú:
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21



( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r


aa
2
2251+=+


a
a
3
1
3
ộ
=
ờ
=-

ờ
ở

+ Vi a = 3, thỡ u (1;3)=
r

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53
ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
91373139137313
;,;
2222
ổửổử
++--
ỗữỗữ
ốứốứ

+ Vi a =
1
3

- , thỡ u
1
1;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222

ổửổử
+--+
ỗữỗữ
ốứốứ

+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
+-++
ỗữỗữ
ốứốứ

v
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
-+--
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 51. Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
4+= v cỏc im A
8
1;
3

ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B(3;0) . Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
20
3
.

ã
ABABxy
6410
4;:43120
93
=+=--=. Gi M(x;y) v hdMAB(,)= .
Ta cú:
xy
xy
hABh
xy
4312
120
4380
.44
43320
235
--
ộ
-+=

===
ờ
--=
ở

+
xy
MM
xy
22
4380
1448
(2;0);;
2575
4
ỡ
ổử
-+=
ị--
ỗữ
ớ
+=
ốứ
ợ
+
xy
xy
22
43320
4

ỡ
--=
ớ
+=
ợ
(vụ nghim)

Cõu 52. Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn Cxyxy
22
():2690++-+= v ng
thng dxy:3450-+=. Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.

ã
(C) cú tõm I (1;3)- , bỏn kớnh R 1=
ị
dIdR(,)2=>
ị
dC()ầ=ặ.
Gi
D
l ng thng qua I v vuụng gúc vi d
ị
xy():4350
D
+-=.
Gi NdN
00
17
;
55

D
ổử
=ầị
ỗữ
ốứ
.
Gi MM
12
, l cỏc giao im ca
D
v (C)
ị
MM
12
211819
;,;
5555
ổửổử
--
ỗữỗữ
ốứốứ


ị
MN ngn nht khi MMNN
10
,.
Vy cỏc im cn tỡm: MC
211
;()

55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
, Nd
17
;
55
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ
.



PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 22

TP 03: CC NG CễNIC

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
2516
+=. A, B l cỏc im trờn (E)
sao cho: AFBF
12

8+=, vi FF
12
, l cỏc tiờu im. Tớnh AFBF
21
+ .

ã

1
AFAFa
2
2+=v BFBFa
12
2+= ị
12
AFAFBFBFa
12
420+++==
M
1
AFBF
2
8+= ị
2
AFBF
1
12+=

Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
FF

12
(1;1),(5;1)- v tõm sai e 0,6= .

ã
Gi s Mxy(;) l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l
c
a
e
3
5
0,6
=== nờn ta cú:
MFMFxyxy
2222
12
10(1)(1)(5)(1)10+=++-+-+-=


xy
22
(2)(1)
1
2516
--
+=

Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1

41
+=. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.

ã
AB
243243
;,;
7777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
10025
+=. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao
cho
ã
FMF
0
12
120= (F
1
, F

2
l hai tiờu im ca (E)).

ã
Ta cú: ab10,5==
ị
c 53= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .

ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2..cos=+-



( )
xxxx
22
2
33331

103101021010
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++--+-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ



x = 0 (y=

5). Vy cú 2 im tho YCBT: M
1
(0; 5), M
2
(0; 5).

Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im FF
12
(3;0);(3;0)- v i qua im
A
1
3;
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu

thc: PFMFMOMFMFM
222
1212
3.=+ .

ã
(E):
xy
abab
22
2222
31
11
4
+=ị+=, ab
22
3=+ ị
xy
22
1
41
+=
ị
MMMMM
Paexaexxyaex
2222222
()()2()() 1=+++-=

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23


Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy
22
41664+=. Gi F
2
l tiờu im bờn phi
ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F
2
v
ti ng thng x
8
:
3
D
= cú giỏ tr khụng i.

ã
Ta cú: F
2
(12;0) . Gi MxyE
00
(;)()ẻ
ị

x
MFaex
0
20
83
2

-
=-= ,

x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44-ÊÊ)
ị

MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy
22
51680+= v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.


ã
Phng trỡnh ng thng (AB): xy230-+= v AB 25=
Gi MxyExy
22
0000
(;)()51680.ẻị+= Ta cú:
xyxy
dMAB
0000
2323
(;)
145
-+-+
==
+

Din tớch
D
MAB: SABdMABxy
00
1
..(;)23
2
==--
p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s xy
00
11
;,(5;4)
2

5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:

( )
xyxy
2
22
0000
11119
.5.4516.8036
25420
5
ổử
ổử
-Ê++==
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

xyxyxyxy
00000000
266263239239-Ê-Ê-Ê-Ê-+Êị-+Ê

xy
xy

xy
xy
xy
00
00
00
00
54
58
11
max239
26
2
5
239
ỡ
=
ù
ỡ
=-
ù
ị-+=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù
-+=
ợ

x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù

ớ
ù
=-
ợ

Vy,
MAB
SkhiM
85
max9;
33
ổử
=-
ỗữ
ốứ
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp

xy
E
22
():1
94
+= v hai im A(3;2), B(3;
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.

ã
PT ng thng AB: xy230+=. Gi C(x; y)
ẻ
(E), vi xy0,0>>
ị

xy
22
1
94
+=.

ABC
xy
SABdCABxy
18585
.(,)233.
21332
213
==+=+
xy

22
85170
323
139413
ổử
Ê+=
ỗữ
ỗữ
ốứ

Du "=" xy ra


xy
x
xy
y
22
2
1
3
94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù

=

ớớ
ùù
=
=
ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24

Cõu 9. Trong mt phng ta Oxy , cho elip
xy
E
22
():1
259
+= v im M(1;1) . Vit phng
trỡnh ng thng i qua M v ct elip ti hai im AB, sao cho M l trung im ca AB .

ã

Nhn xột rng MOxẽ nờn ng thng x 1= khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng
D
qua M(1; 1) cú PT: ykx(1)1=-+. To cỏc giao im AB, ca
D
v
E() l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
259
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợ


ị
kxkkxkk
222
(259)50(1)25(29)0+--+--= (3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit xx
12
, vi mi k . Theo Viet:
kk

xx
k
12
2
50(1)
259
-
+=
+
.
Do ú M l trung im ca AB
M
kk
xxxk
k
12
2
50(1)9
22
25
259
-
+===-
+
.
Vy PT ng thng
D
: xy925340+-=.
Cõu hi tng t:
a) Vi

xy
E
22
():1
94
+=, M(1;1) S: xy:49130
D
+-=

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
82
+=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
M cú to nguyờn.

ã
Trc ht ta cú nhn xột: Nu im xyE(;)()ẻ thỡ cỏc im xyxyxy(;),(;),(;)---- cng
thuc (E). Do ú ta ch cn xột im MxyE
00
(;)()ẻ vi xyxyZ
0000
,0;,ẻ.
Ta cú:
xy
22
00
1
82

+=
ị
y
2
0
2Ê
ị
y
0
02ÊÊ
ị

yxloaùi
yx
00
00
022()
12
ộ
=ị=
ờ
=ị=
ờ
ở

ị
M(2;1) .
Vy cỏc im tho YCBT l: (2;1),(2;1),(2;1),(2;1)----.

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

xy
22
1
82
+=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).

ã
Gi s MxyE(;)()ẻ
ị

xy
22
1
82
+=. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:

xy
xy
22
2
()(82)10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ

ị
xy1010-Ê+Ê .

+ xy 10+Ê . Du "=" xy ra


xy
xy
82
10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=
ợ


M
41010
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
.
+ xy 10+- . Du "=" xy ra


xy
xy
82

10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=-
ợ


M
41010
;
55
ổử
--
ỗữ
ốứ


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25

Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
93
+= v im A(3;0) . Tỡm trờn
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.


ã
Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s BxyCxy
0000
(;),(;)- vi y
0
0> .
Ta cú:
xy
xy
22
22
00
00
139
93
+=+=. BCy
0
2= v BCxx
0
(): =
ị
dABCx
0
(,())3=-
Do AOxẻ , B v C i xng qua Ox nờn
D
ABC cõn tõ A
Suy ra:
D

ABC u

dABCBC
3
(,())
2
=

xy
00
33-=

yx
22
00
3(3)=-

ị

x
xx
x
22
0
00
0
0
(3)9
3
ộ

=
+-=
ờ
=
ở
.
+ Vi x
0
0=
ị
y
0
3=
ị
BC(0;3),(0;3)- . + Vi x
0
3=
ị
y
0
0= (loi).
Vy: BC(0;3),(0;3)- .

Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
94
+= v cỏc ng thng
dmxny

1
:0-=, dnx+my
2
:0= , vi mn
22
0+ạ. Gi M, N l cỏc giao im ca d
1
vi (E),
P, Q l cỏc giao im ca d
2
vi (E). Tỡm iu kin i vi mn, din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.

ã
PTTS ca dd
12
, l:
xnt
d
ymt
1
1
1
:
ỡ
=
ớ
=
ợ
,

xmt
d
ynt
2
2
2
:
ỡ
=-
ớ
=
ợ
.
+ M, N l cỏc giao im ca d
1
v (E)

ị

nmnm
MN
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
94949494
ổửổử
--
ỗữỗữ
ỗữỗữ

++++
ốứốứ

+ P, Q l cỏc giao im ca d
2
v (E)

ị

mnmn
PQ
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
49494949
ổửổử
--
ỗữỗữ
ỗữỗữ
++++
ốứốứ

+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.

MPNQ
SSMNPQOMOP
1

.2.
2
====
MMPP
mn
xyxy
mnmn
22
2222
2222
72()
2.
(94)(49)
+
++=
++

p dng BT Cụ-si:
mnmn
mnmnmn
2222
222222
(94)(49)13
(94)(49)()
22
+++
++Ê=+

ị


mn
S
mn
22
22
72()144
13
13
()
2
+
=
+
. Du "=" xy ra

mnmnmn
2222
9449+=+=
Vy: S
144
min
13
= khi mn= .

Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1
169
-=.