Hệ thức tổ hợp và tính tổng bằng nhị thức Newton
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.47 KB, 2 trang )
Bài 8. C/M hệ thức tổ hợp và tính tổng bằng sử dụng nhị thức Newton– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP BẰNG SỬ DỤNG
NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1: Tìm n nguyên dương thõa mãn:
1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2 (2 1) 3 2011
− − − +
+ + + + +
− + − − + + =
n n n n n n n
n n n n n
C C C nC n C
Giải:
Xét khai triển:
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .
+
+ + +
+ + + +
− = − + + −
n
n n n n n n
n n n n
x C C x C x C x
ðạo hàm 2 vế:
( )
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .
(2 1) 2 .2 2 .2 . 2 .2. (2 1) .
3 2 1 .2 2 .2 .3 2
+
+ + +
+ + + +
− − +
+ + + +
−
+ + +
− = − + + −
⇒ − + − = − + + + − +
= ⇒ + = − − −
n
n n n n n n
n n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n
n n n
x C C x C x C x
n x C C x nC x n C x
Cho x n C C nC
2 2 1 2 1 2
2 1
.2.3 (2 1) .3 2011
1005
− +
+
+ + =
⇒ =
n n n n
n
n C
n
Bài 2: Tính tổng:
0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1
1. 2. 3. ( 1).
+
+
= + + + +
n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
Với:
0 1 2
211
+ + =
n n n
C C C
Giải:
1 1
0
1 1
0 1 2
0 1 2 2
20
( 1) ( 1) ( 1)
ì :
( 1)!
!
(1 1) 2
( 1)
à : 211 1 211 420 0
2
20 2
=
+ +
+ + +
= = =
+
⇒ = + + + + = + =
−
= + + ⇔ + + = ⇔ + − =
⇔ = ⇒ =
∑
k k k
n
k
n n n
n
k
k k
n n n
n n n n
n n n
k C k C k C
S v C
k
A A
k
S C C C C
n n
M C C C n n n
n S
Bài 3: Chứng minh hệ thức:
2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
−
+ + + + − = −
n n
n n n n
C C C n n C n n
Giải:
0 1 2 2 1 1
ó : (1 ) . . . .
− −
+ = + + + + +
n n n n n
n n n n n
Ta c x C C x C x C x C x
ðạo hàm 2 vế ta có:
1 1 2 1 2 1
(1 ) 2 . ( 1) . .
− − − −
+ = + + + − +
n n n n n
n n n n
n x C C x n C x nC x
ðạo hàm lần nữa ta có:
2 2 3 1 3 2
( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)( 2) ( 1) .
− − − −
− + = + + + − − + −
n n n n n
n n n n
n n x C C x n n C x n n C x
Cho x=1 ta có:
2
( 1)2
−
= − = ⇒
n
VT n n VP dpcm
Bài 8. C/M hệ thức tổ hợp và tính tổng bằng sử dụng nhị thức Newton– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
Bài 4: Tính tổng:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2 3
2 3 = + + + +
n
n n n n
S C C C n C
Giải:
2
ó :(1 ) .(1 ) (1 )
+ + = +
n n n
Ta c x x x
ðạo hàm 2 vế ta có:
2
2 (1 ) '.(1 ) (1 ) '
+ + = +
n n n
x x x
1 2 1 2 1
0 1 2 2 1 1
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2 2 2
1
(1 ) ' 2 . ( 1) . . (1)
à : (1 ) . . . . (2)
(1 ) ' 2 . (2 1) . 2 .
(1) à (2) à:
− − −
− −
− − −
−
+ = + + + − +
+ = + + + + +
+ = + + + − +
⇒ ⇒
n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n
x C C x n C x nC x
M x C C x C x C x C x
x C C x n C x nC x
Qua v HS x l C
( ) ( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
1
2
2 2 2 2
1 2 3
2
2 3
à (3) : à:
2 3
−
+ + + +
⇒ = + + + + =
n
n n n n
n n
n
n n
n n n n n
C C n C
M qua HS x l nC
S C C C n C nC
Bài 5
: Tính t
ổ
ng:
2 2 2 2
1 2 3
2 3 4 1
= + + + +
+
n
n n n n
C C C C
S
n
Cách làm bài này t
ươ
ng t
ự
bài trên nh
ư
ng các b
ạ
n dung ph
ươ
ng pháp
ñạ
o hàm 2 v
ế
.
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
