1


Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tiếp theo lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi là giải tích Lipschitz.
Giải tích Lipschitz đã được hoàn chỉnh khoảng mười lăm năm gần đây, sau
những công trình nổi tiếng của F.H. Clarke, R.T. Rockafellar, J.B. Hiriart-
Urruty, I. Ekeland, G. Lebourg, Ta biết rằng trong không gian hữu hạn
chiều, một hàm Lipschitz là khả vi hầu khắp nơi, cho nên lớp hàm Lipschitz
rất gần với các lớp hàm khả vi thông thường. Tương ứng với các phép tính
của đạo hàm thông thường, ta có các phép tính cho Gradient suy rộng của
hàm vô hướng, jacobian suy rộng của hàm vectơ, nguyên lí biến phân
Ekeland và điều kiện cần cho bài toán quy hoạch toán học với các hàm
Lipschitz địa phương.
Gradient suy rộng là một khái niệm cơ bản của giải tích Lipschitz và
có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học như: chứng minh điều kiện
đủ cấp 2 cho cực trị địa phương người ta thường dùng Gradient suy rộng và
jacobian suy rộng Ckarke thay thế vai trò của Gradient và Hesian, Gradient
suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn, các nghiên cứu về định
lí hàm ẩn và hàm ngược F.H.Clarke đã chứng minh định lí hàm ẩn và hàm
ngược địa phương của ánh xạ Lipschitz Như vậy ta thấy rằng Gradient có
ứng dụng rất rộng rãi và đặc biệt nó cũng được vận dụng để chứng minh định
lí hàm ngược, hàm ẩn.Việc khai thác và làm rõ Gradient suy rộng của hàm
Lipschitz và ứng dụng của nó cho ta thấy được vai trò của Gradient suy rộng
trong giải tích hiện đại.
Là sinh viên ngành Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị lí thuyết
giải tích hàm, giải tích lồi và với mong muốn được học hỏi, trau dồi vốn kiến
thức về toán học cũng như cung cấp một tài liệu về giải tích Lipschitz nói
chung và về Gradient suy rộng nói riêng. Chính vì vậy em mạnh dạn nghiên
2

cứu đề tài: “Gradient suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất
thiết lipschitz” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Hệ thống tất cả các vấn đề liên quan đến Gradient
suy rộng của hàm Lipschitz và hàm không nhất thiết Lipschitz và ứng dụng
quan trọng trong việc chứng minh định lí hàm ẩn và hàm ngược.
Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp thêm tài liệu cho các bạn sinh viên nghành
sư phạm toán trong nghiên cứu giải tích Lipschitz nói chung và về Gradient
suy rộng nói riêng.
3. Mục tiêu khóa luận
Khóa luận nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Lipschitz, Gradient
suy rộng của hàm Lipschitz, hàm không nhất thiết Lipschitz. Thông qua khóa
luận cho ta áp dụng chứng minh các định lí hàm ngược, hàm ẩn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
•
Tìm hiểu khái quát về hàm Lipschitz địa phương, Gradient suy rộng, một
số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng, Gradien suy rộng của hàm
Lipschitz trong R
n

•
Nghiên cứu Gradient suy rộng, các phép tính của Gradient suy rộng của
các hàm không nhất thiết Lipschitz.
•
Nghiên cứu ứng dụng của Gradient suy rộng vào chứng minh các định lí
hàm ngược, hàm ẩn.
5. Phương pháp nghiên cứu
•

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có
liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hệ thống hóa các kiến
thức một cách đầy đủ và khoa học.
•
Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

•
Đối tượng: Hàm Lipschitz.
•
Phạm vi: Gradient suy rộng của hàm Lipschitz.
3


Chương 1. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz
1.1. Hàm Lipschitz địa phương
1.1.1. Hàm có biến phân giới nội và hàm tuyệt đối liên tục
Giả sử : ,
a b R R
ϕ
 
 
⊂ →
, trong đó
R
là không gian các số thực.
Định nghĩa 1.1. Biến phân của hàm
ϕ
trên
,

a b
 
 
là cận trên đúng của các số
( ) ( )
1
1
0
n
i i
i
x x
ϕ ϕ
−
+
=
−
∑
, lấy theo tất cả các cách chia
[
]
,
a b
bở
i các
đ
i
ể
m:


0 1
,
n
a x x x b
= < < < =

trong
đ
ó n là s
ố
t
ự
nhiên tùy ý.
Ký hi
ệ
u bi
ế
n phân c
ủ
a
ϕ
trên
,
a b
 
 
là
(
)
b

a
V
ϕ
.
Định nghĩa 1.2.
Hàm
ϕ

đượ
c g
ọ
i là có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i, n
ế
u
(
)
b
a
V
ϕ
< +∞
.

Nhận xét 1.1

a)

ϕ

đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m
ϕ
⇒
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Th
ậ
t v
ậ
y, khi
đ
ó:
(
)

(
)
(
)
b
a
V b a
ϕ ϕ ϕ
= −
.
b)

T
ổ
ng hay hi
ệ
u c
ủ
a các hàm
ϕ
,
ψ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i c
ũ

ng có bi
ế
n phân
gi
ớ
i n
ộ
i, b
ở
i vì
(
)
(
)
(
)
b b b
a a a
V V V
ϕ ψ ϕ ψ
± ≤ +
.
c)

T
ừ
a) và b) ta có hi
ệ
u hai hàm
đơ

n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Mệnh đề 1.1.
Hàm
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i khi và ch
ỉ
khi
ϕ
là hi
ệ
u c
ủ

a 2
hàm
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Chứng minh
)
⇒
Gi
ả
s
ử
hàm
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Ký hi
ệ
u:
(

)
(
)
:
x
a
V x V
ϕ
=
.
Đặ
t
( ) ( ) ( )
1
1
:
2
x V x x
ϕ ϕ
 
 
= +
( ) ( ) ( )
2
1
:
2
x V x x
ϕ ϕ
 

 
= − .
4


N
ế
u
' ''
a x x b
≤ < ≤
, thì v
ớ
i m
ỗ
i cách chia
đ
o
ạ
n
, '
a x
 
 
b
ở
i các
đ
i
ể

m
0 1
'
p
a x x x x
= < < < =
, ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
'' ' ''
p
i i
i
x x x x V x
ϕ ϕ ϕ ϕ
−
+
=
− + − ≤
∑
.
(
)
(
)
(
)

(
)
'' ' '' '
V x V x x x
ϕ ϕ
⇒
− ≥ −

⇒
1 2
,
ϕ ϕ
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Đươ
ng nhiên là
(
)
(
)
(
)
1 2
x x x

ϕ ϕ ϕ
= −
.
⇐
) Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử

1 2
ϕ ϕ ϕ
= −
, trong
đ
ó
1 2
,
ϕ ϕ

đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả

m. Khi
đ
ó, theo Nh
ậ
n xét 1.1.c ta có
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Mệnh đề 1.2.
N
ế
u
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i, thì
ϕ
có
đạ
o hàm h
ầ

u kh
ắ
p n
ơ
i.

Chứng minh
Theo m
ệ
nh
đề
1.1:
1 2
ϕ ϕ ϕ
= −
trong
đ
ó
1 2
,
ϕ ϕ

đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m. Ta

đ
ã bi
ế
t trong Lý thuy
ế
t
độ

đ
o và tích phân r
ằ
ng: M
ộ
t hàm s
ố

đơ
n
đ
i
ệ
u không
gi
ả
m thì có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ

p n
ơ
i. Do
đ
ó
ϕ
có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ
p n
ơ
i.

Định nghĩa 1.3.
Hàm : ,
a b R
ϕ
 
 
→

đượ
c g
ọ
i là tuy
ệ
t

đố
i liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
,
a b
 
 
, n
ế
u
0, 0
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho v
ớ
i m
ọ
i h
ệ
kho
ả
ng
(
)
(

)
1 1
, , , ,
k k
a b a b
r
ờ
i
nhau (trong
,
a b
 
 
):

( ) ( )
( )
1 1
k k
i i i i
i i
b a b a
δ ϕ ϕ ε
= =
− <
⇒
− <
∑ ∑
.


Nhận xét 1.2.
Hàm
ϕ
tuy
ệ
t
đố
i liên t
ụ
c
⇒
ϕ
liên t
ụ
c (trong
đị
nh ngh
ĩ
a 1.3 ta
l
ấ
y k=1).

Mệnh đề 1.3.
N
ế
u hàm
ϕ
tuy
ệ

t
đố
i liên t
ụ
c thì
ϕ
có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ
p n
ơ
i.

Chứng minh
ϕ
tuy
ệ
t
đố
i liên t
ụ
c
⇒
bi
ế
n phân c
ủ

a
ϕ
trong kho
ả
ng có
độ
dài
δ
s
ẽ

không v
ượ
t quá
ε
(
)
b
a
b a
V
ε
ϕ
δ
−
⇒ ≤ ⇒
có
đạ
o hàm h
ầ

u kh
ắ
p n
ơ
i.

5


1.1.2. Hàm Lipschitz
Gi
ả
s
ử
X là không gian Banach,
:
f X R
→

Định nghĩa 1.4
a)

Hàm
f

đượ
c g
ọ
i là Lipschitz
đị

a ph
ươ
ng t
ạ
i
x

X
∈
, hay Lipschitz
ở
g
ầ
n
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n
U
c
ủ
a
x
, s

ố

0
K
>
sao cho:
(
)
, '
x x U
∀ ∈

(
)
(
)
' '
f x f x K x x
− ≤ −
(1.1)
Hàm
f

đượ
c g
ọ
i là Lipschitz
đị
a ph
ươ

ng trên t
ậ
p
Y X
⊂
, n
ế
u
f

Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i m
ọ
i
x Y
∈
.
b)

Hàm
f

đượ
c g
ọ

i là Lipschitz v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
K
trên t
ậ
p
Y X
⊂
, n
ế
u
(1.1)
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
, '
x x Y
∈
.
Định lí 1.1.
Gi
ả

s
ử

f
là hàm Lipschitz trên t
ậ
p l
ồ
i
U X
⊂
. Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ọ
i
, '
x x U
∈
,
hàm s
ố

(
)
(
)
(

)
: '
t f x t x x
ϕ
= + −

(
)
0 1
t
≤ ≤
có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ
p
n
ơ
i.

Chứng minh
B
ở
i vì
f
là hàm Lipschitz trên t
ậ
p l

ồ
i
U X
⊂
, cho nên có t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
K
>
sao cho:
(
∀
, '
x x U
∈
)
(
)
(
)
' '
f x f x K x x
− ≤ −
. (1.2)
Ta có hàm

(
)
(
)
(
)
'
t f x t x x
ϕ
= + −

(
)
0 1
t
≤ ≤

là tuy
ệ
t
đố
i liên t
ụ
c. Th
ậ
t v
ậ
y, ta l
ấ
y các kho

ả
ng r
ờ
i nhau
(
)
(
)
1 1
, , , ,
k k
a b a b

trong
[
]
0,1
.
Khi
đ
ó, t
ừ
(1.2) ta có :
( )
( )
( )
1 1
'
k k
i i i i

i i
K
b a b a x x
ϕ ϕ
= =
≤
− − −
∑ ∑

V
ớ
i
0
ε
>
cho tr
ướ
c, ta ch
ọ
n
'
K x x
ε
δ
=
−
.
6



Khi
đ
ó
( )
1
k
i i
i
b a
ε
=
<
−
∑

⇒
( )
( )
1
k
i i
i
b a
ϕ ϕ ε
=
− <
∑
. Do
đ
ó,

(
)
t
ϕ
tuy
ệ
t
đố
i liên t
ụ
c.
⇒
ϕ
có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ
p n
ơ
i (m
ệ
nh
đề
1.3).
Hệ quả 1.1.1.
Gi
ả
s

ử

f
là hàm Lipschitz trên t
ậ
p l
ồ
i
U X
⊂
. Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ọ
i
, '
x x U
∈
:
( ) ( ) ( )
1
0
' '
f x f x t dt
ϕ
− =
∫
(1.3)

trong
đ
ó
(
)
(
)
(
)
: '
t f x t x x
ϕ
= + −
(
)
0 1
t
≤ ≤
.
Chứng minh
Theo
đị
nh lí 1.1,
(
)
t
ϕ
tuy
ệ
t trên liên t

ụ
c trên
[
]
0,1
. Ta
đ
ã bi
ế
t trong
Lý thuy
ế
t
độ

đ
o và tích phân: N
ế
u hàm
ϕ
tuy
ệ
t trên liên t
ụ
c thì
đạ
o hàm
'
ϕ


kh
ả
tích và
( ) ( ) ( )
1
0
0 '
t s ds
ϕ ϕ ϕ
= +
∫
.
L
ấ
y
1
t
=
ta nh
ậ
n
đượ
c (1.3).
1.1.3. Các ánh xạ khả vi là Lipschitz địa phương
1.1.3.1. Các đạo hàm cổ điển
Gi
ả
s
ử


F
là ánh x
ạ

X Y
→
, trong
đ
ó X và Y là các không gian Banach.
Kí hi
ệ
u
(
)
,
L X Y
là không gian các toán t
ử
tuy
ế
n tính liên t
ụ
c t
ừ

X
vào
Y
.


Định nghĩa 1.5. Đạ
o hàm c
ủ
a
F
theo ph
ươ
ng
v
t
ạ
i
x

đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:

( )
(
)
(
)
0
' ; : lim
t
F x tv F x

F x v
t
↓
+ −
=
,
n
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n này t
ồ
n t
ạ
i.
Định nghĩa 1.6.
Ánh x
ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Gâteaux t
ạ

i
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
A
∈
(
)
,
L X Y
sao cho v
ớ
i m
ỗ
i
v X
∈
,

(
)
(
)
(
)

0
F x tv F x t v t
+ = + Λ + . (1.4)
7


Khi
đ
ó, ta g
ọ
i
Λ
là
đạ
o hàm Gâteaux c
ủ
a
F
t
ạ
i
x
.
Nhận xét 1.3
N
ế
u ánh x
ạ

F

kh
ả
vi Gâteaux t
ạ
i
x
, thì:
(
)
(
)
0
F x tv F x
v
t
+ −
− Λ →
(1.5)
S
ự
h
ộ
i t
ụ
này là
đồ
ng
đề
u theo
v

trên các t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
Định nghĩa 1.7.
Ánh x
ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Hadamard t
ạ
i
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
Λ

∈
(
)
,
L X Y
sao cho v
ớ
i m
ỗ
i
v X
∈
(1.4)
đ
úng và (1.5) h
ộ
i t
ụ

đồ
ng
đề
u theo
v
trên các t
ậ
p compact.

Định nghĩa 1.8.
Ánh x

ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Fréchet t
ạ
i
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
Λ
∈
(
)
,
L X Y
sao cho
(
)
(

)
(
)
F x v F x v r v
+ = + Λ +
, trong
đ
ó
(
)
1
. 0
X
Y
r v v
−
→

khi
0
X
v
→
.
Nhận xét 1.4
a) Ánh xạ
F
khả vi Fréchet tại
x


⇔ ∃Λ∈
(
)
,
L X Y
sao cho (1.4) đúng và
(1.5) h
ội tụ đồng đều theo
v
trên các tập bị chặn.
b)
Nếu
n
X R
=
thì khái niệm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet là trùng
nhau.
Ví dụ 1.1
2
X R
=

( )
2
2
1, khi x=y , 0
,
0, khi x y
y
f x y


≠
=

≠


Khi đó,
f
khả vi Gâteaux tại
(
)
0,0
, nhưng không liên tục và không
kh
ả vi Fréchet tại
(
)
0,0
.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ
F
được gọi là Lipschitz địa phương tại
x
, nếu tồn
t
ại số
0
γ
>

và
0
K
>
sao cho:
(
)
(
)
' '' ' ''
X
Y
F x F x K x x
− ≤ − ( ', ''
x x x B
γ
∀ ∈ + ), (1.6)
8


trong
đó
B
là hình cầu đơn vị mở.
Nhận xét 1.5. Định nghĩa tính Lipschitz địa phương theo lân cận hay theo
hình c
ầu đơn vị mở (trong không gian Banach) là tương đương.
Mệnh đề 1.4.
Nếu ánh xạ
F

là Lipschitz địa phương tại
x
thì khái niệm khả
vi theo Hadamard và Gâteaux của
F
là trùng nhau.
Chứng minh
Do
F
là Lipschitz địa phương tại
x
, có tồn tại
0
γ
>
và
0
K
>
sao cho
(1.6)
đúng.
Hi
ển nhiên là
F
khả vi Hadamard thì
F
khả vi Gâteaux.
Gi
ả sử

F
khả vi Gâteaux tại
x
,
V
là tập compact trong
X
,
0
ε
>

cho trước. Với hình cầu đơn vị mở
B
có tồn tại phủ mở hữu hạn
{
}
: : , 1, ,
i i
V v B v V i n
α
+ ∈ =
, trong đó
( )
2 K
ε
α
=
+ Λ
,

Λ
có trong (1.4)
Ta có :
(
)
(
)

i i
v
δ
∀ ∃

(
)
(
)
0,
i
t
δ
∀ ∈ ,
(
)
(
)
2
i
i
F x tv F x

v
t
ε
+ −
− Λ <

(
)
1, ,
i n
=
(1.7)
L
ấ
y
1
min
i n i
ε δ
≤ ≤
=
;
v V
∈
. Khi
đ
ó
0
i
v v B

α
∈ +
(
{
}
0
1, ,
i n
∈
). Ta có th
ể
ch
ọ
n
ε

đủ
nh
ỏ

để

F
là Lipschitz trên t
ậ
p
(
)
0
i

x v B
δ α
+ + .
Do
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i
(
)
0,
t
δ
∈
,
(
)
(
)
( )
( )
0
0
2
i
i
F x tv F x tv
v v K

t
ε
α
+ − +
− Λ − ≤ + Λ =
(1.8)
T
ừ
(1.7) và (1.8) suy ra :
v V
∈
,
(
)
0,
t
δ
∈
,
(
)
(
)
F x tv F x
v
t
ε
+ −
− Λ <
.

9


Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ

(
)
(
)
0
F x tv F x
v
t
+ −
− Λ →

đồ
ng
đề
u theo
v
trên các

t
ậ
p compact.
Do
đ
ó
F
kh
ả
vi Hadamard t
ạ
i
x
.
1.1.3.2. Tính khả vi chặt
Định nghĩa 1.10.
Ánh x
ạ

F

đượ
c g
ọ
i là có
đạ
o hàm ch
ặ
t Hadamard t
ạ

i
x
:
(
)
(
)
,
s
D F x L X Y
∈
, n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
v
gi
ớ
i h
ạ
n sau
đ
ây t
ồ
n t
ạ
i :

(
)
(
)
( )
, 0
lim
s
x x t
F x tv F x
D F x v
t
→ ↓
+ −
=
,
trong
đ
ó s
ự
h
ộ
i t
ụ
là
đồ
ng
đề
u theo
v

trên các t
ậ
p compact.
Định lí 1.2.
Gi
ả
s
ử

F
là ánh x
ạ
t
ừ
m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
vào
Y
. Khi
đ
ó các
kh
ẳ
ng

đị
nh sau là t
ươ
ng :
a)
F
kh
ả
vi ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
và
(
)
s
D F x
ς
=
;
b)
F
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ

i
x
và v
ớ
i
v X
∀ ∈
,
(
)
(
)
, 0
lim
x x t
F x tv F x
v
t
ς
→ ↓
+ −
=
. (*)
Chứng minh
a) Gi
ả
s
ử
a)
đ

úng ta có ngay (*). Ta ch
ỉ
còn ph
ả
i ki
ể
m tra
F
Lipschitz
đị
a
ph
ươ
ng t
ạ
i
x
.
Ph
ả
n ch
ứ
ng:
F
không Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ

i
x
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i các dãy
{
}
i
x
và
{
}
'
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
sao cho
x
sao cho

'
1
,
i i
x x x B
i
∈ +
và
(
)
(
)
' '
i i i i
X
Y
F x F x i x x
− > −

Ta xác
đị
nh
,
i i
t v
th
ỏ
a mãn:
' 1/2
,

i i i i i
x x t v v i
−
= + =
.
Khi
đ
ó
0
i
t
→
. Gi
ả
s
ử

{
}
{
}
1
0
i
i
V v
∞
=
= ∪ . Ta có
V

compact.
10


Theo
đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a
(
)
s
D F x
:
0, n : i n , ,
v V
ε ε
ε
∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈

( )
( ) ( )
i i i
s i
Y
F x t v F x
D F x v
t

ε
+ −
− <
.
Nh
ư
ng
đ
i
ề
u
đ
ó không th
ể
x
ả
y ra b
ở
i vì
i
v v
=
, theo (*) ta có:
( )
1/2 1/2
( ) ( )
. .
i i i i
i i i i i i i
i i i i

F x t v F x i i i
x t v x t v t i i
t t t t
−
+ −
≥ + − = = =
.
b) Gi
ả
s
ử
b)
đ
úng. L
ấ
y t
ậ
p compact
V
trong
X
; s
ố

0
ε
>
. Do
F
là Lipschitz

đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
, có t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
γ
>
và s
ố

0
K
>
sao cho:
(
)
(
)
' '' ' ''
X

Y
F x F x K x x
− ≤ −
(
', ''
x x x B
γ
∀ ∈ +
).
V
ớ
i hình c
ầ
u
đơ
n v
ị
m
ở

B
, có t
ồ
n t
ạ
i ph
ủ
m
ở
h

ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
{
}
: : , 1, ,
i i
V v B v V i n
α
+ ∈ =

trong
đ
ó
2( )
K
ε
α
ς
=
+
.
T
ừ

đ
ó,

(
)
(
)
(
)
0 : , t 0, ,
i i i i i
v x x B
δ δ δ
∀ ∃ > ∀ ∈ + ∀ ∈

( )
( ) ( )
1, ,
2
i i
i
Y
F x t v F x
v i n
t
ε
ς
+ −
− < =
L
ấ
y
1

min , V
i n i
v
δ δ
≤ ≤
= ∈
.
Khi
đ
ó
{
}
0
0
( 1, , )
i
v v B i n
α
∈ + ∈
.
Do
đ
ó, v
ớ
i
x x B
δ
∈ +
,
(0, )

t
δ
∈
,
( )
( )
0
0
( ) ( )

2
i
i
Y
F x tv F x tv
v v K
t
ε
ς ς α
+ − +
− − ≤ + =
(
)
, t 0, , ,
i
x x B v V
δ δ
⇒ ∀ ∈ + ∀ ∈ ∀ ∈

( ) ( )

.
Y
F x tv F x
v
t
ς ε
+ −
− <


Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ

( ) ( )
0
F x tv F x
v
t
ς
+ −
− →

đồ

ng
đề
u theo
v
trên các
t
ậ
p compact. Vì v
ậ
y
ς
là
đạ
o hàm ch
ặ
t Hadamard c
ủ
a
F
.
11


Định nghĩa 1.11
. Ánh x
ạ

F

đượ

c g
ọ
i là kh
ả
vi liên t
ụ
c theo Gâteaux t
ạ
i
x
,
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
đạ
o hàm Gâteaux
DF
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
và

(
)
(
)
. : ,
DF X L X Y
→

liên t
ụ
c t
ạ
i
x
(theo tôpô chu
ẩ
n toán t
ử
).
Hệ quả 1.2.1.
Gi
ả
s
ử
ánh x
ạ

F
kh
ả

vi liên t
ụ
c theo Gâteaux t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó,
F
kh
ả
vi ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
, và do
đ
ó
F
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x

.
Định lí 1.3
. Gi
ả
s
ử

:
f X R
→
kh
ả
vi Fréchet và có
đạ
o hàm b
ị
ch
ặ
n trong t
ậ
p
l
ồ
i
U
, t
ứ
c là
(
)

(
)
'
f x x U
α
≤ ∀ ∈ .
Khi
đ
ó,
f
là hàm Lipschitz trên
U
.
1.1.3.3. Hàm lồi Lipschitz
Gi
ả
s
ử

U
là t
ậ
p l
ồ
i m
ở
trong không gian Banach
X
.
Nh

ắ
c l
ạ
i: Hàm
:
f U R
→

đượ
c g
ọ
i là l
ồ
i trên
U
, n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
, '
u u U
∈
,
[
]
0,1
λ

∈
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ' 1 '
f u u f u f u
λ λ λ λ
+ − ≤ + − .
Định lí 1.4.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm l
ồ
i trên t
ậ
p m
ở


U
; b
ị
ch
ặ
n trên trong m
ộ
t lân
c
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t
đ
i
ể
m nào
đ
ó thu
ộ
c
U
. Khi
đ
ó,
f
là hàm Lipschitz
đị

a ph
ươ
ng
trên
U
.
Chứng minh
L
ấ
y
x U
∈
, ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
f

f
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
. Tr
ướ

c
h
ế
t ta ch
ỉ
ra
f
b
ị
ch
ặ
n trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
. Không m
ấ
t tính ch
ấ
t t
ổ
ng
quát, có th
ể
gi
ả

s
ử

f
b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i s
ố

M
trên t
ậ
p
B U
⊂
.
Ch
ọ
n
1
ρ
>

để
sao cho:
y x U

ρ
= ∈
. N
ế
u
1
λ
ρ
=
thì t
ậ
p h
ợ
p:
(
)
{
}
: : 1 ' , x' B
V v v x y
λ λ
= = − + ∈

Là m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a

đ
i
ể
m
x y
λ
=
v
ớ
i bán kính
(
)
1
λ
−
.
V
ớ
i m
ọ
i
v V
∈
, ta có:
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
1 ' ;
f v f x f y M f y
λ λ λ
≤ − + ≤ +

Nh
ư
v
ậ
y
f
b
ị
ch
ặ
n trên trong m
ộ
t lân c
ậ
n
V
c
ủ
a
x
.

12


L
ấ
y
(
)
(
)
1
z V x B
λ
∈ = + − , t
ồ
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
'
z V
∈
sao cho:
( )
1
'
2

x z z
= + . Khi
đ
ó,
( ) ( ) ( )
1 1
'
2 2
f x f z f z
≤ +
.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 '
f z f x f z M f y
λ
⇒
≥ − − −

f
⇒
b
ị
ch

ặ
n d
ướ
i trên
V
, nên
f
b
ị
ch
ặ
n trên
V
.
Gi
ả
s
ử

N
là
đ
ánh giá trên c
ủ
a
f
trên t
ậ
p
2

x B
δ
+

(
)
0
δ
>
. L
ấ
y
1 2 1 2
, ,
x x x B x x
δ
∈ + ≠
.
Đặ
t
( )
( )
3 2 2 1 2 1
,
x x x x x x
δ
α
α
= + − = −
. Ta có

3
2
x x B
δ
∈ +
, b
ở
i vì
2
x x B
δ
∈ +
,
(
)
2 1
2 1
x x
B
x x
δ
δ
−
∈
−
suy ra:
2 1 3
x x x
δ δ
α δ α δ

= +
+ +

( ) ( )
( )
2 1 3
f x f x f x
δ δ
α δ α δ
⇒
= +
+ +

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 1 3 1 3 1
.
f x f x f x f x f x f x
δ α
α δ δ
   
⇒ − ≤ − ≤ −
   
+

B
ở

i vì
f N
≤
,
2 1
x x
α
= −
, cho nên:
( ) ( )
2 1 2 1
2N
f x f x x x
δ
− ≤ −
.
Thay
đổ
i vai trò c
ủ
a
1 2
,
x x
cho nhau ta có:
( ) ( )
1 2 1 2
2
.
N

f x f x x x
δ
− ≤ −
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 2
2
,
N
f x f x x x x x x B
δ
δ
⇒ − ≤ − ∀ ∈ + .
Hệ quả 1.3.1.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm l
ồ
i và
f N
≤
trên t
ậ
p l
ồ
i m
ở


U
ch
ứ
a
δ
−
lân
c
ậ
n c
ủ
a t
ậ
p
V
. Khi
đ
ó
f
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n Lipschitz trên
V

, v
ớ
i h
ằ
ng s
ố

Lipschitz
2
N
δ
.
13


1.2. Đạo hàm suy rộng theo phương
1.2.1. Định nghĩa
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i

x X
∈
.
Định nghĩa 1.12. Đạ
o hàm suy r
ộ
ng c
ủ
a hàm
f
theo ph
ươ
ng
(
)
v X
∈
t
ạ
i
x
,
kí hi
ệ
u là
(
)
;
o
f x v

,
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:
( )
(
)
(
)
; 0
; limsup
o
x x t
f x tv f x
f x v
t
→ ↓
+ −
=

trong
đ
ó
0,
t x X
> ∈
.

Đ
ây là khái ni
ệ
m
đạ
o hàm suy r
ộ
ng theo ph
ươ
ng c
ủ
a F.H.Clarke.
1.2.2. Tính chất
Định lí 1.5.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố

Lipschitz
K

t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó:

(i)

Hàm
(
)
;
o
v f x v
→ h
ữ
u h
ạ
n, thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng, d

ướ
i c
ộ
ng tính trên
X
và
(
)
;
o
f x v K v
≤
;
(ii)
(
)
;
o
f x v
n
ử
a liên t
ụ
c trên theo
(
)
;
x v
;
(

)
;.
o
f x
Lipschitz (theo
v
) v
ớ
i h
ằ
ng
s
ố

K
trên
X
;
(iii)
(
)
(
)
(
)
; ;
o
o
f x v f x v
− = − .

Chứng minh
(i)

Do
f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
K
t
ạ
i
x
, cho
nên t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n
U

c
ủ
a
x
sao cho v
ớ
i m
ọ
i
,
y z U
∈
:
(
)
(
)
f y f z K y z
− ≤ −

Do
đ
ó ta có :
( )
; 0
; limsup ,
o
y x t
K tv
f x v K v

t
→ ↓
≤ =

14


b
ở
i vì v
ớ
i
t

đủ
nh
ỏ
,
y U
∈
thì
y tv U
+ ∈
. T
ừ

đ
ó suy ra tính ch
ấ
t h

ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
hàm
(
)
;.
o
f x
.
V
ớ
i
0
λ
>
, ta có:
( )
(
)
( )
( )
; 0
; 0
; limsup
limsup ; ,
o

y x t
o
y x t
f y t v f y
f x v
t
f y t v f y
f x v
t
λ
λ
λ
λ λ
λ
→ ↓
→ ↓
+ −
≤
+ −
= =

⇒
hàm
(
)
;.
o
f x
thu
ầ

n nh
ấ
t d
ươ
ng. Bây gi
ờ
ki
ể
m tra tính d
ướ
i c
ộ
ng tính:
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
; 0
; 0 ; 0
; limsup
limsup limsup
; ; ,
o
y x t
y x t y x t
o o
f y tv t f y

f x v
t
f y tv t f y tv f y tv f y
t t
f x f x v
ω
ω
ω
ω
→ ↓
→ ↓ → ↓
+ + −
+ =
+ + − + + −
≤ +
= +

b
ở
i vì
y tv x
+ →
khi
y x
→
và
0
t
↓
.

(ii) L
ấ
y các dãy
{
}
i
x
và
{
}
i
v
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
và
v
t
ươ
ng
ứ
ng. Theo
đị
nh ngh
ĩ

a
limsup, v
ớ
i
i
∀
,
i
y X
∃ ∈
,
0
i
t
∃ >
sao cho:
1
i i i
y x t
i
− + <
,
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1
,

o i i i i
i i
i
i i i i i i i i
i i
f y t v f y
f x v
i t
f y t v f y f y t v f y t v
t t
+ −
− ≤
+ − + − +
= +

Để
ý r
ằ
ng
(
)
(
)
i i i i i
i
i
f y t v f y t v
K v v
t
+ − +

≤ −
v
ớ
i
i

đủ
l
ớ
n.
Khi
đ
ó ta có:
(
)
(
)
limsup ; ;
o o
i i
i
f x v f x v
→∞
≤
.
Do
đ
ó
(
)

.;.
o
f n
ử
a liên t
ụ
c trên.
Ta ch
ứ
ng minh
(
)
;.
o
f x
Lipschitz trên
X
.
15


V
ớ
i
,
u X
ω
∈
, ta có:
(

)
(
)
(
)
(
)
f y tv f y f y t f y K v t
ω ω
+ − ≤ + − + −
,
(v
ớ
i
y
g
ầ
n
x
,
t
d
ươ
ng g
ầ
n 0)
(
)
(
)

(
)
(
)
( ) ( )
, ,
o o
f y tv f y f y t f y
K v
t t
f x v f x K v
ω
ω
ω ω
+ − + −
⇒ ≤ + −
⇒ ≤ + −

Đổ
i vai trò c
ủ
a
v
và
ω
ta nh
ậ
n
đượ
c

(
)
(
)
, ,
o o
f x f x v K v
ω ω
≤ + −

Suy ra
(
)
(
)
, ,
o o
f x v f x K v
ω ω
− ≤ −
.
Nh
ư
v
ậ
y là
(
)
;.
o

f x
Lipschitz v
ớ
i h
ằ
ng s
ố

K
trên
X
.
(iii) Ch
ứ
ng minh
(
)
(
)
(
)
; ;
o
o
f x v f x v
− = − .
( )
(
)
(

)
( )( ) ( )( )
( ) ( )
' ; 0
; 0
'
; limsup
limsup ;
o
x x t
o
u x t
f x tv f x
f x v
t
f u tv f u
f x v
t
→ ↓
→ ↓
− −
− =
− + − −
= = −

(
đặ
t
'
u x tv

= −
).
1.3. Gradient suy rộng
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng trên không gian Banach
X

(
:
f X R
→
);
*
X
là không gian
đố
i ng
ẫ
u c
ủ
a

X
(
*
X
g
ồ
m các phi
ế
m hàm
tuy
ế
n tính liên t
ụ
c trên
X
).
Định nghĩa 1.13.
Gradient suy r
ộ
ng c
ủ
a hàm
f
t
ạ
i
x
, ký hi
ệ
u

(
)
f x
∂ , là t
ậ
p
h
ợ
p sau
đ
ây trong

*
X
:
(
)
(
)
{
}
: *: , , ,
o
f x X f x u u u X
ξ ξ
∂ = ∈ ≥< > ∀ ∈

Đ
ây là khái ni
ệ

m Gradient suy r
ộ
ng c
ủ
a F.H, Clarke.
16


Nhận xét 1.6.
(
)
(
)
,0
o
C
f x f x
∂ = ∂ trong
đ
ó
(
)
,0
o
C
f x
∂ là d
ướ
i vi phân c
ủ

a
hàm l
ồ
i
(
)
,.
o
f x
t
ạ
i 0.

Th
ậ
t v
ậ
y, theo
đị
nh lí 1.5.(i),
(
)
,.
o
f x
d
ướ
i c
ộ
ng tính và thu

ầ
n nh
ấ
t
d
ươ
ng nên
(
)
,.
o
f x
l
ồ
i.
⇒
d
ướ
i vi phân c
ủ
a hàm l
ồ
i
(
)
,.
o
f x
t
ạ

i 0 có d
ạ
ng:
(
)
,0
o
C
f x
∂
(
)
(
)
{
}
*: , ,0 , ,
o o
X f x u f x u u X
ξ ξ
= ∈ − ≥< > ∀ ∈


(
)
{
}
*: , , ,
o
X f x u u u X

ξ ξ
= ∈ ≥< > ∀ ∈
=
(
)
f x
∂
Bây gi
ờ
ta l
ấ
y
*
X
ξ
∈
. Khi
đ
ó chu
ẩ
n c
ủ
a
ξ

đượ
c xác
đị
nh b
ở

i công
th
ứ
c:
*
; 1
sup
: ,
v X v
v
ξ ξ
∈ ≤
= < >
.
Kí hi
ệ
u
*
B
là hình c
ầ
u
đơ
n v
ị
m
ở
trong
*
X

.
Định lí 1.6.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
K

t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó,

a)


(
)
f x
∂ ≠ ∅
, l
ồ
i, compact *-y
ế
u trong
*
X
và
*
K
ξ
≤

(
)
(
)
f x
ξ
∀ ∈∂ ;
b)

V
ớ
i m

ọ
i
v X
∈
, ta có:
(
)
(
)
{
}
, max , :
o
f x v v f x
ξ ξ
= < > ∈∂
.
Chứng minh
a) Theo
đị
nh lí 1.5,
(
)
,.
o
f x
d
ướ
i c
ộ

ng tính và thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng trên
X
.
Theo
đị
nh lí Hahn-Banach t
ồ
n t
ạ
i hàm tuy
ế
n tính
:
X R
ς
→
sao cho:
(
)
, ,
o
f x u v
ς
≥< >


(
)
v X
∈

(
)
f x
ξ
⇒
∈∂
(
)
f x
⇒
∂ ≠ ∅
.
17


Ta ch
ứ
ng minh
(
)
f x
∂ l
ồ
i: L

ấ
y
(
)
1 2
,
f x
ξ ξ
∈∂ ,
0 1
α
≤ ≤
, khi
đ
ó :

(
)
, ,
o
i
f x u u
ξ
≥< >

(
)
; 1,2
u X i
∀ ∈ =


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
, , 1 , , 1 ,
o o o
f x u f x u f x u u u
α α α ξ α ξ
⇒
= + − ≥ < > + − < >

(
)
1 2
1
αξ α ξ
=< > + < − >

(
)
(
)

1 2
1
f x
αξ α ξ
⇒
+ − ∈∂

⇒

(
)
f x
∂
l
ồ
i.
Bây gi
ờ
ta ch
ứ
ng minh
(
)
f x
∂ compact *-y
ế
u: v
ớ
i
(

)
f x
ξ
∈∂ ,
*
K
ξ
≤

(
)
(
)
*
0,
f x B K
⇒
∂ ⊂
, trong
đ
ó
(
)
*
0,
B K
là hình c
ầ
u
đ

óng tâm t
ạ
i 0 v
ớ
i bán
kính
K
. Mà
(
)
*
0,
B K
comp
ă
c *-y
ế
u trong
*
X
(
đị
nh lí Alaoglu),
(
)
f x
∂ là

đ
óng *-y

ế
u nên
(
)
f x
∂
compact *-y
ế
u.
b) Theo
đị
nh ngh
ĩ
a 1.13
(
)
{
}
(
)
max , : ;
o
v f x f x v
ξ ξ
< > ∈∂ ≤
có t
ồ
n t
ạ
i

Gi
ả
s
ử
có t
ồ
n t
ạ
i
0
v
sao cho
(
)
{
}
(
)
0 0
max , : ;
o
v f x f x v
ξ ξ
< > ∈∂ ≤
.
Theo
đị
nh lí Hahn-Banach t
ồ
n t

ạ
i phi
ế
m hàm tuy
ế
n tính
:
X R
ς
→

th
ỏ
a mãn
(
)
, ,
o
f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∈
và
(
)
0 0

; ,
o
f x v v
ς
=< >
.
(
)
f x
ς
⇒
∈∂
(
)
(
)
0 0 0
; , ;
o o
f x v v f x v
ς
⇒
>< >= . Vô lí.
Ví dụ 1.2
Xét tr
ườ
ng h
ợ
p
X R

=
,
(
)
f x x
=
. Khi
đ
ó
f
là hàm Lipschitz trên
R

v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
1
K
=
.
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ

i
1 2
,
x x R
∈
, ta có:
1 1 2 2
x x x x
≤ − +
,
2 2 1 1
x x x x
≤ − +
.
1 2 1 2
x x x x
⇒ − ≤ −

18


Bây gi
ờ
, ta l
ấ
y
0
x
>
. Khi

đ
ó
( )
, 0
; lim
o
y x t
y tv y
f x v v
t
→ ↓
+ −
= =

(
)
{
}
{
}
: , 1
f x R v v v R
ξ ς
⇒
∂ = ∈ ≥ ∀ ∈ =
.
Th
ậ
t v
ậ

y, v
ớ
i
0
v
≥
:
0
v v
ς
− ≥
suy ra
1 0
ς
− ≥

⇒

1
ς
≤
. T
ươ
ng t
ự

0
v
≤
ta có

1
ς
≥
. Do
đ
ó
1
ς
=
.
M
ộ
t cách t
ươ
ng t
ự
, n
ế
u
0
x
<
, thì
(
)
(
)
1
f x
∂ = −


Xét tr
ườ
ng h
ợ
p
0
x
=
:
( )
, 0
0;
, 0
o
v khi v
f v
v khi v
≥

=

− <


(
)
0;
o
f v v

⇒
=

(
)
(
)
0 : ,
f R v v v R
ς ς
⇒
∂ = ∈ ≥ ∀ ∈
(
)
[
]
0 1,1
f
⇒
∂ = −

1.4. Hàm tựa
Định nghĩa 1.14.
Cho t
ậ
p
C
≠ ∅

(

)
C X
⊂
. Hàm t
ự
a c
ủ
a
C

đượ
c xác
đị
nh
nh
ư
sau:

(
)
sup ,
C
x c
x
σ ς ς
∈
= < >
.

N

ế
u
*
E X
⊂
thì hàm t
ự
a xác
đị
nh trên
**
X
. N
ế
u xem X nh
ư
là m
ộ
t không
gian con c
ủ
a
**
X
, thì
(
)
sup ,
E
E

x x
ς
σ ς
∈
= < >
(
x X
∈
).
Đị
nh lí 1.6.b) ch
ỉ
ra r
ằ
ng: t
ậ
p
(
)
f x
∂

đượ
c
đặ
c tr
ư
ng b
ở
i hàm

(
)
,.
o
f x
. Ta có
t
ổ
ng quát h
ơ
n: Các t
ậ
p l
ồ
i
đ
óng
đượ
c
đặ
c tr
ư
ng b
ở
i các hàm t
ự
a c
ủ
a chúng.
Mệnh đề 1.2

Gi
ả
s
ử

,
C D
≠ ∅

(
)
X
⊂
,
đ
óng,
,
E F
≠ ∅

(
)
*
X
⊂
l
ồ
i
đ
óng *-y

ế
u.
Khi
đ
ó
a)

(
)
(
)
C D
C D
σ ς σ ς
⊂ ⇔ ≤

(
)
*
X
ς
∀ ∈ ;
b)

(
)
(
)
E F
E F x x

σ σ
⊂ ⇔ ≤

(
)
x X
∀ ∈
;
c)

E
compact *-y
ế
u
(
)
.
E
σ
⇔
là hàm h
ữ
u h
ạ
n trên X;
19


d) Hàm
{

}
: X R
σ
→ ∪ +∞
thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng, d
ướ
i c
ộ
ng tính, n
ử
a liên t
ụ
c
d
ướ
i (m
ạ
nh hay y
ế
u) và
(
)
.
σ

≠ +∞
t
ươ
ng
đươ
ng t
ồ
n t
ạ
i t
ậ
p
(
)
*
E X
⊂ ≤ ∅
l
ồ
i,
đ
óng *-y
ế
u sao cho
(
)
(
)
. .
E

σ σ
=
. T
ậ
p
E

đượ
c xác
đị
nh duy nh
ấ
t.
Cho ánh x
ạ

đ
a tr
ị

: 2
Y
X
Γ →
.
Đồ
th
ị
c
ủ

a
Γ
là t
ậ
p h
ợ
p :
(
)
(
)
{
}
: , : ,
Gr x y x X y x
Γ = ∈ ∈Γ
Định nghĩa 1.15.
Ánh x
ạ

đ
a tr
ị

Γ

đượ
c g
ọ
i là

đ
óng, n
ế
u
Gr
Γ

đ
óng trong
X Y
×
.

Định nghĩa 1.16.
Ánh x
ạ

đ
a tr
ị

Γ

đượ
c g
ọ
i là n
ử
a liên t
ụ

c trên t
ạ
i
x
, n
ế
u v
ớ
i
0, 0
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho:
(
)
x x Bx
δ
∀ ∈ +
(
)
(
)
Y
x x B
ε
Γ ⊂ Γ + .

Định lí 1.7
Gi
ả

s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
.
Ta có các kh
ẳ
ng
đị
nh sau
đ
ây:
(i)

(
)
(
)
; ,
o
f x f x v v
ς ς

∈∂ ⇔ ≥< >

(
)
v X
∀ ∈
.
(ii)

Gi
ả
s
ử
các dãy
{
}
i
x X
⊂
,
{
}
*
i
X
ς
⊂ th
ỏ
a mãn
(

)
i i
f x
ς
∈∂
;
{
}
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
,
ς
là
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ

a
{
}
i
ς
theo tôpô *-y
ế
u. Khi
đ
ó
(
)
f x
ς
∈∂
(t
ứ
c là ánh
x
ạ

đ
a tr
ị

(
)
f x
∂


đ
óng *-y
ế
u ).
(iii)

(
)
(
)
0
y x
f x f y
δ
δ
>
∈ +
∂ = ∩ ∪ ∂
.
(iv)

N
ế
u X h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u, thì

f
∂
là n
ử
a liên t
ụ
c trên t
ạ
i
x
.
Chứng minh
(i)

Gi
ả
s
ử

(
)
f x
ς
∈∂ . Khi
đ
ó theo
đị
nh ngh
ĩ
a 1.13:

*
X
ς
∈ và
(
)
; ,
o
f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∀ ∈

Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử

(
)
; ,
o

f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∀ ∈
.
20


T
ừ

đị
nh lí 1.5.i),
(
)
;
o
f x v K v
≤

(
)
v X
∀ ∈
, trong
đ

ó
K
là h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
. Suy ra
(
)
, ;
o
v f x v K v
ς
< >≤ ≤

(
)
v X
∀ ∈

⇒

ς
tuy
ế
n tính b
ị
ch
ặ
n
⇒
ς
liên t
ụ
c (t
ứ
c là
*
X
ς
∈
)
⇒
ς
(
)
f x
∈∂ .
(ii)
{
}
i

ς ς
→
(theo tôpô *-y
ế
u) nên v
ớ
i m
ỗ
i
(
)
v X
∀ ∈
thì
, ,
i
v v
ς ς
< >→< >
.
Do
(
)
i i
f x
ς
∈∂
, cho nên
(
)

; ,
o
i i
f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∀ ∈
.
Theo
đị
nh lí 1.5.(ii),
(
)
.;.
o
f là n
ử
a liên t
ụ
c trên.
Do
đ
ó
ε
∀
,

0
i
∃
sao cho:
0
i i
∀ ≥
;
(
)
(
)
; ; ,
o o
i i
f x v f x v v
ε ς
+ ≥ ≥< >

(
)
v X
∀ ∈
.
⇒
(
)
; ,
o
f x v v

ς
≥< >

(
)
v X
∀ ∈

⇒
(
)
f x
ς
∈∂ (theo (i)).
(iii) Là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a (ii).
(iv) Ph
ả
n ch
ứ
ng : Gi
ả
s
ử


f
∂
không n
ử
liên t
ụ
c trên t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i dãy
{
}
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
, dãy

{
}
i
ς
h
ộ
i t
ụ

đế
n
ς
sao cho
(
)
i i
f x
ς
∈∂
, nh
ư
ng
(
)
f x
ς
∉∂ .

Đ
i

ề
u này mâu thu
ẫ
n v
ớ
i (iii).
1.5. Một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng.
1.5.1. Gradient
Mệnh đề 1.6 .
Gi
ả
s
ử

:
f X R
→
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
, có
đạ
o hàm
(
)

Df x
theo ngh
ĩ
a Gâteaux (ho
ặ
c
đạ
o hàm ch
ặ
t Hadamard, ho
ặ
c Fréchet). Khi
đ
ó:
(
)
(
)
Df x f x
∈∂ .

21


Chứng minh
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a,

(
)
' ,
f x v
t
ồ
n t
ạ
i
đố
i v
ớ
i m
ỗ
i
v
, và
(
)
(
)
' , ,
f x v Df x v
=< >
.
T
ừ

đị
nh ngh

ĩ
a
đạ
o hàm suy r
ộ
ng 1.12 ta có
(
)
(
)
' , ,
o
f x v f x v
≤

⇒

(
)
(
)
, ,
o
f x v Df x v
≥< >

⇒

(
)

(
)
Df x f x
∈∂ .
Định lí 1.8
a)

Gi
ả
s
ử

:
f X R
→
kh
ả
vi ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó
f
Lipschitz
đị
a

ph
ươ
ng t
ạ
i
x
và
(
)
(
)
{
}
S
f x D f x
∂ =
.
b)

Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u
f
Lipschitz
đị
a ph

ươ
ng t
ạ
i
x
và
(
)
(
)
f x
ς
∂ = , thì
f
kh
ả
vi
ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
và
(
)
S
D f x
ς
=

.
Chứng minh
a)

Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i
(
)
S
D f x
. Khi
đ
ó,
f
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
. T

ừ

đị
nh
ngh
ĩ
a
o
f
suy ra:
(
)
(
)
; ,
o
S
f x v D f x v
=< >
(
v
∀
).
Theo
đị
nh lí 1.7.(i):
(
)
(
)

{
}
S
f x D f x
∂ = .
b)

Tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ứ
ng minh :
(
)
; ,
o
f x v v
ς
=< >
.
Theo
đị
nh lí 1.7.(i) ta có
(
)
; ,
o
f x v v

ς
≥< >
.Theo
đị
nh lí Hahn-Banach, có t
ồ
n
t
ạ
i
' *
X
ς
∈
sao cho:
(
)
',. ;.
o
f x
ς
< >≤ ,
(
)
', ;
o
v f x v
ς
< >= .
22



Vì v
ậ
y,
(
)
'
f x
ς
∈∂ và ta có:
(
)
; ', ,
o
f x v v v
ς ς
=< >≥< >
.
N
ế
u
(
)
, ;
o
v f x v
ς
< ><
thì

ς
và
'
ς
là các ph
ầ
n t
ử
khác nhau c
ủ
a
(
)
f x
∂
.
Đ
i
ề
u
đ
ó mâu thu
ẫ
n v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t.

V
ậ
y
(
)
; ,
o
f x v v
ς
=< >
(
v
∀
).
Khi
đ
ó :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
; 0

; 0
; 0
; 0
limsup
liminf
; , ,
limsup
;
limsup
x x t
x x t
o
x x t
o
x x t
f x tv f x f x f x tv
t t
f x tv tv f x tv
f x v v v
t
f x tv f x
f x v
t
ς ς
→ ↓
→ ↓
→ ↓
→ ↓
+ − − +
= −

+ − − +
= − = − − = − < − >=< >
+ −
= =

Ch
ứ
ng t
ỏ
t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
(
)
0
lim
sup
x x
t
f x tv f x
v
t

ς
→
↓
+ −
=
. Vì v
ậ
y
f
kh
ả
vi ch
ặ
t
t
ạ
i
x
và
(
)
S
D f x
ς
=
.
Hệ quả 1.8.1.
Gi
ả
s

ử

f
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
,
dim
X
< +∞
. Khi
đ
ó
(
)
f x
∂
g
ồ
m m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

duy nh
ấ
t
( )
x x B
ε
∀ ∈ +
⇔
f
kh
ả
vi liên t
ụ
c trên

x B
ε
+
theo
đị
nh ngh
ĩ
a Gâteaux.

Chứng minh
a)

(
)
{

}
f x
ς
∂ =

( )
x x B
ε
∀ ∈ + , ta có th
ể
gi
ả
thi
ế
t
f
Lipschitz trên
x B
ε
+

⇒
f
kh
ả
vi ch
ặ
t t
ạ
i

x
suy ra
(
)
(
)
S
f x D f x
∂ =
.
f
∂
n
ử
a liên t
ụ
c trên khi
đ
ó
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
.
S

D f
liên t
ụ
c (do
dim
X
< +∞
).
23


b)

Ng
ượ
c l
ạ
i
f
kh
ả
vi liên t
ụ
c trên
x B
ε
+
theo ngh
ĩ
a Gâteaux suy ra

F
kh
ả

vi ch
ặ
t Hadamard.
⇒
(
)
f x
∂
g
ồ
m m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh
ấ
t
( )
x x B
ε
∀ ∈ + .
1.5.2. Dưới vi phân
Cho hàm l
ồ

i
f
trên t
ậ
p l
ồ
i m
ở

U

(
)
:
f U R
→
.
Nh
ắ
c l
ạ
i: D
ướ
i vi phân c
ủ
a hàm l
ồ
i
f
t

ạ
i
x U
∈
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư

sau:
( ) ( )
(
)
{
}
*
: , ,
C
f x X f x f x x x x U
ς ς
∂ = ∈ − ≥< − > ∀ ∈
.
Định lí 1.9.
Gi
ả
s
ử


f
là hàm l
ồ
i trên
U
, Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x U
∈
. Khi
đ
ó
(
)
(
)
S
f x D f x
∂ = ,
(
)
(
)
; ' ;

o
f x v f x v
=
(
)
v X
∀ ∈
, trong
đ
ó
f
∂
là gradient
suy r
ộ
ng c
ủ
a
f
;
(
)
' ;.
f x
là
đạ
o hàm theo ph
ươ
ng c
ủ

a
f
t
ạ
i
x
.
Chứng minh
T
ừ
gi
ả
i tích l
ồ
i ta
đ
ã bi
ế
t r
ằ
ng
(
)
' ;
f x v
t
ồ
n t
ạ
i v

ớ
i m
ỗ
i
v
, và
(
)
' ;.
f x
là
hàm t
ự
a c
ủ
a
(
)
C
f x
∂ . Vì v
ậ
y ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
(
)
(
)
, ' ;
o
f x v f x v
=
(
)
v
∀
là
đủ
.

Ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
,
o
f x v
d
ướ
i d

ạ
ng:

(
)
(
)
0
0
lim sup
sup
t
x x
f x tv f x
t
ε
ε
εδ
↓
< <
− <
+ −
,
trong
đ
ó
δ
là s
ố
d

ươ
ng c
ố

đị
nh b
ấ
t kì.
T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a hàm l
ồ
i, ta có hàm s
ố
sau
đ
ây là không gi
ả
m:
(
)
(
)
f x tv f x
t
t

+ −
→ .
Th
ậ
t v
ậ
y,
đặ
t
(
)
(
)
t f x tv
ϕ
= +
.
24


Do
f
l
ồ
i, cho nên v
ớ
i
x
,
v

c
ố

đị
nh thì
(
)
t
ϕ
l
ồ
i. B
ở
i vì
(
)
:
f U R
→
cho nên
:
R R
ϕ
+
→
. L
ấ
y
(
)

0,1
λ
∈
. Khi
đ
ó
0
t
∀ >
,
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0
t t t
ϕ λ λϕ ϕ
≤ + −

(
)
(
)
(
)
(

)
0 0
t t
t t
ϕ λ ϕ ϕ ϕ
λ
− −
⇒
≤
(
)
(
)
0
t
t
ϕ ϕ
−
⇒

đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Thay l
ạ

i hàm
f
ta có hàm s
ố
:
(
)
(
)
f x tv f x
t
t
+ −
→ là
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Vì v
ậ
y
( )
(
)
(
)

0
, lim
sup
o
x x
f x v f x
f x v
ε
εδ
ε
ε
↓
− <
+ −
=
.
Do
f
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
, v
ớ
i
x x B

εδ
∈ +
ta có:
( ) ( )
(
)
(
)
2
f x v f x
f x v f x
K
ε
ε
δ
ε ε
+ −
+ −
− ≤

( )
(
)
(
)
( )
0
, lim 2 ' , 2
o
f x v f x

f x v K f x v K
ε
ε
δ δ
ε
↓
+ −
⇒
≤ + = +

(
)
(
)
'
; ;
o
f x v f x v
⇒
≤
(do
0
δ
>
tùy ý).
Hi
ể
n nhiên là:
(
)

(
)
'
; ;
o
f x v f x v
≤ . Vì v
ậ
y
(
)
(
)
'
; ; .
o
f x v f x v
=

Ví dụ 1.3
Hàm affine trên
X
:
(
)
*
,0f x x
α
=< > +
. Ta có

(
)
{
}
*
f x x
∂ =

(
)
x X
∀ ∈
.
Ví dụ 1.4
X
là không gian Banach,
(
)
f x x
=
.
25


a)

V
ớ
i
0

x
≠
ta có:
(
)
{
}
* * * *
0 : 1, ,
f x x x X x x x x
≠ = ∂ = ∈ = < >=
.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u
*
,
x x x
< >=
và
*
1
x
=
thì :
* *

,
x x z x x
< >≤ =

*
,
x z x z x
⇒
< − >≤ −
suy ra
(
)
*
x f x
∈∂
(
)
z X
∀ ∈
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u
(
)
*

x f x
∈∂ thì :
* *
0 ,0 ,
x x x x x x
− = − ≥< − >= − < >
,
* *
2 ,2 ,
x x x x x x x x
= − ≥< − >=< >
.
*
,
x x x
⇒
=< >
.
V
ớ
i
z X
∀ ∈
,
0
λ
>
ta có:
* *
,( ) ,

z x x x z x x x z
λ λ λ
+ − ≥< + − >=< >
.
Cho
λ
→ ∞
ta nh
ậ
n
đượ
c
*
,
z x z
≥< >
,
z X
∀ ∈

1
x
⇒
≤
.
*
x
không th
ể


nh
ỏ
h
ơ
n 1, b
ở
i vì n
ế
u
1
x
<
thì
*
1
, 1
sup
z
x z
=
< > <

*
, 1
x z
⇒ < > <
(
z X
∀ ∈
,

1
z
=
).
Với
x
z
x
= thì
1
z
=
, do đó:
*
, 1
x
x
x
< > <

*
,
x x x
⇒
< ><
(mâu thuẫn). Vì vậy
*
1
x
=


b) Với x=0 ta có:
{
}
{
}
*
* * * * * *
0 : , : 1 (0,1)
x X z x z x X x B∂ = ∈ ≥< > = ∈ ≤ =
.
(Hình c
ầu đơn vị đóng trong
*
X
)