1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
*********
TIỂU LUẬN
HÀM LỒI SUY RỘNG VÀ GRADIENT SUY RỘNG
Đề tài:
TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
TRONG VECTƠ VÔ HƯỚNG TỐI ƯU
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:
PGS. TS. PHAN NHẬT TĨNH
HỌC VIÊN THỰC HIỆN:
ĐẶNG THỊ NHƯ Ý
Lớp: Giải Tích K20
Huế-04/2013
Mục lục
MỞ ĐẦU 3
1 Hàm Lồi Suy Rộng Và Điều Kiện Tối Ưu 4
2 Hàm Vô Hướng 9
3 Tính Lồi Suy Rộng Và Sự Xác Định Ràng Buộc 12
4 Giá Trị Cực Đại Và Tính Lồi Suy Rộng 14
2
MỞ ĐẦU
Trong các định lý tối ưu, tính tối ưu cơ bản có các thuộc tính như: một
cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục, một điểm dừng là một cực
tiểu toàn cục và điều kiện tối ưu là điều kiện đủ để một điểm là cực tiểu toàn
cục. Nhiều mô hình toán học được sử dụng trong khoa học, kinh tế,lý thuyết
ngẫu nhiên, ứng dụng toán học vào ngành kĩ sư, khái niệm tính lồi là chưa
đủ cho nên hàm lồi suy rộng được đưa vào tìm hiểu. Nhiều hàm đảm bảo
một hoặc nhiều thuộc tính của hàm lồi và có nhiều mô hình được áp dụng
trên thế giới. Bước đầu cho công việc này là Arrow-Enthoven đã nghiên cứu

và ứng dụng. Chúng được mở rộng và phát triển trong những năm gần đây
với mục đích mở rộng tổng quát trong nhiều lĩnh vực, nhiều thuộc tính và
các trường hợp khác nhau của hàm lồi suy rộng được đưa vào. Trong bài
này chúng ta sẽ xét các lớp hàm bảo đảm các thuộc tính của hàm lồi có liên
quan đến điều kiện tối ưu như là tựa lồi, tựa lồi chặt và hàm giả lồi. Đặc biệt
đối với hàm tựa tuyến tính, hàm này chúng có cả tính giả lồi và giả lõm, đây
là một thuộc tính đẹp. Chúng ta thấy tập tất cả các giá trị cực tiểu và giá
trị cực đại là nằm trên biên của phần trong tập chấp nhận được. Đặc biệt,
nếu phần trong của tập đa diện tồn tại giá trị cực đại, cực tiểu thì nó nằm
trên một vectơ của tập chấp nhận được. Trong chương 2 chúng ta sẽ mô tả
một lớp hàm được gọi là hàm invex khi điều kiện KT-dừng trở thành điều
kiện đủ. Những hàm này có thể có một điểm dừng, chúng là điểm cực tiểu
của lớp hàm suy rộng và chúng đóng vai trò quan trọng trong các điều kiện
ràng buộc. Trong trường hợp vô hướng chúng ta sẽ chọn lớp hàm vectơ suy
rộng chúng đảm bảo tính địa phương và tính toàn cục. Trong chương này
chúng ta sẽ có các điều kiện cơ bản, các thuộc tính của vectơ hàm và hàm
lồi suy rộng, chúng ta sẽ mô tả sự khác biệt giữa các hàm và một số trường
hợp phát triển chúng.
3
Chương 1
Hàm Lồi Suy Rộng Và Điều Kiện
Tối Ưu
Định nghĩa 1.1. Hàm f là tựa lồi trong S nếu tập mức dưới L(α) = {x :
f(x) ≤ α, xS} là tập lồi với mọi α Tính chất của hàm tựa lồi:
f(x
2
) ≤ f(x
1
) ⇒ f((1 − λ)x
1

+ λx
2
) ≤ f(x
1
) (1.1.1)
với mọi x
1
, x
2
∈ S và 0 ≤ λ ≤ 1 Khi f là một hàm khả vi, f là tựa lồi khi và
chỉ khi:
f(x
2
) ≤ f(x
1
) ⇒ ((x
2
− x
1
)
T
∇f(x
1
)) ≤ 0; x
1
, x
2
∈ S (1.1.2)
Định nghĩa 1.2. Hàm f là hàm tựa lồi chặt trong S nếu
f(x

2
) < f(x
1
) ⇒ f((1 − λ)x
1
+ λx
2
) < f(x
1
) (1.2.1)
với mọi x
1
, x
2
∈ S và 0 ≤ λ ≤ 1
Định nghĩa 1.3. Hàm f khả vi là giả lồi trong S nếu x
1
, x
2
∈ S ta có
f(x
2
) < f(x
1
) ⇒ ((x
2
− x
1
)
T

∇f(x
1
)) < 0 (1.3.1)
Chúng ta thấy rằng, trong trường hợp khả vi một hàm giả lồi là tựa lồi
chặt, là tựa lồi.
Mối quan hệ giữa giả lồi và tựa lồi được thể hiện qua định lý sau:
Định lý 1.4. Cho f là một hàm khả vi trong một tập mở lồi S ⊂ 
n
. Nếu
∇f(x) = 0 ∀x ∈ S thì f là giả lồi khi và chỉ khi nó là tựa lồi.
4
Chứng minh 1. Chúng ta đã biết rằng một hàm giả lồi cũng là tựa lồi.
Chúng ta cần chứng minh một hàm tựa lồi là giả lồi
Giả sử ngược lại ∃x
1
, x
2
∈ S, f(x
2
) < fx
1
và (x
2
− x
1
)
T
∇f(x
1
) ≥ 0. Do f là

một hàm tựa lồi nên ta có (x
2
− x
1
)
T
∇f(x
1
) = 0
Từ tính liên tục của hàm f, tồn tại  > 0 sao cho y = x
2
+ .∇f (x
1
) ∈ S
với f(y) < f(x
1
) (chú ý rằng: y = x
2
khi ∇f(x
1
) = 0)
Do đó khi f là tựa lồi thì chúng ta có:(y − x
1
)
T
∇f(x
1
) ≤ 0.
Hơn nữa (y − x
1

) = (y − x
2
) + (x
2
− x
1
)
khi đó (y − x
1
)
T
∇f(x
1
)) = (y − x
2
)
T
∇f(x
1
)) + (x
2
− x
1
)
T
∇f(x
1
)) = . 
∇f(x
1

) 
2
> 0 và điều này là vô lý ✷
Chúng ta chú ý rằng một hàm là tựa lõm, tựa lõm chặt hoặc giả lõm nếu
và chỉ nếu hàm −f là tựa lồi, tựa lồi chặt và giả lồi,tất cả các kết quả cho
thấy rằng chúng ta có thể mô tả cho hàm lồi suy rộng tương ứng là hàm lõm
suy rộng. Ví dụ
f(x) =















−x
2
nếu x ∈ [−1, 0]
0 nếu x ∈ [0, 2]
(x − 2)
2
nếu x ∈ [2, 3]

(1.4.1)
và điểm x
0
= 1, chúng là cực tiểu địa phương nhưng không phải là cực tiểu
toàn cục.
Nếu x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt của một hàm tựa lồi thì nó cũng
là điểm cực tiểu toàn cục chặt. Lớp hàm tựa lồi chặt là lớp hàm suy rộng
khi một giá trị cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục. Nếu f là một
hàm tựa lồi liên tục thì f là tựa lồi chặt khi và chỉ khi mỗi điểm cực tiểu địa
phương cũng là cực tiểu toàn cục.
Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm được định nghĩa trong tập hình sao S
tại x
0
i)f tựa lồi tại x
0
nếu f(x) ≤ f(x
0
) ⇒ f((1−λ)x
0
+λx) ≤ f(x
0
), ∀x ∈ S; λ ∈
[0, 1]
5
ii)f là tựa lồi chặt tại x
0
nếu f(x) < f (x
0

) ⇒ f((1−λ)x
0
+λx) < f(x
0
), ∀x ∈
S; λ ∈ (0, 1)
iii)f là giả lồi tại x
0
nếu f có đạo hàm tại x
0
và
f(x) < f(x
0
) ⇒ ((x − x
0
)
T
∇f(x
1
)) < 0, ∀x ∈ S
Chúng đạt cực tiểu với mọi hướng chấp nhận được, nó không nhất thiết
là cực tiểu địa phương.
Xét hàm f(x, y) = (y − x
4
)(y − x
2
) trong tập S = 
2
+
Điểm x

0
= (0, 0) là điểm cực tiểu với mọi hướng d ∈ 
2
+
; d = 0 nhưng nó
không là cực tiểu địa phương.
Định lý 1.6. Cho f là một hàm được định nghĩa trong tập hình sao S tại
x
0
i) Nếu f là tựa lồi tại x
0
∈ S và x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt với mọi
hướng d = x − x
0
, x ∈ S, x = x
0
thì x
0
là điểm cực tiểu toàn cục trong S.
ii)Nếu f là tựa lồi chặt tại x
0
∈ S và x
0
là điểm cực tiểu địa phương với
mọi hướng d = x − x
0
, x
0

∈ S, x = x
0
thì x
0
là điểm cực tiểu toàn cục của f
trong S.
ii)Nếu f là giả lồi tại x
0
∈ S và x
0
là điểm cực tiểu địa phương với mọi
hướng d = x − x
0
, x ∈ S, x = x
0
thì x
0
là điểm cực tiểu toàn cục của f trong
S.
Bây giờ chúng ta sẽ thấy được vai trò của tính lồi suy rộng trong chứng
minh trước trên điều kiện tối ưu. Sau đây chúng ta sẽ mô tả giá trị thực của
hàm khả vi f được định nghĩa trong tập mở X của 
n
. Nó cho biết một điểm
dừng của f không nhất thiết là điểm cực tiểu của f .
Định lý 1.7. Xét một hàm f khả vi trong tập lồi S ⊂ X. Nếu f là giả lồi
tại điểm dừng x
0
∈ S thì x
0

là một điểm cực tiểu toàn cục của hàm f trong
S.
Định lý trên là không đúng nếu giả thiết tính giả lồi thay bởi tính tựa lồi
hoặc tựa lồi chặt.
6
Ví dụ như hàm f(x) = x
3
là hàm tăng chặt cho nên nó có cả tính tựa lồi
chặt và tựa lồi nhưng điểm dừng x
0
= 0 nó không phải là điểm cực tiểu của
f.
Bây giờ chúng ta sẽ thấy giả thiết của tính lồi suy rộng là rất quan trọng
đủ để bảo đảm cho điều kiện tối ưu trước. Khi S là tập hình sao tại x
0
một trong những điều kiện được biết để x
0
là điểm cực tiểu địa phương:
d
T
∇f(x
0
) ≥ 0; ∀d ∈ F (S, x
0
) với F(S, x
0
) là một nón mà mọi hướng của S
tại x
0
cho bởi:

F (S, x
0
) = {d ∈ 
n
: d = x − x
0
, x ∈ S, x = x
0
}
Điều kiện này là không đủ nếu bất đẳng thức chặt xảy ra ∀d ∈ F (S, x
0
) như
ví dụ sau:
Ví dụ 1. Xét hàm f(x, y) = y − x
2
được định nghĩa trong tập lồi S =
{(x, y) : y ≥ x
4
} và điểm x
0
= (0, 0) ∈ S
Chúng ta có: F (S, x
0
) = {(d
1
, d
2
) : d
2
> 0}

và d
T
.∇f(x
0
) = d
2
> 0, ∀d ∈ F (S, x
0
) nhưng x
0
không là điểm cực tiểu.
Định lý 1.8. Cho S ⊂ X là một tập hình sao tại x
0
∈ S và cho f là
giả lồi tại x
0
thì x
0
là một điểm cực tiểu của f trong S khi và chỉ khi
(x − x
0
)
T
.∇f(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ S
Chú ý rằng nếu x
0
là điểm dừng và điều kiện (x − x
0

)∇f(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ S
luôn được kiểm tra. Từ giả thiết tựa lồi trên một điểm dừng không đảm bảo
điều kiện tối ưu của x
0
nên định lý trên không đúng cho lớp hàm này. Trong
điều kiện trên, nếu f là tựa lồi tại x
0
và ∇f(x
0
) = 0 thì f là giả lồi tại x
0
.
Vì vậy chúng ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1. Cho S ⊂ X là tập hình sao tại x
0
∈ S. Nếu f là tựa lồi tại
x
0
, ∇f(x
0
) = 0 và (x − x
0
)
T
.∇f(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ S thì x
0

là điểm cực tiểu của
f trong S.
Bây giờ chúng ta xét bài toán sau:
P : minf(x), x ∈ S = {x ∈ X : g
i
(x) ≤ 0, i = 1, , m}
7
Với f, g
i
: X →  là các hàm khả vi được định nghĩa bởi tập mở X ⊂ 
n
Trên điều kiện ràng buộc tối ưu KT-dừng cho x
0
là điểm chấp nhận được và
tập I(x
0
) = {i ∈ {1, , m} : g
i
(x
0
) = 0}
Nếu x
0
là điểm cực tiểu địa phương của bài toán P và có một điều kiện ràng
buộc nhất định thì ∃λ
i
∈ ; i ∈ I(x
0
). Khi đó:
∇f(x

0
) +

i∈I(x
0
)
λ
i
∇g
i
(x
0
) = 0, λ
i
≥ 0; i ∈ I(x
0
) (1.8.1)
Ví dụ sau cho thấy điều trên là chưa đủ.
Ví dụ 2. Xét bài toán:
min(x + y)
3
; (x, y) ∈ S = {(x, y) ∈ 
2
: −y ≤ 0}
Thật là dễ dàng để kiểm tra rằng điểm (0, 0)thỏa điều kiện trên với λ = 0
nhưng (0, 0) không phải là điểm cực tiểu địa phương của bài toán. Chúng ta
thấy rằng điều kiện trên là đủ khi các hàm ràng buộc là hàm lồi suy rộng.
Định lý 1.9. Cho x
0
là điểm chấp nhận được của bài toán P và giả sử rằng

(x
0
, λ) thỏa điều kiện KT-dừng. Nếu f là giả lồi tại x
0
thì x
0
là điểm cực
toàn cục của bài toán P.
Chứng minh 2. Giả sử tồn tại điểm chấp nhận được x thỏa f(x) < f(x
0
).
Từ tính giả lồi của f chúng ta có (x −x
0
)
T
∇f(x
0
) < 0 và từ tính tựa lồi của
g
i
; i ∈ I(x
0
) chúng ta có (x − x
0
)
T
∇g
i
(x
0

) ≤ 0. Khi λ
i
≥ 0, kết quả là
(x − x
0
)
T
∇f(x
0
) +

i∈I(x
0
)
λ
i
(x − x
0
)
T
∇g
i
(x
0
) < 0 (1.9.1)
và điều này là mâu thuẫn.✷
8
Chương 2
Hàm Vô Hướng
Trong tài liệu Hanson giới thiệu một lớp hàm suy rộng mới (hàm invex) với

mục đích mở rộng tính hiệu lực của điều kiện KT-dừng. Từ những bài báo
của Hanson và Craven cách đây 30 năm, một số ý kiến phát triển cho sự
đóng góp đến hàm invex đặc biệt là đối với bài toán tối ưu.
Định nghĩa 2.1. Hàm thực khả vi f được định nghĩa trong tập X ⊂ 
n
là
invex nếu tồn tại một vectơ hàm η(x, y) = (x − y) được định nghĩa trong
X × X như sau:
f(x) − f(y) ≥ η
T
(x, y)∇f(y); ∀x, y ∈ X.
Hiển nhiên hàm lồi khả vi (trong tập mở X) là invex (η(x, y) = (x − y))
Định lý 2.2. Một hàm khả vi là hàm invex khi và chỉ khi mỗi điểm dừng là
một điểm cực tiểu toàn cục.
Chứng minh 3. Cho hàm f với vectơ hàm η(x, y). Nếu x
0
là điểm dừng
của f thì ta có f(x) − f(x
0
) ≥ η
T
(x, x
0
)∇f(x
0
) = 0; ∀x ∈ X, khi đó x
0
là
điểm cực tiểu toàn cục. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng nó đúng cho
hàm η(x, y) được định nghĩa như sau

η(x, y) =







0 nếu ∇f(y) = 0
(f(x)−f (y))∇f(y)
∇f(y)
2
nếu ∇f(y) = 0
(2.2.1)
Nếu y là một điểm dừng và là cực tiểu toàn cục của f , chúng ta có f (x) −
9
f(y) ≥ 0 = η
T
(x, y)∇f(y); mặt khác η
T
(x, y)∇f(y) = f(x) − f (y). Suy ra
điều cần chứng minh.
Lớp hàm tựa lồi chứa trong lớp hàm invex ( chú ý rằng một điểm dừng
của hàm giả lồi là điểm cực tiểu toàn cục).
Một số hàm không có mối liên hệ giữa lớp hàm tựa lồi và lớp hàm invex.
Thực vậy, hàm f(x) = x
3
là tựa lồi nhưng không invex, tại x = 0 là điểm
dừng nhưng nó không là điểm cực tiểu. Hơn nữa, ví dụ sau đây cho thấy rằng
tồn tại hàm invex mà chúng không tựa tồi.

Ví dụ 3. Xét hàm f(x, y) = y(x
2
− 1)
2
trong tập mở X = {(x, y) ∈ 
2
:
y > 0}
Dễ dàng kiểm tra rằng điểm dừng (1, y); (−1, y); y > 0 của f là cực tiểu
toàn cục, khi đó f là invex. Mặt khác tập A = (−1, 1); B = (
1
2
, 1) ta có
f(A) = 0 < f(B) =
9
16
và (A − B)
T
∇f(B) = (
−3
2
; 0)(
−3
2
;
9
16
)
T
=

9
4
> 0 Thấy
rằng f là không tựa lồi.
Từ một hàm chúng không tựa lồi, không giả lồi, ở ví dụ trước cho thấy
rằng lớp giả lồi và hàm lồi chặt được chứa trong một hàm invex.
Bây giờ xét hàm f(x, y) = y(x
2
− 1)
2
trong tập đóng S = {(x, y) ∈ 
2
: x ≥
−1
2
; y ≥ 1}
Điểm (
−1
2
; 1) là cực tiểu địa phương của f trong S nhưng nó không là cực
tiểu toàn cục do f(
−1
2
; 1) =
9
16
> f(1, 1) = 0
Định nghĩa hàm trên X = {(x, y) ∈ 
2
: y > 0}; tập tất cả các giá trị cực

tiểu được cho bởi {(1, y) : y > 0 ∪ {(−1; y) : y > 0} chúng là tập không lồi,
do đó hàm invex là tập tất cả các điểm cực tiểu không có tính chất của một
tập lồi.
Định lý 2.3. Cho x
0
là điểm chấp nhận được của bài toán P và giả sử rằng
(x
0
, λ) thỏa điều kiện KT-dừng. Nếu f, g
i
, i ∈ I(x
0
) là hàm invex với vectơ
η(x, y) thì x
0
là một điểm cực tiểu toàn cục của bài toán P.
10
Chứng minh 4. Với mỗi x ∈ S,chúng ta có
f(x)−f(x
0
) ≥ η
T
(x, x
0
)∇f(x
0
) = −

i∈I(x
0

)
λ
i
η
T
(x, x
0
)∇g
i
(x
0
) ≥ −

i∈I(x
0
)
λ
i
(g
i
(x)−g
i
(x
0
)) ≥ 0
(2.3.1)
Do đó x
0
là điểm cực tiểu toàn cục.✷
Cho f là một hàm có giá trị thực được định nghĩa trên một tập con của


n
là η − invex nếu ∀x, y ∈ X đoạn [y, y + η(x, y)] chứa trong X.
Định nghĩa 2.4. Cho f là một hàm thực được định nghĩa trên một η −invex
tập X,f là một trước invex với mô tả η nếu bất đẳng thức sau xác định
f(y + λη(x, y)) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]
Cũng như hàm lồi, hàm trước invex thì mọi cực tiểu địa phương đều là
cực tiểu toàn cục.
11
Chương 3
Tính Lồi Suy Rộng Và Sự Xác
Định Ràng Buộc
Như chúng ta đã biết điều kiện dừng là điều kiện tối ưu cần thiết cho bài
toán P khi điều kiện ràng buộc chính quy được thỏa mãn. Mục đích của phần
này nói đến vai trò của tính lồi suy rộng và thuộc tính invex trong điều kiện
ràng buộc.
Với mục đích đó, chúng ta định nghĩa các tập như sau:
G
0
= {d ∈ 
n
: d
T
∇g
i
(x
0
) < 0, i ∈ I(x
0
)}

G = {d ∈ 
n
: d
T
∇g
i
(x
0
) ≤ 0, i ∈ I(x
0
)}
G
p
= {d ∈ 
n
: d
T
∇g
i
(x
0
) ≤ 0, i ∈ J, d
T
∇g
i
(x
0
) < 0, i ∈ I(x
0
)\J}

Với J = {i ∈ I(x
0
) : g
i
(x) là giả lồi tại x
0
}
Chú ý với coT (S, x
0
) là bao đóng của bao lồi nón tiếp xúc T (S, x
0
) đến
miền chấp nhận S tại x
0
∈ S chúng ta có mối quan hệ sau clG
0
⊆ clG
p
⊆
coT (S, x
0
) ⊆ G
Điều kiện trên bảo đảm điều kiện KT-dừng, ta có coT (S, x
0
) = G trở thành
ràng buộc xác định.
Định lý 3.1. Nếu một trong những điều kiện sau đây được xác định thì điều
kiện ràng buộc là được thỏa mãn:
i) Hàm g
i

(x); i ∈ I(x
0
) là giả lồi tại x
0
và ∃x
∗
∈ S khi đó g
i
(x
∗
) < 0, i ∈ I(x
0
)
ii) Hàm g
i
(x); i ∈ I(x
0
) là tựa lồi tại x
0
;∇g
i
(x
0
) = 0 và ∃x
∗
∈ S khi đó
g
i
(x
∗

) < 0, i ∈ I(x
0
)
12
iii) Hàm g
i
(x); i ∈ I(x
0
) là giả lồi tại x
0
và ∃x
∗
∈ S khi đó g
i
(x
∗
) < 0, i ∈
I(x
0
)\J
iv) Hàm g
i
(x); i ∈ I(x
0
) là invex tại x
0
với η(x, x
0
)và ∃x
∗

∈ S khi đó g
i
(x
∗
) <
0, i ∈ I(x
0
)
Chứng minh 5. i) Từ g
i
(x
∗
) < 0 = g
i
(x
0
), với g
i
giả lồi chúng ta có
(x − x
0
)
T
∇g
i
(x
0
) < 0, khi đó hướng d = x − x
0
∈ G

0
và G
0
= ∅
ii) Suy ra từ i)dựa vào tính tựa lồi của g
i
(x) tại x
0
và giả thiết ∇g
i
(x
0
) = 0
bao hàm tính giả lồi của g
i
(x) tại x
0
iii) Mỗi j ∈ J hàm g
i
(x) là giả lồi và giả lõm khi đó g
i
(x
∗
) < g
i
(x
0
) = 0 bao
hàm (x − x
0

)
T
∇g
i
(x
0
) ≤ 0. Mặt khác g
i
(x
∗
) < g
i
(x
0
) = 0, i ∈ I(x
0
)\J với g
i
là giả lồi (x − x
0
)
T
∇g
i
(x
0
) ≤ 0. Khi đó d = x − x
0
∈ G
p

và hơn nữa G
p
= ∅
iv) Chúng ta có g
i
(x
∗
) < g
i
(x
0
) = 0; i ∈ I(x
0
) với mỗi g
i
, i ∈ I(x
0
). Khi đó:
d = η(x
∗
, x
0
) ∈ G
0
Định lý 3.2. Cho x
0
là nghiệm tối ưu của bài toán (P ) ở đây hàm g
i
; i ∈
I(x

0
) là invex với vectơ hàm η. Giả sử rằng tồn tại vectơ p ∈ 
3
, p > 0 khi
đó

i∈I(x
0
)
p
i
g
i
(x)) ≥ 0; ∀x ∈ X (3.2.1)
thì điều kiện KT-dừng được thỏa mãn.
Chứng minh 6. Điều kiện tối ưu của x
0
bao hàm điều kiện F.John như sau
∃λ
0
≥ 0, (λ
0
, λ
1
, , λ
s
) = 0, i ∈ I(x
0
), khi đó:
λ

0
∇f(x
0
) +

i∈I(x
0
)
λ
i
∇g
i
(x
0
)) = 0 (3.2.2)
Giả sử rằng λ
0
= 0 khi đó

i∈I(x
0
)
λ
i
∇g
i
(x
0
)) = 0 (3.2.3)
Từ giả thiết ta có g

i
(x) − g
i
(x
0
) ≥ η
T
(x, x
0
)∇g
i
(x
0
), ∀i ∈ I(x
0
)
Khi đó

i∈I(x
0
)
λ
i
g
i
(x) ≥ η
T
(x, x
0
)


i∈I(x
0
)
λ
i
∇g
i
(x
0
)) = 0 (3.2.4)
và điều này mâu thuẫn với điều kiện ràng buộc.
13
Chương 4
Giá Trị Cực Đại Và Tính Lồi Suy
Rộng
Trong phần này chúng ta thấy rằng một hàm lồi suy rộng với một cực đại
toàn cục, nó đạt được tại biên của tập chấp nhận được S.
Chúng ta sẽ bắt đầu chứng minh rằng nếu giá trị cực đại của hàm là đạt tại
điểm trong tương ứng của S thì f là hằng số trên S, chúng được gọi là điểm
trong tương ứng của tập lồi C ⊂ 
n
. Kí hiệu: riC
riC = x ∈ affC : ∃ > 0; (x + B) ∩ affC ⊂ C với B là hình cầu đơn vị
trong 
n
Bổ đề 1. Cho hàm f là liên tục và tựa lồi chặt trong tập lồi S. Nếu x
0
∈ riS
khi đó

f(x
0
) = max
x∈S
f(x) (4.0.1)
thì f là hằng số trên S
Chứng minh 7. Giả sử rằng tồn tại x ∈ S khi đó f(x) < f(x
0
), ở đây
∃x
∗
∈ S khi đó x
0
∈ [x
∗
, x].
Từ f là một hàm liên tục, không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng
f(x
∗
) > f(x). Tựa lồi chặt của f bao hàm f(x) < f(x
∗
), ∀x ∈ [x
∗
, x] ✷
Từ bổ đề trên chúng ta có kết quả trực tiếp sau
Định lý 4.1. Cho f là hàm mục tiêu và tựa lồi chặt trên một tập lồi đóng
S. Nếu giả sử f có giá trị cực đại trên S thì nó đạt được tại một vài nơi trên
14
giá trị biên.
Định lý 4.2. Cho f là hàm liên tục và tựa lồi chặt trên một tập lồi đóng S

thì nó đạt cực trị tại một điểm.
Chứng minh 8. Nếu f là hằng số thì điều trên là tầm thường.
Lấy x
0
thỏa
f(x
0
) = max
x∈S
f(x) (4.2.1)
Từ định lý trên, x
0
∈ bdS. Cho C là một mặt cực tiểu của S chứa x
0
, nếu
x
0
không là điểm cực trị thì x
0
∈ riC. Từ bổ đề trên cho thấy rằng f là hằng
số trên C. Mặt khác C là một tập lồi đóng, khi đó C có một điểm cực trị x,
chúng là điểm cực trị của S. Mặt khác ta có hàm
f(x) =








−x
2
+ 2x nếu 0 ≤ x ≤ 1
1 nếu x > 1
(4.2.2)
là không giảm.
Khi đó nó là tựa lồi và mỗi điểm x > 1 với giả sử f có giá trị cực đại không
đạt tại biên. Nếu định lý trên muốn áp dụng cho lớp hàm tựa lồi, cần yêu
cầu thêm giả thiết lồi trong S.
Định lý 4.3. Cho f là hàm liên tục và là hàm tựa lồi trên tập lồi compact
S. Thì tồn tại một số điểm cực trị với giả sử f có giá trị cực đại.
Chứng minh 9. Từ định lý Weierstrass, ∃x ∈ S với
f(x) = max
x∈S
f(x) (4.3.1)
Từ S là tập lồi compact, nó là bao lồi của điểm cực trị khi đó tồn tại hữu
hạn số x
1
, , x
k
của những điểm cực trị
x =
n

i=1
λ
i
x
i
;

n

i=1
λ
i
= 1; λ
i
≥ 0. (4.3.2)
Từ f là tựa lồi chúng ta có f(x) ≤ max f(x
1
), , f(x
k
) và định lý được chứng
minh.
15
Hệ quả 2. Cho f là giả lồi trong một tập lồi đóng S. Giả sử f có giá trị
cực đại trên S thì nó đạt tại biên.
Hệ quả 3. Cho f là một hàm giả lồi trong một tập lồi đóng S. Giả sử f có
giá trị cực đại trên S thì nó đạt cực trị tại một điểm
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
Tiếng Việt
1. Phan Nhật Tĩnh, Hàm Lồi Suy Rộng và gradient suy rộng.
Tiếng Anh
1. Generalized convexty and generalized monotonicity-2005.
17