Lý thuyết đạo hàm
I Định nghĩa đạo hàm
1) Đạo hàm tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 =
f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :
Δx→0
f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Δx→0 Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:
Đạo hàm 1 phía
a) Bên phải
b) Bên trái
2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)
f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại
3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số
Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó
không có dấu chỉ chiều ngược lại
4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :
5/ Các công thức đạo hàm cơ bản
Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :
II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN
1/ Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định
một cách quy nạp như sau :
[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)
[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)
[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)
...........

[f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)
2/ Vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được
gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) =
f'(x0).Δx
Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx
Tổng quát : df(x) = f'(x)dx
III- Một số bài toán về tính đạo hàm
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của
Riêng về những dạng đạo hàm
thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế
Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :
Từ đó ==> đạo hàm cần tìm
IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1/ Tính đơn điệu của hàm số
a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)
f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)
b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)
f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)
c/ Hàm hằng
f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)
2/ Chứng minh bất đẳng thức
a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất
một số c thuộc (a;b) sao cho
* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp

tuyến song song với đường thẳng AB
* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M
Suy ra :
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')
3/ Biện luận phương trình và bất phương trình
a/ Phương trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và
đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm
của phương trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phương trình f(x) < m
Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm
dưới đường thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng
(d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x 1−
tại x
0

= 5
Giải: Tập xác định D =
1
x : x
2
 
≥
 
 
• Với
∆
x là số gia của x
0
= 5 sao cho 5+
∆
x
∈
∆
thì
•
∆
y =
2(5 x) 1+ ∆ −
-
10 1−
• Ta có:
y
x
∆
∆

=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
=
( ) ( )
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
• =
( )
x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆ →

+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )
x 0
2
lim
9 2 x 3
∆ →
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Chứng minh hàm số
x
y
x 1
=
+
liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa:
x
=
x ,neáu x 0
-x ,neáu x<0
≥




Cho x
0
= 0 một số gia
∆
x
∆
y = f(x
0
+
∆
x) –f(x
0
) = f(
∆
x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=
( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +

• Khi
∆
x
→
0
+
( thì
∆
x > 0) Ta có:
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim
x x 1
+
∆ →
∆
∆ ∆ +
=
( )
x 0

1
lim
x 1
+
∆ →
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,

− ≥


neáu x 0
x neáu x<0
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại
sao?
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n

− ≥





2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có đạo hàm tại x = 0.
Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,
2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0

− ≥




không có đạo hàm tại x
0
= 0,
nhưng liên tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0
y
lim
x
+

∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
= 2
⇒
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
≠
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆

∆

⇒
hàm số
không có đạo hàm tại x
0
= 0
b) Vì
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=1;
x 0
lim f (x)
−
∆ →
=1; f(0) = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=
x 0
lim f (x)
−
∆ →
= f(0) = 1
⇒

hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥


−

a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
4
π
HD:a) Vì
x 0
lim f (x)
+
→
=
x 0
lim cos x
+
→
=1 và
x 0
lim f (x)

−
→
=
x 0
lim( sin x)
−
→
−
= 0; f(0) = cos0 = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
→
≠
x 0
lim f (x)
−
→
⇒
hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián đoạn tại x
0
= 0)
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = (
2
x
-3x+3)(

2
x
+2x-1); Đs: y’ = 4x
3
-3x
2
– 8x+ 9
2. y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =
( )
2
3x x 1
x
 
+ −
 
 
Giải: y’ =
( )
2
3x ' x 1

x
 
+ −
 
 
+
( )
2
3x x 1 '
x
 
+ −
 
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 
 
=
2 1
3x
x
2 x
 

 
+
 
 
 
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 
 
+
1 3x
x x 2 x
+
3. y =
( )
1
x 1 1
x
 
+ −
 
 
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học

4. y =
( )
(
)
3
2
3
x 2 1 x 3x+ + +
5. y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)
7. y =
1 x
1 2x
+
+

8. y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9. y =
x 1
x 1
+
−
; Đs:-
3
1
(x 1)(x 1)+ −
10. y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; Đs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )− +
11. y = cos
2
1 x

1 x
 
−
 
 
+
 
; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x ) 1 x
 
−
 
 
+ +
 
12. y = (1+sin
2
x)
4
; Đs:
2 3
(1 sin x) sin 2x+
13. y =sin
2
(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14. y =
sin x cos x

sin x cos x
−
+
; Đs:
2
2
(sin x cos x)+
15. y =
2
sin 3x
sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x−
; y’ =
( )
2
1 cos x xsin x
1 cos x
− −
−
519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ =
2 2
x sin x cos x
x cos x
−
522) y = f(x) =

sin x
1 cos x+
; y’ =
1
1 cos x+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1
cos x
527) y = f(x) = cosx
3
1
cos x
3
−

; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1
3
tan
3
x –tanx + x; y’ = tan
4
x
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học