Ngày soạn : 23/12/10
Bài tập tổng hợp
Chủ đề
Tuyển tập các bài toán hình học dành cho HSG
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB
dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng
tròn (O). Từ C kẻ CH vuông góc với AB
( )
ABH

. Gọi M, N lần lợt là hình
chiếu của H lên AC và CB.
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C
cắt đờng thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy.
H ớng dẫn :
a) ACB = 90
o
(vì OA = OC = OB)
CMH = 90
o
(gt); CNH = 90
o
(gt)
=> CMHN là hình chữ nhật => C
1
= M
1
Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)
CAO + C
1

= 90
o
Cho nên ACO + M
1
= 90
o
Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90
o
Hay OC vuông góc MN (đpcm)
b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến)
Kéo dài BC cắt d tại W. Ta có WCA = 90
o
Mà: KAC + AWC = 90
o
; KCA + WCK = 90
o
Ta có: KCA = KAC (lý do KC = KA)
=> KWC = WCK => KC = KW
Vậy WK = KA = KC. Hay K là trung điểm AW
I là giao điểm của CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật => I là trung điểm
của CH. Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K'
áp dụng talet:
CI WK '
WK ' K ' A K ' K
IH K ' A
= =
Vậy BI đi qua trung điểm K của AW. Hay KB; CH; MN đồng quy
Bài 2: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC
và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M.
Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC.

a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
H ớng dẫn :
Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đờng cao nên N là trực tâm tam
giác. Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB.
Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC
nên IPC cân tại I. Do đó :
IPC ICP =
.
Tam giác OAC cân tại O nên :
CAO ACO =
.
Mặt khác
CAO IPC =
(do có các cạnh tơng ứng vuông góc) nên
ACO ICP =
.
Ta có AC

PC nên OC

IC .
Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn.
Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng tròn .
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng.
Bài 3: Cho hỡnh vuụng ABCD. V qua A ng thng d ct BC ti M v ct
CD ti N . CMR:
22
11
ANAM

+
khụng ph thuc vo v trớ ng thng d
H ớng dẫn :
K AK

d ti A d dng chng minh c
ABK =AND (gúc nhn, cnh gúc vuụng)
suy ra AK = AN (1)
Xột tam giỏc vuụng AKM cú AB l ng cao . ỏp dng
hệ thức trong tam giác vuông ta có
222
111
ABAMAK
=+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
22222
11111
ABAMANAMAK
=+=+
Do AB không đổi suy ra
22
11
AMAN
+
không đổi
Vậy
22
11
AMAN

+
không phụ thuộc vào vị trí d.
Bµi 4:
Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm
của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M,
trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 60
0.
.
a, Chứng minh rằng: BC
2
=4BM.CN
b, Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC.
H íng dÉn :
a) Xét ∆BMO vµ ∆CON có
∠
B=
∠
O=60
0
;
∠
BMO=
∠
CON ( cïng bï
∠
BOM+60
0
) suy ra ∆BMO ~∆CON
42
.

2

2
BCBCBC
BOCOCNBM
CN
BO
CO
BM
===⇔=⇒
2
.4 BCCNBM =⇔
b) Từ câu a) ta có
CN
OC
ON
MO
CO
BM
ON
MO
=⇔=

và có
∠
MON=
∠
NCO=60
0
. suy ra ∆MON ~∆OCN (c.g.c)

suy ra
∠
MNO=
∠
ONC (cặp góc tương ứng )
Vậy NO là phân giác
∠
MNC
Bµi 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia
CB lấy điểm N sao cho AM = CN. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt
tia BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. Chứng
minh rằng:
a) Tứ giác MFNH là hình thoi
b) ND
2
= NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB.
H íng dÉn :
a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c)
⇒
DM = DN và
µ µ
1 2
D D=
⇒

·
MDN
= 90
o

Và ΔDMN vuông cân
Tam gi¸c MDN cã DE lµ ®êng trung tuyÕn nªn DE còng lµ ®êng cao
=>
DE MN
⊥
. Mặt khác ΔEMH = ΔENF (g.c.g)
⇒
EH = EF
⇒
MFNH là hình thoi (đpcm)
b) ΔFDN và ΔDBN có
·
FDN
=
·
DBN
= 45
o
;
µ
N
chung
⇒
ΔFDN ΔDBN (g.g)
⇒
ND
2
= NB.NF (đpcm)
c) Chu vi ΔBMF = BM + BF + MF = BM + BF + FN
= BM + BF + FC + CN

= (BM + AM) + (BF + FC) = 2AB (không đổi) (đpcm)
Bµi 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b, đường phân giác
trong AD = d. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC.
a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ?
b) Chứng minh:
2
d
=
1
b
+
1
c
c) Chứng minh:
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+
1
sin
2
C
> 6
H íng dÉn : Vẽ hình đúng

a) Chứng minh AEDF là hình vuông . Tính được mỗi cạnh =
2
2
d
Tính chu vi = 2d
2
2
; S =
1
2
d
2

b) S
ABD
=
2
4
cd; S
ACD
=
2
4
bd; S
ABC
=
2
4
bc



2
bd +
2
dc = 2bc


1
b
+
1
c
=
2
d
(chia 2 v cho
2
dbc) (pcm)
c) K BH v CK vuụng gúc vi AD cú:
sin
2
a
=
BH
AB
=
CK
AC
=
BH CK

AB AC
+
+

BC
AB AC+

1
sin
2
A

AB AC
BC
+
Tng t cú:
1
sin
2
B

AB BC
AC
+
;
1
sin
2
C


AC CB
AB
+
Chỳ ý khụng ng thi xy ra du " = " vỡ ABC khụng u
Cng tng v ch ra c pcm
Bài 7:
1. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R (R là một độ dài cho trớc).
M, N là hai điểm thuộc nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng
các khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R
3
a) Tính độ dài MN theo R
b) Xác định vị trí của M; N sao cho tổng diện tích
AMB ANB
S S+
là lớn nhất
theo R khi M, N thay đổi nhng vẫn thỏa m n giả thiết của bài toánã
2. Cho K là một điểm nằm trong tam giác đều DEF sao cho
2 2 2
KE KD KF= +
. Tính số đo của góc DKF
H ớng dẫn :
1. a) Tính độ dài MN theo R
Kẻ AH MN tại H, BK MN tại K,
suy ra AH + BK = R 3

1
Từ O kẻ OI MN tại I=> MI = IN = MN
2

Ta có: AH//BK (cùng vuông góc với MN)

=>
1 1
OI (AH BK) OI .R 3
2 2
= + => =
Tam giác MOI vuông tại I nên:
2
2 2 2 2 2
3 R R
MI OM OI R R MI MN 2MI R
4 4 2
= = = => = => = =
b)
Kẻ MP AB tại P, IQ AB tại Q, NR AB tại R => MP//IQ//NR
Tứ giác MPRN là hình thang, mà MI = IN
=>
1
QI (MP NR) MP NR 2QI
2
= + => + =
AMB ANB AMB ANB
1 1 1
S AB.MP;S AB.NR S S AB.(MP NR)
2 2 2
= = => + = +
Ta có AB = 2R không đổi nên
AMB ANB
S S+
đạt giá trị lớn nhất khi MP +
NR đạt giá trị lớn nhất

Ta lại có: MP + NR = 2QI nên MP + NR đạt giá trị lớn nhất khi IQ đạt giá
trị lớn nhất
Ta có:
IQ OI IQ =>
đạt giá trị lớn nhất bằng OI khi
Q O
, khi đó
OI AB
suy ra MN//AB =>
2
AMB ANB
1 1
S S AB.2OI .2R.R 3 R 3 (đvdt)
2 2
+ = = =
*) Cách dựng: Qua O dựng tia Ox
AB

tại O (Ox thuộc nửa mặt phẳng có
bờ AB chứa nửa đờng tròn tâm O), trên tia Ox lấy điểm I sao cho
1
OI R 3
2
=
. Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với OI tại I, d cắt nửa đ-
ờng tròn (O) tại M và N (M thuộc cung AN)
2. Dựng tam giác đều DKP sao cho P nằm phía ngoài tam giác DEF, K và P
nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là DF
Tam giác đều DEF => DE = DF ,
ã

0
EDF 60=
Tam giác DKP đều => DK = DP = KP
ã ã
0
KDP DKP 60= =
Ta có:

ã
ã
ã
ã
ã
ã
0 0
EDK KDF EDF 60 ;KDF FDP KDP 60+ = = + = =
=>
ã
ã
EDK FDP=
;
ã
ã
EDK FDP(ED FD,EDK FDP,DK DP) KE PF = = = = => =
Ta có:
2 2 2 2 2 2
KE KD KF mà KE = PF, DK = KP nên FP = KP + KF= +
ã
0
PKF vuông tại K => PKF = 90=>

Ta có:
ã ã
ã
0 0 0
DKF DKP PKF 60 90 150= + = + =
. Vậy
ã
0
DKF 150=
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc
cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống
đờng thẳng PD.
1) Tính số đo góc NEB.
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
H ớng dẫn :
1) Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB.
+) Xét

DCP và

DBE có:
ã
ã
=DCP DBE
(so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của

ABC)

ã
ã
=CDP B DE
(đối đỉnh)


DCP =

DBE (g.c.g)

CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác của
à
A
nên MNAP là hình vuông.


AN = AP

CP = BN (2)
Từ (1) và (2)

BE = BN


BEN cân tại B


ã
=

0
NEB 45
2) Gọi O là trung điểm của EN.
Ta có

BEN và

EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn
điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O.
Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K.
Khi đó:
ã
ã
=
1
OHN KON
2
(
ã
KON
góc ngoàicủa tam giác cân OHN)
ã
ã
=
1
OHB KOB
2
(
ã
KOB

góc ngoài của tam giác cân OHB)

ã
ã

OHN OHB
=
ã
ã
( )
=
0
1 1
KON KOB .90
2 2

ã
=
0
BHN 45
Vậy có
ã
ã
= =
0
BHN BEN 45
(3)
Chứng minh tơng tự ta có:
ã
ã

= =
0
NHA N PA 45
(4)
Từ (3) và (4) có
ã
=
0
AHB 90
và NH là đờng phân giác của góc
ã
AHB
Gọi H là hình chiếu của H trên AB.
Khi đó SAHB =
1
AB.HH'
2
Do đó SAHB lớn nhất khi HH lớn nhất.
Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhất khi nó bằng
bán kính, tức là khi H

D. Khi đó M

D.
3) Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I.
Do

DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính.
Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB nên I
là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB

Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định.
Bài 9: Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm trên
cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD, BE, CK
cắt nhau tại H.
a) Trong trờng hợp
ã ã
BHC BOC=
, tính AH theo a
b) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất.
H ớng dẫn :
a) Xét tứ giác AKHE có
à
à
0
90K E
= =



à
ã
0
180A BHC
+ =
mà
ã ã
BHC BOC=
;
ã
à

2BOC A
=



à à
0 0
3 180 60A A
= =
Kẻ BI là đờng kính , chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành

AH = CI
(1)
Gọi M là trung điểm của BC

IC = 2 OM (2) (Đờng trung bình)
Từ (1) và (2)

AH = 2 OM.
H
M
I
K
E
D
O
A
B
C
Do M là trung điểm của BC


OM

BC và OM là tia phân giác của góc BOC


ã
0
60MOC
=
và OM = MC.tg30
0
=
3 3
.
2 3 6
=
a a

AH = 2OM =
3
3
a
b)
DB DH
DBH DAC
DA DC
=
:



DA.DH = DB.DC
áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4
a b
ab
+

( Dấu = xảy ra khi a = b)

DA.DH = DB.DC
( )
2
2
4 4
DB DC
a
+
=
(Không đổi)
(Dấu = xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC)

DA.DH nhận giá trị lớn nhất là
2
4
a
khi D là trung điểm của BC
ABC

cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại bài
D/Bổ sung

*******************************
*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này -
/>Lời giới thiệu









Thực hiện chủ đề "Năm học ứng dụng công nghệ thông
tin" vào việc giảng dạy - học tập. Quang Hiệu xin trân trọng
giới thiệu với toàn thể quý thầy cô và các em học sinh trên
toàn quốc website :

Chủ đề của website này đó là : Kho phần mềm, ơm mầm
tơng lai, lu giữ kỉ niệm, yêu thơng, giao lu, học hỏi, chia sẻ
kinh nghiệm. Kết nối toàn cầu để tìm tòi khám phá, hiểu biết là
sức mạnh.
Khi truy cập vào website này các bạn có thể liên kết với
tất cả các trang website của Việt Nam và thế giới. Ưu việt của
website này đó là dễ truy cập, tiếp cận nhanh, cập nhật thông
tin, mọi ngời ai cũng có thể sử dụng. Các bạn đợc liên hệ với

những thầy cô giỏi nhất trên toàn quốc, đợc sự hớng dẫn tận
tình, chu đáo, miễn phí của thầy giáo Quang Hiệu, mỗi lúc bạn
gặp khó khăn khi truy cập internet và sử dụng các phần mềm
ứng dụng cần thiết. Đây là một th viện phần mềm + key, giáo
trình tin học, , là một kho t liệu, bài giảng điện tử, giáo án vi
tính, đề thi , các chuyên đề và sáng kiến kinh nghiệm của tất
cả các môn phục vụ cho việc giảng dạy của các thầy cô và học
tập của các em học sinh. Và cũng là một thế giới giải trí nh
nghe nhạc, xem phim, tìm hiểu về nhà ngoại cảm "Phan Thị
Bích Hằng" cùng với sự khẳng định có thế giới ngời âm (thế
giới có ma) của rất nhiều giáo s, tiến sĩ đầu ngành của Việt
Nam và thế giới (đặc biệt là giáo s Trần Phơng - nguyên phó
thủ tớng chính phủ). Thởng thức video biểu diễn ảnh nghệ
thuật, ảnh kĩ thuật số, ảnh động đợc chính Quang Hiệu thực
hiện với sự kết hợp của rất nhiều phần mềm tin học, đó là sự
hội tụ với tất cả những công nghệ tin học hiện đại.
Quang Hiệu đã xây dựng trang website với giao diện đẹp,
khoa học, vận dụng triệt để những công nghệ tin học để trình
duyệt, chắc chắn sẽ đem lại cho quý vị những giây phút thoải
mái nhất, những kiến thức bổ ích và cập nhật nhất, những t liệu
hiếm có khó tìm ở các trang website khác. Các bạn không cần
phải bỏ tiền để mua phần mềm tin học và giáo trình tin học mà
chỉ cần truy cập vào website của Quang Hiệu là có tất cả,
những thứ bạn cần nhất sẽ đợc đáp ứng ngay, chỉ cần liên hệ
với Quang Hiệu theo Email:

Hiện nay đã có rất nhiều đồng nghiệp trên toàn quốc và
các em học sinh đã truy cập - download tại địa chỉ website này,
đã có hàng trăm thầy cô của các tỉnh trong cả nớc là thành viên
của Quang Hiệu (bao gồm những thầy cô có tâm huyết, có

trình độ tin học bậc nhất), mỗi ngày có tới hàng trăm lợt ngời
truy cập và đã liên tục đợc tỉnh Hải Dơng đánh giá là một trong
những website cá nhân tiêu biểu nhất toàn tỉnh. Nguyện vọng
của tôi là muốn xây dựng trang website mang tầm cỡ quốc gia,
đợc mọi ngời trên toàn quốc biết đến và sử dụng nó, mang lại
niềm vinh dự cho quê hơng Hải Dơng chúng tôi.
Vậy Quang Hiệu xin chân thành cảm ơn đến tất cả các
quý thầy cô và các em học sinh trên toàn quốc đã truy cập và
coi nó nh một ngời bạn thân thiết.