TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 1 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG

KỸ NĂNG THỰC HÀNH
Hình Họ
c Không Gian
K
ỹ

năng D
ự
ng hình & trình bày Bài toán c
ơ s
ở

Tài liệu này thuộc dự án “ Kỹ năng thực hành hình học không gian” đang trong
quá trình nghiên cứu và triển khai. Nó gồm một số bài toán cơ sở về kỹ
năng dựng hình và trình bày bài. Các bài toán này là mấu chốt quan trọng
trong các bài thi đại học các năm qua.
4/12/2015
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 2 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG





-

Tiếp theo là Mục Hướng dẫn sử dụng tài liệu, tác giả chia sẻ một số ý tưởng trong
quá trình xây dựng dự án với mong muốn giúp người học tiếp cận và hiểu được cách làm bài
HHKG.
Mọi ý kiến đóng góp và phản hồi từ phía người học xin gửi vào địa chỉ facebook:
kynanglamtoan. Xin chân thành cảm ơn!
Trung tâm nghiên cứu kỹ năng làm toán
Tác giả


Ths. Phùng Quyết Thắng
-

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu này là một phần trong
dự án xây dựng “KỸ NĂNG
THỰC HÀNH HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN” đang tiếp tục
nghiên cứu.
Nó gồm một số bài
toán cơ sở trình bày kỹ
năng dựng hình và
trình bày bài. Đây là
nền tảng để học tốt
HHKG

TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 3 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU
- Trong tài liệu này trình bày một số bài toán cơ sở gồm hai phần là kỹ năng dựng hình và kỹ
năng trình bày bài. Việc xây dựng bài toán cơ sở giúp người học nhận biết chuỗi quy trình
các công đoạn mà các đề toán HHKG hiện nay được xây dựng thông qua các bài toán cơ
sở này. Do đó, việc thực hành thuần thục các bài toán cơ sở sẽ là chìa khóa mở mọi cánh
cửa các bài HHKG trong các đề thi đại học.
- Ý tưởng thể hiện kỹ năng dựng hình:
+ Đề bài được đặt ở giữa khung hình với 2 mũi tên chỉ hướng màu đen và màu trắng tượng
trưng cho hai công đoạn “quay chậm” và “quay nhanh” các bước dựng hình.
 Mũi tên màu đen biểu diễn hướng các hình được làm chậm từng bước nhỏ để người
đọc dễ dàng theo dõi và hình dung được các bước dựng cần thực hiện. Người học
nên thực hành nhiều lần để thuần thục các bước dựng hình trước khi bắt đầu xử lý
các bài toán trong các đề thi.
 Khi đã nắm vững, để giúp người học xem lại kết quả cuối cùng nhanh chóng, tác giả
thiết kế hình vẽ đó ở phía phải của đề bài theo mũi tên chỉ hướng màu trắng.
+ Trong từng hình vẽ, tác giả cố gắng thể hiện những điểm khác biệt để người học dễ dàng
nhận ra các điểm khác biệt trong hình kèm lời chỉ dẫn thực hiện bước vẽ đó bên dưới.
+ Do khuôn khổ tài liệu và thời gian thực hiện nên phiên bản lần này chưa xây dựng được
các trường hợp đặc biệt từ bài toán cơ sở để người học luyện tập.
- Ý tưởng kỹ năng trình bày bài:
+ Kỹ năng trình bày được thiết kế với 3 cột ứng với 3 thành phần cấu thành một câu trình
bày hoàn chỉnh trong các bài toán hình, đó là : Tiêu đề - Nội dung – Lý do.
 Tiêu đề: là các từ ngữ mở đầu có tính dẫn dắt, chuyển ý để câu văn trở nên mạch lạc
hơn. Kết cấu tiêu đề bao gồm: mở - thân – kết. Qua nghiên cứu, tác giả đề xuất bộ kết
cấu đơn giản, dễ sử dụng cho một ý trình bày “mở - thân – kết” là: Ta có – suy ra /
(mà) – nên (vậy) để hoàn chỉnh mỗi mỗi ý.
 Nội dung: được thể hiện ở cột giữa với 2 phần chính bao gồm phần định tính như
dựng hình, chứng minh và phần định lượng (tính góc, tính thể tích, ). Để thể hiện
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 4 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG

phần nội dung này, chúng ta có 2 cách trình bày: Liệt kê diễn giải các ý trước rồi kết
luận (cách 1) và khẳng định kết luận trước rồi dẫn chứng sau đó (cách 2). Cách 1
thường áp dụng cho phần định tính làm lời giải tự nhiên hơn; còn cách 2 thường áp
dụng cho phần định lượng làm lời giải ngắn gọn hơn (xem phần trình bày chi tiết)
 Lý do: là phần để người trình bày giải thích nguồn gốc kiến thức sử dụng. Kiến thức
này trong hình học được xây dựng từ tiên đề, định lý, hệ quả của đối tượng nào đó và
được thể hiện thành dấu hiệu nhận biết (d.h.n.b) và tính chất (t/c) của đối tượn đó
như: d.h.n.b đường _|_ mặt, tính chất mặt // mặt,…
- Cấu trúc sắp xếp:
 Các bài toán cơ sở được sắp xếp theo trình tự logíc. Để đạt hiệu quả cao, tốn ít thời
gian, người học nên thực hành thuần thục các bài toán theo thứ tự trước khi chuyển
sang bài toán cơ sở kế tiếp bởi các bài toán dựng hình có sự liên hệ với nhau nên để
tài liệu nhỏ gọn, các bước dựng giống nhau trong các bài toán cơ sở kế tiếp được lấy
từ các bài toán cơ sở trước đó.
 Tài liệu hiện trình bày theo khổ giấy A4 dọc là một điểm hạn chế cho người học đối
chiếu cả 2 kỹ năng cùng một lúc. Hạn chế này sẽ được tiếp tục nghiên cứu khắc phục
trong thời gian tới.
- Sử dụng các bài toán cơ sở này như thế nào trong khi giải các đề thi?
 Khi gặp phải các bài toán phức tạp, một mẹo mà tác giả vẫn thường làm, đó là vẽ
bài toán cơ sở ra nháp rồi dựa vào nó để tìm lại cách dựng trong bài toán mình
đang làm Kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả với bài toán xác định khoảng cách của 2
đường thẳng chéo nhau.

Trung tâm
nghiên cứu kỹ năng làm toán



TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 5 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG

BµI 1
1
2 3
4












Tìm chân
đư
ờ
ng cao
A
.
Điểm A là hình chiếu của S
xuống (ABC).
Bài toán:

Xác đ
ị
nh góc t
ạ

o
bởi mf (ABC) và đường SI

[SI; (SBC)] =

SIA



Tìm giao
đi
ể
m
I

c
ủ
a (ABC)
với SI
CÁC BƯ
Ớ
C D
Ự
NG HÌNH BÀI
TẬP 1
N
ố
i
AI


l
ạ
i.
AI là hình chi
ế
u
của SI xuống (ABC)




Tiêu đề Nội dung
Lý d
o

Ý 1
Dựng góc [SI; (ABC)] = góc SIA
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :



SA _|_ (ABC) tại A
SI  (ABC) tại I
AI là hình chiếu của SI xuống (ABC)

(gt)


I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
BÀI TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GÓC TẠO BỞI ĐƯỜNG VÀ MẶT PHẲNG
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 6 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Nên :

[SI ;(ABC)] =

SIA

Ý 2
Tính góc [SI; (ABC)] = góc SIA
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

Xét


Trong đó
 vuông SAI có:


(

)
=


=
⋯


=
⋯



;

=
⋯




(Hệ thức lượng  vuông)





1. Bài toán này thường nằm

ở đâu? Dùng để làm gì?
2. Bài toán này thường hỏi
thì KHÓ ở điều gì ?

- Với đề bài: thường nằm ở câu thứ 3 để
dùng làm dữ kiện xác định chiều cao SA
- Với câu hỏi: thường khó xác định được
chân đư
ờ
ng cao A , ho
ặ
c tính toán
ph
ứ
c

3. Các kiến thức cần nhớ
Khó ở chỗ phải tìm được chân đường vuông
góc A, từ đó mới dựng tiếp và tính toán
được.
dấu hiệu và tính chất
đường _|_ mặt
định lý 3 đường _|_
(đ
ị
nh tính)

định lý Pitago,
định lý hàm
cosin trong tam

giác (định
lượng)
HỌC BÀI TOÁN
CƠ SỞ 1: DỰNG
HÌNH VÀ TRÌNH
BÀY

III. MỤC TIÊU – GHI NHỚ
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 7 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG






Tìm chân đường cao A.
Điểm A là hình chiếu của S
xuống (ABC)
Bài toán: Xác định góc tạo
bởi mf (ABC) và mf (SBC)
Góc giữa (SBC) và (ABC) là
góc SIA



Tìm giao tuyến BC của
(ABC) và (SBC)
Từ A kẻ AI _|_ BC tại I Nối SI thì SI _|_BC (định lý
3 đường _|_ )



Tiêu đề Nội dung
Lý do

Ý 1
Dựng góc [(SBC); (ABC)] = góc SIA
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :


Nên :

SA _|_ (ABC) tại A
(SBC)  (ABC) tại BC
Từ A, kẻ AI _|_BC tại I thì SI _|_BC
 [(SBC) ;(ABC)] =  SIA

(gt)

(định lý 3 đường _|_)

BÀI TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GÓC TẠO BỞI HAI MẶT PHẲNG
I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI

TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 8 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Ý 2
Tính góc [(SBC); (ABC)] = góc SIA
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

Xét


Trong đó
 vuông SAI có:

(

)
=


= ⋯


=
⋯




;

=
⋯



(Hệ thức lượng  vuông)





III. MỤC TIÊU – GHI NHỚ
1. Bài toán này thường nằm
ở đâu? Dùng để làm gì?
2. Bài toán này thường hỏi
thì KHÓ ở điều gì ?

- Với đề bài: thường nằm ở câu thứ 3 để
dùng làm dữ kiện xác định chiều cao SA
- Với câu hỏi: thường khó xác định được
chân đư
ờ
ng cao A , ho
ặ
c tính toán
ph

ứ
c

3. Các kiến thức cần nhớ
Khó ở chỗ phải tìm được chân đường vuông
góc A, từ đó mới dựng tiếp và tính toán
được.
dấu hiệu và tính chất
đường _|_ mặt
định lý 3 đường _|_
(đ
ị
nh tính)

định lý Pitago,
định lý hàm
cosin trong tam
giác (định
lượng)
HỌC BÀI TOÁN
CƠ SỞ 2: DỰNG
HÌNH VÀ TRÌNH
BÀY

TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 9 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
BµI
3a
2
3 5

6






Tìm giao tuyến BC của
(ABC) và (SBC) với
(ABC) là mf chứa A
Bài toán: Xác định
khoảng cách từ điểm A là
chân đường cao đến
(SBC)
Bước 6: Từ A, kể AH
_|_SI thì AH_|_(SBC)
nên: d(A;(SBC) = AH


Từ điểm A kẻ AI_|_ BC
tại I .
CÁC BƯỚC DỰNG HÌNH
BÀI TẬP 3
Nối SI thì ta được hình
dạng của BÀI TOÁN 2




Tiêu đề Nội dung

Lý do

Ý 1
Dựng AH _|_ (SBC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :
Lại có:
SA _|_ (ABC) tại A
(SBC)  (ABC) tại BC
(gt)

BÀI TOÁN 3A: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM LÀ
CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC ĐẾN MẶT PHẲNG ĐỐI DIỆN
I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 10 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG


Do đó,
Từ A, kẻ AI _|_BC tại I . Nối SI.
Trong (SIA), kẻ AH _|_ SI thì AH _|_ (SBC).


Ý 2

Chứng minh AH _|_ (SBC) Cách 1
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :

Lại có :
Nên

Mà :
Nên :
Nên :
SA _|_ (ABC)

BC
SA _|_ BC
SI _|_ BC
BC_|_ (SIA)  AH
BC _|_ AH
SI _|_ AH
AH _|_ (SBC)
d(A; (SBC)) = AH

(tính chất đường _|_ mặt)
(Cách dựng)
(d.h.n.b đường _|_ mặt)
(tính chất đường _|_ mặt)

(Cách dựng)
(d.h.n.b đường _|_ mặt)
Ý 3
Chứng minh AH _|_ (SBC) Cách 2
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :

Mà :

Nên :
Do BC _|_ AI; BC_|_SI nên BC_|_(SIA)

AH
AH _|_ BC.
AH _|_ SI
AH _|_ (SBC)
d(A; (SBC)) = AH
(d.h.n.b đường _|_ mặt)
(tính chất đường _|_ mặt)
(Cách dựng)
(d.h.n.b đường _|_ mặt)

Ý 4
Tính d(A ; (SBC) = AH
(Ph

ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

Xét



Trong đó
 vuông SAI có:
1


=
1


+
1


 ⇔  =

.

√




+



=
.
.
.


=
⋯



;

=
⋯



(Hệ thức lượng  vuông)

(thay giá trị vào)


TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN

TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 11 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
BµI
4A
1
6 7
8











Truyền điểm M về điểm A
là chân đường _|_. Kéo dài
AM cắt (SBC) tại K
Bài toán:
Dựng d(M;(SBC)) với SA
_|_(ABC) và điểm M bất kỳ
Kẻ ME//AH . Do AH _|_
(SBC) nên ME _|_ (SBC)




Thực hiện lại bài toán 3a.

Xem lại bài trước nếu các
em không nhớ!

CÁC BƯỚC DỰNG HÌNH
BÀI 4A
Khi đó, KH là hình chiếu
của KA trên (SBC) nên hình
chiếu của M trên (SBC) cũng
phải thuộc HK



BÀI TOÁN 4A: (BÀI TOÁN TRUYỀN ĐIỂM CỦA BÀI TOÁN 3A)
XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG
Cho SA _|_ (ABC) tại A, M là điểm bất kỳ nằm trong hình
chóp S.ABC ;

gi
ả

s
ử

M thu
ộ
c (SAB)
. Xác đ
ị
nh
d(M


; (SBC)
I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 12 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Tiêu đề Nội dung
Lý
do

Ý 1
Tìm giao điểm I của AM với (SBC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)


Kéo dài AM cắt (SBC) tại K. Ở đây K
∈
BC.

Ý 2
Dựng AH _|_ (SBC) tại H
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)


–

BT 3a

Ta có :
Lại có:

Do đó :
SA _|_ (ABC) tại A
(SBC)  (ABC) tại BC
Từ A, kẻ AI _|_BC tại I . Nối SI.
Trong (SIA), kẻ AH _|_ SI thì AH _|_ (SBC).
(gt)



Ý 3
Chứng minh AH _|_ (SBC) Cách 2
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

–

BT 3a

Ta có :


Mà :

Nên :
Do BC _|_ AI; BC_|_SI nên BC_|_(SIA)

AH
AH _|_ BC.
AH _|_ SI
AH _|_ (SBC)
d(A; (SBC)) = AH
(d.h.n.b đường _|_ mặt)
(tính chất đường _|_ mặt)
(Cách dựng)
(d.h.n.b đường _|_ mặt)

Ý 4
Chứng minh ME _|_ (SBC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :

Nên :
Mà :

Do đó :

Do :
Vì vậy :
H là hình chiếu của A lên (SBC)
K là hình chiếu của K lên (SBC)
HK là hình chiếu của AK lên (SBC)
M ∈ AK
Hình chiếu E của M lên (SBC) nằm trên HK
Kẻ ME // AH cắt HK tại E.
AH_|_ (SBC) nên ME_|_(SBC)
d(M;(SBC) = ME
(Phần này nhiều sách tham khảo
và cả các thầy giáo luyện thi nổi
tiếng về HHKG cũng “lờ đi” nên
làm nhiều học sinh “học vẹt” khi
không hiểu tại sao! Đây là tính
chất của hình chiếu giữa đường
và mặt phẳng. Chúng ta nên đưa
vào trình bày thì lời giải sẽ mạch
lạc và rõ ràng hơn)
Ý 5
Tính d(A ; (SBC) = AH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)
–


BT3a

Xét



Trong đó
 vuông SAI có:
1


=
1


+
1


⇔  =

.

√



+




=
.
.
.


=
⋯



;

=
⋯



(Hệ thức lượng  vuông)

(thay giá trị vào)
Ý 6
Tính tỷ số d(M; (SBC) = ME = k. AH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ

ng)

Xét
Nên:


 AHK có: ME// AH

(

;
(

)

(

;
(

)
=



=


= 
ME = k. AH = …



(Định lý Talet)
(Thường đề bài cho biết tỷ số k
hoặc xuất hiện trong hình)
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 13 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG










Đ
Ặ
C ĐI
Ể
M

Mặt phẳng (SAC) cần tính
là mặt phẳng chứa 1 điểm là
chân đường vuông góc A
và điểm cần tính B cùng
thuộc mặt phẳng (ABC)
Bài toán: Xác định khoảng
cách từ điểm B đến (SAC)

trong đó A là chân đường
cao chóp S.ABC
Bước 1: Kẻ BH _|_ AC thì
BH _|_ (SAC).
Khi đó: d(B;(SAC)) = BH




Tiêu đề Nội dung
Lý do

Ý 1
Dựng BH _|_ (SAC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :


Nên :
Vậy :
Kẻ BH _|_ AC tại H
SA _|_ (ABC) tại A
BH _|_ SA
BH _|_ (SAC)
d( B; (SAC)) = BH

(gt)
(tính chất đường _|_
mặt)
(d.h.n.b đường _|_ mặt)
Ý 2
Tính d(B; (SAC) = BH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

BÀI TOÁN 3B: XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM THUỘC ĐÁY ĐÉN
MẶT PHẲNG CHỨA CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Đề bài: Cho SA _|_ (ABC) tại A. Dựng và tìm d(B ; (SAC) = ?
Ở đây: A là chân đường vuông góc thuộc đáy (ABC). B là điểm cần tính khoảng cách cũng
thuộc đáy (ABC). Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng có đặc điểm chứa chân đường v. góc A.
=

?

I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 14 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Xét



Trong đó
 vuông ABC có:
.  = .  ⇔  =

.


=.


=
⋯



;

=
⋯
,

=
⋯



(Hệ thức lượng  vuông)


(thay giá trị vào)



TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 15 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
BµI
4b
1
2 3
4











Truyền điểm M về bất kỳ
điểm nào trên SA và AB. Ở
đây là nối BM cắt SA tại I.
Bài toán: Dựng d(M;(SAC))
với SA _|_(ABC) và A thuộc
mặt phẳng cần dựng (SAC)
Hình chiếu của M trên (SAC)
phải thuộc IH. Kẻ MK//BH
thì MK_|_(SAC)




Thực hiện lại bài toán 3b,
dựng d(B;(SAC) bằng cách
kẻ BH_|_AC
CÁC BƯỚC DỰNG HÌNH
BÀI 4B
Khi đó, IH là hình chiếu của
IB trên (SAC)


BÀI TOÁN 4B: (BÀI TOÁN TRUYỀN ĐIỂM CỦA BÀI TOÁN 3B)
XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG CHỨA CÓ
CHỨA CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Cho SA _|_ (ABC) tại A, M là điểm bất kỳ nằm trong hình chóp
S.ABC. Giả sử M thuộc (SAB). Xác định d(M ; (SAC) = ?
I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 16 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Tiêu đề Nội dung
Lý do

Ý 1
Tìm giao điểm I của BM với (SAC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)




Kéo dài BM cắt (SBC) tại I. Ở đây I
∈
SA.

Ý 2
Dựng BH _|_ (SAC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :


Nên :
Vậy :
Kẻ BH _|_ AC tại H thì BH _|_ AC
SA _|_ (ABC) tại A
BH _|_ SA
BH _|_ (SAC)
d( B ; (SAC)) = BH
(gt)
(tính chất đường _|_ mặt)


(d.h.n.b đường _|_ mặt)

Ý 3
Chứng minh MK _|_ (SAC)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)

Ta có :

Nên :
Mà :

Do đó :
Do :
Vì vậy :
H là hình chiếu của B lên (SAC)
I là hình chiếu của I lên (SBC)
HI là hình chiếu của BI lên (SBC)
M ∈ BI
Hình chiếu K của M lên (SBC) nằm trên BI
Kẻ MK // BH cắt HI tại K.
BH_|_ (SAC) nên MK_|_(SAC)
d(M;(SBC) = MK
(Phần này nhiều sách tham khảo
và cả các thầy giáo luyện thi nổi
tiếng về HHKG cũng “lờ đi” nên
làm nhiều học sinh “học vẹt” khi
không hiểu tại sao! Đây là tính
chất của hình chiếu giữa đường

và mặt phẳng. Chúng ta nên đưa
vào trình bày thì lời giải sẽ mạch
lạc và rõ ràng hơn)
Ý 4
Tính d(B; (SAC) = BH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

Xét


Trong đó
 vuông ABC có:
.  = .  ⇔  =

.


=.


=
⋯




;

=
⋯
,

=
⋯



(Hệ thức lượng  vuông)

(thay giá trị vào)
Ý 5
Tính tỷ số d(M; (SAC) = MK = k. BH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)

Xét

Nên:



 AHK có: MK// BH

(

;
(

)

(

;
(

)
=


=


= 
MK = k. BH = …


(Định lý Talet)
(Thường đề bài cho biết tỷ số k
hoặc xuất hiện trong hình)



TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 17 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG






Từ B kẻ BD // AC. Nên
chọn điểm cần kẻ // trong
mặt phẳng đáy.
Bài toán: Xác định khoảng
cách của SB và AC.
Thực hiện bài toán 3 đã
để dựng được AH
_|_(SBD). Khi đó:
d(AC ;SB) =AH

KIẾN THỨC SỬ DỤNG
1. Nếu biết đường // mặt
phẳng thì:
d(AC;SB) = d(AC;(SBD)) =
d(A;(SBD))

2. Sử dụng Bài toán số 3:
Khoảng cách từ chân
đường cao đền mặt
phẳng:
d(A; (SBD)) = AH


Khi đó, theo D.h.n.b đường//
mặt, ta có: AC // (SBD). Ta làm
vậy chuyển đổi về bài toán số
3: đường _|_ mặt.
Khi đó: d(AC ;SB) = d(AC;
(SBD) = d(A; (SBD)


I. KỸ NĂNG DỰNG HÌNH
BÀI TOÁN 5: KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO
NHAU

II. KỸ NĂNG TRÌNH BÀY BÀI
TRUNG TÂM NGHIÊN CỨU KỸ NĂNG LÀM TOÁN
TÀI LIỆU: KỸ NĂNG THỰC HÀNH HHKG 18 TÁC GIẢ: THS. PHÙNG QUYẾT THẮNG
Tiêu đề
Nội dung
Lý do

Ý 1
Dựng và chứng minh AC //(SBD)
(Ph
ầ
n đ
ị
nh tính)



Từ B, kẻ BD //AC thì AC // (SBD)

d(AC ;SB) = d(AC ; (SBD)) = d(A ; (SBD))
(D.h.n.b đường//mặt)
(Quan hệ _|_ )
Ý 2

…
Ý 3
Sử dụng phần trình bày của bài toán 3: Khoảng
cách của chân đường cao đến mặt phẳng gồm 2 ý
tiếp theo: dựng và chứng minh AH _|_ (SBD)
……………………………………………………
Mục đích không trình
bày lại
+ Để chỉ ra bản chất liên
hệ giữa các bài toán.
+ Tăng trí nhớ và tạo
thói quen xem lại phần
trước!
Vậy :
d(AC ;SB) = d(A ; (SBD)) = AH

Ý 4
Tính d(AC;SB) = d(A ; (SBD) = AH
(Ph
ầ
n đ
ị
nh lư
ợ
ng)


Xét



Trong đó
 vuông SAI có:
1


=
1


+
1


⇔  =

.

√

+ 

=.


=

⋯



;

=
⋯



(Hệ thức lượng 
vuông)