PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Một số phương pháp
giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
I.LÝ DO C H Ọ N ĐỀ TÀI:
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng
không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số
phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải
phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng
biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn.
II. N Ộ I DUNG
A. Xét phương trình
a x
2
a xy a x a y a y
2
a
0 .Trong đó
a
0 hoặc
a
2
0
,
a
5
0
1 2 3 4 5 6 1
B. Các phương pháp giải.
a.Ph

ương pháp th

ứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương
D ạng 1

. A
2
A 0
B
2
C
2
0 B 0
C 0
Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên:
5x
2
2 y
2
4 xy 9 y 8x 14 0(1)
L ưu ý : Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của
một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ
sổ là số chính phương, do đó
5x
2
2 y
2
4 x
2

x
2
y
2
y

2
Phương trình (1)
4x
2
x
2
y
2
y

2
4xy 4 x 4 x 9 y 14 0
Ta coi bình phương của một tam thức (
a b c)
2
((a b)
c)
2
là bình phương
của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c.
Vậy (1)
4x
2
x

2
y
2
y
2
4xy 4 x 4 x 9 y 14 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
1
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
((2 x)
2
2.2x( y 1) ( y 1)
2
) (
x 2)
2
( y 3)
2
0
2 2 2
2x y 1 x 2 y 3 0
(
2x y 1)
2
( y 3)
2
( x 2)
2
0
2x y 1 0

y

3 0
x 2 0
x

2
y 3
Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên:
1, 2x
2
2, 5x
2
3,
5
x
2
5 y
2
2 y
2
10 y
2
14 4xy 8 y 4 x 0
14 4 xy 4 y 8x 0
3 12xy 8 y 2 x 0
4, 10x
2
5, 10x
2

Giải:
5 y
2
4 y
2
38 12xy
34 12xy
16 y
20 y
36 x 0
36 x 0
1,
2
x
2
5 y
2
14 4xy 8 y 4 x 0
x
2
x
2
4 y
2
y
2
4
xy 8 y
4 x 14 0
2 2 2

x 2 y 1 x 3
x 2 y 1 0
y 2 0
x
y
x
y
2, 5x
2
3 0
2 0
3
2
2 y
2
14 4 xy 4 y 8x 0
4x
2
x
2
y
2
y
2
4
xy 8x
4 y 14 0
2 2 2
2x y 1 x 2
2x y 1 0

y 3 0
x 2 0
y 3 0
x

2
y 3
3, 5x
2
10 y
2
3 12xy 8 y 2 x 0
4x
2
x
2
9
y
2
y
2
1
2xy
2 x 8 y 3 0
2
2
2
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2 2 2
2x 3 y 1 x 1

2x 3 y 1 0
x 1 0
y 1

0
x 1
y 1
y 1 0
4, 10x
2
5 y
2
38 12xy 16 y 36 x 0
x
2
9
x
2
4 y
2
y
2
38 1
2xy
16 y 36 x 0
( 3x
2.3x. 2 y 5 2 y 5 )
x
2
6

x 9 y
2
4
y 4 0
2 2 2
3x 2 y 5 x 3
3x 2 y 5 0
x 3 0
y

2 0
x

3
y 2
y 2 0
5, 9x
2
x
2
4 y
2
34 12xy 20 y 36 x 0
2 2
3x 2 y 5 x 3 0
3x 2 y 5 0
x 3 0
x 3
y 2
D ạng 2


. A
2
B
2
C

2
m
2
n
2
A m
p
2
B n
C p
và các hoán vị của chúng.
Ví d ụ : Giải phương trình:
x
2
x
4x
2
(2 x
6 y
2
4x
1)
2

0
24 4 y
2
(2 y)
2
0
25 3
2
4
2
0
2
5
2
3
2 2
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Do 2x-1 lẻ nên
2 x 1 3
2 y 4
x 2; 1
y 2
Hoặc
2 x 1 5
2 y 0
x 3; 2
y 0
Phương trình đã cho có nghiệm:
(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)
Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

1, x
2
100 6xy
13 y
2
2, x
2
Giải:
4xy
5 y
2
169
1,
x
2
100 6xy
13 y
2
x
2
6
xy
9 y
2
4 y
2
100
x 3 2 y
100 6
2

8
2
0
2
1
0
2
x 3 6
x 9
2 y 8
y 4
Hoặc
x 3 8
2 y 6
x 11
y 3
Hoặc
x 3 10
2 y 0
x 13
y 0
Hoặc
x
3 0
x 3
2 y 10
y 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x, y
9; 4 11; 3 3;5

2, x
2
x
2
4xy
4 xy
5 y
2
4 y
2
169
y
2
169
x 2 y
2
y
2
169 1
2
2
5
2
0
2
13
2
4
16 x 4
6 y 1

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x 2 y 12
y 5
x 22
y 5
hoặc
x 2 y 5
y 12
x 19
y 12
hoặc
x 2 y 0
y 13
x 26
y 13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x, y
22; 5 19;12 26;13
b.Ph

ương pháp th

ứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử
A 0
D ạng 1

. A.B.C =0 B 0
C 0
D ạng 2


. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên)
A m
B n
C

p
và các hoán vị của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
3x
2
10xy
8 y
2
96
3x
2
6xy 4 xy
8 y
2
96
( x 2 y)(3x
4 y) 96 16.6 12.8 24.4
Do x,y là các số nguyên dương nên
(3x
2x
x
4 y) ( x
4 y
2 y
2 y) 3

Hoặc
2
x 4 y 12
x 2 y 8
x 4
(loại)
y 6
Hoặc
2
x 4 y 24
x 2 y 4
x 16
y 6
(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
Bài t ậ p :
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
x, y 4;1
1, y
2
x
2
x 6
5
2 y 2x 1 23
2 y 2x 1 1
2 y 2x 1 1
2 y 2x 1 23
y y 6
6 y 9 16

6 y 9 16
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2, x
2
25
y y 6
3, x
2
4, 5
5,
x
2
6
xy x
y
x xy
5 y
2
3xy
3 y
121
2
6 0
Giả i :
1, y
2
4 y
2
x
2

x 6
4x
2
4
x 24
(2 y)
2
(2 y)
2
(4x
2
(2x
4x
1)
2
1) 23
23
2 y 2x
2 y
2x
1 2 y 2x
1 23
1 23 1.23 ( 1).( 23) 23.1 ( 23).( 1)
y 6
2 y 2x 1 1
x 5
2 y 2x
2 y
2x
1 1

y 6
1 23
x 6
y 6
x 6
y 6
x 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
nguyên:
x, y 5; 6 , 6; 6 , 6; 6 , 5; 6
2,
x
2
25
x
2
y

2
x
2
y

2
2 2
x y 3 16
x y 3
x y 3 16
Do x y
3

x y 3
Và
x y
3 ; x y
3
cùng tính chẵn lẻ nên
x y 3
x y 3 2.8 4.4 8 2 4 4
x y 3 2 x 5
x y 3 8 y 0
x y 3 8 x
x y 3 2 y
x y 3 4 x
x y 3 4 y
x 3 y 2 y 11
x 3 y 2 y 11
2 2
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x y 3 4 x 4
x y 3 4 y 3
5
0
4
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y 5; 0 5; 0 4; 3 4; 3
3, x
2
x
2

6 xy
6xy
5 y
2
9 y
2
121
4 y
2
121
x 3
y
x 3
y
2 y
2 y x
121
3 y 2 y 121
Do x 3 y
2 y x 3 y 2 y
Và x 3 y
2 y ; x 3 y
2 y cùng tính chẵn lẻ nên
x 3 y 2
y
x 3 y 2
y
121
1
x 3 y 61

2 y 60
x 3 y 61
y 30
Nếu y 30 Thì x
90 61 x 151; 29
Nếu
y
30
Thì x
90 61 x 151; 29
x 3 y 11
2 y 0
x 11
y 0
Vậy phương trình đã cho cónghiệm
nguyên:
x, y 29; 30 , 151; 30 , 29; 30 , 151; 30 , 11; 0 , 11;0
4, 5 x y
5 x y
3xy 2
3xy 2
15
15x
x y
9xy
9xy 6
6
3x 5 3 y
3x 5 3
y

5 5 3 y
5 31
25 6
Không mất tính tổng quát giả sử
x y
3x
5 3 y 5
7
f
y
y
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
3x
5 1 x 2
3 y 5 31 y 12
3x 5 1
3 y 5 31
x
4
3
y
26
3
(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y 2;12 12;2
5, x
2
x xy 3 y 6 0
x

2
3
x xy 3 y
2 x 6 0
x x 3 y x 3 2 x 3 0
x 3 x y 2 0
x 3; y Z
y x 2; x Z
c.Phư ơ ng pháp t h ứ b a : Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia
là hằng số.Chẳng hạn
(

x

,

y

)
0 ta coi y hằng số.
D ạng 1

. nếu
ay
2
by c có hệ số a < 0.
hoặc
y
by c

có hệ số b < 0.
Để phương trình
f
( x , y )
0
có nghiệm thì
y
0
từ đó tìm được một nghiệm là y
và suy ra nghiệm còn lại x.
Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên:
(3x
2
xy y
2
)
x 8 y
3x
2
(3 y 1)
x
3 y
2
8
y 0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có
27 y
2
9 y 1 .
Để pt đã cho có nghiệm thì

y
27 y
2
9 y 1 0
y 0,1, 2,3
Thay vào ta được
0, 01 y 3, 3; y Z
Nếu y
0 3x
2
x 0
1
3x
2
x
0
x
3
x 0
Nếu
y
1 3x
2
2 x 5 0
8
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
x 1
3x
2
2 x 5 0

5
x
Nếu
y
2 3x
2
3
5x 4 0
25 48 73 (không phải là số chính phương)
Nếu
y
3 3x
2
8x 3 0
/
16 9 7 (không phải là số chính phương)
pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1)
Bài t ậ p :
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1,
x
2
xy y
2
2 x y 0
2, x
2
Giải:
xy y
2

x y
1, x
2
xy y
2
2 x y 0 x
2
x y 2 y
2
y 0
y
2
4
y
4 4 y
2
4
y
4 3 y
2
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
4 3 y
2
0
y
2
1 1
y 1
Nếu y
x

2
Nếu y
1 x
2
3x 2 0
0 x
2
x 1 2x 1 0
x 2
x 1
2x 0
x
2
2 x 0
Nếu y 1 x
2
x
2
x 0
x 2
x 0
x 1 2x 1 0
x 0
x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
x, y
1; 1 , 2; 1 , 0; 0 , 2; 0 , 1;1 , 0;1
2, x
2
xy y

2
x y
x
2
x
y 1
y
2
y
0
y
2
2
y 1 4 y
2
4
y 3 y
2
6 y 1
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 0
3 y
2
6 y
0,154 y
y 0;1;2
1 0
2,154