Về giả phổ của ma trận
Lê Đình Năng
Ngày 18 tháng 7 năm 2010
Mục lục
1 Phổ c ủa ma trận 4
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tính chất của phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bán kính phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Hoành độ phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Giả phổ của ma trận 15
2.1 Định nghĩa về giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Hoành độ giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Ví dụ về giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Tính chất của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Biên của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Tính toán hoành độ giả phổ của ma trận 35
3.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Thành phần liên thông của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
Lời mở đầu
Trong quá trình sử dụng hoành độ phổ để nghiên cứu tính ổn định vững của hệ phương
trình vi phân tuyến tính ˙x = Ax, x ∈ C
n
, A ∈ C
n×n
đã phát hiện nhiều lập luận không
còn chính x ác, và có thể dẫn tới kết luận sai lầm về dáng điệu tiệm cận của nghiệm dưới
tác động của nhiễu nhỏ hoặc dưới lực cưỡng bức rất nhỏ. Chính vì vậy cần có một c ông cụ

"tốt hơn" để cho những chỉ dẫn cũng như kết luận "tốt hơn" về dáng điệu tiệm cận của
nghiệm của hệ động l ực khi bị nhiễu nhỏ. Câu trả lời chính là -hoành độ giả phổ của ma
trận, -hoành độ giả phổ của ma trận A là giá trị lớn nhất của tất cả các phần thực của
các giá trị ri êng của những ma trận phức cách A một khoảng không quá  > 0. -hoành độ
giả phổ của ma trận đo tính ổn định vững của ma trận. Nội dung của luận văn tr ình bày
về các kiến thức cơ bản và thuật toán tính toán giả phổ của ma trận. Trong luận văn này
chúng tôi chỉ xét ma tr ận vuông cấp n thực hoặc phức, trong đó việc đi tìm -hoành độ giả
phổ của ma trận A cho trước là mục đích chính của luận văn. Nội dung của luận văn gồm
3 chương.
Dựa vào [3] , những khái niệm và tính chất cơ bản về phổ của ma trận được chúng tôi
trình bày lại một cách tương đối hệ thống trong Chương 1.
Chương 2 dành cho việc trình bày các kết quả về giả phổ của ma trận. Kết quả chính
của chương này là các định nghĩa tương đương về giả phổ và một số tính chất của nó, cho
phép chúng ta sử dụng lý thuyết để tính toán.
Chương cuối của luận văn tập trung trình bày phương pháp "criss-cross" để tính -
hoành độ giả phổ của ma trận. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày chứng minh sự
hội tụ cấp 2 của thuật toán. Cuối chương l à những thử nghiệm số được thực hiện trong môi
trường Matlab 7.0. Nội dung chính của các Chương 2 và 3 được dựa vào các bài báo [1,2].
Luận văn này sẽ k hông thể thành công nếu không có sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy
2
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
hướng dẫn tôi, thầy Lê Công Lợi người thầy luôn giải đáp những khúc mắc cho tôi. Tôi
chân thành cám thầy Vũ Hoàng Linh, thầy Phạm Kỳ Anh cùng các thầy cô trong khoa
toán đã tạo nhiều điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Qua bài khóa luận này cho
tôi gửi lời cám ơn tới các anh chị em học viên cao học toán khóa học 2007-2009, đặc biệt là
các anh chị em học viên chuyên ngành toán học tính toán 2007-2009 đã tạo ra môi trường
học tập cởi mở và hi ệu quả nhằm giúp mọi thành viên trong nhóm toán học tính toán thu
được những kết quả học tập tốt nhất trong khả năng có thể của mỗi người. Và cuối cùng
tôi rất biết ơn gia đình đã tạo điều kiện để tôi có thể tiếp tục học tập và hoàn thành luận
văn này.

Hà nội, Ngày 18 tháng 7 năm 2010
Lê Đình Năng
GVHD:TS. Lê Công Lợi 3 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Chương 1
Phổ củ a ma trận
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Ta biết rằng với ma trận A vuông cấp n (thực hoặc phức), số phức λ
và véc tơ 0 = x ∈ C
n
thỏa mãn Ax = λx được gọi là giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng
của ma trận A, cặp (λ, x) được gọi là cặp riêng (eigenpair) của ma trận A.
Dễ thấy rằng, khi A không suy biến và nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A thì (λ
−1
, x)
là cặp riêng của ma trận A
−1
.
Định nghĩa 1.1.2 Phổ của ma trận A là tập hợp gồm tất cả các giá trị riêng phân biệt
của nó trong mặt phẳng phức. Kí hiệu Λ(A) l à phổ của ma trận A khi đó ta có:
Λ(A) = {λ ∈ C : det(A −λI) = 0}.
Vì vậy
λ ∈ Λ(A) ⇔ A −λI suy biến ⇔ det(A −λI) = 0.
Tập {x = 0 : x ∈ ker(A − λI)} là tập gồm tất cả các véc tơ riêng liên kết với λ, và
ker(A −λI) được gọi là không gian riêng của A ứng với giá trị riêng λ. p(λ) = det(A −λI)
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A, và đa thức đặc trưng p(λ) có bậc n đối với
λ, có số hạng với bậc cao nhất là (−1)
n
λ
n
. Do đó, giá trị riêng của ma trận A là nghiệm

của phương trình đặc trưng p(λ) = 0. Theo định lí cơ bản của đại số một đa thức một biến
4
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
bậc n có đủ n nghiệm, vì vậy A có n giá trị riêng và một số giá trị riêng có thể là số phức,
có thể có số bội lớn hơn 1 (cho dù A là ma trận thực).
Một véc tơ hàng y
∗
= 0 sao cho y
∗
(A − λI) = 0 được gọi là véc tơ riêng trái của ma
trận A. K hi đó cặp (λ, y
∗
) được gọi là cặp riêng trái của ma trận A. Dễ nhận thấy là nếu
(λ, x) và (µ, y
∗
) là các cặp riêng phải và trái của ma trận A ∈ R
n×n
, nghĩa là Ax = λx và
y
∗
A = µy
∗
thì ta có y
∗
x = 0 ∀λ = µ.
Ví dụ 1.1: Xét các ma trận sau đây:
A =









−0.01 5 −1 −1
−5 −0.01 5 −1
0 0 −0.01 5
0 0 −5 −0.01








∈ R
4×4
,
khi đó rõ ràng A có hai giá trị riêng bội hai và phổ của A là:
Λ(A) = {−0.01 ±5i}.
Ma trận
B =









−0.01 5 −1 −1
−5 −0.01 5 −1
0 0 −0.01 5
−0.001 0 −5 −0.01








∈ R
4×4
có 4 giá trị riêng phân biệt và phổ của B là:
Λ(B) = {−0.0492 ±5.0065i, 0.0292 ± 4.9937i}.
Trong khi đó với ma trận phức:
C =


1 1 + i
0 1 −i


∈ C
2×2
,
có phổ là Λ(C) = {1, 1 −i}.

GVHD:TS. Lê Công Lợi 5 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
1.2 Tính ch ất c ủa phổ
Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = 0 nên những
tính chất của đa thức sẽ phản ánh nhiều tính chất của phổ ma trận. Vì vậy ta có nhận xét
sau:
1. Λ(A
T
) = Λ(A).
2. Λ(A) = Λ(A).
3. Λ(A
∗
) = Λ(A).
4. 0 ∈ Λ(A) khi và chỉ khi A suy biến.
5. Với k ∈ N hoặc A không suy biến và k ∈ Z thì
Λ(A
k
) = {λ
k
: λ ∈ Λ(A)}.
6. Λ(αI + A) = α + Λ(A), ∀α ∈ C.
7. Λ(αA) = αΛ(A), ∀α ∈ C.
8. Λ(AB) = Λ(BA), ∀A, B ∈ C
n×n
.
9. Với ma trận thực A, khi đó nếu A có giá trị riêng phức thì các giá trị riêng phức đó
phải xuất hiện theo cặp liên hợp, nghĩa là nếu λ ∈ Λ(A) t hì λ ∈ Λ(A).
10. Định lý các đường tròn Gerschgorin: Các giá trị riêng của A = (a
ij
) ∈ C

n×n
bị
chứa trong hợp G
r
của n đường tròn Gerschgorin được xác định bởi:
|z −a
ii
| ≤ r
i
, trong đó r
i
=
n

j=1,j=i
|a
ij
|, với i = 1, 2, . . . , n,
tức là
Λ(A) ⊆
n

i=1

λ ∈ C : |λ − a
ii
| ≤
n

j=1,j=i

|a
ij
|

=: G
r
. (1.2.1)
GVHD:TS. Lê Công Lợi 6 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Vì Λ(A
T
) = Λ(A), nên (1.2.1) có thể được viết lại theo cột, vì vậy các giá trị riêng
của A bị chứa trong hợp G
c
các đường tròn được xác định bởi
Λ(A) ⊆
n

j=1

λ ∈ C : |λ − a
jj
| ≤
n

i=1,i=j
|a
ij
|


=: G
c
. (1.2.2)
Kết hợp (1.2.1) và (1.2.2) lại ta suy ra các giá trị riêng của A bị chứa trong giao
G
r

G
c
, nghĩa là:
Λ(A) ⊆ G
r
∩G
c
.
Ví dụ 1.2: Xét ma trận A =





5 1 1
0 6 1
1 0 −5





. Chúng tôi tính toán bằng Matlab phổ của ma

trận A là Λ(A) = {5, (1 ±5
√
5)/2}. Tr ong khi đó theo Định lý các đường tròn Gerschgorin
thì một giá trị riêng của A nằm trong đường tròn c ó tâm tại điểm (−5, 0) còn hai giá trị
riêng còn lại nằm trong hợp của hai đường tròn tâm tại (5, 0) và (6, 0) như Hình 1.1
Hình 1.1: Các đường tròn Ge rschgorin của ma trận trong Ví dụ 1.2 theo hàng
Số mũ của giá trị riêng
Với λ ∈ Λ(A) = {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
}, ta có một số định nghĩa sau:
• Số mũ đại số của λ, ký hiệu al g mult
A
(λ), là số lần nó lặp lại trong tập nghiệ m của
đa thức đặc trưng p(λ). Nghĩa là, alg mult
A
(λ
i
) = a
i
khi và chỉ khi
(x −λ
1
)
a
1
(x −λ

2
)
a
2
. . . (x −λ
k
)
a
k
= 0
GVHD:TS. Lê Công Lợi 7 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 1.2: Các đường tròn Ge rschgorin của ma trận trong Ví dụ 1.2 theo cột
Hình 1.3: Giao của các đường tròn Gerschgorin G
r
∩G
c
của ma trận trong Ví dụ 1.2
là phương trình đặc trưng của A.
• Khi al g mult
A
(λ) = 1, λ được gọi là giá trị riêng đơn.
• Số mũ hì nh học của λ, ký hiệu geo mult
A
(λ) là dim ker(A−λI), nghĩa là geo mult
A
(λ)
là số lớn nhất các véc tơ riêng liên kết với λ độc lập tuyến tính.
• Các giá trị riêng λ thỏa mãn alg mult
A

(λ) = ge o mult
A
(λ) được gọi là các giá trị
riêng nửa đơn của A.
Chéo hóa ma trận
• Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường
chéo.
• Ma trận A chéo hóa được khi và chỉ k hi A có tập đầy đủ các véc tơ riêng. Hơn nữa,
GVHD:TS. Lê Công Lợi 8 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
P
−1
AP = diag(λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
) khi và chỉ khi các cột của P chứa một tập đầy đủ các
véc tơ riêng liê n kết với các giá trị riêng λ
i
, ∀i = 1, 2, . . . , n của ma trận A, nghĩa là
(λ
i
, P
∗i
) là cặp riêng của ma trận A.
• Nếu ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
• Định lí chéo hóa Schur’s: Mỗi ma trận vuông đồng dạng unita với ma trận tam
giác trên. Nghĩa là, với A ∈ C

n×n
tồn tại ma trận unita U (không duy nhất) và ma
trận tam giác trên T (không duy nhất) sao cho U
∗
AU = T , và các phần tử trên
đường chéo chính của T là các giá trị riêng của ma trận A.
• Với mọi ma trận A ∈ C
n×n
và với mỗi λ ∈ Λ(A), ta có:
geo mult
A
(λ) ≤ alg mult
A
(λ).
• Ma trận A ∈ C
n×n
chéo hóa được khi và chỉ khi
alg mult
A
(λ) = geo mult
A
(λ), ∀λ ∈ Λ(A).
• Định lý phổ cho ma trận chéo hóa được: Ma trận A ∈ C
n×n
với phổ Λ(A) =
{λ
1
, λ
2
, . . . , λ

k
} chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại các ma trận {G
1
, G
2
, . . . , G
k
}
sao cho:
A = λ
1
G
1
+ λ
2
G
2
+ ··· + λ
k
G
k
,
trong đó các ma trận G
i
, i = 1, 2, . . . , k có các tính chất sau:
– G
i
là phé p chiếu lên ker(A −λ
i
I) dọc theo Im(A −λ

i
I).
– G
i
G
j
= 0 ∀i = j.
– G
1
+ G
2
+ ··· + G
k
= I.
G
i
được gọi là các phép chiếu phổ liên kết với λ
i
∈ Λ(A).
• Nếu x và y
∗
là các véc tơ riêng phải và trái tương ứng của ma trận A, liê n kết với giá
GVHD:TS. Lê Công Lợi 9 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
trị riêng đơn λ ∈ Λ(A) thì khi đó
G =
1
y
∗
x

xy
∗
là phé p chiếu phổ liên kết với λ.
Ví dụ 1.3: X ét ma trận A =





1 −4 −4
8 −11 −8
−8 8 5





. Khi đó ma trận A có phổ gồm hai giá
trị riêng 1 đơn và -3 bội 2, ma trận P =





1 1 1
2 1 0
−2 0 1






gồm các véc tơ ri êng c ủa ma
trận A và P
−1
AP = diag(1, −3, −3) = D, là m a trận đường chéo, như vậy m a trận
A chéo hóa được. Trong khi đó xét ma trận B =





−1 −1 2
8 −11 −8
−10 11 7





, cũng có phổ gồm
hai giá tr ị riêng 1 đơn và -3 bội 2, nhưng B không chéo hóa được vì geo mult
A
(−3) =
dim ker(A + 3I) = 1 < alg mult
A
(−3) = 2.
Giá trị kì dị
Cho ma trận vuông A ∈ C
n×n

với rankA = r, khi đó các khẳng định sau đây là đúng.
• Các véc tơ riêng khác không c ủa các ma trận A
∗
A và AA
∗
bằng nhau và thực dương.
• Các giá trị k ì dị khác không của A l à căn bậc hai số họ c của các giá trị riêng khác
không của A
∗
A (và AA
∗
).
• Khai triển kỳ dị (SVD): Tồn tại các ma trận uni ta U, V ∈ C
n×n
, và ma trận đường
chéo D = diag(σ
1
, σ
2
, . . . , σ
r
) ∈ C
r×r
sao cho
A = U


D 0
0 0



n×n
V
∗
với σ
1
≥ σ
2
≥ ··· ≥ σ
r
> 0, (1.2.3)
trong đó σ
i
là các giá trị kì dị của ma trận A. Phân tích (1.2.3) được gọi là khai triển
kì dị của ma trận A. Các c ột trong U và V tương ứng được gọi là các véc tơ kì dị trái
và phải của ma trận A .
GVHD:TS. Lê Công Lợi 10 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
• Nếu A là ma trận chuẩn tắc (tức là AA
∗
= A
∗
A) có các giá trị riê ng khác không
{λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
}, khi đó các gi á trị kì dị khác không của A là {|λ

1
|, |λ
2
|, . . . , |λ
r
|}.
• Các véc tơ kì dị phải và trái của A là các véc tơ riêng của ma trận A
∗
A và A A
∗
tương
ứng.
• Ma trận Hermit B =


0 A
A
∗
0


có các giá trị riêng khác không là {±σ
1
, ±σ
2
, . . . , ±σ
r
},
trong đó {σ
1

, σ
2
, . . . , σ
r
} là các giá trị kì dị của ma trận A.
• Giá trị kì dị σ của ma trận A ∈ C
n×n
tùy ý là đơn nếu σ
2
là giá trị riêng đơn của ma
trận A
∗
A (hoặc AA
∗
). Nếu σ > 0, điều này tương đương với σ
2
là giá trị riêng đơn
của ma trận Hermit


0 A
A
∗
0


.
1.3 Bán kính p hổ
Định nghĩa 1.3.1 Với ma trận vuông A, số thực
ρ(A) = max

λ∈Λ(A)
|λ|,
được gọi là bán kính phổ của ma trận A.
Dễ nhận thấy tính bị chặn trên của bán kính phổ của một ma trận, bán kính phổ của ma
trận không vượt quá chuẩn của nó, tức là:
ρ(A) ≤ ||A||.
Thật vậy, nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A, thì Ax = λx, suy ra |λ|.||x|| = ||Ax|| ≤
||A|| .||x||, do đó |λ| ≤ ||A|| với mọi λ ∈ Λ(A), từ đó suy ra ρ(A) ≤ ||A||.
Ta có một số tính chất về bán kính phổ như sau:
• ρ(A) = lim
k→∞
||A
k
||
1/k
.
• Với A ∈ C
n×n
, kí hiệ u |A| l à ma trận có các phần từ là |a
ij
| và ma trận A, B ∈
R
n×n
, B ≤ C ⇔ b
ij
≤ c
ij
∀i, j. Khi đó nế u |A| ≤ B thì ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).
GVHD:TS. Lê Công Lợi 11 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

• Nếu 0 ≤ A ∈ R
n×n
, khi đó ρ(A) < r khi và chỉ khi (rI −A)
−1
tồn tại và (rI −A)
−1
≥ 0.
Nếu A
n×n
> 0 thì các khẳng định sau đây đúng:
• ρ(A) ∈ Λ(A).
• Nếu Ax = ρ(A)x, thì A|x| = ρ(A)|x| và |x| > 0. Nói cách khác, A có một cặp riêng
dạng (ρ(A), v) với v > 0.
Chuỗi Neumann
Với A ∈ C
n×n
, các khẳng định sau đây tương đương:
• Chuỗi Neumann I + A + A
2
+ ··· hội tụ.
• ρ(A) < 1.
• lim
k→∞
A
k
= 0.
Khi đó (I −A)
−1
tồn tại và


∞
k=1
A
k
= (I −A)
−1
.
Hội tụ về 0: Với A ∈ C
n×n
, lim
k→∞
A
k
= 0 khi và chỉ khi ρ(A) < 1.
1.4 Hoành độ phổ
Định nghĩa 1.4.1 Hoành độ phổ của ma trận A là giá trị lớn nhất của phần thực của các
giá trị riêng của A. Kí hiệu α(A) là hoành độ phổ, khi đó ta có:
α(A) = max{Reλ : λ ∈ Λ( A)}.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
˙x = Ax, A ∈ C
n×n
, x(0) = c, (1.4.1)
trong đó x = (x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t))
t

∈ C
n
và c = (c
1
, c
2
, . . . , c
n
)
t
∈ C
n
.
Nếu A chéo hóa được và có phổ Λ(A) = {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
}, thì khi đó nghiệm duy nhất của
GVHD:TS. Lê Công Lợi 12 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
hệ (1.4.1) được cho bởi:
x = e
At
c = e
λ
1
t
v

1
+ e
λ
2
t
v
2
+ ··· + e
λ
k
t
v
k
,
trong đó v
i
= G
i
c ∈ ker(A −λ
i
I), G
i
là phép chiếu phổ liên kết với λ
i
.
Tính ổn định
Hệ (1.4.1), trong đó A chéo hóa được với các giá trị riêng λ
i
, ta có:
• Nếu Reλ

i
< 0 ∀i thì lim
t→∞
e
At
= 0 và lim
t→∞
u(t) = 0 với mọi véc tơ ban đầu c. Trong
trường hợp này, ˙x = Ax đượ c gọi là hệ ổn định và ma trận A được gọi là ma trận ổn
định.
• Nếu tồn tại một chỉ số i nào đó sao cho Reλ
i
> 0 thì các thành phần của u(t) không
bị chặn khi t → ∞, trong trường hợp này hệ ˙x = Ax và ma trận A k hông ổn định.
• Nếu Reλ
i
≤ 0 với mỗi i thì thành phần của u(t) hữu hạn với mọi t, nhưng có thể dao
động vô hạn lần, khi đó hệ ˙x = Ax và ma trận A được gọi là bán ổn định.
Với ma trận A tùy ý (không nhất thiết phải chéo hóa được) có tập phổ Λ(A) = {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
}
ta có:
• Nếu Reλ
i
< 0 ∀ i thì lim
t→∞

e
At
= 0 và l im
t→∞
u(t) = 0 với mọi véc tơ ban đầu c, khi đó hệ
˙x = Ax ổn định.
• Nếu tồn tại một chỉ số i nào đó sao cho Reλ
i
> 0 thì các thành phần của u(t) không
bị chặn khi t → ∞, trong trường hợp này hệ ˙x = Ax và ma trận A k hông ổn định.
Vì vậy nếu hoành độ phổ α(A) âm (không âm) thì ta nói rằng A ổn định (không ổn định).
Quỹ đạo z(t) ∈ R
n
hoặc trong C
n
thỏa mãn ˙z = Az hội tụ về gốc tọa độ nhanh hơn e
βt
(với β thực âm cho trước ) ⇔ α < β. Vì vậy hoành độ phổ đo mức giảm tiệm cận của quỹ
đạo nghiệm về gố c tọa độ.
Ví dụ 1.4: Giả sử ta có ma trận
C =


J
9
(−0.1) 0
0 −0.001


∈ R

10×10
GVHD:TS. Lê Công Lợi 13 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
trong đó J
9
(−0.1) là ma trận khối Jordan với giá trị riêng −0.1 < 0, khi đó ma trận C có
hai gi á trị riêng -0.1 bội 9 và -0,001 đơn và có phổ là Λ(C) = {−0.1, −0.001} do đó hoành
độ phổ của C là α(C) = −0.001 < 0 nên C ổn định. Tuy nhiên nếu phần tử (9,1) trong C
được thay đổi từ 0 thành 10
−9
thì ma trận thu được có tập phổ là {−10
−3
, 0} trong đó giá
trị riêng 0 bội 9 nên ma trận mới thu được từ C không còn ổn định nữa. Hoặc như trong
Ví dụ 1.1 ma trận B thu được từ ma trận A trong bằng cách thay đổi phần từ (4,1) của A
từ 0 thành -0. 001, và α(B) = 0.0292 > 0 nên B không ổn định.
1.5 Nhận xét
Từ điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng nếu dùng hoành độ phổ để đo mức độ ổn định
của hệ liên kết dưới tác động của nhiễu nhỏ sẽ dẫn đến những kết luận sai lầm. Chính vì
vậy ta cần một công cụ khác tốt hơn, có thể đưa ra những chỉ dẫn chính xác hơn về tính
ổn định của ma trận dưới tác động của nhiễu nhỏ. Và ta đã có câu trả lời tuy chưa hoàn
toàn chính xác nhưng đã có nhưng ưu điểm tốt hơn nhiều so với việc dùng hoành độ phổ
làm thước đo mức độ ổn định của một động lực liên dưới tác động của nhiễu, đó chính là
việc dùng -hoành độ giả phổ của ma trận để đo tính ổn định của hệ bị nhiễu nhỏ.
GVHD:TS. Lê Công Lợi 14 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Chương 2
Giả phổ của ma trận
2.1 Định nghĩa về giả phổ
Với số thực dương  cho trước, khi đó ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.1 [6] -giả phổ (hay gọi tắt là giả phổ) của ma trận A, được kí hiệu

Λ

(A) là tập gồm tất cả các giá trị riêng của các ma trận phức X cách ma trận A một
khoảng không vượt quá , nghĩa là:
Λ

(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X −A|| ≤ }, (2.1.1)
ở đây ||.|| là chuẩn-2 trên C
n×n
.
Trong luận văn, chúng tôi thường xét  là số thực dương cố định. Tuy nhiên, khi  = 0
ta có ngay Λ
0
(A) = Λ(A). Một phần tử trong -giả phổ được gọi là giả giá trị riêng. Rõ
ràng là Λ(A) ⊆ Λ

(A). Tương tự, ta có định nghĩa giả phổ chặt của ma trận A là tập:
Λ


(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X −A || < }.
Một định nghĩa về giả phổ tương đương với (2.1.1) được cho bởi:
Λ

(A) = {z ∈ C : ||(A −zI)v|| ≤  với v ∈ C
n
, ||v|| = 1}. (2.1.2)
15
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Bây giờ ta xét khai triển kì dị (SVD) của ma trận zI − A được cho bởi:

zI − A = UΣV
∗
=
n

i=1
σ
i
u
i
v
∗
i
, (2.1.3)
trong đó U, V ∈ C
n×n
là các ma trận unita,
Σ = di ag(σ
1
, σ
2
, , σ
n
),
với σ
1
≥ σ
2
≥ ··· ≥ σ
n

≥ 0 là các giá trị kì dị của ma trận zI −A. Khi đó, giả nghịch đảo
suy rộng Moore-Penrose (zI − A)
+
có thể được viết như sau:
(zI − A)
+
=
n

i=1
σ
+
i
v
i
u
∗
i
,
ở đây
σ
+
i
=





1

σ
i
nếu σ
i
= 0,
0 nếu σ
i
= 0.
Điều này dẫn tới định nghĩa sau của giả phổ:
Λ

(A) = {z ∈ C : ||(zI − A)
+
|| ≥ 
−1
}. (2.1.4)
Từ (2.1.3) và cách tính chuẩn-2, rõ ràng (2.1. 4) tương đương với
Λ

(A) = {z ∈ C : σ
min
(zI −A) ≤ }. (2.1.5)
Thật vậy, do chuẩn-2 c ủa ma trận được tính như sau: ||A|| =

ρ(A
∗
A), trong đó ρ(A
∗
A) là
giá trị riêng lớn nhất của ma trận A

∗
A (do ma trận A
∗
A đối xứng nên có giá trị riêng thực
không âm). Khi σ
min
(zI −A) = σ
n
= 0 thì (2.1.4) và (2.1.5) đều đúng nên ta có ngay điều
cần chứng minh, vì vậy ta xét σ
min
(zI −A) = σ
n
= 0, khi đó rõ ràng là ||(zI −A)
+
|| =
1
σ
n
nên ||(zI − A)
+
|| ≥ 
−1
⇔ σ
n
≤  ⇔ σ
min
(zI − A) ≤ . Vì vậy ta có (1.2.4)⇔(1.2.5).
Định l ý 2.1.1 [6] Các định nghĩa (2.1.1),(2.1.2),(2.1.4) và (2.1.5) về -giả phổ của m a
trận A là tương đương.

GVHD:TS. Lê Công Lợi 16 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Chứng minh: Ta chứng minh như sau (2.1.1) ⇒ (2.1.2) ⇒ (2.1.4) ⇒ (2.1.5) ⇒ (2.1.1)
Theo lập luận phần trên ta chỉ cần chứng minh (2.1.1) ⇒ (2.1.2), (2.1.2) ⇒ (2.1.4) và
(2.1.5) ⇒ (2.1.1).
(2.1.1) ⇒ (2.1.2). Giả sử có (2.1.1) tức là có z ∈ C và 0 = v ∈ C
n
sao cho Xv = zv
với X ∈ C
n×n
mà ||X − A|| ≤  và ||v|| = 1 (véc tơ riê ng v như trên luôn tồn tại vì nếu
||v|| = 1 thì ta đặt v

=
v
||v||
thì ||v’||=1 và thỏa mãn Xv

= zv

), khi đó ||( A − zI)v|| =
||(A −X)v|| ≤ , nên ta c ó (2.1.2).
(2.1.2) ⇒ (2.1.4). Giả sử có (2.1.2) tức là với z ∈ C tồn tại véc tơ đơn vị v ∈ C
n
sao
cho (A −zI)v = −y với ||y|| ≤ . Suy ra v = (zI −A)
+
y, vì 1 = || v|| ≤ ||(zI −A)
+
||.|| y|| ≤

||(zI − A)
+
||. . Vậy ta có ||(zI − A)
+
|| ≥ 
−1
, tức là (2.1.2) ⇒ (2.1.4).
Từ khai triển SVD (2.1.3) suy ra ||(zI − A)v
n
|| = ||σ
n
u
n
v
∗
n
v
n
|| = σ
n
= σ
min
(zI − A).
Tức là ta có (2.1.5) ⇒ (2.1.1). Vậy ta có điều chứng minh. 
2.2 Hoành độ giả phổ
Định nghĩa 2.2.1 [6] α

−hoành độ giả phổ của ma trận A, ký hiệu α

(A), là giá trị

phần thực lớn nhất của tất cả các phần tử trong -giả phổ của A, nghĩa l à:
α

(A) = max{Rez : z ∈ Λ

(A)}. (2.2.1)
Ta gọi bài toán tối ưu này là bài toán hoành độ giả phổ. Chú ý rằng α
0
(A) = α(A). Mục
đích chính của luận văn này l à đi tính α

−hoành độ giả phổ của một ma trận tùy ý cho
trước bằng cách lập chương trình chạy trong Matl ab sẽ được trình bày cụ thể ở Chương 3.
2.3 Ví dụ về giả phổ
Trong mục này chúng ta sử dụng gói lệnh Eigtool chạy trong môi trường Matlab (tham
khảo trang web http ://www.cs.nyu.edu/faculty/overton/software) để nhận được giả phổ
của một số ma trận.
GVHD:TS. Lê Công Lợi 17 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Ví dụ 2.1: Xét ma trận Demmel, nghĩa là ma trận cho bởi:
A =












−1 −5 −25 −125 −625
0 −1 −5 −25 −125
0 0 −1 −5 −25
0 0 0 −1 −5
0 0 0 0 −1











.
Ma trận A chỉ có một giá trị riêng -1 bội 5. Các Hình 2.1, 2.2 và 2.3 cho giả phổ của ma
trận A tương ứng với  = 0.01,  = 0.1 và  = 0.001.
Hình 2.1: Giả phổ của ma trận A với  = 0.01
Ví dụ 2.2: Xét ma trận Demmel nhiễu, là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay
phần tử (5, 1) từ 0 thành 0.001i. Tức là ta thu được ma trận sau:
˜
A =












−1 −5 −25 −125 −625
0 −1 −5 −25 −125
0 0 −1 −5 −25
0 0 0 −1 −5
0.001i 0 0 0 −1











.
GVHD:TS. Lê Công Lợi 18 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.2: Giả phổ của ma trận A với  = 0.1
Khi đó c ác Hình 2.4, 2.5 và 2.6 chỉ ra giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.01,  = 0.1 và

 = 0.001 tương ứng.
Nhận xét: Từ các Ví dụ 2.1 và 2.2 ta nhận thấy khi ma trận bị nhiễu nhỏ thì giá trị riêng
của nó bị thay đổi nhiều, trong khi đó giả phổ của nó tương đối ổn định.
Ví dụ 2.3: Xét ma trận
B =


0 1
−1 0


∈ R
2×2
.
Ta nhận thấy giả phổ Λ

(B) gồm hợp của hai hình t ròn bán kính , tâm tại hai giá trị riêng
±i. Trong trường hợp  = 1, thì giả phổ Λ
1
(B) là hai hình tròn tiếp xúc nhau tại gốc tọa
độ (xem Hình 2.7). Nếu  =
√
2 thì Hình 2.8 cho giả phổ Λ
√
2
(B) là hợp của hai hình tròn
cắt nhau.
2.4 Tính ch ất c ủa giả phổ
Xét hàm h : R
2

→ R như sau:
h(x, y) = σ
min
(A −(x + i y)I) − ,
GVHD:TS. Lê Công Lợi 19 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.3: Giả phổ của ma trận A với  = 0.001
trong đó σ
min
kí hiệu giá trị kì dị nhỏ nhất và i là đơn vị ảo. Khi đó theo Định lý 2.1.1 ta
có -giả phổ của A là tập
Λ

(A) = {(x, y) ∈ R
2
: h(x, y) ≤ 0},
và hoành độ giả phổ của ma trận A được xác đị nh
α

(A) = max{x : (x, y) ∈ R
2
, h(x, y) ≤ 0}. (2.4.1)
Tiếp theo, ta xác định một hàm g : C → R được cho bởi:
g(z) = σ
min
(A −zI) = ||(A −zI)
−1
||
−1
,

trong đó vế phải nhận giá trị 0 khi z ∈ Λ(A). Vì vậy g là nghịch đảo chuẩn của giải thức.
Sử dụng kí hiệu này và từ (2.1.5), khi đó giả phổ của ma trận là:
Λ

= {z ∈ C : g(z) ≤ }.
GVHD:TS. Lê Công Lợi 20 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.4: Giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.01
Tương tự, ta có giả phổ chặt
Λ


= {z ∈ C : g(z) < }.
Ta có một số định lý sau đây.
Định l ý 2.4.1 [6] Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó:
1. Λ

(A(:, 1 : k)) ⊆ Λ

(A(:, 1 : k + 1)), 1 ≤ k < n.
2. Λ

(A(1 : k + 1), :) ⊆ Λ

(A(1 : k, :)), 1 ≤ k < n.
Chứng minh: Theo định nghĩa giá trị kì dị nhỏ nhất của ma trận A, thì ta có:
σ
min

(A) = min
||x||
2
=1
||Ax ||
2
.
Mặt khác chú ý rằng khi ta xóa các cột của A thì giá trị nhỏ nhất nói trên tăng lên, ngược
lại khi xóa c ác hàng của A thì giá trị nhỏ nhất lại giảm. Vì vậy ta nhận được các bao hàm
thức cần chứng minh. 
Định l ý 2.4.2 [6] Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó:
GVHD:TS. Lê Công Lợi 21 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.5: Giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.1
1. λ ∈ Λ(A) ⇒ λ ∈ Λ(A), với ∀ ≥ 0.
2. Λ
|β|
(αI + βA) = α + βΛ

(A) với mọi α, β ∈ C.
Chứng minh:
1. Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của Λ(A) và Λ

(A).
2. Khi β = 0 ta có ngay điều c ần chứng minh, nê n ta xét β = 0, khi đó ta có:
|β|||(zI − (αI + βA))
+
|| = ||(β

−1
(z −α)I − A)
+
||. 
Bổ đề 1 [1,2] Với các số thực x và y, số  > 0 là một giá trị kì dị của ma trận A−(x+iy)I
khi và chỉ khi iy là m ột giá trị riêng của ma trận
H(x) =


xI − A
∗
I
−I A − I


.
Điều này đúng nếu h(x, y) = 0.
Chứng minh: Theo Mục 1.2, thì m a trận A − (x + iy)I có giá trị kì dị  nếu và chỉ nếu 
GVHD:TS. Lê Công Lợi 22 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.6: Giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.001
là giá trị ri êng c ủa ma trận


0 A −(x + iy)I
A
∗
−(x − iy)I 0



,
nghĩa là, nếu và chỉ nếu ma t rận


−I A −(x + iy)I
A
∗
− (x − iy)I −I


suy biến. (2.4.2)
Vì


0 I
−I 0




−I A −(x + iy)I
A
∗
−(x − iy)I −I


=



(A
∗
− xI) −I
I (xI − A)


+ iy


I 0
0 I


,
nên (2.4.2) tương đương với iy là một giá trị riêng của ma trận


xI − A
∗
I
−I A − xI


.
Vậy ta có điều cần chứng minh của bổ đề. 
GVHD:TS. Lê Công Lợi 23 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.7: Giả phổ của ma trận B với  = 1
Xét một số thực x cố định, từ Bổ đề 1, suy ra hàm h(x, ·) có tối đa 2n không điểm. Để

tìm tất cả các không điểm ấy, ta tính tất cả các giá trị riêng ảo {iy
j
} của H(x), rồi loại bỏ
các giá trị mà σ
min
(A −(x + iy
j
)I) < , khi đó {y
j
} thu được là các không điểm của h(x, ·)
cần tìm.
Ta phân biệt hai loại không điểm của hàm liên tục y → h(x, y): không điểm xuyên qua
tại đó hàm đổi dấu, và không điểm không xuyên qua tại đó hàm số không đổi dấu. Chú ý
rằng h(x, y) > 0 khi |y| đủ lớn. Vì vậy nếu ta viết danh sách các không điểm theo thứ tự
không giảm, viết các không điểm không xuyên qua 2 lần, và do danh sách có độ dài chẵn
2m(x), thì ta có thể viết danh sách đó như sau:
l
1
(x) ≤ u
1
(x) ≤ l
2
(x) ≤ u
2
(x) ≤ ··· ≤ u
m(x)
(x). (2.4.3)
Nếu một trong các bất đẳng thức trên đúng với dấu bằng, thì ngay lập tức ta có lân
cận đẳng thức này là các bất đẳng thức ngặt. Ta có h(x, y) < 0 với y nằm trong tập
m(x)


j=1

l
j
(x), u
j
(x)

,
nên ta có thể coi mỗi y trong tập trên là một tung độ "criss-cross" của giả phổ chặt, và ta
GVHD:TS. Lê Công Lợi 24 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709