ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN ĐỨC LỘC
HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN ĐỨC LỘC
HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TOÁN
Mã số : 60 46 30
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. CUNG THẾ ANH
Hà Nội - Năm 2013
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Lời nói đầu iii
Bảng kí hiệu vii
1 Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq 1
1.1 Các phương trình Euler và mô hình đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Khai triển tiệm cận của các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq 11
2.1 Tính đặt đúng của bài toán giá trị biên ban đầu trong trường hợp
a
2
, a
4
> 0, a

1
= a
3
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Xấp xỉ số của bài toán giá trị biên ban đầu trong trường hợp
a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kết luận 20
Tài liệu tham khảo 21
i
Lời nói đầu
Sự lan truyền của sóng biên độ nhỏ trên bề mặt chất lỏng lí tưởng (trên
đáy nằm ngang) dưới tác dụng của trọng lực được mô tả bởi họ các hệ Boussinesq
[8],



(1 −εa
2
∆)∂
t
ζ + ∇· V + ε(∇· (ζV ) + a
1

∆∇ ·V ) = 0,
(1 −εa
4
∆)∂
t
V + ∇ζ + ε(
1
2
∇|V |
2
+ a
3
∆∇ζ) = 0,
(1)
với a
1
, a
2
, a
3
, a
4
xác định như sau:
a
1
=

θ
2
2

−
1
6

λ, a
2
=

θ
2
2
−
1
6

(1 −λ),
a
3
=
1 −θ
2
2
µ, a
4
=
1 −θ
2
2
(1 −µ),
trong đó 0 ≤ θ ≤ 1 và λ, µ ∈ R là ba tham số. Đại lượng ζ(X, t) + h

0
, X ∈ R
d
(d =
1, 2) là độ sâu toàn phần của chất lỏng tại điểm X tại thời điểm t, h
0
là độ sâu
nước không xoáy. Biến V (X, t) là vận tốc ngang tại điểm (X, z) = (X, θh
0
) tại
thời điểm t. Xấp xỉ Boussinesq có hiệu lực khi ε = a/h
0
 1, λ/h
0
 1, trong đó
a là cao độ lớn nhất trên mức h
0
, và λ là bước sóng điển hình.
Các hệ Boussinesq mô tả chuyển động của sóng dài có biên độ nhỏ trên bề
mặt chất lỏng lí tưởng. Hơn nữa, như được đề cập trong [8], từ hệ (1), ta có thể
thu được rất nhiều hệ quen thuộc trong vật lí toán như: hệ Boussinesq cổ điển,
hệ Kaup, hệ Bona-Smith, hệ cặp BBM, hệ cặp KdV, hệ cặp KdV-BBM, hệ cặp
BBM-KdV, Tính đặt đúng địa phương của bài toán Cauchy và bài toán giá
trị biên ban đầu cho các hệ dạng Boussinesq đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà
toán học (xem [5, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 19]). Trong đó, Bona, Colin và Lannes [10]
đã chứng minh được nghiệm của các hệ đã đề cập đến đều cho xấp xỉ tốt nghiệm
của các phương trình Euler trên khoảng thời gian dài cỡ 1/ε. Gần đây, kết quả
này đã được mở rộng trong trường hợp đáy không phẳng bởi Chazel [12].
Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết toán học về sóng trên
mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau cũng

có sức hút thú vị vì đây là sự lí tưởng đơn giản nhất của sự lan truyền sóng
iii
Lời nói đầu
trong và vì sự phức tạp và những thách thức của việc mô hình hóa, các vấn đề
định tính và xấp xỉ số nghiệm xuất hiện khi nghiên cứu hệ này. Vì vậy, trong
vài thập kỉ gần đây, lí thuyết sóng trong đã được rất nhiều nhà toán học và nhà
vật lí nghiên cứu, đặc biệt là tính đặt đúng và mô hình tiệm cận. Một bước tiến
quan trọng trong lí thuyết sóng trong đạt được vào năm 2008 bởi Bona, Lannes
và Saut [11]. Họ đã đề xuất một phương pháp tổng quát thiết lập một cách hệ
thống và cho một lớp lớn các chỉnh thể, các mô hình tiệm cận cho sự lan truyền
sóng trong tại mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ
khác nhau, dưới ảnh hưởng của trọng lực, mặt trên là cứng, đáy phẳng và không
xuất hiện sức căng bề mặt. Họ đã thiết lập một vài mô hình cổ điển và một số
mô hình mới. Họ cũng chứng minh rằng các mô hình tiệm cận là tương thích
với hệ phương trình Euler đầy đủ. Các kết quả này sau đó được mở rộng sang
trường hợp đáy không phẳng và có sức căng bề mặt [1].
Trong luận văn này, tác giả sẽ tìm hiểu bài toán sóng trong với đáy phẳng
và không xuất hiện sức căng bề mặt khi dòng có cấu trúc Boussinesq ở cả miền
chất lỏng trên và dưới. Hệ thống bao gồm một chất lỏng thuần nhất có độ sâu
d
1
với mật độ 
1
nằm trên một lớp chất lỏng thuần nhất khác có độ sâu d
2
với
mật độ 
2
> 
1

. Đặt a là biên độ điển hình của sự biến dạng mặt phân cách và
λ là bước sóng điển hình. Ta đưa ra các tham số sau:
γ :=

1

2
, δ :=
d
1
d
2
, ε :=
a
d
1
, µ :=
d
2
1
λ
2
, ε
2
:=
a
d
2
= εδ, µ
2

:=
d
2
2
λ
2
=
µ
δ
2
.
Dựa theo cách tiếp cận trong [2, 11], khi ε ∼ µ ∼ ε
2
∼ µ
2
 1, theo các biến
không thứ nguyên, mô hình đầy đủ sẽ tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq
dưới đây:







(1 −µa
2
∆)∂
t
ζ +

1
γ + δ
∇ ·v
α
+ ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇ ·(ζv
α
) + µa
1
∇ ·∆v
α
= 0
(1 −µa
4
∆)∂
t
v
α
+ (1 − γ)∇ζ +
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)

2
∇|v
α
|
2
+ µa
3
(1 −γ)∆∇ζ = 0,
(2)
trong đó ζ là độ lệch so với mặt phân cách ở trạng thái tĩnh, v
α
= (1 −µα∆)
−1
v
với v là "biến vận tốc" và các hằng số a
1
, a
2
, a
3
, a
4
cho bởi:
a
1
=
(1 −α
1
)(1 + γδ) −3δα(γ + δ)
3δ(γ + δ)

2
, a
2
=
γα
1
3(γ + δ)
,
a
3
= αα
2
, a
4
= α(1 −α
2
).
Quan hệ phân tán liên kết với hệ (2) là
ω
2
= |k|
2
(
1
γ+δ
− µa
1
|k|
2
)(1 −γ)(1 −µa

3
|k|
2
)
(1 + µa
2
|k|
2
)(1 + µa
4
|k|
2
)
.
iv
Lời nói đầu
Do đó, hệ (2) là đặt đúng tuyến tính khi a
2
, a
4
≥ 0 và a
1
, a
3
≤ 0. Khi γ = 0, δ = 1,
ta khôi phục lại hệ Boussinesq (1) cho sóng bề mặt.
Hệ Boussinesq/Boussinesq được thiết lập lần đầu tiên trong [11] khi đáy
phẳng, và sau đó trong [2] trong hoàn cảnh tổng quát hơn khi đáy không phẳng
và có sức căng bề mặt. Tính đặt đúng địa phương của bài toán Cauchy đối
với các hệ Boussinesq/Boussinesq được nghiên cứu khá trọn vẹn trong các công

trình [2, 3].
Trong luận văn này, tác giả sẽ nghiên cứu tính đặt đúng và xấp xỉ số nghiệm
của bài toán giá trị biên ban đầu đối với hệ Boussinesq/Boussinesq (2) trong
một trường hợp đặc biệt: a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3
= 0. Ngoài lời cảm ơn, lời nói đầu,
bảng kí hiệu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq
Dựa vào hai bài báo [2] và [11] trong mục Tài liệu tham khảo, chương 1 sẽ
thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq cho bài toán sóng trong với đáy phẳng và
không xuất hiện sức căng bề mặt khi dòng có cấu trúc Boussinesq ở cả miền
chất lỏng trên và dưới.
Chương 2: Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
Chương 2 sẽ chứng minh tính đặt đúng (sự tồn tại và duy nhất nghiệm) và
đưa ra phương pháp xấp xỉ số nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu của
hệ Boussinesq/Boussinesq đã được thiết lập trong Chương 1 trong trường hợp
a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3

= 0. Các kết quả của chương này là mới và đang được hoàn
thiện trước khi công bố (xem [4]).
Các kí hiệu: Kí hiệu X là biến d-chiều theo chiều ngang (d = 1, 2). Vì vậy,
X = x khi d = 1 và X = (x, y) khi d = 2, z là biến theo chiều dọc.
Kí hiệu ∇ và ∆ lần lượt là toán tử gradient và toán tử Laplace, ∇
X,z
và
∆
X,z
là phiên bản (d + 1)-biến. Với µ > 0, ta kí hiệu ∇
µ
X,z
= (
√
µ∇
T
, ∂
z
)
T
và
∆
µ
X,z
= ∇
µ
X,z
· ∇
µ
X,z

= µ∆
X
+ ∂
2
z
.
Nếu f và u là hai hàm xác định trên R
d
, ta dùng kí hiệu nhân tử Fourier
f(D)u xác định bởi biến đổi Fourier:

f(D)u = fu.
Phép chiếu trực giao trên trường véc tơ gradient trong L
2
(R
d
)
d
được kí hiệu
v
Lời nói đầu
bởi Π và xác định bởi công thức
Π = −
∇∇
T
|D|
2
.
(Π = Id khi d = 1). Toán tử Λ = (1 − ∆)
1/2

được xác định tương đương bởi kí
hiệu nhân tử Fourier Λ = (1 + |D|
2
)
1/2
.
Hai nhân tử Fourier T
µ
và T
µ
2
xác định như sau:
T
µ
= tanh(∂µ |D|), T
µ
2
= tanh(∂µ
2
|D|),
trong đó µ, µ
2
> 0 và |D| = (−∆)
1/2
.
vi
Bảng kí hiệu
L
p
(Ω) không gian Lebesgue, 1 ≤ p ≤ ∞

W
k,p
(Ω) không gian Sobolev
H
k
(Ω) không gian Sobolev W
k,2
(Ω)
H
k
(Ω) không gian tích H
k
(Ω) ×H
k
(Ω)
H
−k
(Ω) không gian đối ngẫu của H
k
(Ω)
H
−k
(Ω) không gian đối ngẫu của H
k
(Ω)
H
k
0
(Ω) không gian các hàm trong H
k

(Ω) mà "bằng không trên biên ∂Ω"
H
k
0
(Ω) không gian tích H
k
0
(Ω) ×H
k
0
(Ω)
(., .) tích vô hướng trong L
2
 ··· bất đẳng thức ≤ C ···, trong đó C là hằng số dương độc lập với ε
vii
Chương 1
Thiết lập các hệ
Boussinesq/Boussinesq
1.1 Các phương trình Euler và mô hình đầy đủ
Ta nghiên cứu bài toán sóng trong trong trường hợp đáy phẳng và không
xuất hiện sức căng bề mặt. Mô hình bài toán (hình 1) bao gồm một lớp chất
lỏng thuần nhất có độ sâu d
1
và mật độ 
1
nằm trên một lớp chất lỏng thuần
nhất khác có độ sâu d
2
và mật độ 
2

> 
1
. Đặt Ω
i
t
là miền chiếm bởi chất lỏng
i (i = 1, 2) tại thời điểm t, Γ
1
:= {z = 0}, Γ
2
:= {z = −d
1
− d
2
} là hai biên cứng
và Γ
t
:= {z = −d
1
+ ζ(t, X)} là mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng. Theo [11],
1
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
chuyển động của sóng trong, với hai hàm thế vận tốc φ
1
, φ
2
được mô tả bởi hệ
phương trình:
∆
X,z

φ
i
= 0 trong Ω
i
t
. (1.1)
Giả thiết các mật độ 
i
(i = 1, 2) của hai chất lỏng là hằng số, ta có hai phương
trình Bernouilli,
∂
t
φ
i
+
1
2


∇
X,z
φ
i


2
= −
P

i

− gz trong Ω
i
t
, (1.2)
trong đó g là gia tốc trọng trường và P là áp suất bên trong lớp chất lỏng. Các
phương trình trong (1.2) được bổ sung thêm hai điều kiện biên dưới đây để đảm
bảo vận tốc phải theo phương nằm ngang tại hai biên cứng Γ
1
:= {z = 0}, Γ
2
:=
{z = −d
1
− d
2
},
∂
z
φ
i
= 0 trên Γ
i
, (i = 1, 2). (1.3)
Giả thiết mặt phân cách được mô tả bởi đồ thị của hàm ζ(t, X), (ζ(t, X) là độ
lệnh so với mặt phân cách ở trạng thái tĩnh (X, −d
1
) tại tọa độ X tại thời điểm
t) và tại mặt phân cách Γ
t
:= {z = −d

1
+ ζ(t, X)} không có sự xáo trộn của hai
chất lỏng. Điều kiện này, với chất lỏng thứ i (i = 1, 2) được mô tả bởi quan hệ
∂
t
ζ =

1 + |∇ζ|
2
v
i
n
, trong đó v
i
n
là đạo hàm của vận tốc theo phương pháp tuyến
trên của chất lỏng i trên bề mặt phân cách,
∂
t
ζ =

1 + |∇ζ|
2
∂
n
φ
1
trên Γ
t
. (1.4)

Vì thành phần của vận tốc theo phương pháp tuyến phải liên tục tại mặt phân
cách nên
∂
n
φ
1
= ∂
n
φ
2
trên Γ
t
, (1.5)
với
∂
n
:= n ·∇
X,z
và n :=
1

1 + |∇ζ|
2
(−∇ζ, 1)
T
.
Điều kiện cuối cùng liên quan tới áp suất bên trong lớp chất lỏng,
P liên tục tại mặt phân cách. (1.6)
Một họ các phương trình mới được rút ra từ các phương trình sóng trong (1.1)-
(1.6). Ta định nghĩa vết của hai hàm thế φ

1
, φ
2
tại mặt phân cách,
ψ
i
(t, X) := φ
i
(t, X, −d
1
+ ζ(t, X)), (i = 1, 2).
Bằng cách ước lượng từ (1.2) tại mặt phân cách và dùng (1.4) và (1.5), ta thu
được họ các phương trình liên quan tới ζ và ψ
i
:
∂
t
ζ −

1 + |∇ζ|
2
∂
n
φ
i
= 0, (1.7)
2
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq

i


∂
t
ψ
i
+ gζ +
1
2
|∇ψ
i
|
2
−
(

1 + |∇ζ|
2
(∂
n
φ
i
) + ∇ζ · ∇ψ
i
)
2
2(1 + |∇ζ|
2
)
2


= −P, (1.8)
trong đó ∂
n
φ
i
và P được ước lượng tại mặt phân cách z = −d
1
+ ζ(t, X). Bằng
việc đưa ra hai toán tử: toán tử Dirichlet-Neumann G[ζ] và toán tử mặt phân
cách H[ζ], xác định bởi:
G[ζ]ψ
1
=

1 + |∇ζ|
2
(∂
n
φ
1
)
|z=−d
1
+ζ(X)
, H[ζ]ψ
1
= ∇ψ
2
,
và do tính liên tục của áp suất tại mặt phân cách, ta thu được

∂
t
(ψ
2
− γψ
1
) + g(1 −γ)ζ +
1
2
(|H[ζ]ψ
1
|
2
− γ |∇ψ
1
|
2
) + N(ζ, ψ
1
) = 0,
trong đó γ = 
1
/
2
và
N(ζ, ψ
1
) :=
γ(G[ζ]ψ
1

+ ∇ζ · ∇ψ
1
)
2
− (G[ζ]ψ
1
+ ∇ζ · H[ζ]ψ
1
)
2
2(1 + |∇ζ|
2
)
2
.
Lấy gradient của phương trình này và dùng (1.7), ta thu được hệ phương trình



∂
t
ζ − G[ζ]ψ
1
= 0,
∂
t
(H[ζ]ψ
1
− γ∇ψ
1

) + g(1 −γ)∇ζ +
1
2
∇(|H[ζ]ψ
1
|
2
− γ |∇ψ
1
|
2
) + ∇N(ζ, ψ
1
) = 0,
(1.9)
theo ζ và ψ
1
. Hệ phương trình này được dùng để thiết lập mô hình tiệm cận.
Khai triển tiệm cận của (1.9) sẽ rõ ràng hơn khi các phương trình này được
viết theo các biến không thứ nguyên. Kí hiệu a là biên độ điển hình của sự biến
dạng mặt phân cách, λ là bước sóng điển hình, ta đưa ra các biến độc lập không
thứ nguyên

X :=
X
λ
, z :=
z
d
1

,

t :=
t
λ/
√
gd
1
.
Tương tự, ta xác định các hàm không thứ nguyên

ζ :=
ζ
a
,

ψ
1
:=
ψ
1
aλ

g/d
1
,
và các tham số không thứ nguyên
γ :=

1


2
, δ :=
d
1
d
2
, ε :=
a
d
1
, µ :=
d
2
1
λ
2
, ε
2
:=
a
d
2
= εδ, µ
2
:=
d
2
2
λ

2
=
µ
δ
2
.
Khi đó, theo các biến không thứ nguyên, miền chất lỏng Ω
1
ở phía trên và
miền chất lỏng Ω
2
ở phía dưới có dạng
Ω
1
=

(X, z) ∈ R
d+1
: −1 + εζ(X) < z < 0

,
Ω
2
=

(X, z) ∈ R
d+1
: −1 −
1
δ

< z < −1 + εζ(X)

.
3
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
Để tránh mặt phân cách chạm vào biên ngang, ta giả sử tồn tại các hằng số
dương H
1
và H
2
sao cho
1 −εζ ≥ H
1
trên R
d
, (1.10)
1 + εδζ ≥ H
2
trên R
d
. (1.11)
Để viết (1.9) theo các biến không thứ nguyên, theo [11], ta đưa ra định nghĩa
của toán tử Dirichlet-Neumann không thứ nguyên G
µ
[εζ] và toán tử mặt phân
cách không thứ nguyên H
µ,δ
[εζ].
Định nghĩa 1.1.1. Cho ζ ∈ W
2,∞

(R
d
) sao cho (1.10) được thỏa mãn và cho
ψ
1
∈ H
3/2
(R
d
). Nếu φ
1
là nghiệm duy nhất trong H
2
(Ω
1
) của bài toán giá trị biên

µ∆φ
1
+ ∂
2
z
φ
1
= 0 trong Ω
1
,
∂
z
φ

1
|
z=0
= 0, φ
1
|
z=−1+εζ(X)
= ψ
1
,
(1.12)
thì G
µ
[εζ]ψ
1
∈ H
1/2
(R
d
) được xác định bởi
G
µ
[εζ]ψ
1
= −µε∇ζ · ∇φ
1
|
z=−1+εζ(X)
+ ∂
z

φ
1
|
z=−1+εζ(X)
=

1 + ε
2
|∇ζ|
2
∂
n
φ
1
|
z=−1+εζ(X)
,
trong đó ∂
n
φ
1
|
z=−1+εζ(X)
là đạo hàm đối chuẩn tắc trên liên kết với toán tử
elliptic µ∆φ
1
+ ∂
2
z
φ

1
.
Định nghĩa 1.1.2. Cho ζ ∈ W
2,∞
(R
d
) sao cho (1.10) và (1.11) được thỏa mãn
và cho ψ
1
∈ H
3/2
(R
d
). Nếu φ
2
là nghiệm duy nhất trong H
2
(Ω
2
) (sai khác hằng
số) của bài toán giá trị biên












µ∆φ
2
+ ∂
2
z
φ
2
= 0 trong Ω
2
,
∂
n
φ
2
|
z=−1−
1
δ
= 0,
∂
n
φ
2
|
z=−1+εζ(X)
=
1


1 + ε
2
|∇ζ|
2
G
µ
[εζ]ψ
1
,
(1.13)
thì H
µ,δ
[εζ]ψ
1
∈ H
1/2
(R
d
) xác định bởi
H
µ,δ
[εζ]ψ
1
= ∇(φ
2
|
z=−1+εζ(X)
).
Phương trình (1.9) được viết theo các biến không thứ nguyên như sau










∂

t

ζ −
1
µ
G
µ
[ε

ζ]

ψ
1
= 0,
∂

t
(H
µ,δ
[ε


ζ]

ψ
1
− γ∇

ψ
1
) + (1 −γ)∇

ζ +
ε
2
∇(|H
µ,δ
[ε

ζ]

ψ
1
|
2
− γ|∇

ψ
1
|
2

)
+ε∇N
µ,δ
(ε

ζ,

ψ
1
) = 0,
(1.14)
4
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
trong đó
N
µ,δ
(

ζ,

ψ
1
) := µ
γ(
1
µ
G
µ
[


ζ]

ψ
1
+ ∇ζ · ∇

ψ
1
)
2
− (
1
µ
G
µ
[

ζ]

ψ
1
+ ∇

ζ · H
µ,δ
[

ζ]

ψ

1
)
2
2(1 + |∇

ζ|
2
)
2
.
Ta đưa ra hệ thống mô hình các phương trình sóng trong trong chỉnh thể Boussi-
nesq/Boussinesq ε ∼ µ ∼ ε
2
∼ µ
2
 1 bằng cách thiết lập dạng tiệm cận của
phương trình (1.14) trong chỉnh thể này. Mô hình tiệm cận là một hệ (d + 1)
phương trình theo biến ζ và "biến vận tốc" v xác định bởi
v := H
µ,δ
[εζ]ψ
1
− γ∇ψ
1
. (1.15)
(Với bài toán sóng nước bề mặt thông thường được khôi phục bằng việc cho
γ = 0 và δ = 1, v là vận tốc ngang tại bề mặt thoáng). Ta thiết lập các phương
trình sóng trong (1.14) là tương thích với mô hình tiệm cận cho (ζ, v).
Định nghĩa 1.1.3. Các phương trình sóng trong (1.14) là tương thích với hệ
S của (d + 1) phương trình cho ζ và v nếu với mọi nghiệm đủ trơn (ζ, ψ

1
) của
(1.14) sao cho (1.10) và (1.11) được thỏa mãn, cặp (ζ, v = H
µ,δ
[εζ]ψ
1
−γ∇ψ
1
) là
lời giải của S với số dư nhỏ được gọi là độ chính xác của mô hình tiệm cận.
1.2 Khai triển tiệm cận của các toán tử
Từ Bổ đề 1 và Chú ý 11 trong [11], ta có khai triển tiệm cận của toán tử
G
µ
[εζ].
Mệnh đề 1.2.1. Cho s > d/2 và ζ ∈ H
s+3/2
(R
d
) sao cho (1.10) được thỏa mãn.
Khi đó với mọi µ ∈ (0, 1) và ψ sao cho ∇ψ ∈ H
s+5/2
(R
d
), ta có




G

µ
[εζ]ψ −

µ∇ ·((1 −εζ)∇ψ) +
µ
2
3
∇ ·∆∇ψ





H
s
≤ µ
3
C(|ζ|
H
s+3/2
, |∇ψ|
H
s+5/2
)
đều theo ε ∈ [0, 1].
Bài toán giá trị biên (1.13) đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích của
toán tử H
µ,δ
[εζ]. Ta biến đổi bài toán (1.13) thành bài toán giá trị biên, hằng
số biến thiên trên một lá phẳng S = R

d
× (−1, 0) sử dụng vi phôi
σ : S → σ(X, z) =

X, (1 + εδζ)
z
δ
+ (−1 + εζ)

.
Do Mệnh đề 2.7 trong [17], ta có φ
2
là nghiệm của (1.13) nếu và chỉ nếu
φ
2
:= φ
2
◦ σ là nghiệm của



∇
µ
2
X,z
· Q
µ
2
[ε
2

ζ]∇
µ
2
X,z
φ
2
= 0 trong S,
∂
n
φ
2
|
z=0
=
1
δ
G
µ
[εζ]ψ
1
, ∂
n
φ
2
|
z=−1
= 0,
(1.16)
5
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq

với
Q
µ
2
[ε
2
ζ] =

(1 + ε
2
ζ)I
d×d
−
√
µ
2
ε
2
(z + 1)∇ζ
−
√
µ
2
ε
2
(z + 1)∇ζ
T
1+µ
2
ε

2
2
(z+1)
2
|∇ζ|
2
1+ε
2
ζ

.
Khi đó, khai triển tiệm cận của H
µ,δ
[εζ]ψ
1
= ∇(φ
2
|
z=0
) thu được bằng cách
tìm nghiệm xấp xỉ φ
app
của (1.16) và dùng quan hệ tương đương H
µ,δ
[εζ]ψ
1
∼
∇(φ
app
|

z=0
) (Mệnh đề 3 trong [11]).
Đầu tiên, ta tìm nghiệm xấp xỉ φ
app
của (1.16). Ta phân tích ma trận Q
µ
2
[ε
2
ζ]
như sau:
Q
µ
2
[ε
2
ζ] = Q
0
+ ε
2
Q
1
+ ε
2
2
Q
2
,
trong đó
Q

0
=

I
d×d
0
0 1

,
Q
1
=

ζI
d×d
−
√
µ
2
(z + 1)∇ζ
−
√
µ
2
(z + 1)∇ζ
T
−ζ

,
Q

2
=


0 0
0
ζ
2
+ µ
2
(z + 1)
2
|∇ζ|
2
1 + ε
2
ζ


,
và tìm φ
app
dưới dạng
φ
app
= φ
(0)
+ ε
2
φ

(1)
.
Ta có
∇
µ
2
X,z
· Q
µ
2
[ε
2
ζ]∇
µ
2
X,z
φ
app
= ∇
µ
2
X,z
· (Q
0
+ ε
2
Q
1
+ ε
2

2
Q
2
)∇
µ
2
X,z
(φ
(0)
+ ε
2
φ
(1)
)
= ∆
µ
2
X,z
φ
(0)
+ ε
2
(∆
µ
2
X,z
φ
(1)
+ ∇
µ

2
X,z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
) + O(ε
2
2
),
và tại z = 0 và z = −1,
∂
n
φ
app
= e
z
· Q
µ
2
[ε
2
ζ]∇
µ
2
X,z

φ
app
= e
z
· (Q
0
+ ε
2
Q
1
+ ε
2
2
Q
2
)∇
µ
2
X,z
(φ
(0)
+ ε
2
φ
(1)
)
= ∂
z
φ
(0)

+ ε
2
(∂
z
φ
(1)
+ e
z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
) + O(ε
2
2
).
Do đó, từ Mệnh đề (1.2.1), ta có
1
δ
G
µ
[εζ]ψ
1
=
µ
δ

∇ ·(h
1
∇ψ
1
) +
µ
2
3δ
∇ ·(∆∇ψ
1
) + O

µ
3
δ

,
trong đó h
1
= 1 − εζ, điều này suy ra φ
app
là nghiệm xấp xỉ của (1.16) có cấp
6
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
chính xác O(ε
2
2
+ µ
3
/δ) do φ

(0)
và φ
(1)
là nghiệm của các bài toán giá trị biên sau:

∆
µ
2
X,z
φ
(0)
= 0,
∂
z
φ
(0)
|
z=0
=
µ
δ
∇ ·(h
1
∇ψ
1
), ∂
z
φ
(0)
|

z=−1
= 0,







∆
µ
2
X,z
φ
(1)
= −∇
µ
2
X,z
φ
(1)
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
,

∂
z
φ
(1)
|
z=0
=
µ
2
3δ
∇ ·(∆∇ψ
1
) −e
z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
|
z=0
,
∂
z
φ
(1)
|

z=−1
= −e
z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
|
z=−1
.
Ta có
φ
(0)
(X, z) =
√
µ
cosh(
√
µ
2
(z + 1) |D|)
cosh(
√
µ
2
|D|)

1
|D|tanh(
√
µ
2
|D|)
∇ ·(h
1
∇ψ
1
).
và
− ∇
µ
2
X,z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
= ∆
µ
2
X,z
[(z + 1)ζ∂
z

φ
(0)
],
− e
z
· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
|
z=0
= [µ
2
∇ ·(ζ∇φ
(0)
) + ∂
z
((z + 1)ζ∂
z
φ
(0)
)]|
z=0
,
− e
z

· Q
1
∇
µ
2
X,z
φ
(0)
|
z=−1
= 0.
Điều này kéo theo φ
(1)
= (z + 1)ζ∂
z
φ
(0)
+ u, trong đó u là nghiệm của bài toán
giá trị biên



∆
µ
2
X,z
u = 0,
∂
z
u|

z=0
=
µ
2
3δε
2
∇ ·(∆∇ψ
1
) + µ
2
∇ ·(ζ∇φ
(0)
), ∂
z
u|
z=−1
= 0.
Bài toán trên có nghiệm (xem [3], [11])
u(X, z) =
cosh(
√
µ
2
(z + 1) |D|)
cosh(
√
µ
2
|D|)
1

|D|tanh(
√
µ
2
|D|)
×

µ
2
3δε
2
√
µ
2
∇ ·(∆∇ψ
1
) +
√
µ
2
∇ ·(ζ∇φ
(0)
)

.
Trong chỉnh thể Boussinesq/Boussinesq, ta có µ ∼ ε ∼ µ
2
∼ ε
2
 1 nên

1
tanh(
√
µ
2
|D|)
∼
1
√
µ
2
|D|
1
1 −
1
3
µ
2
|D|
2
∼
1 +
1
3
µ
2
|D|
2
√
µ

2
|D|
,
1
sinh(2
√
µ
2
|D|)
∼
1
2
√
µ
2
|D|
1
1 +
2
3
µ
2
|D|
2
∼
1 −
2
3
µ
2

|D|
2
2
√
µ
2
|D|
.
Thay vào biểu thức trên cho ∇(φ
app
|
z=0
),
∇(φ
app
|
z=0
) = [∇φ
(0)
+ (z + 1)∇(ζ∂
z
φ
(0)
) + ∇u]|
z=0
,
7
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
ta thu được
∇(φ

app
|
z=0
) = −δ∇ψ
1
−
1
3
µδ

1 −
1
δ
2

∆∇ψ
1
+ ε
2
(1 + δ)Π(ζ∇ψ
1
) + O(ε
2
).
Do đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.2. [3] Cho t
0
> d/2, s ≥ t
0
+ 1/2, và ζ ∈ H

s+3/2
(R
d
) sao cho (1.10)
và (1.11) được thỏa mãn. Khi đó, với mọi ψ
1
sao cho ∇ψ
1
∈ H
s+5/2
(R
d
), ta có



H
µ,δ
[εζ]ψ
1
−

−δ∇ψ
1
−
1
3
µδ

1 −

1
δ
2

∆∇ψ
1
+ ε
2
(1 + δ)Π(ζ∇ψ
1
)




H
s
≤
µ
5/2
+ ε
2
2
√
µ
√
µ
2
C


1
H
1
,
1
H
2
, δ
max
, µ
max
2
, |ζ|
H
s+3/2

|∇ψ
1
|
H
s+5/2
.
Ước lượng này là đều theo ε ∈ [0, 1], µ ∈ (0, 1) và δ ∈ (0, δ
max
) sao cho µ
2
= µ/δ
2
∈
(0, µ

max
2
).
Chứng minh. Tương tự chứng minh Hệ quả 1 trong [11]. Chú ý rằng
√
µ xuất
hiện trong số hạng ε
2
2
√
µ của biểu thức cho φ
(0)
. Điều này cho phép ta tăng độ
chính xác trong khai triển biểu thức của toán tử H
µ,δ
[εζ].
1.3 Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
Ta sẽ thiết lập dạng tiệm cận của phương trình (1.14) trong chỉnh thể Boussi-
nesq/Boussinesq. Mô hình tiệm cận được thiết lập từ (1.14) bằng cách thay thế
hai toán tử G
µ
[εζ], H
µ,δ
[εζ] bằng các khai triển tiệm cận của chúng và dùng
"thủ thuật BBM", cùng sự thay đổi các biến.
Ta chứng minh trong chỉnh thể hiện tại, các phương trình sóng trong (1.14)
là tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq dưới đây:






(1 −µa
2
∆)∂
t
ζ +
1
γ + δ
∇ ·v
α
+ ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇ ·(ζv
α
) + µa
1
∇ ·∆v
α
= 0,
(1 −µa
4
∆)∂
t
v
α

+ (1 − γ)∇ζ +
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇|v
α
|
2
+ µa
3
(1 −γ)∆∇ζ = 0,
(1.17)
trong đó v
α
= (1 −µα∆)
−1
v và các hằng số a
1
, a
2
, a
3
và a
4
được xác định ở bên
dưới.

Định lí 1.3.1. Cho 0 < c
min
< c
max
, 0 < µ
min
2
< µ
max
2
, và đặt
a
1
=
(1 −α
1
)(1 + γδ) −3δα(γ + δ)
3δ(γ + δ)
2
, a
2
=
γα
1
3(γ + δ)
,
a
3
=αα
2

, a
4
= α(1 −α
2
),
8
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq
với α
1
, α ≥ 0 và α
2
≤ 1. Với cách chọn các tham số như trên, các phương trình
sóng trong (1.14) là tương thích với các phương trình Boussinesq/Boussinesq
(1.17), với độ chính xác O(ε
2
) và đều theo ε ∈ [0, 1], µ, δ ∈ (0, 1) thỏa mãn điều
kiện
c
min
≤
ε
µ
≤ c
max
, µ
min
2
≤
µ
δ

2
≤ µ
max
2
.
Chú ý 1.3.1. Cho γ = 0, δ = 1 trong các phương trình của hệ Boussinesq/Boussinesq
(1.17), ta có hệ thu gọn sau




1 −µ
α
1
3
∆

∂
t
ζ + ∇· v + ε∇· (ζv) + µ
1 −α
1
− 3α
3
∆∇ ·v = 0,
(1 −µα(1 −α
2
)∆)∂
t
v + ∇ζ +

ε
2
∇|v|
2
+ µαα
2
∆∇ζ = 0.
Đây chính là hệ Boussinesq của sóng bề mặt thiết lập trong [8].
Chú ý 1.3.2. Quan hệ phân tán liên kết với (1.17) là
ω
2
= |k|
2
(
1
γ+δ
− µa
1
|k|
2
)(1 −γ)(1 −µa
3
|k|
2
)
(1 + µa
2
|k|
2
)(1 + µa

4
|k|
2
)
.
Do đó, (1.17) là đặt đúng tuyến tính khi a
2
, a
4
≥ 0 và a
1
, a
3
≤ 0.
Chứng minh. Việc chứng minh sẽ qua một vài bước, tương ứng với các giá trị
của các tham số α
1
, α
2
, α. Trong chỉnh thể này, ta có ε ∼ µ ∼ ε
2
∼ µ
2
khi ε → 0.
Bước 1: α
1
= α = α
2
= 0.Từ khai triển của toán tử Dirichlet-Neumann, ta có




∂
t
ζ − ∇· ((1 − εζ)∇ψ
1
) −
µ
3
∇ ·(∆∇ψ
1
) = O(ε
2
),
∂
t
v + (1 −γ)∇ζ +
ε
2
∇



H
µ,δ
[εζ]ψ
1


2

− γ |∇ψ
1
|
2

= O(ε
2
),
với O(µ) = O(ε).
Từ quan hệ H
µ,δ
[εζ]ψ
1
= v + γ∇ψ
1
và Mệnh đề 1.2.2, ta có
∇ψ
1
= −
1
γ + δ

1 + µ
1
3δ
1 −δ
2
(γ + δ)
∆ + ε
2

1 + δ
γ + δ
Π[ζ.]

v + O(ε
2
).
Thay biểu thức này vào hệ trên, ta có kết quả cần chứng minh.
Bước 2: α
1
≥ 0, α = α
2
= 0. Ta dùng thủ thuật BBM cổ điển. Từ phương trình
đầu, ta có
∇ ·v = (1 −α
1
)∇ ·v −α
1
(γ + δ)∂
t
ζ + O(ε).
Tiếp theo, ta thay biểu thức của ∇·v vào số hạng thứ ba của phương trình đầu
tiên của hệ được thiết lập ở Bước 1, ta có kết quả cần chứng minh.
Bước 3: α
1
, α ≥ 0, α
2
= 0.
9
Chương 1. Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq

Thay v bằng (1 −µα∆)v
α
ở hệ được thiết lập ở Bước 2 và bỏ qua số hạng O(ε
2
),
ta có kết quả cần chứng minh.
Bước 4: α
1
, α ≥ 0, α
2
≤ 1. Ta dùng thủ thuật BBM. Từ phương trình thứ hai
trong hệ và từ Bước 3, ta thấy rằng với mọi α
2
≤ 1,
∂
t
v
α
= (1 −α
2
)∂
t
v
α
− α
2
(1 −γ)∇ζ + O(ε).
Thay vào hệ được thiết lập ở Bước 3, ta có kết quả cần chứng minh.
10
Chương 2

Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một
hệ Boussinesq/Boussinesq
Kí hiệu v
α
, ∂
t
ζ, ∂
t
V lần lượt bởi V, ζ
t
, V
t
. Khi đó, hệ (1.17) được viết dưới
dạng:





(1 −µa
2
∆)ζ
t
+
1
γ + δ
∇ ·V + ε
δ
2
− γ

(γ + δ)
2
∇ ·(ζV ) + µa
1
∇ ·∆V = 0,
(1 −µa
4
∆)V
t
+ (1 − γ)∇ζ +
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇|V |
2
+ µa
3
(1 −γ)∆∇ζ = 0.
(2.1)
Theo Chú ý 1.3.2 ở Chương 1, hệ (2.1) là đặt đúng tuyến tính khi a
2
, a
4
≥
0, a
1

, a
3
≤ 0. Trong chương này ta xét tính đặt đúng và đưa ra phương pháp xấp
xỉ số nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu đối với hệ (2.1) trong trường hợp
đặc biệt: khi a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3
= 0.
2.1 Tính đặt đúng của bài toán giá trị biên ban đầu trong
trường hợp a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3
= 0
Do µ ∼ ε  1, không giảm tổng quát, ta coi µ = ε, và do a
2
, a
4
> 0 nên các
toán tử (I −εa
2

∆), (I − εa
4
∆) có nghịch đảo. Khi đó, hệ (2.1) có thể viết dưới
dạng







ζ
t
+ (I − εa
2
∆)
−1

1
γ + δ
∇ ·V + ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇ ·(ζV )

= 0,
V

t
+ (I − εa
4
∆)
−1

(1 −γ)∇ζ +
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇|V |
2

= 0.
(2.2)
Ta xét hệ (2.2) trong miền bị chặn Ω trong R
2
, với điều kiện ban đầu
ζ(x, 0) = ζ
0
(x), V (x, 0) = V
0
(x), x = (x, y) ∈ Ω,
11
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
và điều kiện biên

ζ(x, t) = 0, V (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.
Bổ đề 2.1.1. [13] Cho s
1
, s
2
, s
3
∈ R sao cho s
1
≥ s
3
, s
2
≥ s
3
, s
1
+ s
2
≥ 0, s
1
+ s
2
−
s
3
> d/2. Khi đó, (f, g) → fg là dạng song tuyến tính liên tục từ H
s
1
(R

d
)×H
s
2
(R
d
)
vào H
s
3
(R
d
).
Bổ đề này chỉ ra rằng với f, g ∈ H
s
(R
2
), s > 0, ta có
fg
s−1
≤ Cf
s
g
s
.
Định lí 2.1.1. Cho (ζ
0
, V
0
) ∈ H

1
0
× H
1
0
. Khi đó, tồn tại T > 0, độc lập với ε, và
tồn tại duy nhất nghiệm (ζ, V ) ∈ C
1
([0, T ]; H
1
0
) ×C
1
([0, T ]; H
1
0
) của bài toán biên
ban đầu đối với hệ (2.2).
Chứng minh. Kí hiệu (I −εa
2
∆)
−1
và (I −εa
4
∆)
−1
lần lượt là toán tử nghịch đảo
của (I − εa
2
∆) và (I −εa

4
∆) với miền xác định H
2
∩ H
1
0
, H
2
∩ H
1
0
.
Bài toán (2.2) với điều kiên biên và điều kiên ban đầu được viết dưới dạng:
(ζ
t
, V
t
) = −F (ζ, V ),
trong đó F (ζ, V ) là trường véc tơ trên H
1
0
× H
1
0
xác định bởi
F (ζ, V ) =

(I − εa
2
∆)

−1

1
γ + δ
∇ ·V + ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇ ·(ζV )

,
(I − εa
4
∆)
−1

(1 −γ)∇ζ +
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇|V |
2

.

F được định nghĩa đúng đắn trên H
1
0
×H
1
0
vì theo định lí nhúng Sobolev ζV ∈ L
2
và |V |
2
∈ L
2
. Do đó, (I −εa
2
∆)
−1
(∇ ·ζV ) ∈ H
1
0
và (I −εa
4
∆)
−1
∇|V |
2
∈ H
1
0
. Hơn
nữa, F là C

1
trên H
1
0
× H
1
0
, với đạo hàm F

(ζ
∗
, V
∗
) xác định bởi
F

(ζ
∗
, V
∗
)(ζ, V ) =

ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
(I − εa
2

∆)
−1
∇ ·(ζV
∗
+ ζ
∗
V ) +
1
γ + δ
(I − εa
2
∆)
−1
∇ ·V,
(1 −γ)(I − εa
4
∆)
−1
∇ζ + ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
(I − εa
4
∆)
−1
∇(V
∗

· V )

.
Tính liên tục của F

được suy ra từ định lí nhúng Sobolev và tính chính qui của
các toán tử (I − εa
2
∆)
−1
, (I − εa
4
∆)
−1
.
Theo định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Banach (định lí 2.3, trang 45 trong [18]), ta suy ra tồn tại duy nhất một nghiệm
cực đại
(ζ, V ) ∈ C
1
([0, T
ε
]; H
1
0
) ×C
1
([0, T
ε
]; H

1
0
)
12
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
của hệ (2.2) với ζ|
t=0
= ζ
0
và V |
t=0
= V
0
. Tác động (I − εa
2
∆) vào phương trình
đầu, (I − εa
4
∆) vào phương trình hai của hệ (2.2), ta suy ra rằng (ζ, V ) thỏa
mãn hệ (2.2) trong H
−1
× H
−1
với 0 < t < T
ε
.
Để chứng minh T
ε
có thể chọn độc lập với ε, ta dùng phương pháp năng lượng.
Đầu tiên, ta viết lại hệ (2.1) như sau






ζ
t
+
1
γ + δ
∇ ·V + ε(
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
∇ ·(ζV ) − a
2
∆ζ
t
) = 0,
V
t
+ (1 − γ)∇ζ + ε(
δ
2
− γ
2(γ + δ)
2
∇|V |

2
− a
4
∆V
t
) = 0.
(2.3)
Trong hệ (2.3), nhân (γ + δ)ζ vào phương trình đầu,
1
1 −γ
V vào phương trình
hai và dùng tích phân từng phần với các điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, ta có
1
2
d
dt

Ω

(γ + δ)(ζ
2
+ εa
2
|∇ζ|
2
) +
1
1 −γ
(|V |
2

+ εa
4
|∇V |
2
)

= I
ε
:=
ε
δ
2
− γ
(γ + δ)

Ω
ζV · ∇ζ +
1
1 −γ
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2

Ω
|V |
2

∇ ·V,
(2.4)
trong đó |∇V |
2
:= |∇u|
2
+ |∇v|
2
. Kí hiệu .
p
là chuẩn trong không gian L
p
.
Ta ước lượng vế phải của (2.4) như sau: Theo bất đẳng thức H¨older
|I
ε
| =




ε
δ
2
− γ
(γ + δ)

Ω
ζV · ∇ζ +
1

1 −γ
ε
2
δ
2
− γ
(γ + δ)
2

Ω
|V |
2
∇ ·V




 ε∇ζ
2
V 
4
ζ
4
+ εV 
2
4
∇V 
2
.
(2.5)

Trong (2.5), dùng bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg trong trường hợp hai
chiều,
f
4
 f
1/2
2
∇f
1/2
2
, f ∈ H
1
0
,
ta suy ra
|I
ε
|  ε∇ζ
3/2
2
ζ
1/2
2
V 
1/2
2
∇V 
1/2
2
+ εV 

2
∇V 
2
2
. (2.6)
Từ bất đẳng thức Young, ta có
εV 
2
∇V 
2
2
 ε
2
∇V 
4
2
+ V 
2
2
,
và
ε ∇ζ
3/2
2
ζ
1/2
2
V 
1/2
2

∇V 
1/2
2
 ε
2
∇ζ
4
2
+ ε
2/5
∇V 
4/5
2
ζ
4/5
2
V 
4/5
2
 ε
2
∇ζ
4
2
+ ε
2
∇V 
4
2
+ ζ

2
V 
2
 ε
2
∇ζ
4
2
+ ε
2
∇V 
4
2
+ ζ
2
2
+ V 
2
2
.
13
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
Sử dụng các bất đẳng thức trong (2.6), ta có đánh giá
|I
ε
|  ε
2
∇ζ
4
2

+ ε
2
∇V 
4
2
+ ζ
2
2
+ V 
2
2
. (2.7)
Kí hiệu
Y
ε
(t) :=

Ω

(γ + δ)(|ζ(·, t)|
2
+ εa
2
|∇ζ(·, t)|
2
) +
1
1 −γ
(|V (·, t)|
2

+ εa
4
|∇V (·, t)|
2
)

,
trong đó t ≥ 0.
Từ (2.4) và (2.7), ta có đánh giá
Y

ε
(t)  Y
ε
(t) + Y
2
ε
(t),
với ước lượng tiên nghiệm Y
ε
(t) bị chặn trên khoảng thời gian [0,

T
ε
), trong đó

T
ε
= log


1 +
1
Y
ε
(0)

với
Y
ε
(0) :=

Ω

(γ + δ)(|ζ
0
|
2
+ εa
2
|∇ζ
0
|
2
) +
1
1 −γ
(|V
0
|
2

+ εa
4
|∇V
0
|
2
)

.
Định lí được chứng minh.
2.2 Xấp xỉ số của bài toán giá trị biên ban đầu trong trường
hợp a
2
, a
4
> 0, a
1
= a
3
= 0
Kí hiệu: a =
1
γ + δ
, b = ε
δ
2
− γ
(γ + δ)
2
, d = (1 −γ) và c = µa

2
= µa
4
, ||.||
1
là chuẩn
trong không gian H
1
, ||.|| là chuẩn trong không gian L
2
, ||.||
∞
là chuẩn trong
không gian L
∞
.
Ta cần tìm ζ và V là hai hàm của biến (x, t) ∈ Ω × [0, T] thỏa mãn



ζ
t
+ a∇ ·V + b∇ ·ζV −c∆ζ
t
= 0,
V
t
+ d∇ζ +
b
2

∇|V |
2
− c∆V
t
= 0,
(2.8)
với điều kiện ban đầu
ζ(x, 0) = ζ
0
(x), V (x, 0) = V
0
(x), x ∈ Ω,
và điều kiện biên
ζ(x, t) = 0, V (x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω ×[0, T ].
Bài toán (2.8) được viết lại như sau:







ζ
t
+ a(u
x
+ v
y
) + b((ζu)
x

+ (ζv)
y
) −c(∆ζ)
t
= 0,
u
t
+ dζ
x
+ b(uu
x
+ vv
x
) −c(∆u)
t
= 0,
v
t
+ dζ
y
+ b(uu
y
+ vv
y
) −c(∆v)
t
= 0,
(2.9)
14
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq

với điều kiện ban đầu
ζ(x, y, 0) = ζ
0
(x, y), u(x, y, 0) = u
0
(x, y), v(x, y, 0) = v
0
(x, y), (x, y) ∈ Ω,
và điều kiện biên
ζ(x, y, t) = u(x, y, t) = v(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω ×[0, T ].
Giả thiết Ω là miền phẳng, lồi và bài toán trên có nghiệm duy nhất (ζ, u, v)
đủ trơn cho việc xấp xỉ số; T
h
là phép tam giác phân tựa đều, chính qui của Ω
với cạnh lớn nhất của các tam giác h < 1; S
h
là không gian con hữu hạn chiều
của H
1
0
= H
1
0
(Ω) và các phần tử của S
h
là các hàm đa thức từng khúc xác định
trên T
h
, có bậc tới r − 1 với mỗi τ ∈ T
h

. Do đó, nếu S
h
là không gian chứa các
hàm liên tục trên Ω, tuyến tính với mỗi tam giác τ của T
h
, triệt tiêu trên ∂Ω thì
inf
χ∈S
h
{ω − χ+ hω −χ
1
} ≤ Ch
s
ω
s
, ∀ω ∈ H
s
∩ H
1
0
, 1 ≤ s ≤ r. (2.10)
Xét dạng song tuyến tính đối xứng a
D
: H
1
0
× H
1
0
→ R xác định bởi

a
D
(u, v) := (u, v) + c(∇u, ∇v), ∀u, v ∈ H
1
0
.
Rõ ràng, a
D
bị chặn và có tính cưỡng trên H
1
0
×H
1
0
. Ta định nghĩa toán tử chiếu
elliptic R
h
: H
1
0
→ S
h
như sau
a
D
(R
h
ω, χ) = a
D
(ω, χ), ∀χ ∈ S

h
.
Khi đó, theo đánh giá (2.10) và tính chính quy elliptic, ta có
||ω − R
h
ω||
k
≤ Ch
s−k
||ω||
s
, ∀ω ∈ H
s
∩ H
1
0
, 2 ≤ s ≤ r, k = 0, 1. (2.11)
Vì vậy, ta có
||R
h
ω||
1
≤ C||ω||
1
, ∀ω ∈ H
1
0
.
Với phép chiếu elliptic, ta có tính chất xấp xỉ dưới đây
ω − R

h
ω
∞
≤ C(ω)γ(h), ∀ω ∈ W
r,∞
∩ H
1
0
, (2.12)
trong đó, γ(h) = h
r
|log h|
¯r
với ¯r = 0 nếu r > 2 và ¯r = 1 nếu r = 2.
Do giả thiết phép tam giác phân là tựa đều nên giả thiết khả nghịch đúng
trên S
h
.
χ
1
≤ Ch
−1
χ và χ
∞
≤ Ch
−1
χ, ∀χ ∈ S
h
. (2.13)
Bài toán (2.9) được bán rời rạc hóa theo biến không gian bằng phương pháp

phần tử hữu hạn Galerkin như sau. Ta xác định ζ
h
, u
h
, v
h
: [0, T ] → S
h
, lần lượt
15
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
là các xấp xỉ của ζ, u, v thỏa mãn:











a
D
(ζ
ht
, φ) + a(u
hx
, φ) + a(v

hy
, φ) + b((ζ
h
u
h
)
x
, φ) + b((ζ
h
v
h
)
y
, φ) = 0, φ ∈ S
h
,
a
D
(u
ht
, χ) + d(ζ
hx
, χ) + b(u
h
u
hx
, χ) + b(v
h
v
hx

, χ) = 0, χ ∈ S
h
,
a
D
(v
ht
, ψ) + d(ζ
hy
, ψ) + b(u
h
u
hy
, ψ) + b(v
h
v
hy
, ψ) = 0, ψ ∈ S
h
,
ζ(., 0) = ζ
0
h
:= R
h
ζ
0
, u
h
(., 0) = u

0
h
:= R
h
u
0
, v
h
(., 0) = v
0
h
:= R
h
v
0
.
(2.14)
Do ζ
h
u
h
∈ C(
¯
Ω), ζ
h
u
h
|
τ
∈ C

∞
(τ) với mỗi τ ∈ T
h
và ζ
h
u
h
|
∂Ω
= 0 nên ζ
h
u
h
∈ H
1
0
.
Tương tự, ζ
h
v
h
∈ H
1
0
, u
2
h
∈ H
1
0

, v
2
h
∈ H
1
0
. Vì vậy, tất cả các số hạng trong tích vô
hướng của bài toán trên được định nghĩa đúng đắn.
Xét các ánh xạ

f
x
,

f
y
: L
2
→ S
h
xác định với mỗi ω ∈ L
2
bởi:
a
D
(

f
x
(ω), χ) = (ω, χ

x
), χ ∈ S
h
,
a
D
(

f
y
(ω), χ) = (ω, χ
y
), χ ∈ S
h
.
Khi đó, (2.14) có thể viết lại như sau:







ζ
ht
= F (u
h
, v
h
, ζ

h
),
u
ht
= G(u
h
, v
h
, ζ
h
), 0 ≤ t ≤ T
v
ht
= Z(u
h
, v
h
, ζ
h
),
(2.15)
trong đó
F (u
h
, v
h
, ζ
h
) := a(


f
x
(u
h
) +

f
y
(v
h
)) + b(

f
x
(ζ
h
u
h
) +

f
y
(ζ
h
v
h
)),
G(u
h
, v

h
, ζ
h
) := d

f
x
(ζ
h
) +
b
2
(

f
x
(u
2
h
) +

f
x
(v
2
h
)),
Z(u
h
, v

h
, ζ
h
) := d

f
y
(ζ
h
) +
b
2
(

f
y
(u
2
h
) +

f
y
(v
2
h
)).
Bổ đề 2.2.1. Tồn tại một hằng số C sao cho
||


f
x
(ω)||
1
≤ C||ω|| và ||

f
y
(ω)||
1
≤ C||ω||, ∀ω ∈ L
2
.
Chứng minh. Đặt

f =

f
x
. Khi đó, do tính cưỡng của a
D
, ta có
a
D
(

f(ω),

f(ω)) ≥ C||


f(ω)||
2
1
.
Hơn nữa,
a
D
(

f(ω),

f(ω)) = (ω, (

f(ω))
x
) ≤ ||ω||.||

f(ω)||
1
.
Đó là điều phải chứng minh.
Định lí 2.2.1. Với h đủ nhỏ, bài toán bán rời rạc (2.15) có nghiệm duy nhất
(ζ
h
, u
h
, v
h
) trong khoảng [0, T]. Hơn nữa, tồn tại hằng số C = C(ζ, u, v, T ) cho
trước độc lập với h, sao cho

||ζ − ζ
h
|| + ||u −u
h
|| + ||v − v
h
|| ≤ Ch
r
,
16
Chương 2. Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq
và
||ζ − ζ
h
||
1
+ ||u −u
h
||
1
+ ||v − v
h
||
1
≤ Ch
r−1
,
với mọi t ∈ [0, T ].
Chứng minh. Giả sử rằng với hằng số M cho trước, ta có
||ζ||

∞
≤ M, ||u||
∞
≤ M, ||v||
∞
≤ M, 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó, từ (2.12), với h đủ nhỏ, ta có
||ζ
0
h
||
∞
≤ ||ζ
0
h
− ζ
0
||
∞
+ ||ζ
0
||
∞
= ||R
h
ζ
0
− ζ
0
||

∞
+ ||ζ
0
||
∞
≤ Cγ(h) + ||ζ
0
||
∞
< 2M.
Tương tự, các ước lượng cũng đúng cho u
0
h
và v
0
h
.
Hệ phương trình vi phân (2.15) có duy nhất nghiệm địa phương theo t. Do
tính liên tục, ta giả sử tồn tại t
h
∈ [0, T] lớn nhất sao cho
||ζ
h
||
∞
≤ 2M, ||u
h
||
∞
≤ 2M, ||v

h
||
∞
≤ 2M, 0 ≤ t ≤ t
h
.
Để chứng minh định lí, ta sẽ thiết lập các đánh giá (2.22) và (2.23) với 0 ≤ t ≤ t
h
và chứng minh t
h
= T . Khi đó, ta có thể mở rộng các đánh giá (2.22) và (2.23)
với 0 ≤ t ≤ T .
Đặt  = ζ − R
h
ζ, θ = R
h
ζ − ζ
h
, τ = v − R
h
v, η = R
h
v −v
h
, σ = u − R
h
u, ξ =
R
h
u −u

h
. Do đó, ta có θ, ζ, ξ ∈ S
h
và ζ −ζ
h
=  +θ, u −u
h
= σ + ξ, v −v
h
= τ + η.
Từ (2.9) và (2.15), ta có
θ
t
= a

f
x
(σ + ξ) + a

f
y
(τ + η) + b

f
x
(uζ − u
h
ζ
h
) + b


f
y
(vζ − v
h
ζ
h
), (2.16)
ξ
t
= d

f
x
(θ + ) +
b
2


f
x
(u
2
) −

f
x
(u
2
h

) +

f
x
(v
2
) −

f
x
(v
2
h
)

, (2.17)
η
t
= d

f
y
(τ + η) +
b
2


f
y
(u

2
) −

f
y
(u
2
h
) +

f
y
(v
2
) −

f
y
(v
2
h
)

. (2.18)
Do

f
x
(u
2

) −

f
x
(u
2
h
) =

f
x
(u
2
) −

f
x
(uu
h
) +

f
x
(uu
h
) −

f
x
(u

2
h
)
=

f
x
(u(u −u
h
)) +

f
x
((u −u
h
)u
h
)
=

f
x
(u(σ + ξ)) +

f
x
((σ + ξ)u
h
)
và


f
x
(v
2
) −

f
x
(v
2
h
) =

f
x
(v(τ + η)) +

f
x
((τ + ζ)v
h
),
nên phương trình (2.17) được viết lại như sau:
ξ
t
= d

f
x

(θ + ) +
b
2


f
x
(u(σ + ξ) +

f
x
((σ + ξ)u
h
) +

f
x
(v(τ + η)) +

f
x
((τ + η)v
h
)

.
17