Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
LI M U
1. Lí do chọn đề tài
Trang bị những tri thức, phơng pháp và phát triển t duy, trí tuệ cho học sinh là mục
tiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán. Trong chơng trình
Hình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Oxy là phần rất quan trọng. Phần tọa độ trong mặt phẳng đóng vai trò cực kì quan
trong trong toán học và cũng là phần không thể thiếu trong các đề thi Đại học trong
những năm học gần đây. Học sinh đợc làm quen với các bài tập về tọa độ và đờng
thẳng trong Đại số từ khi học THCS, lên THPT các em lại gặp lại trong môn Đại số
10 và hình học 10, nhng các em vẫn hay gặp khó khăn khi cho rằng đây là toán hình
học. Để học sinh thấy đợc cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam
giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học.
Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các ph-
ơng pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hớng dẫn học sinh biết nhận dạng bài
toán và phát triển thành các bài toán mới. Đây cũng là vấn đề có thể phát triển đợc t
duy toán học cho học sinh.
Dới đây tôi xin trao đổi với quý đồng nghiệp và các em học sinh một chuyên đề
nhỏ trình bày vấn đề nhỏ về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng: Tìm một số yếu tố
của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Phần 2: Điểm đờng thẳng đặc biệt trong tam giác.
Phần 3: Bài tập tổng hợp.
2. Mục đích nghiên cứu
Một vấn đề trong Hình học 10 mà học sinh thấy khó khăn khi gặp phải. Giúp học
sinh định hớng đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy khi
giải bài tập.
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi
2

Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp, kĩ năng giải toán hình học giải tích trong mặt
phẳng. Qua đó nhằm nâng cao khả năng t duy logic, tạo hứng thú học tập cho học
sinh.
3. Đối tợng nghiên cứu
Các kiến thức về tọa độ điểm, đờng thẳng đặc biệt của tam giác và phơng trình đ-
ờng thẳng. Nhằm tìm lời giải cho mỗi bài toán về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
cụ thể.
4. Giới hạn của đề tài
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh khối 10 của trờng THPT Hồng Thái tôi
thấy các em hay gặp khó khăn khi làm bài tập về tìm điểm và phơng trình đờng thẳng
trong tam giác. Nên tôi tập trung vào việc: giúp học sinh tìm điểm đờng thẳng trong
tam giác khi biết một số dữ kiện đặc biệt, áp dụng giảng dạy trong các tiết học tự
chọn bám sát cho học sinh lớp 10 tôi dạy.
5. Nhiệm vụ của đề tài.
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn Hình học 10 phần phơng pháp tọa độ trong
mặt phẳng: giải đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ
Oxy .
6. Phơng pháp nghiên cứu
6.1 Về lí luận:
Phỏt trin t duy khoa hc v tng cng cỏc em ý thc, nng lc vn dng
mt cỏch thụng minh nhng iu ó hc.
Đổi mới trong phơng pháp dạy học hiện nay coi trọng việc: lấy học trò làm
trung tâm ngời thầy chỉ đóng vai trò là ngời giúp các em đi đúng hớng, giúp các
em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.
6.2 Về thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện
vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên. Toán học là môn khoa học suy diễn trừu tợng
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi

3
Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
nên là giáo viên Toán với tôi đây cũng là dịp để tôi học tập, nghiên cứu, trau dồi để
rút ra những kinh nghiệm cho riêng mình. Để mỗi tiết học toán trôi qua học sinh
hình thành những kiến thức mới và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất,
thông minh nhất trong việc học toán. Các em thấy yêu thích môn toán hơn, hứng
thú học tập hơn.
NI DUNG
Phn 1: L THUYT V IM V NG THNG TRONG MT PHNG
1. VẫC T C TRNG CA NG THNG
1.1 Vộct
),(
21
uuu
l vộct ch phng (VTCP) ca
//)()(
giỏ ca
u
1.2 Vộct
),( ban
l vộct phỏp tuyn (VTCP) ca
//)()(
giỏ ca
n
1.3 Nhn xột: ng thng
)(
cú vụ s vộct ch phng v vụ s vộct phỏp
tuyn ng thi
nu
2. PHNG TRèNH NG THNG

2.1 Phng trỡnh tham s: ng thng
)(
i qua im
),(
000
yxM
v cú VTCP
),(
21
uuu

phng trỡnh tham s dng:




+=
+=
Rt
tuyy
tuxx
20
10
Nhn xột: VTCP
),(
21
uuu
VTPT
),(
12

uun
2.2 Phng trỡnh chớnh tc: ng thng
)(
i qua im
),(
000
yxM
v cú VTCP
),(
21
uuu

phng trỡnh chớnh tc dng:
2
0
1
0
u
yy
u
xx
=

.
2.3 Phng trỡnh tng quỏt: ng thng
)(
i qua im
),(
000
yxM

v cú VTPT
),( ban

phng trỡnh tng quỏt dng:
=+ 0)()(
00
yybxxa
0=++ cbyax
.
Nhn xột:VTPT
),( ban
VTCP
),( abu
.
2.4 Phng trỡnh h s gúc: Phng trỡnh ng thng vi h s gúc a: phng
trỡnh dng
baxy +=
.
2.5 Phng trỡnh ng thng qua 2 im
),(
111
yxM
,
),(
222
yxM
: Phng trỡnh
dng
12
1

12
1
yy
yy
xx
xx


=


.
2.6 Phng trỡnh dng on chn qua
);0(),0;( bBaA
dng:
1=+
b
y
a
x
.
2.7 Phng trỡnh chựm ng thng: Cho 2 ng thng ct nhau:
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi
4
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

0:)(
1111
=++∆ cybxa

,
0:)(
2222
=++∆ cybxa
với
)()(
21
∆∩∆=I
thì đường
thẳng
)(∆
qua I là
0)()(
222111
=+++++ cybxaqcybxap
với
0
22
>+ qp
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
3.1 Dạng tham số:
)(
1
∆
đi qua
:),(
111
yxM





∈
+=
+=
Rt
tbyy
taxx
11
11

)(
2
∆
đi qua
:),(
222
yxM




∈
+=
+=
Rt
tbyy
taxx
'
'

'
22
22
- Nếu
0),(),(
1221222111
≠−⇔≠ bababaukbau
thì
)()(
21
∆∩∆
tại I.
- Nếu
),(),(
222111
baukbau =
và
)(
21
∆∉M
thì
)//()(
21
∆∆
- Nếu
),(),(
222111
baukbau =
và
)(

21
∆∈M
thì
)()(
21
∆≡∆
3.2 Dạng tổng quát:
0:)(
1111
=++∆ cybxa
và
0:)(
2222
=++∆ cybxa
Xét hệ:



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
- Nếu hệ có 1 nghiệm
),(
00
yx

thì
),()()(
0021
yxI=∆∩∆
.
- Nếu hệ vô nghiệm thì
)//()(
21
∆∆
.
- Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì
)()(
21
∆≡∆
.
4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
4.1 Dạng hệ số góc: Cho
222111
:)(;:)( bxaybxay +=∆+=∆
Góc giữa
( )
[ ]
00
21
90;0, ∈=∆∆
α
với
21
21
21

1
tan:1
aa
aa
aa
+
−
=−≠
α
với
)()(90:1
21
0
21
∆⊥∆⇔=−=
α
aa
4.2 Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng:

);(0:)(
);(0:)(
2222222
1111111
banVTPTcybxa
banVTPTcybxa
=++∆
=++∆

2
2

2
2
2
1
2
1
2121
21
21
.

.
.
cos
baba
bbaa
nn
nn
++
+
==
α
.
5. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
5.1 Khoảng cách từ
),(
000
yxM
đến
)(∆

:
0=++ cbyax
là
( )
22
00
0
ba
cbyax
Md
+
++
=∆
5.2 Cho
0:)(
0:)(
2222
1111
=++∆
=++∆
cybxa
cybxa
cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác:

2
2
2
2
222
2

1
2
1
111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
±=
+
++
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
5
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù
0
2121
>+ bbaa
2
2
2
2
222
2
1
2
1

111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
=
+
++
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
−=
+
++
0

2121
<+ bbaa
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
−=
+
++
2
2
2
2
222
2
1
2
1

111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
=
+
++
Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có cùng tính chất.
Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất
phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
* Viết phương trình AB, AC.
* Tìm toạ độ của B,C.
* Viết phương trình BC.
Bài tập 1.1: Cho
ABC∆
biết A(-1;-3) và phương trình 2 đường cao BH:
02535 =−+ yx
, CK:
01283 =−+ yx
. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì
CKAB ⊥
nên AB có phương trình

038 =+− cyx

ABA
∈
1−=⇔ c
: Phương trình AB có dạng:
0138 =−− yx
.
Vì
BHAC ⊥
nên AC có phương trình
053 =+− myx

ACA∈
12−=⇔ m
: Phương trình AC có dạng:
01253 =−− yx
.
⇒∩= BHABB
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
)5;2(
02535
0138
B
yx
yx
⇒




=−+
=−−
⇒∩= CKACC
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
)0;4(
01283
01253
C
yx
yx
⇒



=−+
=−−
Phương trình cạnh BC:
02025
40
4
24
2
=−+⇔
−
−
=
−
−
yx
yx

.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.2: Cho tam giác ABC với phương trình cạnh BC: x-y +2=0, hai đường cao
BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Viết phương trình hai cạnh còn lại và đừơng cao thứ
ba .
Bài tập 1.3. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 5x-3y+2=0 và phương
trình các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0
Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.
GV: Hồng Thương Thương THPT Hồng
Thái
6
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Bài tập 1.4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đường
cao có phương trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0
Bài tập 1.5: Cho tam giác ABC với đỉnh A(1;1) .Các đường cao hạ từ B và C lần
lượt nằm trên các đường thẳng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0
Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác đònh toạ độ các
đỉnh B,C. (ĐHSP HN 2000)
Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
)0;1(A
và 2 đường thẳng lần
lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình :
012 =+− yx
và
013 =−+ yx
.
Tính diện tích tam giác ABC.
Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:

Cách 1.
* Kiểm tra A khơng thuộc (d
1
), (d
2
).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm.
* Tìm toạ độ B, C.
* Viết phương trình các cạnh.
Cách 2.
* Kiểm tra A khơng thuộc (d
1
), (d
2
).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm G.
* Tìm toạ độ A
0
là điểm đối xứng với A qua G.
* Viết phương trình đường thẳng (d
3
) qua A
0
và song song với (d
1
),
Viết phương trình đường thẳng (d
4
) qua A
0

và song song với (d
2
).
* Tìm B, C.
* Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 2.1: Cho
ABC∆
biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM:
012 =+− yx
, CN:
01=−y
. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Gọi G là trọng tâm
CNBMG ∩=
⇔
Tọa độ G là nghiệm của hệ:

)1;1(
01
012
G
y
yx
⇒



=−
=+−

.
Gọi I là trung điểm của BC thì
)0;1(
3
2
IAIAG ⇒=
BM:
);12(
12
012 ttB
ty
tx
yx −⇒



=
−=
⇒=+−
CN:



⇒
=
=
⇒=− )1;'(
1
'
01 tC

y
tx
y
GV: Hồng Thương Thương THPT Hồng
Thái
7
A
B C
MN
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Vì I là trung điểm của BC nên:



⇒=
−−⇒−=
⇔





=
+
=
+−
)1;5(5'
)1;3(1
0
2

1
1
2
'12
Ct
Bt
t
tt
Phương trình AB:
02
31
3
13
1
=+−⇔
−−
−
=
−−
−
yx
yx
Phương trình AC:
072
31
3
15
1
=−+⇔
−

−
=
−
−
yx
yx
Phương trình BC:
014
11
1
35
3
=−−⇔
+
+
=
+
+
yx
yx
.
Bài tập tương tự:
Bài tập 2.2: Viết phương trình các cạnh của một tam giác biết đỉnh A(4,3) ,hai trung
tuyến có phương trình x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0.
Bài tập 2.3: Cho
ABC∆
biết A(1;1) các trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương
trình :
082 =+− yx
, CN:

0632 =−+ yx
.
a. Viết phương trình trung tuyến xuất phát từ A.
b. Xác định tọa độ B, C
Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình
hai đường trung tuyến
1 1
BB :8x y 3 0,CC :14x 13y 9 0− − = − − =
. Viết phương trình các cạnh
của tam giác.
Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
Cách giải.
* Tìm toạ độ các điểm A
1
,A
2
lần lượt đối xứng với A qua (d
1
), (d
2
).
* Viết phương trình A
1
A
2
và tìm toạ độ của B, C.

* Viết phương trình AB, AC.
Bài tập 3.1: Cho
ABC∆
biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của góc
B:
012 =+− yx
, góc C:
03 =++ yx
. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Gọi
21
, AA
lần lượt đối xứng với A qua CN và BM
CNAA ⊥
1
: phương trình dạng
0=+− cyx
1
AA
qua A(2;-1) nên
3−=⇒ c
: AA
1
:
03 =−− yx
⇒∩= CNAAI
1
)3;0(
3
0

03
03
−⇒



−=
=
⇒



=++
=−−
I
y
x
yx
yx
A
1
đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA
1
)5;2(
1
−−⇒ A
BMAA ⊥
2
: phương trình dạng
02 =++ myx

2
AA
qua A(2;-1) nên
3−=⇒ m
: AA
2
:
032 =−+ yx
GV: Hồng Thương Thương THPT Hồng
Thái
8
A
B
C
N
M
A
1
A
2
K
I
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
⇒∩= BMAAK
2
)1;1(
1
1
012
032

K
y
x
yx
yx
⇒



=
=
⇒



=+−
=−+
A
2
đối xứng với A qua BM nên K là trung điểm của AA
2
)3;0(
2
A⇒
.
Đường thẳng BC qua A
1
A
2
nên phương trình dạng:

034
53
5
20
2
=+−⇔
+
+
=
+
+
yx
yx
.
⇒∩= BMBCB
)
7
1
;
7
5
(
71
75
012
034
−⇒




=
−=
⇒



=+−
=+−
B
y
x
yx
yx
Đường thẳng AB có VTCP
)19;8()8;19(
7
1
)
7
8
;
7
19
( =⇒−=−=
AB
nVTPTAB
Phương trình dạng:
031980)1(19)2(8 =++⇔=++− yxyx
⇒∩= CNBCC
)

5
9
;
5
6
(
59
56
03
034
−−⇒



−=
−=
⇒



=++
=+−
C
y
x
yx
yx
Đường thẳng AC có VTCP
)4;1()1;4(
5

4
)
5
4
;
5
16
( −=⇒
−
=
−
−=
AC
nVTPTAC
Phương trình dạng:
0640)1(4)2(1 =−−⇔=+−− yxyx
.
Bài tập tương tự:
Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình
hai đường phân giác
2 2
BB : x 1 0,CC : x y 1 0− = − − =
.
a. Tính tọa độ các điểm B, C.
b. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có tính chất khác nhau.
Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao

AH và 1 phân giác trong góc C.
Cách giải:
* Lập phương trình BC
* Tìm C giao của BC và phân giác.
* Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C.
* Lập phương trình AC qua B’ và C.
* Tìm A giao của AC và AH.
* Lập phương trình AB.
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
9
D
C
H
B
B’
A
I
D
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Bài tập 4.1: Cho
ABC∆
biết B(2;-1) và đường cao AH
02743 =+− yx
và phân giác
trong CD:
052 =−+ yx
.Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì

AHBC ⊥
nên phương trình BC có dạng:
034 =++ cyx

BC qua B(2;-1) nên
5−=c
. Phương trình BC:
0534 =−+ yx
.
CDBCC ∩=
nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
)3;1(
3
1
052
0534
−⇒






=
−=
⇒
=−+
=−+
C
y

x
yx
yx
Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên
CDBB ⊥'
. Phương trình BB’ có dạng:
02 =+− myx
BB’ qua B(2;-1) nên
5−=m
. Phương trình BB’ dạng:
052 =−− yx
.
CDBBI ∩= '
nên tọa độ I là nghiệm của hệ:
)1;3(
1
3
052
052
I
y
x
yx
yx
⇒







=
=
⇒
=−+
=−−
I là trung điểm của BB’ nên
)3;4('B
Đường thẳng AC qua C và B’ có VPCP
)5;0()0;5('
AC
nVTPTCB ⇒
.
Phương trình AC dạng:
030)3(5)1(0 =−⇔=−++ yyx
.
AHACA ∩=
nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
)3;5(
3
5
02743
03
−⇒







=
−=
⇒
=+−
=−
A
y
x
yx
y
Phương trình AB dạng:
0174
31
3
52
5
=−+⇔
−−
−
=
+
+
yx
yx

Bài tập tương tự:
Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh
)3;1(−A
, đường cao BH nằm
trên đường thẳng

xy =
, phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng
023 =++ yx
.
Viết phương trình cạnh BC.
Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH:
022 =−+ yx
, đường phân giác CD:
01 =−− yx
. Tìm tọa độ các điểm A, C.
Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và
trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.
* Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao)
* Tìm tọa độ C.
* B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số.
* Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó. Tìm được B.
* Lập phương trình AB,BC.
Bài tập 5.1: Cho
ABC∆
biết A(2;-7) và đường cao BH
0113 =++ yx
và trung tuyến
CM :
072 =++ yx
.Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì
0113: =++⊥ yxBHAC

và AC qua A nên
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
10
A
C
B
H
M
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
phương trình AC dạng:
0)7(3)2(1 =+−− yx

0233 =−−⇔ yx
CMACC ∩=
nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
)6;5(
072
0233
−⇒



=++
=−−
C
yx
yx
Rt
ty

tx
yxBH ∈



−−=
=
⇔=++
113
0113:
)113;( −−⇒∈ ttBBHB
.
Trung điểm M của AB:
)
2
183
;
2
2
(
−−+ tt
M
)1;4(407
2
183
2
2
2
−⇒−=⇒=+







−−
+
+
⇒∈ Bt
tt
CMM
Phương trình đường thẳng AB:
01334
17
1
42
4
=++⇔
−−
−
=
+
+
yx
yx
.
Phương trình đường thẳng BC:
01997
16
1

45
4
=++⇔
−−
−
=
+
+
yx
yx
.
Bài tập tương tự
Bài tập 5.2: Cho tam giác ABC có B(-4;0) , đường cao kẻ từ A:
0234 =++− yx
và
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình :
034 =++ yx
.
a. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác.
Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao qua B:
073 =−− yx
và trung
tuyến qua C:
01=++ yx
. Xác định tọa độ B và C của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(13) đường cao qua B:
01 =−y
và trung
tuyến qua C:

012 =+− yx
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có C(4;-1) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ
đỉnh A có phương trình tương ứng là : (d
1
) : 2x-3y +12=0 , (d
2
) : 2x+3y =0
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1
phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A khơng thuộc 2 đường đã cho.
* Tìm K đối xứng với A qua phân giác.
* C thuộc CK (tham số hóa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số
* Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đó. Tìm được C.
* Lập phương trìnhAC, BC.
GV: Hồng Thương Thương THPT Hồng
Thái
11
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
* Tìm B lập phương trình AB.
Bài tập 6.1:Cho
ABC∆
biết A(1;2), đường trung tuyến BM :
012 =++ yx
và phân giác
trong CD:
01=−+ yx
.Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Giải:
Điểm
)1;(01: ttCyxCDC −⇒=−+∈
Trung điểm M của AC:
)
2
3
;
2
1
(
tt
M
−+
)8;7(701
2
3
2
1
.2 −⇒−=⇒=+
−
+
+
⇒∈ Ct
tt
BMM
Lấy K đối xứng với A qua CD nên
CDAK ⊥
mà AK qua A
⇒

phương trình AK:

010)2(1)1(1 =+−⇔=−−− yxyx
CDAKI ∩=
nên:
)1;0(
01
01
I
yx
yx
⇒



=−+
=+−
I là trung điểm của AK nên K(-1;0).
Đường thẳng BC qua K, C dạng:
0434
817
1
=++⇔=
+−
+
yx
yx
Đường thẳng AC:
01143
28

2
17
1
=−+⇔
−
−
=
−−
−
yx
yx
BCBMB ∩=
nên:
)2;
2
1
(
0434
012
−⇒



=++
=++
B
yx
yx
Đường thẳng AB:
068

22
2
121
1
=−−⇔
−−
−
=
−
−
yx
yx
Bài tập tương tự :
Bài tập 6.2: Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình trung tuyến BB
1
:
038 =−− yx
, phân giác trong CC
1
:
01 =−− yx
. Viết phương trình các cạnh của tam
giác.
Bài tập 6.3: Cho
ABC∆
biết C(4;3), Phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình:
052 =−+ yx
,
010134 =−+ yx

.Viết phương trình
các cạnh của tam giác.
Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt
nào đó của tam giác.
Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trọng tâm.
Cách giải:
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
12
A
B
K
C
MD
I
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
* Tìm được 1 đỉnh của tam giác A
* Tham số hóa đỉnh B và C.
* G là trọng tâm nên tìm được B và C
* Viết phương trình BC.
Bài tập 7.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm
)3;4(G
và
0154: =++ yxAB
,
0352: =++ yxAC
.
Giải:
ACABA ∩=

nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
)1;4(
0352
0154
−⇒



=++
=++
A
yx
yx
)154;(
154
0154: −−



⇒
−−=
=
⇒=++∈ ttB
ty
tx
yxABB
)'21;'54(
'21
'54
0352: ttC

ty
tx
yxACC −+−⇒



−=
+−=
⇒=++∈
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:






=
−=





⇒
=
−−−
=
−+
⇔






++
=
++
=
3
17
'
3
25
3
3
13'24
4
3
8'5
3
3
t
t
tt
tt
yyy
y
xxx
x
CBA

G
CBA
G
),
3
55
;
3
25
(−⇒ B
)
3
31
;
3
73
( −C
⇒
)49;43()43;49(
3
2
)
3
86
;
3
98
(
BC
nVTPTBC ⇒−=−

Đường thẳng BC qua M(8;4) và có VTPT
)49;43(
BC
n
:
Phương trình dạng:
054049430)4(49)8(43 =−+⇔=−+− yxyx

Bài tập tương tự
Bài tập 7.2: Cho tam giác ABC biết trọng tâm
)1;2( −−G
và
0154: =++ yxAB
,
0352: =++ yxAC
.
a. Tìm tọa độ A và trung điểm M của BC
b. Tìm B và viết phương trình BC
Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm
)0;2(−G
. Biết
phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự :
0144 =++ yx
,
0252 =−+ yx
. Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác.
Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trực tâm.
Cách giải:

* Viết phương trình đường thẳng BH, tìm B
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
13
A
B
M
C
G
A
A
B
H
C
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
* Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C.
* Viết phương trình BC.
Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm
)1;1(H
và
0625: =+− yxAB
,
02174: =−+ yxAC
.
Giải:
Đường thẳng
ACBH ⊥
nên phương trình BH:
047 =+− cyx
BH qua H(1;1)

3−=⇒ c
. Phương trình BH dạng:
0347 =−− yx
BHABB
∩=
nên tọa độ B là nghiệm của hệ :
)
2
19
;5(
0347
0625
−−⇒



=−−
=+−
B
yx
yx
Đường thẳng
ABCH ⊥
nên phương trình CH:
052 =++ myx
CH qua H(1;1)
7−=⇒ c
. Phương trình CH dạng:
0752 =−+ yx
CHACC ∩=

nên tọa độ C là nghiệm của hệ :
)
3
7
;
3
28
(
0752
02174
−⇒



=−+
=−+
C
yx
yx
)2;1()1;2(
6
43
)
6
43
;
3
43
( −⇒=⇒
BC

nVTPTBC
Đường thẳng BC qua
)
2
19
;5( −−B
và có VTPT
)2;1( −
BC
n
nên phương trình dạng:

01420)
2
19
(2)5(1 =−−⇔=+−+ yxyx
.
Bài tập tương tự:
Bài tập 8.2: Cho phương trình hai cạnh của tam giác ABC là :
043 =−+ yx
,
01043 =−+ yx
và tọa độ trực tâm H(3;-1). Viết phương trình đường thẳng cạnh còn lại.
Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trung điểm cạnh còn lại
Cách giải:
* B thuộc AB ( tham số hóa B)
* C thuộc AC ( tham số hóa C)
* M là trung điểm của BC
* Viết phương trình BC.

Bài tập 9.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
)2;2(−M
và
022: =−− yxAB
,
043: =−+ yxAC
.
Giải:
022: =−−∈ yxABB
nên
);22( bbB +
043: =−+∈ yxACC
nên
)34;( ccC −
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
14
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Vì M là trung điểm của BC nên





−+
=
++
=
2
34

2
22
cb
y
cb
x
M
M
Theo bài ra
)2;2(−M
nên:





−=
−=
⇔



=−
−=+
⇔






=
−+
−=
++
7
6
7
18
03
62
2
2
34
2
2
22
c
b
cb
cb
cb
cb
)
7
18
;
7
22
( −−⇒ B
)1;4()4;1(

7
8
)
7
32
;
7
8
( −⇒=⇒
BC
nVTPTBM
Đường thẳng BC qua M(-2;2) và có
)1;4( −
BC
nVTPT
có phương trình :

01040)2(1)2(4 =+−⇔=−−+ yxyx
Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh còn lại thuộc 1 đường
thẳng sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho.
* Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và
02: =−∆ yx
a. Tìm C thuộc
∆
sao cho tam giác ABC cân ở C.
b. Tìm C thuộc
∆

sao cho tam giác ABC vuông ở A.
Giải:
a/
)2;(02: ttCyxC ⇒=−∆∈
,
22
)32()1( −++=⇒ ttAC

22
)12()1( −+−=⇒ ttBC
Để
ABC∆
cân ở C
⇔=⇔
22
BCAC
2)12()1()32()1(
2222
=⇔−+−=−++ ttttt
)4;2(C⇒
.
b/
)2;(02: ttCyxC ⇒=−∆∈
.
Ta có :
)32;1();2;2( −+−= ttACAB

Để
ABC∆
vuông ở A

0)32(2)1(20. =−−+⇔=⇔ ttACAB

)8;4(404 Ctt ⇒=⇔=+−⇔

Bài tập tương tự
Bài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm
)2;2(A
và các đường thẳng
02:
1
=−+ yxd
và
08:
2
=−+ yxd
. Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc
21
,dd
sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A.
Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác. Tìm 2
đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng.
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
15
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
* Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài.
( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)

Bài tập 11.1:Cho
0132:
1
=+− yxd
;
054:
2
=−+ yxd
và điểm A là giao của d
1
, d
2
.
Tìm
1
dB∈
và
2
dC ∈
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;5)
Giải:
)21;31()(
21
31
0132:
1
bbBRb
by
bx
yxdB ++⇒




∈
+=
+=
⇔=+−∈
)45;(054:
2
ccCyxdC −⇒=−+∈



⇒
=
=
⇔



=−+
=+−
⇔∩= )1;1(
1
1
054
0132
21
A
y

x
yx
yx
ddA
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:





=
+−
=
++
⇔





++
=
++
=
5
3
742
3
3
23

3
3
cb
cb
yyy
y
xxx
x
CBA
G
CBA
G





−⇒−=
⇒=
)
7
55
;
7
5
(
7
5
)
7

43
;
7
61
(
7
18
Cc
Bb
Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
)2;2( −A
. Viết phương trình đường
thẳng d qua
)1;3(M
cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho
ABC∆
cân tại A.
Giải:
Gọi
OydbCOxdaB ∩=∩= );0(,)0;(
. Phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn:

0,1 ≠=+ bc
b
y
a
x
(*)1
13
=+⇒∈

ba
dM
.
ABC∆
cân tại A
22
ACAB =⇔
22
)2(44)2( ++=+−⇔ ba




−=
+=
⇔



−−=−
+=−
⇔
ba
ba
ba
ba 4
22
22
Với
4+= ba

thay vào
⇒



=−=
==
⇔=⇔
2,2
6,2
4(*)
2
ab
ab
b





=−−⇔=−
=−+⇔=+
021
22
:
0631
26
:
2
1

yx
yx
d
yx
yx
d
Với
ba −=
thay vào
22(*) =⇒−=⇔ ab
(loại) Vì trùng với
2
d
.
Bài tập tương tự
Bài tập 11.2: Cho
05:
1
=++ yxd
;
072:
2
=−+ yxd
và điểm A(2;3). Tìm
1
dB∈
và
2
dC ∈
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
16
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP.
Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm
)2;0(A
và
)1;3( −−B
. Tìm tọa độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. (ĐH-A2004)
Giải:
Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)
+ Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT
)3;3(BA
có phương trình:
033 =+ yx
Đường thẳng qua
)1;3( −−B
và vuông góc với OA có VTPT
)2;0(OA
có phương trình:
1−=y
.
Trực tâm H là nghiệm của hệ:



−⇒
−=

=+
)1;3(
1
033
H
y
yx
.
+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm)
Đường trung trực cạnh OA có phương trình
1=y
, Đường trung trực cạnh OB có
phương trình
023 =++ yx
.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:




−⇒
=
=++
)1;3(
1
0233
I
y
yx
.

Cách 2:
+ Gọi trực tâm
);( yxH
của tam giác ABO thì:
)1;3(
1
3
01
023
0.
0.
−⇒



−=
=
⇔



=+
=−+
⇔



=
=
H

y
x
y
yx
OABH
OBAH
+ Gọi
);( baI
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thì
IOIBIA ==
hay
222
IOIBIA ==

)1;3(
1
3
0632
044
)1()3(
)2(
2222
2222
−⇒



=
−=
⇔




=+
=+−
⇔



+++=+
−+=+
⇔ I
b
a
a
a
baba
baba
Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=90
0
biết
)1;1( −M
là trung điểm cạnh BC và
)0;
3
2
(G
trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh A, B,
C.(ĐH-B2003)
Giải:

Vì G là trọng tâm
ABC∆
và M là trung điểm BC nên:

)2;0()3;1(3 AMGMA ⇒−==
Phương trình BC qua M(1;-1) và vuông góc với
)3;1(−=MA
là
0)1(3)1(1 =++−− yx

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
17
A
C
B
G
M
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

043 =++− yx
Mà
ABC∆
vuông cân tại A nên
10=== MCMBMA
⇒
tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn :
( )
10)1(1
2

2
=++− yx
.
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau:
( )






−=⇒−=
=⇒=
⇔
=++−
=++−
22
40
10)1(1
043
2
2
xy
xy
yx
yx
Vậy tọa độ B, C là
)2;2(),0;4( −−
.
Bài tập 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(2;1) trực tâm H(-6;-3) và

trung điểm cạnh BC là D(2;2).
Giải:
Đường thẳng BC qua D(2;2) và có VTPT
)1;2(4)4;8( =HA
.
Phương trình BC dạng:
0620)2(1)2(2 =−+⇔=−+− yxyx
.
Giả sử B(x;y) thì C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm của BC.)
)7;10(),1;2( −−−− yxCHyxAB
. Vì
CHAB ⊥
nên
0. =CHAB
⇔



=−+
=−−+−−
⇔
062
0)7)(1()10)(2(
yx
yyxx



==
==

⇔



−=
=+−
0,3
4,1
26
015205
2
yx
yx
xy
xx
B(1;4)
)0;3(C⇒
hoặc B(3;0)
)4;1(C⇒

nên phương trình AC và AB dạng:
03;073 =−+=−+ yxyx
Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích
,
2
3
=S
hai đỉnh
),2;3( −A


)3;2( −B
. Trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng
083 =−− yx
. Tìm tọa độ
đỉnh C.
Giải:
Vì
∈G
đường thẳng :
083 =−− yx
nên
)83;( −ttG
Phương trình đường thẳng AB:
05 =−− yx
và
2=AB
⇒
chiều cao
2
32
==
AB
S
h
Khoảng cách từ G tới AB bằng
h
3
1
.
Theo công thức khoảng cách ta có

2
583
2
3
.
3
1
);(
−+−
==
tt
ABGd






−⇒=
−⇒=
⇔
−=−
=−
⇔=−⇔
)5;1(1
)2;2(2
132
132
132
2

1
Gt
Gt
t
t
t
.
Với
)2;2(
1
−G
thì
)1;1(
1
1
32)2.(3
232.3
3
3
−⇒






−=
=
⇒
++−=

−−=
⇒



−−=
−−=
⇒ C
y
x
y
x
yyyy
xxxx
c
c
c
c
BAGc
BAGc
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
18
A
C
B
G
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Với
)5;1(

1
−G
thì

)10;2(
10
2
32)5.(3
231.3
3
3
−−⇒






−=
−=
⇒
++−=
−−=
⇒



−−=
−−=
⇒ C

y
x
y
x
yyyy
xxxx
c
c
c
c
BAGc
BAGc
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn:
)10;2(),1;1( −−− CC
.
Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm
)2;2(A
và các đường thẳng
02:
1
=−+ yxd

và
08:
2
=−+ yxd
. Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc
21
,dd
sao cho tam giác ABC vuông

cân tại A. (ĐH- B2007).
Giải:
Vì
21
, dCdB ∈∈
nên
)8;(),2;( ccCbbB −−
Để
ABC∆
vuông cân ở A thì






−+−=+−
=−−+−−
⇔
=
=
2222
)6()2()2(
0)6)(()2)(2(
0.
ccbb
cbcb
ACAB
ACAB




=−−−
=−−
⇔



+−=−
=+−−
⇔
3)4()1(
2)4)(1(
1882
024
2222
cb
cb
ccbb
cbbc
Đặt
ycxb =−=− 4;1
ta được:






==

=−=
⇔
==
=−=
⇔



=−
=
5,3
3,1
1,2
1,2
3
2
22
cb
cb
yx
yx
yx
xy
Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3).
Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình
chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong
của góc A có phương trình :
02 =+− yx
và đường cao kẻ từ B có phương trình
0134 =−+ yx

. (ĐH – B2008)
Giải: Gọi
d
1
:
02 =+− yx

d
2
:
0134 =−+ yx
Vì d
1
là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua
H và vuông góc với d
1
cắt AC tại điểm H
’
đối xứng với H
qua d
1
. Gọi I là giao điểm của l và d
1
, I là trung điểm của
HH
’
. Phương trình đường thẳng l :
)1(1 +−=+ xy
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
)0;2(

)1(1
02
−⇔



+−=+
=+−
I
xy
yx
Gọi tọa độ của H
’
(a;b) thì
)1;3(
021
421
'
1
1
−⇒



==−
−==−
H
yb
xa
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng

Thái
19
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Đường thẳng AC qua H
’
(-3;1) và
⊥
d
2
:
0134 =−+ yx
nên AC có hệ số góc bằng
4
3
=k

nên có phương trình là:
4
13
4
3
)3(
4
3
1 +=⇔+=− xyxy

suy ra tọa độ của điểm A:
)7;5(
)133(
4

1
02
A
xy
yx
⇔





+=
=+−
CH qua H(-1;-1) có VPPT là
)4;3.(2)8;6( =HA
.
Phương trình CH dạng:
07430)1(4)1(3 =++⇔=+++ yxyx
CHACC ∩=
nên tọa độ C là nghiệm của hệ:



−⇒
=++
=+−
)
4
3
;

3
10
(
0743
01343
C
yx
yx
Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh
)4;1(−A
và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng
04: =−−∆ yx
. Xác định tọa độc các
điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009)
Giải :
Gọi đường cao là AH
Ta được: AH =
2
9
2
441
),( =
−−−
=∆Ad

BC =
24
9
2362
==

∆
AH
S
ABC

AB= AC=
2
97
4
2
2
=+
BC
AH
Hai điểm B(x; y), C(x; y) cùng thỏa mãn hệ sau:

)
2
3
;
2
11
();(
04
2
97
)4()1(
22
=⇔⇔






=−−
=−++
yx
yx
yx
hoặc (x; y)=
)
2
5
;
2
3
( −
Vậy
)
2
5
;
2
3
(),
2
3
;
2
11

( −CB
hoặc
)
2
3
;
2
11
(),
2
5
;
2
3
( CB −
.
Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết
)3;4(C
, ác đường phân giác
trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình
052 =−+ yx
,
010134 =−+ yx
.
Giải:
Gọi C’ đối xứng với C qua phân giác AD:
052 =−+ yx
Khi đó
ABC ∈'
'CCADH ∩=

thì
);25( ttH −
)3;21( −−⇒ ttCH
VTCP của AD là
)1;2( −=
AD
u
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
20
A
C B
M
H
C’
D
A
B
C
H
∆
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Vì
0. =⇒⊥
AD
uCHCHAD
)1;3(10)3(1)21(2 Httt ⇒=⇔=−−−⇔
.
H là trung điểm của CC’ nên
.)1;2('

1
2
2
2
'
'
'
'






−⇒
−=
=
⇔
−=
−=
C
y
x
yyy
xxx
C
C
CHC
CHC
AMADA ∩=

(AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nên tọa độ A là nghiệm của
hệ:



−⇒
−=
=
⇔



=−+
=−+
)2;9(
2
9
01034
052
A
y
x
yx
yx
.
Phương trình AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nên:
057
21
2
92

9
=++⇔
+−
+
=
−
−
yx
yx
);
4
1013
(010134:
);57(057:
m
m
MyxAMM
bbByxABB
+−
⇒=−+∈
−−⇒=++∈
M là trung điểm của BC nên:



=
=
⇔




−=−
=+−
⇔





=+
+−
=+−−
2
1
32
121314
23
4
1013
.2457
m
b
mb
mb
mb
m
b
Vậy:
)1;12(−B
.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa
cạnh AC của tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là:
)2;1(
1
−−A
,
)2;2(
1
B
,
)2;1(
1
−C
Giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:
Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A
1
B
1
C
1
.
Đường thẳng A
1
B
1
có phương trình :
0234 =−− yx
Đường thẳng B

1
C
1
có phương trình :
02 =−y
Khi đó phương trình cặp đường phân giác góc A
1
B
1
C
1
:



∆=−+
∆=+−
⇔−±=
−−
)(062
)(022
)2(
5
234
2
1
yx
yx
y
yx

Thay tọa độ của A
1
, C
1
vào phương trình của
)(
1
∆
ta được:



<−=+−−
>=+−−−
0322.21
052)2(21
11
,CA⇒
nằm về 2 phía khác nhau của
)(
1
∆
⇒
)(
1
∆
là phân giác trong của góc A
1
B
1

C
1
.
Nên BB
1
là đường thẳng
)(
1
∆
AC⇒
là phân giác ngoài của góc A
1
B
1
C
1
.
Vậy AC có phương trình là
)(
2
∆
:
062 =−+ yx
.
( Tương tự các đường phân giác ngoài của góc B
1
A
1
C
1

, A
1
C
1
B
1
tương ứng là các đường
thẳng BC, AB của tam giác ABC).
GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
21
A
C
A
1
B
1
H
B
C
1
Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
Kết luận
- Vi mc ớch t hc v nõng cao trỡnh , nõng cao cht lng ging dy cho hc
sinh trong trng ph thụng, ng thi cung cp ti liu tham kho cho hc sinh lp 10.
Đề tài tôi đã nêu đợc phơng pháp chung cho mỗi dạng cũng nh minh họa bằng các bài
toán cụ thể, đồng thời cũng đa ra cho mỗi dạng một số bài tập tơng tự để vận dụng.
- Đề tài đã đợc tôi áp dụng giảng dạy trong giờ học tự chọn bám sát tại lớp 10A10,
10A12 trờng THPT Hồng Thái và thu đợc kết quả tôi xin trình bày trang sau.
- Tuy vậy, trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không

tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận đợc sự góp ý của Hội
đồng khoa học nhà trờng THPT Hồng Thái Đan Phợng Hà Nội, Hội đồng khoa học
Sở GD & ĐT Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn.
KT QU THC NGHIM
1. Kt qu thu c
ti ó c tụi ỏp dng trong quỏ trỡnh ging dy t chn bỏm sỏt lp 10, c
hc sinh ng tỡnh v t c kt qu, nõng cao kh nng tỡm im v phng trỡnh
ng thng trong tam giỏc khi bit mt s yu t liờn quan.
Cỏc em hng thỳ hc tp hn, khi ó quy bi toỏn hỡnh hc v cỏc yu t gii tớch.
nhng lp ó c ging dy v phõn loi bi toỏn cỏc em bit nh hng khi gii
bi tp dng ny. Hc sinh vi mc hc trung bỡnh khỏ tr lờn ó cú k nng gii bi
tp. Hc sinh bit ỏp dng tng rừ rt. Kt qu thu c c th nh sau :
Lp 10A10
S s 50
Khụng hiu bi-
khụng lm c
Hiu bi-lm
c bi tp
Hc lc
G K TB Y
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi
22
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Trước khi
thực hiện
đề tài
71 % 29 % 5% 29% 53% 13%
Sau khi
thực hiện

đề tài
24 % 76 % 10% 55% 28% 7%
Lớp 10A12
Sĩ số 46
Không hiểu bài-
không làm được
Hiểu bài-làm
được bài tập
Học lực
G K TB Y
Trước khi
thực hiện
đề tài
74 % 26 % 4% 20% 58% 18%
Sau khi
thực hiện
đề tài
28 % 72 % 8% 53% 30% 9%
Như vậy sau khi chuyên đề được áp dụng tôi thấy các phương pháp có hiệu quả
tương đối. Theo tôi khi dạy phần tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
giáo viên cần đưa thêm các bài toán dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắm được
bài tốt hơn.
2. Bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề, đồng thời tôi có lấy ý
kiến của học sinh cho thấy:
a. Đối với giáo viên
− Sau nghiên cứu và viết sáng kiến xong tôi đã nắm rõ về phương pháp tìm các yếu
tố của tam giác khi biết các yếu tố đặc biệt.
− Nắm chắc cơ sở lý luận về phương pháp dạy học sinh “tìm một số yếu tố của tam
giác trong mặt phẳng Oxy”

b. Đối với học sinh
− Học sinh hiểu rõ, có phương pháp và kĩ năng giải bài tập
− Rèn luyện khả năng phân tích, tìm tòi lời giải, nghiên cứu khai thác lời giải một
bài toán.
Như vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức của sách
giáo khoa mà cần chú ý phân loại các dạng toán, khái quát được cách giải cho mỗi dạng
tạo hứng thú học tập cho học sinh.

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
23
Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
Mục lục
Lời mở đầu 2
1. Lí do chọn đề tài: 2
2. Mục đích nghiên cứu: 2
3. Đối tợng nghiên cứu: 3
4. Giới hạn nghiên cứu: 3
5. Nhiệm vụ của đề tài: 3
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi
24
Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy
6. Phơng pháp nghên cứu: 3
Nội dung 4
Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng 4
1. Vec tơ đặc trng 4
2. Phơng trình đờng thẳng 4
3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng 5
4. Góc giữa hai đờng thẳng 5

5 Khoảng cách và phơng trình đờng phân giác 5
Phần 2: Điểm và đờng thẳng đặc biệt trong tam giác 6
Loại 1:Biết tọa độ 1 điểm và phơng trình 2 đờng cùng tính chất 6
Loại 2: Biết tọa độ 1 điểm và phơng trình 2 đờng khác tính chất 9
Loại 3: Biết tọa độ 1 số điểm và đờng đặc biệt 12
Phần 3: Bài tập tổng hợp 17
Kết luận 22
Tài liệu tham khảo
1. Phơng pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Lê Hồng Đức, Lê Hữu
Trí.
2. Tuyển tập 750 bài tập toán hình học Nguyễn Sinh Nguyên.
3. Bài toán Thiết lập phơng trình đờng thẳng Nguyễn Thanh Cảnh.
4. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ toàn quốc (2002 2010) Trần Tuấn
Diệp Ngô Long Hậu Nguyễn Phú Trờng.
5. Các tài liệu trên internet: Violet, VNmath.com, ebook.here.vn.
GV: Hong Thng Thng THPT Hng
Thỏi
25
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp trêng:
















GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng
Thái
26