84 Bài tập ôn thi học sinh giỏi Toán 7
Bài 1 Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 2
Cho
20052004432
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
3
1
++++++=B
Chøng minh r»ng
2
1
<B
.
Bài 3 : TÝnh
1 1 1 1

2 3 4 2012
2011 2010 2009 1

1 2 3 2011
P
+ + + +
=
+ + + +
Bài 4 :
50
31
.
93
14
1.
3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31

11
1


















−






−+







−−
=A
Bài 5 : Chøng tá r»ng:
2004
1
2004
1

3
1
3
1
2
1
1
2222
>−−−−−=B
Bài 6 : Cho
a c
c b
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b

+
=
+
Bài 7 : Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
+
+
Bài 8 : Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc

dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=
−
+
Bài 9 BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d
≠
0 Chứng minh rằng :
a c
b d
=
hoặc
a d
b c
=

Bài 10 Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=







+
+
Bài 11 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba

M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 12 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
Th×
zyx
c
zyx

b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
Biên soạn : Nguyễn Như Quảng – THCS Hợp Thanh - 1 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
b) Cho:
d
c
c
b
b
a
==
. Chứng minh:
d
a
dcb
cba
=







++
++
3
Bi 13 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin :
y z x z x y x y z
x y z
+ + +
= =
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B =
1 1 1
x y z
y z x


+ + +
ữ
ữ ữ


Bi 14 : Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011
+ t
2011
Bit x,y,z,t tha món:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2

x y z t x y z t
a b c d a b c d
+ + +
= + + +
+ + +
Bi 15 : Cho 3 s a, b, c tha món :
2009 2010 2011
a b c
= =
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a )
2

Bi 16: Tỡm cp s (x;y) bit :
= =
1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Bi 17 : Cho
a b c
b c a
= =
v a + b + c 0; a = 2012. Tớnh b, c.
Bi 18 : Tỡm cỏc s x,y,z bit :

1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
+ + + + +
= = =
+ +

Bi 19 : Tỡm x, bit rng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Bi 20: Tìm x, y, z biết:
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=
++ 211
(x, y, z
0
)
Bi 21 : Tìm x, y, z biết
216
3
64
3
8

3 zyx
==
và
122
222
=+ zyx
Bi 22 : Tỡm x , y bit :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ +
= =
Bi 23: Tỡm x bit
a) x + 2x + 3x + 4x + + 2011x = 2012.2013 b)
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x
+ =
Bi 24 Tỡm x nguyờn bit
a)
1 1 1 1 49

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x
+ + + + =
+
b) 1- 3 + 3
2
3
3

+ .+ (-3)
x
=
1006
9 1
4

Bi 25 : Tỡm x bit :
a)
2011 2012x x =
b)
2010 2011 2012x x + =
Bi 26 : a.Tìm x biết
431 =++ xx
b. Tìm x biết:
426
22
+=+ xxx

c. Tìm x biết:
54232 =+ xx
Bi 27 : a)Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 2 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
b) Tỡm x bit:
2 3 2x x x =
Bi 28 : tỡm x bit :
a)
1 4x

b)
2011 2012x
Bi 29 : a) Tỡm x ngyờn bit :
1 3 5 7 8x x x x + + + =
b) Tỡm x bit :
2010 2012 2014 2x x x + + =
Bi 30 : Tỡm x nguyờn bit :
1 2 100 2500x x x + + + =
Bi 31 : Tỡm x bit
1 2 100 605x x x x+ + + + + + =
Bi 32 : Tìm x, y thoả mãn:
x 1 x 2 y 3 x 4 + + +
= 3
Bi 33 : Tỡm x, y bit :
2006 2012 0x y x +
Bi 34 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
2004 4 10 101 990 1000x x x x x= + + + + + + +
Bi 35: Tỡm s t nhiờn x, bit :
a) 5
x
+ 5
x+2
= 650 b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
Bi 36 : Tỡm m , n nguyờn dng tha món :
a) 2
m

+ 2
n
= 2
m

+n
b) 2
m
2
n
= 256
Bi 37 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
Bi 38 : Tỡm x , bit :
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x

+ +
=
Bi 39 : Tỡm x, y bit :
2012
2011 ( 1) 0x y y + =
Bi 40: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
22
23)2004(7 yx =
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
Bi 41 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7
b) Tỡm
,x y Ơ
bit:
2 2
25 8( 2012)y x =

Bi 42 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:
1 1 1
x y 5
+ =
b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :

b
aa 553

23
=++
và
c
a 53 =+
Bi 43 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
12
n
chia hết cho 7.
Bi 44: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2 2 2
5 2013 5
p p
q+ = +
Bi 45 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
313 <m
Bi 46 a) Tìm x nguyên để 6
1+x
chia hết cho 2
3x
b) Tìm
Zx
để A Z và tìm giá trị đó.
Bi 47: Tỡm x nguyờn A =
3
21
+


x
x
cú giỏ tr nguyờn.
Bi 48: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc a thc sau:
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 3 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
a) P(x) = 2x
2
4x + 2012 b) Q(x) = x
2
+ 100x 1000
Bi 49 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = - a
2
+ 3a + 4 b) B = 2 x x
2

Bi 50 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau:
a) P =
2
2012
4 2013x x+ +
b) Q =
2012
2012
2013
2011
a
a

+
+
* Dng vn dng A
2n


0 vi mi A, - A
2n


0 vi mi A.
Bi 51 : Tỡm GTNN ca biu thc :
a) P = ( x 2y)
2
+ ( y 2012)
2012
b) Q = ( x + y 3)
4
+ ( x 2y)
2
+ 2012
Bi 52 : Tỡm GTLN ca R =
4
2
2013
( 2) ( ) 3x x y + +
Bi 53 : Cho phân số:
54
23


+
=
x
x
C
(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
Bi 54 : Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87


n
n
có giá trị lớn nhất.
Bi 55: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
a) A = ( x 2)
2
+
y x
+ 3
b) B =
2011
2012 2010x
c) C =
1 2 100x x x + + +
Bi 56 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
b)
2010 2011 2012B x x x= + +

a)
2011 2012A x x= +
Bi 57: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
Bi 58 : Vi a, b, c l cỏc s dng . Chng minh rng
a)
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ +
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + +
(2)
Bi 59 : a) Cho z, y, z là các số dơng.

Chứng minh rằng:
4
3
222

++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
Bi 60 : Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2( ff
. Biết rằng
0213
=++

cba
Bi 61 Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị
nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Bi 62 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax +++=
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi
6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bi 63 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +
Bi 64 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx +++
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 4 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
Bi 65 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi vn tc
5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh
vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy
Bi 66 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng
đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5
cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều
nh nhau.
Bi 67 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng
vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Bi 68 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình
là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Bi 69 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon thnh cụng vic
ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca
mi cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ?
Bi 70 : Ba ụ tụ cựng khi hnh i t A v phớa B . Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th hai l 3 Km/h .
Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB ln lt l : 40 phỳt,
5
8

gi,
5
9
gi . Tớnh vn tc mi ụ tụ ?
PPHN HèNH HC
Bi 71 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và
bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC

BE
Bi 72: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và
bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . T B k BK

CD ti K
Chng minh rng ba im E, K, B thng hng

Bi 73: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và
bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im ca DE k tia M A . Chng minh
rng : MA

BC
Bi 74 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N.
Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Bi 75 : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca BC . Qua K k ng thng vuụng gúc vi AK ,
ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im ca DE .
a) Chng minh rng : AI

BC
b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao?
Bi 76: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC. ng thng i qua M v vuụng gúc
vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F. Chng minh rng:
a)
2
2 2
4
EF
AH AE
+ =
b)
ã

ã
à
2BME ACB B
=
.
c) BE = CF
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 5 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
Bi 77 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn .Trờn tia i ca tia
AB ly im D sao cho AD = AB , trờn tia i ca tia AC ly im E sao cho AE = AC.
a) Chng minh rng : BE = CD.
b) Gi M l trung im ca BE , N l trung im ca CB. Chng minh M,A,N thng hng.
c)Ax l tia bt k nm gia hai tia AB v AC. Gi H,K ln lt l hỡnh chiu ca B v C trờn tia Ax
. Chng minh BH + CK

BC.
d) Xỏc nh v trớ ca tia Ax tng BH + CK cú giỏ tr ln nht.
Bi 78 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam
giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M,
N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bi 79 : Cho tam ABC vuụng ti A , đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao
cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với
AC cắt đờng thẳng AH tại E.
Chứng minh: AE = BC
Bi 80 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với
tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF

c)
2
ACAB
AE
+
=
Bi 81 Cho tam giác ABC có góc A khác 90
0
, góc B và C nhọn, đờng cao AH. Vẽ các điểm D, E sao
cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lợt là giao điểm của DE
với AB và AC.
a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A
b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bi 82. Cho ABC vi gúc A khụng vuụng v gúc B khỏc 135
o
. Gi M l trung im ca BC. V phớa
ngoi ABC v ABD vuụng cõn ỏy AB. ng thng qua A vuụng gúc vi AB v ng thng qua
C song song vi MD ct nhau ti E. ng thng AB ct CE ti P v DM ti Q . Chng minh rng Q l
trung im ca BP.
Bi 83. Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc
ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Bi 84 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B ct AC D. K DH vuụng gúc
vi BC. Trờn tia AC ly im E sao cho AE = AB . ng thng vuụng gúc vi AE ti E ct tia DH
K . Chng minh rng :

a) BA = BH b)
ã
0
45DBK =
c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 6 -