HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
1

A
B
C
M
N
O
A
B
C
A
B
C
M
N
HÌNH HỌC PHẲNG CƠ BẢN:

1) Các đường trong tam giác:
a) Đường trung tuyến AM:

M là trung điểm BC




b) Đường phân giác AK:




BAK KAC


Giao điểm của 3 đường
phân giác là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác



: c) Đường cao AH

AH BC


Giao điểm của 3 đường cao
gọi là trực tâm



d) Đường trung trực a :



,
a BC

M là trung điểm BC
Giao điểm của 3 đường trung
trực là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác

a
b
0
A
B
C


2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G:

GA=
2
3
AM
G là trọng tâm

3) Định lý:

/ /
MA MB
N
MN BC





là trung điểm AC



4) Đường trung bình MN của
ABC

:
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh
AB, AC của
ABC

. Có:
/ /
2
MN BC
BC
MN








5) Hệ thức lượng trong

vuông
a)
2 2 2
BC AB AC
 



b)
. .
AH BC AB AC



c)
2
.
AH HB HC



d)
2
.
AB BC BH



e)
2
.
AC BC CH






f)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 


g)
sin
AB
C
BC

;
cos
AC
C
BC

;
tan
AB
C
AC



6)
ABC


có AM là trung tuyến

0
90
2
BC
AM BAC  




0
90
MA MB MC BAC   

m
a
2
=
2 2 2
2( )
4
b c a
 


7)
ABC

đều cạnh a:

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
A
B
C
H
A
B
C
M
G
A
B
C
M
A
B
C
M
A
B
C
K
A
B
C
H
A
M
a
B C

A
B
C
M
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
2

C
A
B
R
O
Đường cao AH =
3
2
a

Diện tích
2
3
4
a
S 
8) Định lý Talet:

/ /
AM AN
MN BC
AB AC
 




9) Hình chữ nhật: Diện tích S


.
S AB BC




10) Hình vuông:

2
S AB




11)

vuông


1
.
2
S AB AC






12) Tam giác thường


1
.
2
S BC AH




13) Hình thang



2
AB CD AH
S






14) Hình bình hành




.
S DC AH




15) Hình thoi
.
S AD BH

,
1
.
2
S AC BD




16) Hình tròn:




2
S R





17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1

lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1

nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1






ACx A B
 




0
180
ACB ACx 


d) Tổng 3 góc trong 1

bằng 180

0

e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng
0
360

Các phương pháp chứng minh
18) CM 2

bằng nhau
a) Tam giác thường (3 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b)

vuông (5 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông
Cạnh huyền, 1 góc nhọn


19) CM

cân

a) 2 cạnh bằng
b) 2 góc bằng
c) 1 đường có 2 trong 3 tính
chất: cao, phân giác, trung tuyến




20) CM

đều

a) 3 cạnh bằng
b) 3 góc bằng
c)

cân, có 1 góc bằng
0
60

A
B
C
M N
A
D
B
C
A
D
B
C
A
B C
H
A
B

C
D
H
x
A
B
C
A
B
D
H
B
C
A
A
B
C
A
D
B
C
H
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
3


20) CM hình thang:

CM tứ giác có 2cạnh
//






21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng
nhau)
D C
A B

CM tứ giác là hình thang có:
a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau
b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 180
0
)
c) Hai đường chéo bằng nhau

22) CM tứ giác là hbh

A
D
C
B

a) 2 cặp cạnh đối song song
b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau
c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường

23) CM tứ giác là hình thoi:
A
B
D
C

CM tứ giác
a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau
b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc
c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của
góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
d) có 4 cạnh bằng nhau
e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác
của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác
a) là hbh có 1 góc vuông
b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau
c) có 3 góc vuông
d) là hình thang cân có 1 góc vuông
25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông
b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau
d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1
đường tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với
bán kính tại đầu mút của bán kính

OB là bán kính đường tròn

a

OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của
đường tròn (O)


27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau:
a) CM 2

bằng nhau
b) Cùng bằng cạnh thứ ba
c)
EF
AB CD GH AB GH
    

d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)

có 2 góc =


cân

2 cạnh bằng nhau
f)

cân


đường phân giác hay đường cao ở
đỉnh chia đôi cạnh đáy
g) Áp dụng đl I)3
h) Tính chất đoạn chắn
i) CM tứ giác là hbh

2 cạnh đối bằng nhau
j)
ABC

vuông tại A có AM là trung tuyến



AM MB MC
 



k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng
nhau thì 2 dây cung bằng nhau
l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn
cách đêu 2 tiếp điểm


AB = AC

m)



AB CD AB CD
  


28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2

bằng nhau
A
B CM
B
C
O
A
B
a
O
D
A
B
C
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
4

b)

có 2 cạnh bằng



cân

2 góc bằng
c)

cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là
phân giác
d) 2 cặp góc bằng

2

đồng dạng

cặp góc
thứ ba bằng
e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường
thẳng thứ ba

2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc
đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một vuông góc
i) cùng bằng góc thứ ba
j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
k) cùng cộng với góc thứ ba bằng
0
60


l)



1 2 3 4 1 4
    
  

m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau
từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh

2 góc đối bằng nhau
o) Hai tiếp tuyến cắt nhau





AMO BMO
AOM BOM











29) CM 2 đường thẳng song song:
a) 2 góc so le trong bằng nhau

2 đt //
b) 2 góc đồng vị bằng nhau

2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau

2 đt //
d) 2 đt cùng // với đt thứ ba

2 đt //
e) 2 đt cùng

với đt thứ ba

2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn,
h.thoi, h.vuông

2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một

thì // với cạnh
thứ ba
h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau

a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =

2 đt


b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c)

có 2 góc phụ nhau

góc còn lại bằng
0
90

2đt


d)
/ /a b
a c
a c

 




e) a // c, b // d, c


d
a b
 

f)

cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là
đcao
g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông
góc
h) Định lý Pitago đảo
i) Đường cao thứ 3 trong 1


j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua
tâm

đường kính

dây cung
k) Tiếp tuyến

bán kính đi qua tiếp điểm
l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
31 ) CM 3 điểm thẳng hàng
a)

0
180ABC

 
A, B, C thẳng hàng
b)
AB m
AC m






A, B, C thẳng hàng
c)
AB n
BC n






A, B, C thẳng hàng
d)


xAB xAC
 
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1



f) Đường tròn (O) có AB là đường kính

A,
O, B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A

O, A, O
’
thẳng hàng

32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó
b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn,
h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối
bằng 180
0
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc











O
M
A
B
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

5

QUAN HỆ SONG SONG:

1

Qua 1 điểm không nằm trên đường thẳng cho trước có 1 và chỉ 1
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

2
Nếu 3 mp phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì
3 giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song nhau
( ) ( )
// //
( ) ( )
, , ñoàng quy
( ) ( )
P Q a
a b c
Q R b
a b c

R P c
 



  




 


3
Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với 2 đường thẳng đó
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
( ), ( )
// //
//
(d )
( ) ( )
a b
d a b
a b
d a b
d
 
 
 







 


 


4

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau
//
//
//
a b
a c
b c






5


Nếu đường thẳng d không nằm trong (

) và d song song với đường
thẳng d’ nào đó nằm trong (

) thì d song song với (

)
( )
// ' //( )
' ( )
d
d d d
d












6

Cho đường thẳng a song song với (


). Nếu (

) chứa a và cắt (

)
theo giao tuyến b thì b song song với a
//( )
( ) //
( ) ( )
a
a b a
b


 


 


 


7
Nếu 2 mp phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó
( ) //
( )// '//
( ) ( ) '
d

d d d
d


 





 


8

Nếu (

) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song
với (

) thì (

) song song với (

)




d

a

b



d’

d

a

b







d

d'



b

c


a

P
Q
c
b a

R

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

6

( ), ( )
caét ( ) // ( )
//( ), //( )
a b
a b
a b
 
 
 
 








9

Cho 2 mp song song. Nếu 1 mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và 2
giao tuyến song song với nhau
( ) // ( )
( ) ( ) //
( ) ( )
a a b
b
 
 
 


  


 



10

*) Nếu đường thẳng d song song với (

) thì trong (

) có 1 đường
thẳng song song với d và qua d có duy nhất 1 mp song song với (


)
*) 2 mp phân biệt cùng song song với mp thứ ba thì song song với
nhau
11
Cho 2 đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất 1 mp chứa đường này và
song song với đường kia
12
Qua 1 điểm nằm ngoài mp cho trước có một và chỉ một mp song
song với 1 mp cho trước
13


Định lí Thalés
Ba mp đôi một song song chắn trên 2 cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
 


QUAN HỆ VUÔNG GÓC:

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
 
góc
( ; ) 90

o
a b
 .

C3: Dùng hệ quả:





C4: Dùng hệ quả:





C5 : Dùng hệ quả:


b

a

b

a












d

d ’

B

A

A’

B’

C

C’









b
//
c
,
a b a c
  

a
c
b

( )
( )
a P
a b
b P


 




a
b

P
a
P
b


( )
( )
a song song P
a b
b P

 




HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

7





C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh
còn lại của tam giác






Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng






C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng
kia cũng vuông góc với mặt phẳng







C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt
phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia







C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó









Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
.

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.




A
C
B

AB
BC
AC
 

  

 


c
a

b
P


b
,
c
cắt nhau ,
, ( )
b c P
 ,
,
a b a c
 

( )
a P

P
b a

a
//
b
,
( ) ( )
b P a P
  

Q

P
b
a

( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
 

 

 


P
( )
( )


( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
 
 
  


  

 



y
x




O


( ) ( )
 
  
,
( ),
Ox Ox

  
,
( ),
Oy Oy

  



Khi đó:
góc
(( );( ))
 

góc

( ; ) : 0 90
o
Ox Oy xOy
 
   


( ) ( ) 90
o
  
  
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

8






C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt
phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.









CÁCH XÁC ĐINH GÓC
Góc của hai đường thẳng











Góc của hai mặt phẳng

















Góc của đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng










a

( )
( ) ( )
( )
a
a


 



 





Chọn điểm O tuỳ ý.
 Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
 Góc (a,b) = góc (a’,b’) =

AOB

 Thường chọn điểm O

a hoặc O
b

b'
a'
B
A
O
b
a
 =



( ; )
a b

 Chọn điểm O thuộc giao tuyến của

và

.
 Dựng qua O :
( )
OA
OA




 

và
( )
OB
OB




 



 Góc
( , )
 
= Góc
( , )
OA OB
=

AOB



Chú ý: *
0 90
o

 
* Nếu
90
o

 thi chọn góc

( ; ) 180
o
  
 




B
O
A




B
O
A

a



Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
 Dựng qua
( )
AB

 tại B.
 Dựng giao điểm O của a và

nếu chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (

))
 Khi đó: Góc
( ;( ))
a


= Góc
( , )
OA OB
=

HHKG C in Vừ Thanh Bỡnh: 0917.121.304

9


KHOANG CACH



































HèNH V MT S HèNH CHểP T BIT
Hỡnh choựp tam giaực ủeu


Hỡnh chúp tam giỏc u:


ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn


c bit: Hỡnh t din u cú:



ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u


Cỏch v:


V ỏy ABC

V trung tuyn AI


Dng trng tõm H

V SH

(ABC)


Ta cú:


SH l chiu cao ca hỡnh chúp


Gúc gia cnh bờn v mt ỏy l:


SAH


.


Gúc mt bờn v mt ỏy l:

SIH



Dựng MH : d(M, ) = MH

M
H

Dựng: MH

(

), H thuộc (

) ta có: d(M,(

)) = MH

M
H


Chọn điểm M trên
1
, dựng MH
2
( H thuộc
2
) ta có d(
1
,
2
) = MH
//

1

2

2

1
M
H

Chọn điểm M thuộc , dựng MH
( H thuộc ( )), ta có d(,( )) = MH
// ( )


H

M

Ta có: d(( ),( )) = d(,( )) = MH
(M thuộc , MH ( ), H thuộc )
( ) // ( ), chứa trong ( )
H
M




Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a
Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( )
Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a
đờng thẳng a' cắt đờng thẳng b tại B
Dựng qua B và // MH, cắt a tại A
Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB
a và b chéo nhau

B
A
H
M
a'
b
a

Khong cỏch t mt im
n mt ng thng

Khong cỏch t mt im
n mt mt phng
Khong cỏch gia hai
ng thng song song
Khong cỏch gia mt
phng v ng thng //
song song

Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
h


I
C
A
H
S
B

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

10

Hình chóp tứ giác đều




Hình chóp tứ giác đều:


Đáy là hình vuông


Các mặt bên là những tam giác cân


Cách vẽ:


Vẽ đáy ABCD


Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD


Vẽ SH

(ABCD)


Ta có:


SH là chiều cao của hình chóp




Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:

SAH


.


Góc mặt bên và mặt đáy là:

SIH




Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy












.










Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
 
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.




I
H
D
A
B
C
S



A
C
B
S




D
A
B
C
S


SA

(ABC)


Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:

SBA




Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:

SCA




SA

(ABCD)


Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:

SBA




Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:

SCA





Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:

SDA




HHKG C in Vừ Thanh Bỡnh: 0917.121.304

11

TH TCH CA KHI:













1











1) Hỡnh chúp: Gm ỏy l a giỏc phng v nh
khụng thuc mt ỏy
2) Hỡnh chúp u
a) nh ngha: l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u,
cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn bng nhau cú chung
nh
b) Tớnh cht: Trờn hỡnh chúp u
- Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh lờn mt phng ỏy thỡ
trựng vi tõm ca ỏy
- on thng ni nh vi trung im ca 1 cnh ỏy
gi l trung on
*) Chỳ ý:
1. Trung on ch cú hỡnh chúp u
2. Trong hỡnh chúp u tt c cỏc trung on thỡ bng
nhau
3. Hỡnh t din cú 4 mt l cỏc tam giỏc u gi l
hỡnh t din u
*) Cụng thc v hỡnh chúp
1. V =
1
3

S.h
: dieọn tớch ủaựy
h: chieu cao
S




2. S
xq
= tng din tớch cỏc mt bờn
*) c bit: Hỡnh chúp u cú
S
xq
= p.d
: nửỷa chu vi ủaựy
d: trung ủoaùn
p




3. S
tp
= S
xq
+ S
ỏy
2


Hỡnh lng tr

1) Khỏi nim: L hỡnh cú 2 a giỏc ỏy song song
v cỏc cnh bờn bng nhau
2) Nhn xột

- Cỏc cnh bờn ca HLT bng nhau v song song vi
nhau
- Cỏc mt bờn ca HLT l cỏc HBH
- Hai ỏy ca HLT l 2 a giỏc bng nhau
- Chiu cao bng khong cỏch gia 2 ỏy
3

Lng tr ng
L hỡnh cú cỏc mt bờn l hỡnh ch nht, ỏy l mt
a giỏc
Lng tr u
L lng tr ng cú ỏy l a giỏc u
*) Cụng thc
1. V = S.h
: dieọn tớch ủaựy
h: chieu cao
S




B

D

D
B
C
A
A
B
C
A
C
A
B
C
H
D
C
B
A
S
h
#
S
A

B
C
H

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

12


2. S
xq
= p.h
: nöûa chu vi ñaùy
h: chieàu cao
p




3. S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy

4






Hình hộp
Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
5








Hình hộp chữ nhật: hình có 6 mặt là hình chữ nhật
V = a.b.c
6








Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có các mặt
đều là hình vuông
V = a
3
(thể tích = cạnh lập phương)
7

Mặt nón tròn xoay
Cho hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l,
chiều cao h
- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
S
xq
=


.r.l
- Thể tích khối nón tròn xoay
V =
1
3

.r
2
.h
- Quan hệ r, l, h
l
2
= r
2
+ h
2

8

Mặt trụ tròn xoay
Cho hình trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l,
chiều cao h
- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
S
xq
= 2

.r.l
- Thể tích khối nón tròn xoay

V =

.r
2
.h




9







Mặt cầu

- Diện tích mặt cầu : S = 4

.r
2

- Thể tích khối cầu : V =
4
3

.r
3


r: bán kính mặt cầu

A
B
C
D
A’
C’
B’
D’
O

r

M

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

13

5a
4a
D'
C'
B'
A'
D
C
B

A
A'
C'
B'
A
B
C
I
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
10

Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,
SC lần luợt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó

. ' ' '
. ' ' '
' ' '
. .
S A B C
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC





MỘT SỐ VÍ DỤ CƠ BẢN VỀ VIỆC TÍNH THỂ TÍCH.

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD
2
= BD'
2
- DD'
2
= 9a
2

BD 3a
 
ABCD là hình vuông
3a
AB
2
 

Suy ra B = S
ABCD

=
2
9a
4
Vậy V = B.h = S
ABCD
.AA' = 9a
3


Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích
tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có

ABC đều nên

AB 3
3 &
2
AI 2 AI BC
A'I BC(dl3 )
 
  

A'BC
A'BC
2S
1
S BC.A'I A'I 4

2 BC
   

AA' (ABC) AA' AI
  
.
2 2
A'AI AA' A'I AI 2
   


Vậy : V
ABC.A’B’C’
= S
ABC
.AA'=
8 3


Ví dụ 3: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60
0
Đường chéo lớn
của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và S
ABCD
= 2S
ABD
=

2
a 3
2

Theo đề bài BD' = AC =
a 3
2 a 3
2

2 2
DD'B DD' BD' BD a 2
   


S
A
B
C
C’
A’
B’
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

14

o
60
C'
B'
A'

C
B
A
a
o
60
o
30
C'
B'
A'
C
B
A
o
30
a
D'
C'
A'
B'
D
C B
A
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
2



Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =
BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC) A'A AB&AB
  
là hình chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy

o
góc[A'B,(ABC)] ABA' 60
 
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3
  


S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2



Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2



Ví dụ 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a ,

ACB
= 60
o
biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30
0
. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Lời giải:
o
a 3
ABC AB AC.tan60  

.
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)
   

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =


BC'A
= 30
o

o
AB
AC'B AC' 3a
tan30
  

V =B.h = S
ABC
.AA'
2 2
AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2
   


ABC

là nửa tam giác đều nên
2
ABC
a 3
S
2

Vậy V =
3
a 6


Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD'
của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30
0
. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của
lăng trụ .
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
ta có:
DD' (ABCD) DD' BD
  

và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] =

0
DBD' 30


0
a 6
BDD' DD' BD.tan30
3
  
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
3

S = 4S
ADD'A'
=
2
4a 6
3

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

15

a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A

o
60
x
o
30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

BAD
= 60
o

biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
. Tính thể tích của hình hộp.

Giải
ABD

đều cạnh a
2
ABD
a 3
S

4
 
2
ABCD ABD
a 3
S 2S
2
  
ABB'

vuông tạiB
o
BB' ABt an30 a 3
  
Vậy
3
ABCD
3a
V B.h S .BB'
2
  

Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =
BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC)&BC AB BC A'B
   


Vậy

o
góc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60
 
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3
  


S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2


Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2


Ví dụ 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy
một góc 30

0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
ABC

đều
AI BC
 
mà AA'
(ABC)

nên A'I
BC

(đl 3

).
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =

A'IA
= 30
o
Giả sử BI = x
3
2
32
x
x
AI 
.Ta có

x
xAI
AIIAAIA 2
3
32
3
2
30cos:':'
0


A’A = AI.tan 30
0
=
xx 
3
3
.3

Vậy V
ABC.A’B’C’
= CI.AI.A’A = x
3

3

Mà S
A’BC
= BI.A’I = x.2x = 8
2



x

Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3

Ví dụ 10: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên
OC BD


a
0
60
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D

B
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

16

2a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
CC'

(ABCD) nên OC'

BD (đl 3

).
Vậy góc[(BDC');(ABCD)] =

COC'
= 60
o


Ta có V = B.h = S
ABCD
.CC'
ABCD là hình vuông nên S
ABCD
= a
2

OCC'

vuông nên CC' = OC.tan60
o
=
a 6
2

Vậy V =
3
a 6
2

Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải:
Ta có AA'

(ABCD)
 
AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] =

o
A'CA 30


BC

AB

BC

A'B (đl 3

) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =

o
A'BA 60


A'AC


AC = AA'.cot30
o
=

2a 3

A'AB


AB = AA'.cot60
o
=
2a 3
3

2 2
4a 6
ABC BC AC AB
3
   
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
16a 2
3

Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là
a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
C'H (ABC) CH

 
là hình chiếu của CC' trên (ABC)
Vậy

o
góc[CC',(ABC)] C'CH 60
 
0
3a
CHC' C'H CC'.sin60
2
  

S
ABC
=
2
3
a
4
 .Vậy V = S
ABC
.C'H =
3
3a 3
8

Ví dụ 13: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một
góc 60 .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
Lời giải:
1) Ta có
A'O (ABC) OA
 
là hình chiếu của AA' trên (ABC)
Vậy

o
góc[AA',(ABC)] OAA' 60
 
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

AO BC

tại trung điểm H của BC nên
BC A'H

(đl 3

)
BC (AA'H) BC AA'
   
mà AA'//BB' nên
BC BB'

.
Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
H

o
60
a
B'
A'
C'
C
B
A
H
O
o
60
C'
A
a
B'
A'
C
B
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

17

H
N
M
D'
C'
B'

A'
D
C
B
A
2)
ABC

đều nên
2 2 a 3 a 3
AO AH
3 3 2 3
  
o
AOA' A'O AOtan60 a
  


Vậy V = S
ABC
.A'O =
3
a 3
4

Ví dụ 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =
3
AD =
7
.Hai mặt

bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0.
.

Tính thể tích khối hộp nếu
biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải:
Kẻ A’H
)(ABCD

,HM
ADHNAB


,

ADNAABMA



','
(đl 3

)


o o
A'MH 45 ,A'NH 60

  
Đặt A’H = x . Khi đó
A’N = x : sin 60
0
=
3
2x

AN =
HM
x
NAAA 


3
43
''
2
22

Mà HM = x.cot 45
0
= x
Nghĩa là x =
7
3
3
43
2



x
x

Vậy V
ABCD.A’B’C’D’
= AB.AD.x
=
3
3. 7. 3
7


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a.
Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS:
3
a 3
V
4
 ; S = 3a
2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD' a 6
 .
Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a
3


Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng
chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs: V = 240cm
3
và S = 248cm
2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng
diện tích các mặt bên là 480 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm
3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết
rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs:
V = 24a
3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt
của lăng trụ bằng 96 cm
2
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm
3

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m
2
. Tính thể tích khối lập ph
ương

Đs: V = 8 m
3
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

18

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường
chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m
3

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5; 10; 13
.
Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với
mặt bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụĐS:
3
a 2
V
16

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp
với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a 3

V
2

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3
 ;
3
a 3
V
2


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết
AC = a và

o
ACB 60

biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30
o
.
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS:
3
6
V a

, S =

2
3a 3
2

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a
và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 30
0
.
Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
32a
V
9

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với
(ABCD) một góc 30
o
và hợp với (ABB'A') một góc 45
o
.
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:
3
a 2
V
8

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của
ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60

o
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30
o
. Đs:1)
3
2a 6
V
9
 ;2)
3
a 3
V
4
 ;3)
3
4a 3
V
9

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30
o
. Đs: 1)V =
3
a 3

16
2)V =
3
a 2
8

Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh
của 2 mặt bên kề nhau là 60
o
.Tính thể tích lăng trụ và t
ổng diện tích các mặt của lăng trụ .
Đs: V = a
3
và S = 6a
2

Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' =
CA' =
2 2 2
a b c
 

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

19

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường
chéo. Chứng minh rằng
2 2 2

sin x sin y sin z 1
  
.
Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD
một góc 30
o
và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60
0
. Tính th
ể tích hộp chữ nhật.
Đs:
3
2a 2
V
3

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết
rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30
o
.Tính th
ể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a
3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết
rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45
o
. Tính th
ể tích lăng trụ.

Đs:
3
V a 2


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và

o
BAC 120

biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45
o
. Tính th
ể tích lăng trụ.
Đs:
3
a 3
V
8

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h
biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ.

Đs:
3
h 2
V
4


Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1)
3
V a 3
 ; 2) V =
3
a 3
4
; V =
3
a 3

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45
o
.
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

Đs: 1) V = 16a
3
. 2) V = 12a
3
.3) V =
3
16a
3

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
a 6
2
V 
; 2) V =
3
a
; V =
3
a 2

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =

60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

20

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
a
2

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
3a 3
V
4

; 2) V =
3
3a 2
8
; V =
3
3a
2


Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a
Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30
o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 30
0
Đs: 1)
3
2
V 8a

; 2) V =
3
11
5a
; V =
3
16a

Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy
ABCD một góc 45
o
. Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =
3
a 2

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8
hợp với đáy ABC một góc 30

o
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và

o
BAD 30

và biết cạnh bên
AA' hợp với đáy ABC một góc 60
o
.Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều
A,B,C biết AA' =
2a 3
3
.Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
a 3
V
4


Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có
hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb
BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60
o
.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:
3

3a 3
V
8

Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với
đáy ABC 1 góc 60
o
và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1)
2
a 3
S
2
 2)
3
3a 3
V
8

Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc
hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30
o
2)
3
3
a
V

8

Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C'
trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên
AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90
o
Đs:
3
27a
V
4 2

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A'
trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc
60
o
.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

21

_
\
/
/
a
B
S

C
A
a
o
60
S
C
B
A
3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2)
2 2
ACC'A' BDD'B'
S a 2;S a
 
. 3)
3
a 2
V
2

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
A = 60
o
chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết
BB' = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
Đs: 1) 60
o
2)

3
2
3a
V &S a 15
4
 

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông
góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
Ta có

(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)







AC (SBC)
 

Do đó
2 3
SBC
1 1 a 3 a 3

V S .AC a
3 3 4 12
  
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60
o
.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
1)
SA (ABC) SA AB &SA AC
   

mà
BC AB BC SB
  
( đl 3

).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có
SA (ABC) AB
 
là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] =

o
SAB 60


.
ABC

vuông cân nên BA = BC =
a
2

S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 4


o
a 6
SAB SA AB.tan60
2
  
Vậy
2 3
ABC
1 1 a a 6 a 6
V S .SA
3 3 4 2 24
  
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC
và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60

o
. Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM

BC

SA

BC (đl3

) .
Vậy góc[(SBC);(ABC)] =

o
SMA 60

.
Ta có V =
ABC
1 1
B.h S .SA
3 3

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

22

H
a

D
C
B
A
S
o
60
a
H
D
C
B
A
S
o
60
a
H
D
C
B
A
o
3a
SAM SA AM tan60
2
  

Vậy V =
3

ABC
1 1 a 3
B.h S .SA
3 3 8
 

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy BCD
và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60
o
.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải:
1)Ta có
SA (ABC)

và
CD AD CD SD
  
( đl 3

).(1)
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] =

SDA
= 60
o
.
SAD


vuông nên SA = AD.tan60
o
=
a 3

Vậy
2
3
ABCD
a
1 1 a 3
V S .SA a 3
3 3 3
  
3) Ta dựng AH
SD

,vì CD

(SAD) (do (1) )
nên CD

AH

AH (SCD)


Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4

SAD
AH SA AD 3a a 3a
     
Vậy AH =
a 3
2

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.
SAB

đều
SH AB
 

mà
(SAB) (ABCD) SH (ABCD)
  

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
a 3
2

suy ra
3

ABCD
1 a 3
V S .SH
3 6
 

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC)

(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60
o
. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH

(BCD) , mà (ABC)

(BCD)

AH
(BCD)

.
Ta có AH

HD

AH = AD.tan60
o

=
a 3

& HD = AD.cot60
o
=
a 3
3

a
o
60
M
C
B
A
S
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

23

a
2a
H
O
C
B
A
S
a

O
D
C
B
A
S
BCD


BC = 2HD =
2a 3
3
suy ra
V =
3
BCD
1 1 1 a 3
S .AH . BC.HD.AH
3 3 2 9
 
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
0
.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
a) Kẽ SH

BC vì mp(SAC)


mp(ABC) nên SH

mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB
và BC

SI

AB, SJ

BC, theo giả thiết


o
SIH SJH 45
 

Ta có:
HJHISHJSHI






nên BH là đường phân giác của
ABC

ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.

b) HI = HJ = SH =
2
a

V
SABC
=
12
.
3
1
3
a
SHS
ABC



Ví dụ 8: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
Dựng SO

(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
AO =
2 2 a 3 a 3
AH
3 3 2 3

 
2
2 2 2
11a
SAO SO SA OA
3
   
a 11
SO
3
 
.Vậy
3
ABC
1 a 11
V S .SO
3 12
 
Ví dụ 9:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
Dựng SO

(ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD

ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA

2
+ SB
2
= AB
2
+BC
2
= AC
2
nên
ASC

vuông tại S
2
2
a
OS 



3
2
1 1 2 2
.
3 3 2 6
ABCD
a a
V S SO a  

Vậy

3
a 2
V
6


Ví dụ 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
45
I
J
H
A
C
B
S
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

24

a
I
H
O
M
C
B
A
D
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.

Lời giải:
a) Gọi O là tâm của
ABC

( )
DO ABC
 


1
.
3
ABC
V S DO



2
3
4
ABC
a
S 
,
2 3
3 3
a
OC CI 



2 2
ô ó :
DOC vu ng c DO DC OC
  
6
3
a



2 3
1 3 6 2
.
3 4 3 12
a a a
V  

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

1 6
2 6
a
MH DO 

2 3
1 1 3 6 2
. .
3 3 4 6 24
MABC ABC
a a a

V S MH   

Vậy
3
a 2
V
24

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30
o
.
Tính thể tích hình chóp . Đs: V =
3
a 2
6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30
o
.Tính th
ể tích khối chóp SABC .
Đs:
3
h 3
V
3


Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB =
a,SC hợp với (SAB) một góc 30
o
và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60
o
.Chứng minh rằng SC
2
=
SB
2
+ AB
2
+ AC
2
Tính thể tích hình chóp.
Đs:
3
a 3
V
27

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD

(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,
BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm
3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d =
12

34

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc

o
BAC 120

,
biết
SA (ABC)

và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45
o
. Tính th
ể tích khối chóp SABC.
Đs:
3
a
V
9


HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

25

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết
SA

(ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60

o
Tính th
ể tích khối chóp.
Đs:
3
a 3
V
48

Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng
SA

(ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45
o
và AB = 3a , BC = 4a
Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a
3

Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A
bằng 60
o
và SA

(ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:
3
a 2
V
4


Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA

(ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60
o

Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:
3
a 6
V
2

Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD
một góc 45
o
.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:
3
3R
V
4

Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
3
a 3
V

24

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45
o
.
Tính thể tích của SABC. Đs:
3
a
V
12


Bài 3: Cho hình chóp SABC có


o o
BAC 90 ;ABC 30
  ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)

(ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
2
a 2
V
24

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và
(SBC)

(ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30

o
.Tính thể tích h
ình chóp SABC.
Đs:
3
4h 3
V
9

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs:
3
a 6
V
36

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có
đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:
3
4h
V
9
