CHƯƠNG IV. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁN
PHẦN IVa. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁN
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
I.- CÁC TAM GIÁC :
1. tam giác :
Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tam giác là một mạng tính toán (hay
một đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trò của các yếu tố trong tam
giác, và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tố
đó.
Tập các biến trong tam giác gồm :
• a, b, c : 3 cạnh của tam giác (Hình 1.1).
• α, β, γ : 3 góc đối diện với 3 cạnh tương ứng trong tam giác (Hình 1.1).
• h
a
, h
b
, h
c
: 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình 1.2a).
• m
a
, m
b
, m
c
: 3 đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình
1.2b).
• p
a
, p
b

, p
c
: 3 đường phân giác trong tương ứng với 3 cạnh của tam giác.
• S : diện tích tam giác.
• p : nửa chu vi của tam giác.
• R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
• r
a
, r
b
, r
c
: các bán kính của các đường tròn bàng tiếp tam giác.
47
Hình 1.1
Hình 1.2a. 3 đường cao Hình 1.2b. 3 đường trung tuyến
Các hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tam giác :
• Liên hệ giữa 3 góc :
f
1
: α + β + γ = π (radian).
• Đònh lý cosin :
f
2
: a
2
= b
2
+ c

2
- 2.b.c.cosα
f
3
: b
2
= a
2
+ c
2
- 2.a.c.cosβ
f
4
: c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cosγ
• Đònh lý Sin :
f
5
:
a
sin
b
sin
α β
=

f
6
:
c
sin
b
sin
γ β
=
f
7
:
a
sin
c
sin
α γ
=
f
8
:
a
sin
2R
α
=
f
9
:
b

sin
2R
β
=
f
10
:
c
sin
2R
γ
=
• Liên hệ giữa nửa chu vi và 3 cạnh :
f
11
: 2.p = a + b + c
48
• Các công thức tính diện tích :
f
12
: S = a.h
a
/2
f
13
: S = b.h
b
/2
f
14

: S = c.h
c
/2
f
15
: S = p.r
f
16
: S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
f
17
: S = b.c.sinα / 2
f
18
: S = c.a.sinβ / 2
f
19
: S = a.b.sinγ / 2
• Các công thức tính đường cao theo cạnh và góc :
f
20
: h
a
= b.sinγ
f
21
: h
a
= c.sinβ

f
22
: h
b
= a.sinγ
f
23
: h
b
= c.sinα
f
24
: h
c
= a.sinβ
f
25
: h
c
= b.sinα
• Các công thức tính các đường trung tuyến :
f
26
: 4.m
a
2
= 2.b
2
+ 2.c
2

- a
2
f
27
: 4.m
b
2
= 2.a
2
+ 2.c
2
- b
2
f
28
: 4.m
c
2
= 2.a
2
+ 2.b
2
- c
2
• Các công thức tính các đường phân giác trong :
f
29
: p
a
=

2
b c
b.c. p.(p a)
+
−
f
30
: p
b
=
2
a c
a.c.p.(p b)
+
−
f
31
: p
c
=
2
b a
b.a.p.(p c)
+
−
• Một số công thức khác liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn
nội tiếp, và các đường tròn bàng tiếp :
f
32
: R =

a.b.c
4.S
49
f
33
: r
a
=
S
p - a
f
34
: r
b
=
S
p - b
f
35
: r
c
=
S
p - c
f
36
: 4.R = r
a
+ r
b

+ r
c
- r
Ghi chú : Trong các công thức trên, có một số công thức có thể được suy ra từ các
công thức khác. Do đó ta có thể bỏ bớt một số công thức. Hơn nữa, chúng
ta có thể nêu lên một thuật toán để làm tối thiểu hóa các công thức (hay
các quan hệ) theo một thứ tự ưu tiên nào đó. Tuy nhiên, nếu có thể nhớ
được trực tiếp nhiều công thức thì việc tính toán sẽ có lợi hơn.
2. tam giác cân :
Tam giác cân (không làm mất tính tổng quát, ta giả sử cân tại A) là một tam
giác có các tính chất sau đây:
g
1
: b = c
g
2
: β = γ
g
3
: h
b
= h
c
g
4
: m
b
= m
c
g

5
: p
b
= p
c
g
6
: r
b
= r
c
g
7
: m
a
= h
a
g
8
: p
a
= h
a
Ngoài ra, Một số quan hệ trong tam giác có thể được viết lại như sau:
f
1
: α + 2β = π (radian).
f
2
: a

2
= 2b
2
.(1- cosα)
f
3
: a = 2.b.cosβ
f
4
: a = 2.c.cosγ
50
f
11
: 2.p = a + 2b
f
17
: S = b
2
.sinα / 2
f
26
: 4.m
a
2
= 4.b
2
- a
2
f
27

: 4.m
b
2
= 2.a
2
+ b
2
f
28
: 4.m
c
2
= 2.a
2
+ c
2
f
29
: p
a
=
p.(p a)−
f
32
: R =
a.
b
4.S
2
f

36
: 4.R = r
a
+ 2.r
b
- r
3. tam giác vuông :
Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác vuông có cạnh huyền là a.
Như thế, ngoài những hệ thức đã biết trong tam giác nói chung ta còn có :
g
1
: α = π/2 (α đã xác đònh)
Ngoài ra một số quan hệ có thể được viết lại như sau:
f
1
: β + γ = π/2 (radian).
f
2
: a
2
= b
2
+ c
2
(đònh lý Pitago)
f
3
: c = a.cosβ
f
4

: b = a.cosγ
f
5
: b = a.sinβ
f
7
: c = a.sinγ
f
8
: a = 2.R
f
17
: S = b.c/2
f
23
: h
b
= c
f
25
: h
c
= b
f
26
: 2.m
a
= a
f
27

: 4.m
b
2
= b
2
+ 4.c
2

f
28
: 4.m
c
2
= c
2
+ 4.b
2
51
4. tam giác vuông cân :
Tam giác vuông cân (với cạnh đáy tam giác cân là a) là một tam giác có :
g
1
: b = c,
g
2
: α = π/2.
Ngoài ra một số (nhóm) quan hệ trong tam giác có thể được thay thế bởi
nhóm quan hệ khác có hiệu quả hơn trong việc sử dụng.
Các quan hệ từ f
1

đến f
10
được thay thế bởi các quan hệ sau :
f
1
: β = π/4 (radian)
f
2
: γ = π/4 (radian)
f
3
: a = b
2
f
4
: a = c
2
f
5
: a = 2.R
Các quan hệ từ f
11
đến f
25
được thay thế bởi các quan hệ sau :
f
11
: 2.p = a(1+
2
)

f
12
: h
a
= a/2
f
13
: h
b
= c
f
14
: h
c
= b
f
15
: S = a
2
/4
f
16
: S = b
2
/2
f
17
: S = c
2
/2

f
18
: S = p.r
Các quan hệ từ f
26
đến f
28
được thay thế bởi các quan hệ sau :
f
26
: m
a
= a/2
f
27
: 4.m
b
2
= 5a
2
/2
f
28
: m
c
= m
b

52
Quan hệ f

29
đến f
31
được thay thế bởi:
f
29
: p
a
= a/2
f
30
: p
b
= a 2 2 1( )−
f
31
: p
c
= p
b

5. tam giác đều :
Tam giác đều là một tam giác có :
g
1
: a = b
g
2
: b = c
Tất cả các quan hệ từ f

1
đến f
36
có thể được thay thế bởi các quan hệ sau :
f
1
: α = π/3 (radian)
f
2
: β = π/3 (radian)
f
3
: γ = π/3 (radian)
f
4
: R =
a 3
3
f
5
: p =
3a
2
f
6
: S =
2
a
3
4

f
7
: h
a
=
a 3
2
f
8
: h
b
= h
a
f
9
: h
c
= h
a
f
10
: m
a
=
a 3
2
f
11
: m
b

= m
a
f
12
: m
c
= m
a
f
13
: p
a
=
a 3
2
53
f
14
: p
b
= p
a
f
15
: p
c
= p
a
f
16

: r =
a 3
6
f
17
: r
a
=
a 3
2
f
18
: r
b
= r
a
f
19
: r
c
= r
a
II.- CÁC TỨ GIÁC :
1. tứ giác (lồi) tổng quát :
Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tứ giác là một mạng tính toán (hay một
đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trò của các yếu tố trong tam giác,
và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tố đó.
Hình 2.1. Tứ giác ABCD.
Tập các biến thường được xem xét trong tứ giác gồm :
• a, b, c, d : 3 cạnh của tam giác (Hình 2.1).

• A, B, C, D : 4 góc trong của tứ giác .
• AC, BD : 2 đường chéo của tứ giác.
• S : diện tích tứ giác.
• p : chu vi của tứ giác.
• R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác (nếu có).
54
• r : bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác (nếu có).
Các hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tứ giác :
f
1
: A + B + C + D = 2π
f
2
: p = a+b+c+d
f
3
: 2.S = a.d.sinA + b.c.sinC
f
4
: 2.S = a.b.sinB + c.d.sinD
Ghi chú : Để có thể giải tứ giác được hiệu quả hơn ta có thể đặt tứ giác trong một
mạng liên hệ với 4 tam giác (ABD, CBD, BAC, DAC). Ký hiệu tứ giác là O
1
, và ký
hiệu 4 tam giác lần lượt là O
2
, O
3
, O
4

, O
5
. Khi đó mạng tính toán gồm 5 đối tượng O
1
,
O
2
, O
3
, O
4
, O
5
có các quan hệ sau đây :
O
2
.a = O
1
.BD
O
2
.b = O
1
.d
O
2
.c = O
1
.a
O

2
.α = O
1
.A
O
3
.a = O
1
.BD
O
3
.b = O
1
.c
O
3
.c = O
1
.b
O
3
.α = O
1
.C
O
4
.a = O
1
.AC
O

4
.b = O
1
.b
O
4
.c = O
1
.a
O
4
.α = O
1
.B
O
5
.a = O
1
.AC
O
5
.b = O
1
.c
O
5
.c = O
1
.d
O

5
.α = O
1
.D
55