Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
1

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU





TÊN ĐỀ TÀI




PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH
TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC


MÃ SKKN 2TL






Họ và tên người viết : Văn Thò Thu Huyền
Chuyên môn : Toán lý
Đơn vò : Trường THCS Nguyễn Du

NĂM HỌC : 2009 – 2010


Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
2


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU






TÊN ĐỀ TÀI



PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH
TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC
















NĂM HỌC : 2009 – 20010



Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
3



Đề tài :
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH
TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

Làm thế nào để phát huy tính tích cực của học sinh trong việc học tập
bộ môn toán , đặc biệt là trong quá trình giải các bài toán là vấn đề đặt ra với
mỗi giáo viên dạy toán của chúng ta . Vì giải bài tập có vai trò lớn trong việc
dạy và học toán nó đảm bảo cho học sinh không những không những thông
hiểu về lý thuyết toán một cách vững chắc mà còn biết vận dụng những tri
thức toán học vào thực hành .

Hình học là một phân môn trong toán học . Bài tập hình học cũng có
vai trò của toán học nói chung , có nghóa là cũng chỉ ra sự áp dụng của lý

thuyết vào thực hành và đảm bảo cho việc hiểu lý thuyết .Chỉ có trong quá
trình áp dụng lý thuyết tổng quát và trừu tượng và những ví dụ cụ thể vào
những bài toán nhiều loại mới có thể hiểu lý thuyết một cách đầy đủ được .
Ngoài ra , bài tập hình học còn phát triển tư duy lôgíc và trí tưởng tượng
không gian của học sinh mạnh hơn bài tập của các phân môn toán học khác .

Nhưng thực tế đứng trước một bài toán hình học , học sinh thường hay
rất lúng túng , không biết làm gì , làm từ đâu , đi theo hướng nào không biết
liên hệ những điều nói trong đề bài toán với kiến thức đã học , không phân
biệt được điều đã cho với điều cần tìm . Hay suy luận hình học kém chưa hiểu
thế nào là chứng minh cho nên thiếu căn cứ . Không biết rút kinh nghiệm về
bài vừa giải nên thường lúng túng trước những bài khác đôi chút với bài vừa
giải .Do vậy việc uốn nắn , rèn luyện những bước đi trong giải toán hình học
là rất quan trọng .

Để phát huy tính tích cực của học sinh trong việc giải các bài tập hình
học , người thầy phải biết tổ chức học sinh nắm vững các tri thức hình học ,
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
4
đặt ra những câu hỏi hợp lý phù hợp với trình độ học sinh , tập luyện nhiều
lần các hành động , thao tác để nó trở thành kỷ năng , kỷ xảo trong việc vận
dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau.Thực tế “Vấn đề không phải là
giải bài toán này hay giải bài toán khác mà còn cả những suy luận cùng quá
trình giải toán , đồng thời giải thích những lập luận của quá trình đó” .

Muốn giải một bài toán phải lần lượt
 Hiểu rõ bài toán .
 Xây dựng chương trình giải .
 Thực hiện chương trình giải .
 Trở lại cách giải ( nghiên cứu cách giải đã tìm ra )

Qua thực tế giảng dạy bằng cách hướng dẫn học sinh giải bài toán hình
học theo hướng dẫn trên , tôi thấy tính tích cực của học sinh đã được phát huy
. một số học sinh đã tỏ ra thích thú đối với bộ môn hình học .
Với những lý do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra một số ý kiến về việc :
“ Phát huy tính tích cực của học sinh trong việc giải bài toán hình học”. Hy
vọng giúp học sinh học tốt hơn ở phân môn hình học.

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.Bài toán hình học trong toán học :

Hình học là một môn khoa học dùng lý luận để suy diễn thì phải dựa vào
qui tắc của lôgic để tìm hiểu tính chất chung. Suy diễn có lôgíc nghóa là mỗi
câu đều có lý do xác đáng . Do đó người giáo viên phải làm cho học sinh nắm
được các yếu tố cơ bản của hình học như :

+ Các khái niệm không đònh nghóa :
 Ba khái niệm hình học cơ bản: Điểm đường thẳng, mặt
phẳng(Lớp6)
 Quan hệ cơ bản : Điểm nằm giữa hai điểm ( Lớp 6 )
 Các tính chất cơ bản : Độ dài đoạn thẳng , số đo góc ( Lớp 6 )

+ Cacù tiên đề :
 Nhóm tiên đề về liên thuộc .
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
5
 Nhóm tiên đề về thứ tự

+ Các bài tập hình học thường được chia một cách qui ước , thành ba
loại

 Bài tập về chứng minh .
 Bài tập về tính toán .
 Bài tập về dựng hình .
Nhưng thực ra bài tập về tính toán cũng là bài tập về chứng minh vì nó
đòi hỏi lập luận hình học , bài toán về dựng hình luôn liên quan đến chứng
minh . Như vậy nói tới bài toán về hình học chủ yếu là nói đến chứng minh
hình học .

+ Khi dạy học sinh giải một bài toán về hình học giáo viên phải tổ
chức những hành động trí tuệ bên trong đầu óc của học sinh để khám phá ra
lời giải tức là : hướng dẫn , gợi ý , nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy
nghó đúng hướng , biết vận dụng một cách hợp lý nhất những tri thức hình học
của mình để độc lập tìm tòi được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của
bài toán và từ đó tìm ra cách giải .

2.Hướng dẫn cách giải :

Để học sinh có thể giải bài toán hình học một cách chặc chẽ , chính xác
và lôgíc , giáo viên phải giúp đỡ học sinh nắm được các bước tiến hành khi
giải bài toán .Muốn giải một bài toán hình học thì ta lần lượt thực hiện các
bước giải như sau :

2.1 Hiểu rõ bài toán ( phần chuẩn bò ) :

 Cho học sinh đọc kỹ đề bài , phải hiểu rõ đònh nghóa của các từ trong
bài
, nhằm hoàn toàn hiểu ý của bài tập đó
 Cho học sinh phân biệt được giả thiết và kết luận của bài toán , dựa
vào
những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình , dùng chữ để làm kí hiệu những

đường và điểm , các giao điểm , hai đầu mút của đoạn thẳng .
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
6
 Dựa vào bài toán và các ký hiệu trong hình vẽ để viết giả thiết kết luận
, thay các danh từ toán học bằng các ký hiệu toán học làm cho bài toán trở
nên đơn giản và dễ hiểu . Khi ghi giả thiết và kết luận nguyên tắc chung là
ghi theo các đònh nghóa các khái niệm hình học và ghi bằng ngôn ngữ và kí
hiệu toán học đã được công nhận , không ghi khái niệm theo tính chất của
khái niệm ngay cả trong trường hợp tính chất đó là dấu hiệu nhận biết khái
niệm . Việc ghi như thế là hợp lý vì : Để học sinh phân biệt được đònh nghóa
và đònh lý . Hơn nữa mới đầu đọc đề bài học sinh chưa thể khẳng đònh ngay
được cần chứng minh theo dấu hiệu nhận biết nào .

2.2 Xây dựng chương trình giải :

Chứng minh hình học không giống như số học chỉ áp dụng những qui
tắc cốđònh , hay như đại số đã có những công thức và phải nắm vững phương
pháp suy xét vấn đề , tìm hiểu vấn đề và suy đoán từng bước một . Vì vậy
muốn chứng minh bài toán hình học nhanh chóng cần hướng dẫn học sinh
phân tích như sau :
+ Em đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Em có biết một bài toán hay
một đònh lý nào liên quan dùng được không ?
+ Em đã giải bài toán nào giống bài toán này chưa ? Có thể sử dụng bài
toán đó không . Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp chứng minh của bài
toán đó không ?
+ Nếu em chưa giải được bài toán đề ra em có nghó ra một bài toán có
liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp
riêng hay một bài toán tương tự ? Hay em có giải được một phần bài toán
không ? Em đã sử dụng mọi điều kiện và dữ kiện bài toán cho chưa ?
+ Nếu bài toán chưa tìm được ý giải trên thì ta vần tiếp tục hướng dẫn

học sinh phân tích bài toán và thực hiện một số cách chứng minh khác như :
phương pháp phân tích đi lên , phương pháp chứng minh gián tiếp , phương
pháp vẽ thêm yếu tố phụ

2.3 Thực hiện chương trình giải :
+ Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước , tức là
chúng ta phải nói rõ tại sao , với điều kiện nào thì ta rút ra được các kết luận
và chúng minh nó là đúng .
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
7
+ Khi thực hiện chương trình giải giáo viên hướng dẫn học sinh dùng
phương pháp tổng hợp : ta bắt đầu từ giả thiết , từ những cái đã biết từng
bước suy luận để suy ra kết luận .

2.4 Trở lại cách giải ( nghiên cứu cách giải đã tìm ra )
+ Từng bước , từng phần tự kiểm tra lại để kòp thời phát hiện và sửa
chữa những sai lầm nếu có . Kiểm tra lại toàn bộ cách giải .
+ Tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán và lựa chọn cách giải
tốt nhất .
+ Khai thác bài toán : Em có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó
cho một bài toán nào khác hay không ?

TÌNH HÌNH THỰC TẾ CỦA TRƯỜNG

1.Về học sinh:
Là một trường, HS đa số là con em gia đình làm nông kinh tế gia đình
khó khăn một số em bố mẹ các em còn bận làm ăn không quan tâm đến việc
học của các em và gần như đã khoán trắng các em cho nhà trường. Các em
học sinh ngoài việc học tập cần phải lao động giúp đỡ bố mẹ nên việc quan
tâm đến học tập và rèn luyện của các em còn hạn chế. Do đó kết quả học tập

của các em chưa cao, một số em học sinh còn ham chơi. Trong khi đó phân
môn hình học lại là một phân môn khó mà học sinh rất sợ và không thích học
như các bộ môn toán số học hay đại số.
2. Về giáo viên:
Là một trường có truyền thống dạy và học . Nhìn chung, đội ngũ giáo
viên của nhà trường tương đối ổn đònh, lực lượng trẻ nhiều, nhiệt tình năng
động trong công tác, yên tâm với nghề nghiệp. Bên cạnh đó, có hơn một số
thầy cô giáo đã trải qua nhiều năm công tác, giảng dạy lâu năm ở đòa phương,
có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy.
3. Về cơ sở vật chất:
Những năm gần đây cơ sở vật chất của nhà trường được đầu tư tương
đối tốt . Tuy nhiên một số đồ dùng và dụng cụ dạy học chất lượng còn
kém,nơi lưu giữ còn chật chội nên giáo viên còn gặp nhiều khó khăn trong
việc sử dụng đồ dùng dạy học .
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
8
Vậy làm thế nào để phát huy tính tích cực của học sinh luôn là điều
quan tâm suy nghó của các giáo viên trong nhà trường. Việc hướng dẫn học
sinh giải bài toán hình học chỉ là một phần mà tôi đã làm với mong muốn làm
cho các em học sinh sẽ tích cực hơn trong các giờ học, không sợ học hình và
ngày càng thích học hình hơn. Và kết quả học tập sẽ cao hơn.
PHẦN II : MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA
HỌC SINH TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Các biện pháp chung:
Để phát huy tính tích cực của học sinh một cách có hiệu quả qua việc
hướng dẫn học sinh giải bài toán hình thì trong quá trình dạy tôi đã làm như
sau:
+ Rèn luyện cho học sinh nắm vững và ghi nhớ những kiến thức đã học
+ Rèn luyện cho học sinh những kó năng, kó xảo thực hành và vận dụng

những kiến thức đã học vào giải các bài toán hình học.
+ Thường xuyên mở rộng, đào sâu kiến thức cũng có tác dụng nâng cao
tính tích cực tư duy của học sinh.
+ Để học sinh phát huy cao nhất tính tích cực trong học tập. Cần rèn
luyện cho học sinh tư duy độc lập và phát huy tính sáng tạo của học sinh.
Muốn vậy phải tập dượt cho học sinh các phương pháp suy luận toán học như:
phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hoá, tương tự hoá, chứng minh trực tiếp,
gián tiếp …
+ Ngoài ra để phát huy tính tích cực trong học toán của học sinh , tôi
thường cho học sinh áp dụng những bài học, công thức vào việc giải các bài
toán trong đời sống. Tổ chức các buổi sinh hoạt nói về toán và nêu cả những
vấn đề về lòch sử toán học.
II . Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học mà kết quả
mà tôi nhận thấy được trong quá trình giảng dạy .
Sau đây tôi xin minh họa một số bài toán hình học lớp 8 mà tôi đã
hướng dẫn học sinh giải để phát huy tính tích cực của học sinh trong việc giải
toán hình học .

Bài toán 1 : Cho hình vuông ABCD , dựng phía ngoài hình vuông ABCD đã
cho các hình vuông ABEF và ADGH . Chứng minh rằng : AC = HF .

B

A

E

F

H


Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
9
GT ABCD là hình vuông
ABEF là hình vuông
ADGH là hình vuông
KL AC = HF

1)Phân tích tìm cách giải :
Với giả thiết đã cho có nhiều cách đi đến
chứng minh AC = HF Sau đây chỉ xin nêu một cách .
GV: Đầu tiên tôi cho HS đọc kỹ đề bài và đặt ra
câu hỏi gợi mở để HS tự phân tích đưa ra cách
chứng minh
Muốn C/m AC = HF ta có thể C/m như thế nào ?
(

ABC =

HAF )
Muốn C/m

ABC =

HAF Ta cú thể chứng minh như thế nào ?
( AB = AF ;

ABC
=


HAF
; BC = AH)
Mà ta có AB = AF ,

ABC
=

HAF
, BC = AH (gt) => đpcm
* Sơ đồ phân tích:
AC = HF





ABC =

HAF




( AB = AF ;

ABC
=

HAF
; BC = AH)


HS: Hầu như tất cả học sinh đều biết rằng muốn chứng minh AC = HF thì ta
phải chứng minh (

ABC =

HAF ) nhưng để chứng minh hai tam giác bằng
nhau theo trường hợp nào thì một số học sinh TB và Yếu vận dụng tính chất
hình vuông còn chậm. Còn học sinh khá , giỏi thì dễ dàng nhận ra và chứng
minh.

2. Lời giải:

Xét

ABC và

HAF có :
AB = AF (gt)


ABC
=

HAF
; (gt)
BC = AH (gt)
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
10
=>


ABC =

HAF ( c.g. c)
=> AC = HF ( cặp cạnh tương ứng)
GV: Sau khi hướng dẫn HS phân tích , tôi gọi HS lên bảng trình bày
chứng minh bài toán theo sơ đồ phân tích thì tôi thấy:
HS: TB và yếu phải xem bài mẫu mới biết cách trình bày. Một số nhỏ
học sinh khá quên giải thích trường hợp bằng nhau của hai tam giác.

3. Khai thác bài toán:
Nhận xét 1: Thay hình vuông ABCD thành hình chữ nhật ABCD. Khi đó AC
có bằng HF nữa không? Ta có bài toán khác tương tự.

Bài toán 1.1: Cho hình chữ nhật ABCD, dựng ra phía ngoài hình chữ nhật
ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh rằng : AC = HF.


GT ABCD là hình chữ nhật
ABEF là hình vuông
ADGH là hình vuông
KL AC = HF



Dễ dàng nhận ra việc chứng minh bài toán 1.1 giống như cách chứng
minh bài toán 1. Ta có AC = HF.
HS giỏi và một số học sinh khá nhận ra được bài toán này tương tự bài
toán 1 và tự mình phân tích chứng minh được bài toán. Một số học sinh Trung
bình cũng đã biết trình bày được phần chứng minh bài toán.


Nhận xét 2: Thay hình chữ nhật ABCD thành hình thoi ABCD. Khi đó
AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán khác tương tự.
Bài toán 1.2: Cho hình thoi ABCD, dựng ra phía ngoài hình thoi ABCD
đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh AC và HF?

GT ABCD là hình thoi.
ABEF là hình vuông.
D

B

C

A

E

F

H

G

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
11
ADGH là hình vuông.
KL So sánh AC và HF

Từ kết quả bài toán bài toán 1 và bài toán

1.1 Gợi cho ta tiếp tục xét

ABC và

HAF
Dễ dàng nhận ra AB =AF: AD =BC = AH .
Như vậy chỉ cần so sánh

ABC
và

HAF
.
Ta có

HAF
+

BAD
= 180
0
( Vì

FAB
=

HAD
= 90
0
)


ABC
+

BAD
= 180
0
( tính chất hình thoi )


HAF
=

ABC



ABC =

HAF

AC = HF.





HS: Khá, giỏi vẫn biết phải chứng minh

HAF

=

ABC
. Nhưng không chứng
minh được GV phải gợi ý , dẫn dắt mới nhận ra được .
Nhận xét 3 : Thay hình thoi ABCD thành bình hành ABCD Khi đó AC
có bằng HF nữa hay không Ta có bài toán khác tương tự .
Bài toán 1.3 Cho hình bình hành ABCD , dựng phía ngoài hình bình
hành ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH .Chứng minh rằng : AC
= HF .
GT ABCD là hình bình hành .
ABEF là hình vuông.
ADGH là hình vuông.
KL So sánh AC và HF

Chứng minh bài toán 1.3 tương tự như bài toán 1.2

HS: Một số học sinh giỏi đã biết tự mình
đưa ra bài toán 1.3 và chứng minh . HS khá
cũng biết chứng minh được bài 1.3 giống
bài 1.2 . Một số HS trung bình cũng đã biết nhận được
điểm giống nhau giữa ba bài toán .
G
D
H
C
E
F
B
A

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
12
Nhận xét 4 : Thay hình bình hành ABCD thành tứ giác ABCD Khi đó
AC có bằng HF nữa hay không Ta có bài toán khác tương tự .
Bài toán 1.4 Cho hình tứ giác ABCD , dựng phía ngoài tứ giác ABCD
đã cho các hình vuông ABEF và ADGH
So sánh AC = HF .Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để AC = HF

GT ABCD là tứ giác
ABEF là hình vuông.
ADGH là hình vuông.
KL So sánh AC và HF
Tìm điều kiện của tứ giác
ABCD để AC = HF



Dễ dàng nhận thấy

ABC không bằng

HAF

AC khác HF.
Điều kiện của tứ giác ABCD để AC = HF .
Nếu tứ giác ABCD là một trong các kiểu hình bình hành . hình chữ nhật
, hình thoi , hìmh vuông , với cách thiết lập bài toán như ở trên thì ta chứng
minh được AC = HF

Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD . Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của

các cạnh AB , BC , CD , DA .
a) Tứ giác EFGH là hình gì ?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH trở thành hình chữ nhật ,
hình thoi , hình vuông ?

GT ABCD là tứ giác
EA = EB = ½ AB ; FB = FC = ½ BC
GC = GD= ½ CD; HD = HA = ½ DA
KL a) Tứ giác EFGH là hình gì ?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD
để EFGH trở thành hình chữ nhật ,
hình thoi , hình vuông ?
1) Phân tích tìm cách giải :
G

H

D

A

C

F

B

A

E


B

F

G

C

D

H

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
13
Với giả thiết đã cho có nhiều cách để đi đến chứng minh . Sau đây chỉ nêu
minh hoạ một cách
a) Muốn xét xem tứ giác EFGH là hình gì ta phải xét xem tứ giác EFGH
có đặc điểm gì ? Ta thấy E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh . Vì vậy
có thể nghó đến đường thẳng nối EF , GH , FG , EH là các đường trung bình
của các tam giác , từ đó ta có thể chứng minh tứ giác EFGH có một cặp cạnh
đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành .
*) Sơ đồ phân tích :
EFGH là hình bình hành


EF= GH ; EF // GH


EF// AC, EF = ½ AC và GH // AC , GH = ½ AC



EF là đường trung bình của
ABC

; GH là đường trung bình của
ADC

;


1/ 2 ; 1/ 2
1/ 2 ; 1/ 2
AE EB AB AF FB BC
AH HD AD CG GD CD
   


   


GV: Nêu câu hỏi Nêu đặc điểm các đỉnh của tứ giác EFGH ?
HS: Đều nhận ra được đó là trung điễm các cạnh của tứ giác ABCD . Và
một số HS đã đưa ra được các cách chứng minh khác nhau HS trung bình còn
gặp khó khăn về việc vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành .
GV: Để khắc phục tình trạng vận dụng dấu hiệu nhận biết còn kém của
học sinh tôi cho các em hoạt động nhóm thi điền dấu hiệu nhận biết tứ giác là
hình bình hành thích hợp vào mỗi hình cho sẵn .
HS: Rất hứng thú với hoạt động này và các em kể cả các HS yếu cũng
nắm được kiến thức nhanh và vận dụng vào bài toán .

b) Hình bình hành EFGH sẽ trở thành hình chữ nhật nếu có thêm một góc
vuông chẳng hạn

90
HEF

0
nên BD

AC
Hình bình hành EFGH sẽ trở thành hình thoi nếu hai cạnh kề bằng
nhau chẳng hạn EH = EF nên BD = AC
Hình bình hành EFGH sẽ trở thành hình vuông nếu EFGH vừa là hình
chữ nhật vừa là hình thoi nên BD

AC và BD = AC
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
14
HS: Kể cả số HS khá và giỏi cũng gặp khó khăn trong dạng toán này vì
nó đòi hỏi các em phải nắm được mối liên hệ giữa các hình . Mà điều này là
khó đối với các em vì lượng kiến thức thì nhiều mà giờ luyện tập thì còn ít .
GV: Phải đặt câu hỏi gợi ý : Hình bình hành EFGH trở thành hình chữ
nhật khi nào ?
HS: Đưa ra các cách khác nhau
GV: Hướng dẫn học sinh liên hệ với bài học để chọn cách chứng minh
ngắn nhất .
HS: Khá , giỏi vận dụng được ngay ở câu sau nhưng HS trung bình phải
được lập lại nhiều lần mới vận dụng được
1) Lời giải :
a) Tứ giác EFGH là hình bình hành vì :

Xét
ABC


Có AE = EB ; BF = FC (gt)
Nên EF là đường trung bình của
ABC



EF // AC và EF = ½ AC (1)
Xét
ADC

;
Có AH = HD ; DG = GC ( gt)
Nên GH là đường trung bình của
ADC

;

GH // AC và GH = ½ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF // GH và EF = GH
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành .
b) Điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH trở thành hình chữ nhật , hình
thoi , hình vuông
+ EFGH là hình chữ nhật

EFGH là hình bình hành có


HEF
=90
0



EH

EF
Mà EH // BD ( EB = EA ; HA = HD nên HE là đường trung bình của
ABD

)
EF // AC ( cmt)

BD

AC
Vậy EFGH là hình chữ nhật

BD

AC
+EFGH là hình thoi

EFGH là hình bình hành cóEH = EF
Mà EH =1/2BD và EF = ½ BC (cmt)

BD = AC
Vậy EFGH là hình thoi


BD = AC
+EFGH là hình vuông

EFGH vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
15

BD

AC và BD = AC
HS: Rất ít em trình bày được câu b
GV: Hướng dẫn HS trình bày 1 câu và các ý sau chọn HS khá , giỏi trình bày
3) Khai thác bài toán :
Nhận xét 1
Thay tứ giác ABCD là hình thang hoặc hình thang cân ABCD khi đó tứ
giác EFGH có là hình bình hành nữa không ?Ta xét bài toán khác tương tự.
Bài toán 2.1
Cho hình thang ABCD . Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB , BC , CD , DA .
a)Tứ giác EFGH là hình gì ?
b)Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH trở thành hình chữ nhật ,
hình thoi , hình vuông ?

GT Hình thang ABCD
EA = EB = ½ AB ; FB = FC = ½ BC
GC = GD= ½ CD; HD = HA = ½ DA
KL a) Tứ giác EFGH là hình gì ?
b)Tìm điều kiện của hình thang ABCD
để EFGH trở thành hình chữ nhật ,

hình thoi , hình vuông ?

Chứng minh bài toán 2.1 tương tự như lời giải bài toán 2
HS Giỏi và một số HS khá tự trình bày được . Một số HS trung bình và HS
yếu chỉ nhớ bài tập này đã là tốt rồi
Nhận xét 2 : Thay tứ giác ABCD thành hình bình hành ABCD ta có bài
toán tương tự

Bài toán 2.2
Cho hình thang ABCD . Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB , BC , CD , DA .
a)Tứ giác EFGH là hình gì ?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH trở thành hình chữ nhật ,
hình thoi , hình vuông ?
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD , EG , FH đồng qui .
G

A

B

E

H

D

F

C


Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
16
GT Hình bình hành ABCD
EA = EB = ½ AB ; FB = FC = ½ BC
GC = GD= ½ CD; HD = HA = ½ DA
KL a) Tứ giác EFGH là hình gì ?
b)Tìm điều kiện của hình thang ABCD
để EFGH trở thành hình chữ nhật ,
hình thoi , hình vuông ?
c) Các đường thẳng AC, BD , EG , FH đồng qui .

 Chứng minh câu a tương tự câu a ở bài toán 2
 Phần chứng minh câu b cũng tương tự như câu b của bài toán 2 nhưng
có sự thay đổi về điều kiện vì ABCD là hình bình hành
+ EFGH là hình chữ nhật

EFGH là hình bình hành có

HEF
=90
0


EH

EF
Mà EH // BD ; EF // AC (cmt)

BD


AC
Mà ABCD là hình bình hành (gt)

ABCD là hình thoi
Vậy EFGH là hình chữ nhật nếu hình bình hành ABCD là hình thoi
+ EFGH là hình thoi nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật
+ EFGH là hình vuông

EFGH vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

BD

AC và BD = AC
Vậy EFGH là hình vuông

ABCD là hình vuông .
Câu c được bổ sung kể từ bài hình bình hành trở đi . Đây là câu hỏi phát huy
tính tích cực của học sinh rất nhiều . Ta có thể hướng dẫn HS phân tích như
sau :
+ Ta phải chứng minh giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành này
phải đi qua điểm chính giữa một đường chéo của hình bình hành kia .
+ Tức là nếu ta gọi giao điểm của AC và BD là O thì ta phải chứng minh O là
trung điểm của EG . Muốn vậy ta phải chứng minh tứ giác ACEG là hình bình
hành
+ Muốn chứng minh tứ giác ACEG là hình bình hành ta chứng minh AE // CG
Và AE = CG ( Vì AE = 1/2AB và CG =1/2 CD )

Khi đó lời giải được trình bày như sau :
Giải

G

A

B

E

H

D

F

C

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
17
Gọi giao điểm của AC và BD là O . Vì ABCD là hình bình bình hành
nên O là trung điểm của AC và BD .
Ta có E

AB , AE =1/2AB ; G

CD , CG =1/2 CD
Mà AB = CD , AB // CD ( gt)

AE // CG và AE = CG

AECG là hình bình hành nên AC giao EG tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm AC nên E cũng là trung điểm của EG , FH ( Vì EFGH là
hình bình hành )
Vậy các đường thẳng AC, BD , EG , FH đồng qui ( điều phải chứng minh )
HS khá giỏi dễ dàng c/m được câu a và câu b .
Câu c) GV hướng dẫn HS như phần phân tích và chỉ có một vài em giỏi làm
được .
Nhận xét 3 : Nếu thay tứ giác ABCD thành hình chữ nhật , hình thoi
hoặc hình vuông thì tứ giác EFGH là hình gì ?
Theo chứng minh phần b bài toán 2.2 ta thấy
 Nếu ABCD là hình chữ nhật thì EFGH là hình thoi .
 Nếu ABCD là hình thoi thì EFGH là hình chữ nhật .
 Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình vuông .






GV: Khi học đến dạng tứ giác nào ta sẽ đưa bài toán có dạng tứ giác đó . Sau
khi học các dạng tứ giác xong ta sẽ bổ xung câu b và câu c .
HS: HS giỏi tự mình phân tích và làm được bài toán dưới nhiều cách khác
nhau . HS trung bình và yếu cũng bắt đầu làm được bài .
Nhận xét 4: Nếu thay E ,F , G , H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB ,AC, DC, DB của hình thang ABCD thì tứ giác EFGH là hình gì ?
Ta xét bài toán khác tương tự các bài toán trên




B


E

C

F

A

H

G

F

E

D

A

B

C

D

G

H


E

A

B

C

H

D

G

F

A

D

B

E

C

F

G


H

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
18




HS: Hầu như đã đã quen thuộc với dạng toán này và hầu như đã chứng
minh được bài toán bằng cách chứng minh tương tự các bài toán trên . Nhưng
phần trình bày của một số HS trung bình còn chưa chặt chẽ và logíc . Ví dụ để
chứng minh EF là đường trung bình của
ABC

các em chỉ trình bày như sau :
Ta có :
EA EB
FA FC







EF là đường trung bình của
ABC





EF//BC và EF = 1/2BC

Nhận xét 5 :
Để chứng minh EFGH là hình bình hành với đề bài này HS có thể chứng minh
cách khác theo dấu hiệu : “ Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình
bình hành”
GV: Trong quá trình giảng dạy , tôi đã hướng dần HS giải bài toán hình học
bằng cách như trên . Và sau đây là một số bài toán khác tương tự tôi đã
hướng dẫn HS .

Bài toán 3 :
Cho hình thoi ABCD . BH là đường cao hạ từ đỉnh góc B xuống cạnh
AD của hình thoi ABCD và HA = HD . Tính các góc của hình thoi .

GT ABCD là hình thoi
BH

AD (

B
>90
0
)
HA = HD
KL Góc A, B , C , D = ?

1) Phân tích tìm cách giải :
Với giả thiết đã cho có nhiều cách giải sau đây là minh hoạ của một cách .

Muốn tính các góc của hình thoi ta chỉ cần tính một góc rồi suy ra các
góc còn lại . Theo giả thiết BH

AD , HA = HD nên
ABD

cân tại B . Do đó
AD = BD . Theo tính chất của hình thoi có AB = AD vì vậy
ABD

đều .
Như vậy ta có thể tính được

BAD
.
A

H

B

D

C

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
19
* Sơ đồ phân tích

a)


BAD
=60
0



BAD đều

AB =BD =DA

AB=DA;AB=BD




ABCD là hình thoi ;

BAD cân tại B

BH

AD; AH = HD

b)

ABC
=120
0




ABC
+

BAD
=180
0
;

BAD
=60
0

AD//BC

ABCD là hình thoi
2) Lời giải :
Xét

BAD có BH

AD (gt) ; AH = HD( gt)



BAD cân tại B

AB =DB
Mà AB = AD ( ABCD là hình thoi )


AB =BD =BA



BAD đều


BAD
=60
0

Ta có

ABC
+

BAD
=180
0



ABC
= 180
0
- 60
0
= 120
0



ADC
= 120
0



BCD
=60
0

3)Khai thác bài toán :
Có thể giải bài toán bằng bằng cách khác như sau :
Xét

BAD có BH

AD (gt) ; AH = HD( gt)



BAD cân tại B


BAD
=

BDA


Mà

ADC
=2

BDA


ADC
=2

BAD

Mặt khác

BAD
+

ADC
=180
0
( Tính chất hình thoi )


BAD
+2

BDA
= 180
0




BAD
=60
0




BCD
=60
0



ABC
= 180
0
- 60
0
= 120
0


ADC
= 120
0
.
HS: Chỉ có HS giỏi và HS khá bằng cách phân tích như trên là chứng minh

được bài toán . Số còn lại sau khi GV gợi ý cũng đã biết cách và chứng minh
được bài toán . Nhưng phần trình bày của HS trung bình và HS yếu cón nhiều
thiếu sót , thiếu giải thích cho các lập luận của bài toán .

Bài toán 4 :
Cho hình bình hành ABCD lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC .Đường
thẳng DM cắt đường thẳng AB tại N
a) Chứng minh

MDC đồng dạng

DNA
b) Biết AD =10cm ; MD=6cm ; DN=12cm . Tính BM ?
GT ABCD là hình bình hành
M

BC ; DM cắt AB tại N
A

H

B

D

C

M

B


N

C

D

A

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
20
AD =10cm ; MD=6cm ; DN=12cm
KL a)

MDC đồng dạng

DNA
b) Tính BM ?



1) Phân tích bài toán :
a) Để chứng minh hai tam giác đồng dạng ta có nhiều cách khác nhau , đề
bài cho hình bình hành gợi cho ta nghó đến các đường thẳng song song và từ
đó nghó đến các cặp góc so le trong và đồng vò bằng nhau . Do đó ta sẽ nghó
đến chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp (g,g)
Muốn c/m

MDC


DNA ta cần có

DNA
=

MDC
(so le trong )
Và

NAD
=

MCD
( 2góc đối của hình bình hành )
b) Muốn tính được cạnh MB ta có thể dùng đòng lý Pitago , hoặc dùng các
cặp tỉ số bằng nhau . Nhận thấy theo câu a vì

MDC



DNA
Nên ta có
MD MC
DN DA
 .Từ đây ta tính được MC , rồi tính được MB .
 Sơ đồ phân tích :
a)

MDC


DNA


DNA
=

MDC
;

NAD
=

MCD

AB// DC
b) MB = BC-MC

BC= AD =10

MC =
.
MD DA
DN

MD MC
DN DA




MDC

DNA
2) Lời giải :
a) Vì ABCD là hình bình hành

// ; //
;
AB CD BC AD
AB CD BC AD


 



Vì AB// CD


DNA
=

MDC
(so le trong )
Xét

MDC và

DNA
Có


DNA
=

MDC
(cmt)


NAD
=

MCD
( hai góc đối của hình bình hành )


MDC

DNA (g; g)
b) Tính BM
Vì

MDC

DNA (cmt)
Nên
MD MC
DN DA


MC =

.
MD DA
DN
=
6.10
12
= 5 (cm)
Vì M

BC nên MB+ MC = BC

MB = BC-MC= 10 -5 = 5(cm)
M

B

N

C

D

A

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
21
3)Khai thác bài toán :
Có thể chứng minh câu a bằng các cách khác nhau như sau :
Cách 2
Vì BM// AD ( Do BC// AD , M


BC)


DNA

MNB (1)
Vì NB// CD ( Do AB // CD, N

AB)


MNB

MDC (2)
Từ (1) và (2)



MDC

DNA (tính chất bắc cầu )
Cách 3
Vì

MNB

MDC ( cmt)

MC MD DC

MB MN NB
 


MC MD DC
MB MC MN MD NB DC
 
  


Mà MB + MC = BC ; MD + MN = DN ; NB + DC = NB + DA= NA .

MC MD DC
DA DN NA
 


MDC

DNA ( c;c; c)
HS: HS giỏi và một số HS khá đã tự mình lập được sơ đồ phân tích và chứng
minh được bài toán bằng nhiều cách khác nhau một cách chặt chẽ lôgíc . HS
trung bình cũng đã chứng minh được bài toán bằng một cách .

Bài toán 5 : Cho

ABC. Đường cao BH , CK cắt nhau tại I . Chứng minh
a) AH.AC = AK. AB
b)


AHK

ABC
c) BI.BH +CI.CK= BC
2

d) Tính diện tích

AHK khi AH/AB =1/2 và S
ABC
= 30cm
2




ABC, BH

AC, H

AC
CK

AB ,K

AB
GT BH cắt CK tại I
AH/AB =1/2 và S
ABC
= 30cm

2

KL a) AH.AC = AK. AB
b)

AHK

ABC
c)BI.BH +CI.CK= BC
2

d) Tính diện tích

AHK

1) Phân tích bài toán :
B

A

H

K

E

C

I


Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
22
a) Muốn chứng minh AH.AC = AK. AB phải chứng minh
AH AB
AK AC

Muốn c/m
AH AB
AK AC
 ta chứng minh

AHB

AKC
Mà theo đề bài ta thấy

A
chung ,

AHB
=

AKC
= 90
0




AHB


AKC

 Sơ đồ phân tích :
AH.AC=AK.AB

AH AB
AK AC



AHB

AKC



A
chung ,

AHB
=

AKC
= 90
0
.
b) Từ chứng minh câu a ta thấy AH.AC=AK.AB



AH AK
AB AC

Mà

A
chung


AHK

ABC (c.g.c)
Sơ đồ phân tích

AHK

ABC (c.g.c)


A
chung;
AH AK
AB AC



AH AB
AK AC
 (cmt)
c) Muốn c/m BI.BH +CI CK =BC

2
ta phải chứng minh BI.BH ; CI.Ck bằng
tích của hai cặp đoạn thẳng . Muốn vậy ta phải chứng minh hai cặp tam giác
đồng dạng .
+ Ta thấy BH , CK là hai cạnh của hai tam giác vuông , trong khi đó BI , CI
lại không là cạnh của tam giác vuông nào . Từ đó ta nghó muốn chứng minh
phải vẽ thêm đường phụ và đường phụ này có liên quan đến BC . Do đó ta
nghó kẽ thêm IE

BC (E

BC)
+ Ta có sơ đồ chứng minh như sau :

BIE

BCH

. . (1)
BI BE
BI BH BE BC
BC BH
  

CIE

BCK
. . (2)
CI CE
CI CH CE BC

BC CK
   
Từ (1) và (2) suy ra BI.BH+CI.CK=BE.BC+CE.BC = BC
2
(đpcm)

c)Khi tính diện tích tam giác thì HS hay nghó đến dùng công thức . Nhưng
trong bài toán ta thấy

AHK cần tính diện tích chưa biết số đo đường cao và
cạnh đáy . Nhưng theo câu b ta biết AHK

ABC mà S
ABC
thì ta đã biết nên
gợi cho ta nghó đến dùng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
2
AHK
ABC
S
AH
S AB
 

 
 

từ đó tính được S
AHK
.

2) Lời giải :
A

H

K

I

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
23
a) Xét

AHB và

AKC có

A
chung ,

AHB
=

AKC
= 90
0
.


AHB


AKC(g.g)


AH AB
AK AC


AH AK
AB AC


AH.AC=AK.AB
b) Theo chứng minh câu a ta có AH.AC=AK.AB

AH AB
AK AC


AH AK
AB AC

Xét

AHK và

ABC
Có

A

chung;
AH AK
AB AC



AHK

ABC (c.g.c) ( đpcm)
c) Hạ IE

BC (E

BC)
Xét

BIE và

BCH ta có

C
chung ;

BEI
=

BHC
=90
0




BIE


BCH (g.g)

. . (1)
BI BE
BI BH BE BC
BC BH
  
Xét

CIE và

BCK ta có

C
chung ;

CEI
=

BKC
=90
0




CIE


BCK (g.g)
. . (2)
CI CE
CI CH CE BC
BC CK
   
Từ (1) và (2) suy ra BI.BH+CI.CK=BE.BC+CE.BC = BC
2
(đpcm)

d)Vì

AHK

ABC ( cm câu b )


2
AHK
ABC
S
AH
S AB
 

 
 



2
1
2
AHK
ABC
S
S
 

 
 

S
AHK
=
1
4
S
ABC
=
1
4
.30 = 7.5(cm
2
)
3. Khai thác bài toán
+ Nhận xét 1
Thay


ABC thành

ABC cân ta sẽ có bài toán tương tự . Và có thể khai thác
thêm bài toán là yêu cầu Hs nhận xét thêm vò trí tương đối của đường thẳng
KH và đường thẳng BC
Bài toán 5.1 Cho

ABC cân tại A . Hai đường cao BH , CK cắt nhau
tại I . Chứng minh rằng:
a) AH.AC= AK.AB
b) HK// BC .
c)

AHK

ABC
Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
24
d) BI.BH+CI.CK = BC
2

e) Tính diện tích

AHK khi AH/AB =1/2 và S
ABC
= 30cm
2

Dễ thấy

A H A K
A C A B


KH//BC ( đònh lý talét đảo )


AHK

ABC ( đònh lý)
+ Nhận xét 2 : Thay

ABC thành

ABCvuông tại B . Khi đó K

B .Ta sẽ
được bài toán tương tự như sau :


Bài toán 5.2
Cho

ABCvuông tại B đường cao BH.
Tìm các cặp tam giác đồng dạng và giải thích tại sao .
HS dễ dàng chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng là

AHB

ABC ;


BHC

ABC;

AHB

BHC

HS: Hầu hết HS kể cả học sinh trung bình , yếu cũng đã dễ dàng phân tích
bài toán và chứng minh được câu a, b, d của bài toán . Câu c là một câu khó
phải vã thêm đường phụ nhưng cũng có một số em HS giỏi bằng cách phân
tích đã tự mình làm được .
GV: Khi cho HS khai thác bài toán 5.2 tôi đã dùng để tổ chức trò chơi cho các
nhóm thì thấy các em HS rất hứng thú và hào hứng thảo luận làm bài . Như
vậy nếu chúng ta dùng những bài toán tương tự như vậy để tổ chức trò chơi
cho các em thì giờ học sẽ sôi nổi và phát huy được tính tích cực cao của HS .

Chương IV : Kết quả thực hiện

Qua một thời gian thử nghiệm và tiến hành dạy HS lớp 8 sau thời gian
một năm tôi nhận thấy như sau :
Đầu năm học các em còn lúng túng trong qúa trình phân tích và tìm
cách giải bài toán, Việc trình bày bài toán còn nhiều thiếu sót và thiếu cơ sở
Sau học kỳ I những em khá . giỏi khi đọc đề toán đã biết kết hợp giả
thiết với những kiến thức đã học để phân tích bài toán , trình bày bài toán một
cách chặt chẽ . Đối với những em trung bình cũng đã biết cách trình bày sau
khi có sự hướng dẫn của giáo viên .
A


H

B

C

Văn Thị Thu Huyền- THCS Nguyễn Du, Pleiku
25
Cuối học kỳ II với những bài toán như yêu cầu của chương trình trừ số
HS quá yếu , số còn lại từng bước các em đã biết được cách phân tích , giải
bài toán và bên cạnh đó còn có thể liên hệ đến các cách giải khác và các bài
toán tương tự , mở rộng có liên quan đén dạng bài toán đã giải . Sự tiến bộ
của các em thể hiện rõ theo tỉ lệ HS khá giỏi , trung bình yếu qua các bài
kiểm tra .




PHẦN THỨ BA
KẾT LUẬN

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc phát huy tính tích cưcï của HS trong quá
trình giải toán là rất quan trọng giúp các em nắm vững kiến thức và các
phương pháp suy luận khác nhau . Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn
cố gắng suy nghó làm thế nào để phát huy tính tích cực của HS , làm thế nào
để HS hứng thú học tập để cho giờ học sinh động và đạt kết quả cao .
Tôi nhận thấy việc qua việc hướng dẫn như trên . Không chỉ giúp các
em nắm vững kiến thức đã học mà còn biết vận dụng kiến thức đã học để giải
các bài toán hình học khác nhau . Theo tôi để giải một bài toán hình học nên
thực hiện 4 bước như sau :

1. Hiểu đề toán : Nắm được các danh từ hình học trong bài . Cái gì là giả
thiết , cái gì phải chứng minh . Vẽ hình chính xác , ghi đúng giả thiết và kết
luận
2. Tìm tòi lời giải :
 Phát biểu các quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm .
 Biến đổi các yếu tố chưa biết : Thử đưa vào các ẩn mới gần các
dữ kện của bài toán hơn .
 Tìm cách giải bài toán này có thể thông qua một bài toán phụ .
3. Thực hiện cách giải : Tiến hành giải bài toán theo sự chuẩn bò trên
4. Trở lại cách giải :
 Kiểm tra lại lời giải .
 Khai thác cách giải khác nhau .