Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 1
CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY

I. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009
Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24
Cho dãy số
( )
n
x
(n = 0, 1, 2…) thỏa mãn
0 1
2 1
2
2
;
n
n
n
x
x x
x


 

. Tính
1
n
k
k
x


 
 
 

, trong đó
x
 
 
kí
hiệu số ngun lớn nhất khơng vượt q x.

Chứng minh quy nạp theo n ta thấy ngay
0 0
,
n
x n
  

Nhận xét rằng:
1 1
2 1 1 3 1
1 1 1
2 2 2
( )
n n n
n n
n n n
x x x
x và x

x x x
 
  
     
  

Từ đó ta có cơng thức truy hồi:
1
1
1 1
1
0 1
1 3 1
, ( )
n n
n n
x x
n
x x


 
 
 

Do đó với mọi
1
n

thì:

1
1 0
1
1 0
1 1 1
1 1 1
3 1 1
1 3 1 1
3 3
. : ( )
n
n n
n n
n n
n n
x x x
Suy ra x x
x x x




  
      
  

1
1 1 1 2
3 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1

3 1 3 1 3 3 3 1 3 2
: ,
n
n
n n n n n n n
Bởi vậy x n

   

          
    

Hệ quả là:
2
1
1 1 1 1
1 1
2
2 2 2

n
k
n n
k
n x n n n

          


1

:
n
k
k
Suy ra x n

 

 
 



Bài T11/376: - THTT tháng 2/2009 tr24
Cho dãy số dương
2
( ),
n
u n

thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 2
1 2
1004
2008
/ , .
/
n
n
i u u u với số nguyên dương k nào đó

k
ii u u u
   
   

Chứng minh rằng trong dãy (
n
u
) có thể chọn ra k số hạng sao cho trong k số đó thì số nhỏ nhất lớn
hơn một nửa số lớn nhất.

Giả sử ngược lại, trong mọi nhóm k số hạng thì số nhỏ nhất khơng lớn hơn một nửa số lớn nhất.
Xét các nhóm gồm k số hạng sau:
1 2 2 3 1 1 2
( , , , ); ( , , , ); ;( , , , )
k k n k n k n
u u u u u u u u u
    
, khi đó ta có:
1
2
1
1
2
2
2

k
k
n k

n
u
u
u
u
u
u

 















1 1 2 1
1
1 1 2 1
2 2008
1004 1004 1
: ( )

. : ( )
n
k k n n k i
i
k k n k
Suy ra u u u u u u u
u u u suy ra u u u
  

 
        
        


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 2
1 2 1 1 2 1 1
1004 1004
1 1 1004 2
: : ( ) ( ) ( )
k k k
Mặt khác vì u u u nên u u u k u k
k k
  
           
Từ (1), (2) ta thấy có mâu thuẩn. Vậy điều giả sử của ta là sai. Do đó bài tốn được chứng minh.

Bài T11/377: - THTT tháng 03/2009 tr24
Cho dãy số
( )
n

u
được xác định như sau:
1 2 1 1
1 4 5 2 3
; , ,
n n n
u u u u u n
 
     
Chứng minh rằng với mọi số thực
5
a  , ta đều có:
0
lim
n
n
u
a
 

 
 


1
1
1 2 1
1
1
0 5 1 1

2
5
1 4 5 4 5 1 1 5 2 2
4 5
5
*
cos . ( ) (cos( ) sin( ) ),
: ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos( ) sin( ) )
( ) (cos .cos sin sin sin .cos cos sin )
( ) .(c
n
n
n n
n n
n
n
Xét mà Đặt v n n n
Ta có v v và v v n n n n
n n n n

   
   
       




       
          
    



 
 
1 2
1
2 2 2 2
3 1 7 1
4 5 5 5 5 5
5 5
5 5
5
os .cos sin sin sin cos cos .sin )
( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin
( ) cos sin
n n n
n
n
n n n n
n n n n n n
n n v
       
     
 
 

  
 
 
     

 
 
 
 
  

2
3 4
2 2 1 2 2
5 5
5
5
1 1 0
*
( : cos cos ; sin sin cos )
: ,
lim lim (cos( ) sin( ) )
n n
n
n
n
Chú ý
Do đó u v n
Bởi vậy với mọi số thực a
u
n n
a
a
    
 

    
  

 
 
 
    
 
 
 
 
 


Chú ý: Dãy số trên được tìm ra từ PT đặc trưng:
2
4 5 0
x x
  


Bài T9/380: - THTT tháng 06/2009 tr22
Cho dãy số
( )
n
x
được xác định như sau:
0 1
2 0 1 2
; sin , , , ( , )

n n
x a x x x n a x


      


Chứng minh rằng tồn tại giới hạn
1 2

lim
n
n
x x x
n
 
  
 
 
và tìm giới hạn đó.

Đặt
2
sin
d x

 
, khi đó rõ ràng
( )
n

x
là CSC với cơng sai d. Từ đó:
1 2
2
1
2
2
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) .
sin
: lim lim
n n
n
n n
S x x x a d a d a nd na d
S
a d d d x
Do đó
n n
n


            
 
     
 
 

Bài T6/384: - THTT tháng 10/2009 tr21

Với mỗi số tự nhiên n, gọi p(n) là ước số lẻ lớn nhất của n. Hãy tính tổng:
4012
2006
( )
n
p n




Từ định nghĩa, dễ thấy:
2 2 1 2 1
( ) ( ); ( )
p n p n p n n
   

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 3
2
1 1
1
2
1
2
1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
2 1
3 5 7 2 1 1 3 5 7 2 1
( ), : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ).

: ( )
( )
k
k k k k
n k
k
k k k k
k
k
Đặt S p n ta có S S p k p k p k S p k k p k
Vậy S p k S k p k k
Đặt u S p k Khi đó u u k
Suy ra u u k k k
Vậy S p k k
D
 


            
      
    
              
 

4012
2 2
2006
2006
2006 2006 2006 1003 4025039: ( ) ( ) .
n

o đó p n S p

     


Bài T6/385: - THTT tháng 11/2009 tr20
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
0 1 1 2
9 161 18 2 3
; , ,
n n n
u u và u u u n
 
     
Chứng minh rằng
2
1
5
n
u

là số chính phương với mọi số tự nhiên n

Nhận xét rằng mọi số hạng của dãy đã cho đều ngun. Với n = 0, ta có:
2
2

2
0
2
2
2
1
1 2 1 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1
9 1
16 4
5 5
1
161 1
1 5184 72
5 5
0 1 2 18 9 9
9 9 18 18 1
, :
, . , :
:( ) ( ) , ( )
n n n n n n n
n n n n n n n n n n
u
u
Với n ta có
Vậy BT đúng với n Xét n ta có u u u u u u u
Từ đây suy ra u u u u hay u u u u u u
    

      


  


   
       
     

Lần lượt thay n = 2; 3; ; n vào (1), ta được:
2 2
2 2 1 0 1 0
2 2
3 3 2 1 2 1
2 2
1 2 1 2
18 18
18 18
18 18
n n n n n n
u u u u u u
u u u u u u
u u u u u u
   

  


  



  



Cộng vế theo vế n - 1 đẳng thức trên, ta thu được:
2 2 2 2
1 1 1 0 1 0
2
2 2 2
1
0 1 1 1
18 18 2
9
9 161 2 18 80 1
80
( )
( )
; ( ) : ,
n n n n
n n
n n n n n
u u u u u u u u
u u
Thay u u vào được u u u u hay u
 

 
    


       

Do các số hạng của dãy đều ngun nên :
2 2
1 1 1
2
2
9 4 5 9 4 5 9 20
1
5
( ) . . ,
: ( )
n n n n n n
n
u u nên u u và vì vậy u u a a
u
Suy ra a đfcm
  
    


  

Cách khác: Dùng pt đặc trưng:
2
18 1 0
 
  
của dãy sai phân để viết dãy dưới dạng tường minh:





1 1
1
9 80 9 80
2
n n
n
u
 
 
   
 
 
. Từ đó suy ra:
   
2
1 1
1
1
9 80 9 80
5 5
n n
n
u
 

 

   
 
 

Tiếp theo, sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu được điều cần cm.

Bài T12/386: - THTT tháng 12/2009 tr24
Cho dãy số
( )
n
x
, n = 1, 2, được xác định như sau:
1 2 2
1 1 1 2
( ); ; ln , ,
n n n
x a a x x x x n

      .
Đặt
1
2 1
1
2
( )ln ( )
n
n k
k
S n k x n




  

. Tìm
lim
n
n
S
n

 
 
 


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 4
Nhận xét rằng:
2 2
1 1 2 1 0 1
; , , ln , : lim
n n
x n do suy ra x
   

Tiếp theo, ta chứng minh dãy
2 1
( )
n
x


cũng có giới hạn là 1
Xét hàm số
( ) ln
f x x x
 
liên tục và đồng biến trong 0
( ; ),

1
1 0 1
'( )
vì f x với x
x
   

* Trước hết ta chứng minh bằng pp quy nạp, dãy
2 1
( )
n
x

bị chặn dưới bởi 1. Theo giả thiết thì
1 2 1 2 1 2 3
2 1
1 1 1 1 1
1
. ( ) ( )
( ) .
k k k

n
x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x
tức dãy x bò chặn dưới bởi
  

     


* Tiếp theo ta cm dãy
2 1
( )
n
x

là dãy giảm. Thật vậy, do
2 1 2 1 2 3 2 1 2 1
1 0 0
ln ln
n n n n n
x nên x và vì vậy x x x
    
     
, tức
2 1
( )
n
x

là dãy giảm. Từ đó suy ra
2 1

( )
n
x

có giới hạn
2 1
lim
n
c x


Chuyển qua giới hạn dãy sinh bởi hàm
( ) ln
f x x x
 
, ta thu được: c = c - lnc
1
c
 

Vậy dãy
( )
n
x
có giới hạn là 1
Theo định lý Cessaro, ta có:
1 2 2 1 3 2 1 2 4 2
1 1 3 2 3
1 1
2 2

1 2
1
2
1 1
1
2 2 2
( ) ( )
lim lim
( ( )ln ( )ln ln
lim
lim lim
n n n
n n
n
n
n n
n n
x x x x x x x x x
hay
n n
nx n x n x x n
n
S S
a a
hay
n n

 



 
   
         
 
   
   
 
      
 
 
 
   

    
   
   

Hết năm 2009
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 5
II. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2010
Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
2
1 1
2
2 5

2 1 1 2
2 1
, ; , , ,
n n
n
n n
u u
u u n
u u

 
   
  

Tìm
1 2
lim( )
n
u u u
  

Trước hết ta có các nhận xét:

2 2
2 2
2 2 2
2
1
2 2
2

1
2 1 2 1 0 1 2 1 2 1
2 5 3 1 3 1
1 0 2
2 1 2 1 2 1
1 2 3 1
2 5 2
2 2
2 1 2 1
2 1
1 1
3
2 2 2
* ( ) ( )
( )
* ( )
( )
*
( )
n n n
n
n n n n
n n
n
n n n
u u u u
u u u u u u
u u u u u u
nếu u vì khi đó u
u u u

u
u u u u
u u
u
u u u


           
      
   
        
   
  
   
     
  
   
  

Dùng kết quả (3), bằng tính tốn trực tiếp ta có:
6
2 3 1 2 3 4 5 1 2
, , , , ,
n
u n và u
     

Dùng kết quả (2), (3), chứng minh bằng quy nạp theo n = 6, 7, 8, ta nhận được:
1 2 6
,

n
u n
   

Hệ quả là:
1 2 1 2
*
, . : lim( )
n n
u u u n n Suy ra u u u
          


Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra:
1 2 3 4 5
2 1 1 2,
u u u u u
      

2 2
2
2 2 2
2 5 4 4
2
0 0 1 2 2
2 1 2 1 2 1
( )
( )
,
u u u u u

u u
vì u nếu u u
u u u u u u
   

       
        

6 7 8
3 1 2
( ) : Dùng kết quả suy ra u u u
    


Bài T7/388: - THTT tháng 02/2010 tr21
Cho a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) . Dãy số
0 1 2
( ), , , ,
n
u n  được xác định như sau:
4
4
0 1 2 1
1 2009
0 1 2
2010 2010
; ; , , , ,
n n n
u a u b u u u n
 

      . chứng minh rằng dãy
( )
n
u
có giới hạn
hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Xét dãy số (v
n
) được xác định như sau:
4
4
0 1
1 2009
2010 2010
min( ; ); ,
n n n
v a b v v v n

    


Vì a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) nên
4
4
0 1 1
1 2009
0 1 0 1 1 0 1
2010 2010
, :

n n n n n
v và nếu v thì v v v hay v
 
        

Theo ngun lý quy nạp, ta có: 0 1,
n
v n
   


4 2
4 4 4
1
1
2010 2009 2009 0
: ( ) ( ) ( ) ( )(( )( ) )
n n n n n n n n n n n n
n n
Do đó v v v v v v v v v v v v
v v


          
 

Như vậy (v
n
) là dãy tăng, bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn
Giả sử

0 1
lim
n
v c với c
  

4 4
4
4
1
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
: lim lim ,
n n n
Ta có v v v suy ra c c c

 
   
 
 

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 6
4 24 4 4
2009 0 2009 0
:
( ) ( ) ( )(( )( ) )
Hệ thức trên có thể biến đổi thành
c c c c c c c c c c
         


Để ý rằng với
0 1
c
 
, thừa số thứ hai âm, ta được:
1
lim
n
v c
 

Trở lại dãy (u
n
) ta cũng có:
4
4
0 0 1 1 2 1
1 2009
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2010 2010
, , :
n n n n n
v và nếu u u và nếu u u thì u u u
  
             
Theo ngun lt1 quy nạp ta được 0 1,
n
u n
   


. Tiếp ptheo ta chứng minh
2 2 1
min( ; ) ( )
n n n
v u u n

 


Thật vậy, theo cách xác định v
0
, BĐT đúng với n = 0
Giả sử BĐT đúng với n
2 2 1
1
, : ; :
n n n n
nghóa là v u v u thì

  

4 4
4 4
2 2 1 2 1
4 4
4 4
2 3 2 2 2 1 1
4
4
1 2 3 1

1 2 2 2 3
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
1 2009
2010 2010
, :
: min( ; )
n n n n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n
u u u v v v
u u u v v
Mà v v suy ra u v v v
Ta được v u u
  
   
  
  
    
    
   


Theo ngun lý quy nạp ta có:
2 2 1
min( ; ),
n n n

v u u n

  


2 2 1
1 1 1
1
; lim
( ) lim
n n n n n
n n
Như vậy v u v u và v
Do đó dãy u có giới hạn và u

    



Nhận xét: Theo đầu bài, (u
n
) bị chặn nhưng khơng đơn điệu. Để cm nó có giới hạn, ta đã sử dụng
ngun lý kẹp: lim
n n n n
Nếu a u v và v a thì u a
   
. Đây là 1 kỹ thuật thường dùng để xét giới
hạn của một dãy.

Bài T11/389: - THTT tháng 03/2010 tr23

Cho dãy số dương
( )
n
u
. Đặt
3 3 3 3
1 1 1 1
1 2
, ,
n
S u u u u n     
1 1
1
1
1 2 3
: (( ) ) , , ,
n n n n
n
Giả sử u S u u n
S
 

     Tìm
lim
n
u


Từ giả thiết ta có ngay:
3

1
0 2 3
, , ,
n n n
S S u n

     ta thu được S
n
là một dãy tăng.
Vậy nên, nếu dãy S
n
bị chặn trên thì S
n
là một dãy hội tụ và
3
1
0
lim ( )
n n n
u lin S S

  

Xét trường hợp dãy
(
n
S
) khơng bị chặn trên thì lim
n
S

 

1 1 1
2 3
: , , ,
n n n n n n
Từ giả thiết ta có S u u S u u n
  
   
Từ đây, ta thu được:
1 2 2 1
2 3
, ,
n n n
S u u S u u n

   
Do đó:
1
2 2 1 2 2 1
0 2 3 0
: , , , lim
n
n n n
n n n
u
S u u S u u
u suy ra u n kéo theo u
S S S


 
     

Vậy trong mọi trường hợp ta ln có:
0
lim
n
u



Bài T11/390: - THTT tháng 04/2010 tr24
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 7
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1], có dạo hàm trên (0;1) và thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0;
f(1) = 1. CMR với 2 số thực k
1
, k
2
bất kì, ln tồn tại các số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho:
1 2
1 2
/ /
( ) ( )
k k
k k
f a f b
  


Ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn: Với các số thực dương k

1
, k
2
, , k
n
bất kì, ln tồn tại các số
1 2
1 1
0 1 1
/
( )
( )
n n
i
n i
i i
i
k
a a a sao cho k
f a
 
     
 

Thật vậy, đặt
1
1 2
1
1 2 0 1
, , , , .

m
n n
m i
i
n n n n
S S
S S
S k m n Ta có
S S S S


       


Do đó theo một tính chất quen thuộc của hàm số liên tục (Định lí Bolzano - Cauchy): Tồn tại các số
1 2 1
0 1 1 2 1
( ) , , , ,
i
n i
n
S
c c c thỏa mãn f c mọi i n
S

       

Theo định lý Lagrange tồn tại các số:

1 2 1 0

1 1 1
1 1
1 1 1
0 1 1 0 1
0
1 1
1 2 2
/
/
/
, ( ; ), , , ( ; )
( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ).( )
( ) ( ) ( ).( ), , , ,
n i i i n
n n n
i i i n i
a a a a c c i n xem c c sao cho
f c f f a c
f f c f a c
f c f c f a c c i n

 
  
        
 
  
     

1

1
1 1 1 1 1
2
1 2 1 1 1
1 1
1 1 2 2
0 1 1
/ / /
/ / /
/
( ) ; ( )( ); ( )( ), , , ,
: ( ). ( ) ( ) ( ) ( )
. ( )
n i
n n i i i
n n n
n n
i
n n i i
i i
n i
k k
k
Bởi vậy f a c f a c f a c c i n
S S S
k
Suy ra f a f a f a và c c c c
S f a

  


 
 
       
      
 

Từ kết quả trên, ta có (1).

Bài T11/391: - THTT tháng 05/2010 tr23
Cho dãy số
( )
n
x
, n = 0,1,2 được xác định bởi:
0 1
1
1 0 1
1
, , ,
n
n
x và x n và
x
 

   


là số cho trước lớn hơn 1. Tìm

lim
n
x


Nhận xét rằng với
0
1 0 1 1 2
, , , :
n n
x thì x và do vậy x n Xét hàm số

    
1
2
1
1
1
1 1
0 1
8
1
2 1 1
1
/ /
( ) ( ). :
( ) ( ) ,
( )
n n
f x suy ra x f x ta có

x
f x và f x với x
x
x

  


   
 


Vì f(1) > 1 và f(2) < 2 nên phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2). Gọi nghiệm
đó là L. Theo định lý Lagrange thì với mọi
1
L x
 
tồn tại c > 1 sao cho:
/
( ) ( )
( ).
f x f L
f c
x L




Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 8
1

1 0
1
8
1
8
1 1
8 8
: ( ) ( )
( ) ( )

lim
n n
n
n n
n
Suy ra f x f L x L
và f x f L x L
hay x L x L x L
Từ đây suy ra x L


  
  
 
     
 
 


Vậy ta cần xác định L. Giải phương trình :

3
1 1 1 25
1 2
1 3 3 27
( ) ( ) ( )f x x x x x
x
        


Ta thu được một nghiệm trong (1;2) là
43 177 43 177 1
54 18 54 18 3
L
    

Vậy:
43 177 43 177 1
54 18 54 18 3
lim .
n
x
    


Bài T8/392: - THTT tháng 06/2010 tr22
Cho dãy số
( )
n
x
, n = 1,2 được xác định bởi:

2
1 1
5 2 1
,
n n
x và x x n

    
. Tìm:
a/
1
1 2
lim

n
n
n
x
x x x


b/
1 1 2 1 2
1 1 1
lim

n
n
x x x x x x


 
  
 
 
 


1/ Chọn a là nghiệm lớn của phương trình :
2
5 21
5 1 0 1
2
x x a

     

1
1
2
2 2 2
1 2 1
2
2 2 2
1
2 2
1 1 1
5 1 0 5 2 2
1 1
2
,

k k
k k
k k k
Ta có a a x a khi đó x x a a
a a
a
Giả sử x a thế thì x x a
a a



 
             
 
 
     

Theo ngun lý quy nạp ta có:
1
1
2
2
1
, .
n
n
n
x a n nguyên dương
a



  
1
1
1
1
2 2 2
2 2 2
2
1
2
2
1
2
1 2
1 2
2
2
2
1
1 2
1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1 1
1
1

1
:
: .


: lim lim

k k k
k k k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Lưu ý a a a
a a a
a x a a
x
a a
a
a
ta có a

x x x a
a x x x a
a
a
a
x
a
Do đó
x x x








  
   
  
  
    
  

    
 
    
   
 
   

 

 
   
   


1
1
2
1 1
21
1
1
.
n
a a
a a
a

 
   
 
 


2/ Với
2
1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 1
2 2
*
, :
.
k k k k
k k k k
x x x x
k ta có
x x x x x x x x x x x x
 

 

   
 
 
 

Thay k lần lượt bằng 1; 2; ; n và rút gọn, ta được:
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 9
1
1
1 1 2 1 2 1 2
1
1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
2
1 1 1 5 1 5 21
2 2 2



: lim lim

n
k n
n
k n
x
x
x x x x x x x x x
x
Do đó
x x x x x x x x x


 
    
 
 
 
   

     
   
   
   

* Chú ý: có thể giải phần 1 của btốn theo cách sau:
Chứng minh dãy

( )
n
x
tăng và
2 2
1 1
2
1 2 1 2
1 2
4
21 21
lim ; lim

( )
n n
n
n n
n
x x
x
x x x x x x
x x x
 
   
     
   
   
   

Bài T11/393: - THTT tháng 07/2010 tr24

Cho dãy số
( )
n
x
, n = 1,2 được xác định bởi:
2
1 1ln( ) ,
n n
x nx n

    

. Tìm:
1
( )
lim
n
n
n
n nx
x




Với mỗi
*
n

ta đặt

2
1 1( ) ln( ) ,
n
f x x nx x
    


Ta có:
2
2 2
2 1
1 0 0 1 1
1 1
/ /
( )
( ) ; ( ) ;
n n
x x
f x n n f x n x
x x

          
 

Do đó
( )
n
f x
là hàm số tăng thực sự. Chu 1y :
2

1 1
0 1 0 1 0
( ) ; ( ) ln( )
n n
f f
n
n
     
suy ra có duy nhất
1 số
1
0 0
( ) . :
n n n n
x thỏa f x và x Bởi vậy
n
   

2
1
2
2
1 1
1 1
( ) ln( )
lim lim lim . .ln( )
n
x
n n
n n

n n n
n n
n nx n x
n x x
x x
  
 
 
 
   
 
 

2
1
2 2
0
2
1 1 1 1 1 0
1
lim ln( ) ln( ) ( )
( )
: )
x
n n n
x
n
n n
Do x và nx x khi n vì x khi n
n nx

n
Chú ý n khi n
x x

 
 
          
 
 

     


Bài T10/396: - THTT tháng 10/2010 tr24
Cho dãy số
( )
n
u
, n = 0, 1,2 được xác định bởi:
0
1
0
2008
0 1 2
2010
, , ,
n
n
n
u

u
u n
u






 

 


a/ Chứng minh rằng dãy (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm: lim
n
n
u


b/
0
1
2008 2009
. lim
n
n
n

k
k
T
Đặt T Tính
u n


 



a/ Trước hết ta chứng minh 1,
n
u n
  

bằng phương pháp quy nạp. Ta có:
0
0 1
u
 

Giả sử:
1 1
2008 2 1
1 1 1 0 1
2010 2010
( )
,
k k

k k k
k k
u u
u k thì u u
u u
 
 
         
   

Theo ngun lý quy nạp tốn học ta có: 1,
n
u n
  

(1)
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 10
* Do
1 1
1 2008
1 0 2
2010
( )( )
, : ( )
n n
n n n n n
n
u u
u nên u u u u
u

 
 
     
 

Từ (1) và (2) suy ra dãy số (u
n
) là dãy tăng và bị chặn trên, nên nó có giới hạn hữu hạn
Giả sử:
2
2008
2009 2008 0 1 2008
2010
lim
n
L
u L thì L L L L hoặc L
L

        
 

1 1 1
. lim
n n
Do u nên L Vậy u
  

1 1
1 1

1
1 1
1 0
2008 2009 2008
2008 2008
2010 2010
1 2 1
2008 2009 2008 2009
1 2 1 2 1
2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2007 2008
*
( )
/ :
( )
( )
:
( ) ( )
lim
k k
k
k k
k k
n n
n
k k
k k n
n
u u
b Ta có u
u u

nên k
u u
n n
Suy ra T
u u u u
Do u
 
 

 

 
   
   
  
 

     
   
 

0
0
0
2
1 0
2009 2007 2008 2009 2007 2009
1 1
2007 2008 2009 2007
; : lim lim lim

( )( ) ( )
lim
( )( )
n
n
T
n
u nên
n u n u
u n

    
   
  
 

Chú ý:
2 1 2
1 1 1
2009 2008 2009
/ : :
n n
n
Dùng CT truy hồi u
   
   
   
  
   
   

   
   
cũng tìm ra kết quả.
2/ Dùng Đl Stolz bằng cách xét dãy 2009( ) . ( ) lim
n n n n
v với v n Dãy v tăng và v nên
   

1
1 1
1 1
2008 2007
lim lim lim
n n n
n n n n
T T T
v v v u

 

   
 
(tuy nhiên phải cm đl này khi dùng)

Bài T12/397: - THTT tháng 11/2010 tr24
Cho dãy số
( )
n
x
, n = 1,2 được xác định bởi:

2
1 1
2 8 4
2 1
2
, ,
n n n
n
x x x
x x

   
  . Với mỗi
số ngun dương n, đặt
2
1
1
1
4
. lim
n
n n
i
i
y Tìm y
x






.

Nhận xét: Với số thực a > 2 bất kì, ta có:

2 2
1 2 3
2 8 4 2 4 4 2 2
2 2 2
2 1 1: , ( )
a a a a a a a a
a
Do đó x x x
          
  
   

Mặt khác từ CT truy hồi của dãy (x
n
) ở giả thiết, ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1
1 1
2 2 2
2 1
1 1 1
2
2 1

1
2 2 8 4 4 4 4 8 4 8 4
4 3 2 6 4 3 2
3 2 1
1 1 1
2
4 4 4
1 1 1
1 2
2
4
( )
( )( )
( ) ( )
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n
n n
n n n
n n
n
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x
n
x x
x
   

    
 
 
  
 

             
          
  
    

  
    



Biờn son: Hunh Quc Ho Trang: 11
T (1) v (2) ta thy tn ti limx
n
v
2
2 1
1
2
1 1
1 1 1 1
1
1 1 1
0
2

4
1 1 1 1 1 1
10
2 2 2 2 2
4
10
lim lim lim lim
:
lim
n
n n
n
n n
n
i i
i i n n
i
n
suy ra x
x x
x
Bụỷi vaọy y
x x x x x
x
Vaọy y



















Nhn xột: rỳt ra lim
n
x

ta cú th lm theo cỏch: phng trỡnh gii hn
2
2
2 8 4
4 3 2
2
( )( )
x x x
x x x x

khụng cú nghim hu hn x > 2.

Bi T11/398: - THTT thỏng 12/2010 tr23

Cho dóy s thc
( )
n
x
, n = 1,2 c xỏc nh bi:
3 2
1 1
2 5 4 1
, ,
n n n n
x a x x x x n


. Tỡm
tt c cỏc giỏ tr ca a dóy s
( )
n
x
cú gii hn hu hn. Hóy tỡm gii hn ca dóy trong cỏc TH ú.

Xột hm s
3 2
2 5 4
( )
f t t t t
. Khi ú dóy ó cho cú dng
1
*
( ),
n n

x f x n



. Ta cú:
2
2
6 10 4 6 1 1 2 3
3
2 3
0 1 0
3 2
/
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) , , ( ) ; ( )
f x x x x x vaứ f x x x x x
Tửứ ủoự f x x x x x vaứ khi x thỡ f x x khi x thỡ f x x



Bng cỏch lp BBT ca hm s f(x) ta cú khi:
3 3
0 0
2 2
( )x thỡ f x


T cỏc nhn xột trờn ta thu c:
(i) vi
0

( ; )
x

luụn luụn cú
0
( ) ( ; )
f x


(ii) vi
3
0
2
( ; )
x luụn luụn cú
3
0
2
( ) ( ; )
f x
(iii) vi
3
2
( ; )
x

luụn luụn cú
3
2
( ) ( ; )

f x


Ta xột cỏc TH c th ca a
TH1: a < 0. Theo (i) thỡ mi
1
0 1 2 3 0
( )( )
n n n n n n
x vaứ x x x x x


. Do ú
( )
n
x
l dóy gim nờn
cú gii hn
lim .
n
x b

Khi ú
3
0 1
2
; ;
b vaứ b a





, mõu thun vỡ a < 0. Suy ra dóy
( )
n
x
khụng cú
gii hn hu hn ng vi a < 0.
TH2: a = 0. Khi ú
( )
n
x
l dóy hng v
0
lim .
n
x


TH3: a
3
2

. Theo (ii) thỡ mi
1
3
0
2
( ; )
n n n

x vaứ x x


. Do ú
( )
n
x
l dóy tng
nờn nu cú gii hn lim
n
x b

thỡ
3
0 1
2
; ;
b vaứ b a




, vụ lý. Suy ra dóy
( )
n
x
khụng cú gii hn
hu hn ng vi a
3
2


.
TH4: a =
3
2
. Khi ú
( )
n
x
l dóy hng v
3
2
lim .
n
x


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 12
TH5: a
3
0
2
a
 
. Theo (ii) thì mọi
2
1
3 3
0 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1
2 2

( ; ) ( ) ( ( ; ) ( )( ) )
n n n n n n n n
x vaø x x x x do x neân x x

          

Bằng pp quy nạp, từ
1 1
1 1 1 1
*
: ,
n n n
x x ta thu ñöôïc x a n
 
       


3 1
0 1
2 2
.
Do a neân a    Suy ra dãy
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn là 1
Kết luận: Dãy
( )
n
x

có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi
3
0
2
[ ; ]
a

0 0
0 1 1
3 3
1
2 2
lim
lim
lim
n
n
n
Khi a thì x
Khi a thì x
Khi a thì x
 
  
  

Nhận xét: Bài này tương tự HSG QG 2005:
3 2
1 1
3 7 5 1
, ,

n n n n
x a x x x x n

     



Hết năm 2010
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 13
III. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2011
Bài T10/399: - THTT tháng 01/2011 tr23
Cho dãy số
( )
n
a
được xác định như sau:
0 1
10 6 16 96 0 1 2
;( )( ) , , , ,
n n
a a a n

     
Hãy tính tổng:
0 1 2 2010
1 1 1 1
S
a a a a
    


1 1
1 1 1
1
0
0
6 16 96 6 16
6
1 3 1 1 1 3 1 1 1 1
0 0 1
16 8 16 8 10 10
1 1 8
0 1
10 3
8
1
3
:( )( ) ( )
( , , , , ) ( )
( , , , ) ( )
:
n n n n n
n
i
n n n n n n
i i
i
n
n
i
i

Ta có a a a a a
a
a i n
a a a a a a
Đặt x i n thì x lập CSN với công bội
a
x
Vậy A x
 
  


     

           
  

 

 
 

 

0
1
0
2011 2011
0 0
1 1 1

8
10 10
1
3
8
1
3
1 1
8
10 10
1
3
1 3 8 2011 3 8 11
10 2010 1 201
5 25 3 10 25 3 50
. :
:
. :
n
i
i
n
n
Mặt khác A S
a
x
n n
Do đó S A
Với a thì x Thay n ta được S




 
 
 


   
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 
   

 
   
 
       
   
 
   

 


Bài T9/400: - THTT tháng 02/2011 tr23
Cho dãy số
( )
n
a
được xác định như sau:
1 1
1
1 1 1 2
1
; , , ,
n
n
a a n
a

    


Chứng minh :
2 2 2
1 2 2010
4020
a a a   

Từ giả thiết ta thấy:
1 1

,
n
a n
  

Ta có CT lùi sau:
2
2
2
1
2
2
1
2 1 2
1
1
( )
n
n
n
n
a
a
a
a

 

    
 

 


 

2 2
1
2 2
1
2
2 2 2 2
1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2010 1 2 3 4 2009 2010
2 2
1 2 2
2
2 2 4
1
1005 4 4020
:
; :
( )
: ( ) ( ) ( ) .
n n
n n
n
n n n n
n

Bời vậy a a
Do a suy ra a nếu n lẻ a nếu n chẵn và với mọi n lẻ thì
a
a a a a
a
Do đó a a a a a a a a a

 
  
  

      

           

Khẳng định được chứng minh.
* Chú ý: Bài này có bản chất là:
2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
2 4
,
m m m m
m a a và a a
   
     



Bài T10/401: - THTT tháng 03/2011 tr23
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 14

Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số
( )
n
x
được xác định như sau:
1 1
2 2 2
1 1 2 2
1

; , , , ( )
n
n
n
x
x x n tử có n số
x

  
   


Chứng minh dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

2 2 2 2
( )

n
Đặt y có n số
    . Chứng minh bẳng quy nạp ta có:
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
2
2
2 1
1
2
1 1
1 2
2 2
2 2
4
1
2 2
2
4 4
2
2 2
cos
cos , ( )
, : ( ) ( )

cos cos
sin . sin .
. ( ) :
sin cos
n
n
n n
n
n
n
n n
n
n n
n n
n n
n
n
n n
x
Đặt y nên x
x
a
Đặt a khi đó a
x
b b
a
Lại đặt b Khi đó trở thành


 

 
 




 

 

 

   
  

1
1
1
1
1 1 1
1
1
4
3
2
1
2 2
2
3 4 4 1 2
2 2

4 4 4
2
2 2
2 2
4
4 4
2
( )
sin
: cot cot
sin
( ) : cot cot ( , , )
: cot cot . : cot . :
sin sin
. ( cot )
n n
n
n n
n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
b b
Chú ý rằng
Từ suy ra b b n
Suy ra b b b Từ đó b b Thành thử

b
a b b

 

 
  
 





  
 
   
     
   
1
4
2 2
1
1 1
4
2 2
sin cos
lim limsin lim cos . : lim
lim
n n
n n

n n
n
b
Vậy a Suy ra x
a
 
 

    


Bài T10/403: - THTT tháng 05/2011 tr24
Cho dãy số
( )
n
x
được xác định như sau:
2010
1 1
2009
3 16
5 1 2
11
; , , ,
n n
n
n n
x x
x x n
x x


 
   
 
Với mỗi số
ngun dương n, đặt
2009
1
1
7
. lim .
n
n n
i
i
y Tìm y
x




.

Ta kí hiệu lại cho gọn: m = 2009 và
1
3 16
11
( )
m
m

x x
f x
x x

 

 
. Tính chất của hs f(x) sẽ được dùng
trong bài tốn này:
1
3 16 4 7 4 4 7
4 4
11 11 7 4
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
m m m
m m m
x x x x x x x
f x
x x x x x x

      
    
      

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 15
1 7 4 1 1
4
4 4 7

4 7
( ) ( )
:
( )
( )( )
m
m
m
x x
Do đó nếu x thì
f x x x
x x
  
   
  
 

Bởi vậy, chứng minh quy nạp theo n ta được:
1
1 1 1
4 1
4 4
7
( )
n
m
n n
n
x với n và
x x

x

   
 


1
1 2 3
1 1 1
1
4 4
7
5
4
: ( )
:
: lim
m
n n
n
n
Suy ra với n
x x
x
Từ CT tách trên ta rút ra x x x
Như vậy y

  
 


     


Bài T10/404: - THTT tháng 06/2011 tr24
Cho dãy số
( )
n
x
được xác định như sau:
3
1 1
5 20 21
12 1 2
2 1
; , , ,
n n n
n
x x x x n
n


     


Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

* Ta cm
2
n
x


bằng quy nạp. Thật vậy,
2 3
1 1 1
2
5 1
2 2 2 4 12 16 0
2 1
1
4 2 0
1
. .
( )( ) ( )
n n n n n
n n
x Giả sử x khi đó x x x x
n
x x bđt đúng
n
 
          

    


* Ta cm (x
n
) là dãy giảm
Giả sử:
1 1

5
2
2

n n
x x x

    
, ta sẽ chứng minh :
2 2 3 3
1 1 1 1
2 2
1 1 1
2 2
1 1 1 1 1
1
1 1
12 0
1
1 1
12 0 1
1
1 1
0 2 2 12 0 0
1
1
( ) ( )
( )( ) ( )
;
( ) .

n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n
x x x x x x x x
n n
x x x x x x
n n
Vì x x nên x x và x x suy ra x x x x và
n n
Do đó đúng Vậy x x
   
  
    

         

       

          



Vậy (x
n
) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên tồn tại
5
2
2
lim ( )

n
x a a
  

Qua giới hạn ở đẳng thức truy hồi ta có PT:
3 2
12 20 2 10 0
( )( )
a a a a a a
       


1
3
2
1 41 5
2
2 2
1 41
2
2
. lim
n
a
a x Suy ra x
a





 

    


 

 



Bài T9/405: - THTT tháng 07/2011 tr23
Cho k là số ngun dương tùy ý,

là số thực bất kì. Xét dãy số
( )
n
a
được xác định như sau:
1
1 2
1 2
[ . ] [ . ] [ . ]
, , ,
k k k
n
k
n
a n
n

  

  
   (kí hiệu [x] là số ngun lớn nhất khơng vượt q x). Tìm
giới hạn của dãy số đó.

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 16
1 1
1
1 1
1 2 1 1 2
1 1
1 2 1 1
( ) ( )
[ ] . : ( )

: ( ( ) )
k k k k k k
n
k k k
k
k k k
n n
k
k
i i
n n
Ta có x x x Do đó a
n n n
n i i

Ta có f với f x x
n n n n
n
 
 

 
     
     
   
  
  
   
   
 

Theo định lý cơ bản của tích phân ta có:
1 1
1
0 0
1 2 1
2
1

lim ( ) ( )
k k k
k
k
x
n

f x dx x dx
k
n


  
  

 

Từ (1) và (2), áp dụng ngun lý kẹp ta có:
1
lim
n
a
k





Bài T10/406: - THTT tháng 08/2011 tr24
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1 1
0 1 2
1

; ( ), , ,
n
n
n
k u
u a u k n
u


    

Biết rằng
13 1
u u

. Hãy tìm tất cả các giá trị của k?

 
1
1
13 1
2
1
1
1
0
2 2 2
1 1
12 12
0 1 2 3 4 5

2
1
12
*
( )
.
tan ; tan ( ; )
( ), : tan(( ) ),
tan( ) tan( ) ( )
; ; ; ;
tan
n
n n
n
n
n
n
u
k
k u u
k
Từ u
u
u
k
k
k
a
Đặt k
k

u
Từ cm quy nạp ta có n n
k
Do đó u u l l
Vì nên l
Nhận xét
  
   
 
    







  


      
    
      
  



2 2
13 1
2 3

6
7 4 3
2 3
1
6
5 1
7 4 3 7 4 3 1 3 7 4 3
6 12 3
cos
cos
tan cot . ; ; ; ;Do đó u u k


 


  


 
       
 
 

Bài T11/406: - THTT tháng 08/2011 tr24
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
x n  được xác định như sau:
1 1

1
0 1 2
27
; , , ,
n
x
n
x x n

 
   
 
 

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Nhận xét rằng 0
*
,
n
x n  

. Xét hàm số
1
27
( )
x
f x
 


 
 
nghịch biến trong khoảng 0
[ ; )

. Khi đó:
1
0 0 1
* *
( ); ( ) ( ) ,
n n n
x f x n và f x f nên x n

       
 

1 2 3 1 3 4 3 1 2
1
0 1
27
: ; ; ( ) ( )
Ta có x x x nên x x và x f x f x x
      

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 17
Tiếp theo ta chứng minh bằng pp quy nạp:
2 1 2 1 2 2 2
*
( )
n n n n

x x và x x n
  
   


Thật vậy, giả sử có:
2 1 2 1
n n
x x
 
 thì
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
f x f x nên x x và vì vậy f x f x
   
  
2 1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3
2 2 2 4
:
, : ( ) ( ) ( ) ( )
:
n n
n n n n n n n n
n n
Suy ra x x
Tương tự giả sử có x x thì f x f x nên x x và vì vậy f x f x
Suy ra x x
 

     
 

   


Vậy
2 1
( )
n
x

là dãy đơn điệu giảm và dãy
2
( )
n
x
là dãy đơn điệu tăng và đều thuộc [0;1] nên có giới hạn
hữu hạn:
2 2 1
lim ; lim
n n
n n
x a x b

 
 

1
27

2 2 2 1 2
1 1
27 3
1
3
lim lim ( ) lim ( ( )) ( ( )), ,
a
n n n
n n n
Và a x f x f f x f f a nên a suy ra a
Tương tự cũng thu được b
 
 
 
 
  
 
     
 
 


Vậy nên a = b và
1
3
lim
n
n
x




Bài T7/407: - THTT tháng 09/2011 tr21
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
x n  được xác định như sau:
3
1
3 2 1 2
, , ,
n n
x x n

    xác định x
1
để
cho dãy số
( )
n
x
hội tụ. Trong trường hợp dãy số hội tụ, hãy tìm giới hạn đó.

Giả sử dãy số
( )
n
x
hội tụ và lim
n
x l


. Khi đó từ biểu thức xác định dãy
( )
n
x
ta có:
3
3 2 1 2 1
( )
l l l hoặc l     
Từ biểu thức xác định dãy
( )
n
x
ta cũng có:
2
1
1
2 2 2 4 2
3
( )( ) ( )
n n n n
x x x x

    
3
1
2
1
1

1 1 3
3
1
1 2 4
3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n
n n n n
x x
x x x x


  
   

* Nếu
1
2
x

thì từ (4) suy ra
1
2
n n
x x

 
, với n = 1, 2 Do đó
( )

n
x
là dãy tăng, kết hợp (1) suy ra
lim
n
x
 

* Nếu
1
2
x

thì từ (4) suy ra
2
n
x

, với n = 1, 2 Do đó
2
lim
n
x


* Nếu
1
1 2
x
  

thì từ (4) suy ra
1
n n
x x


, với n = 1, 2 Từ (2) và (3) suy ra
1 2
n
x
  
. Do đó
( )
n
x
là dãy giảm và bị chặn dưới bởi - 1 nên dãy hội tụ. Từ (1) suy ra
1
lim
n
x
 

* Nếu
1
1
x
 
thì từ (3) suy ra
1
n

x
 
, với n = 1, 2 Do đó
1
lim
n
x
 

* Nếu
1
1
x
 
thì từ (4) suy ra
1
n n
x x


, với n = 1, 2 kết hợp (1) suy ra lim
n
x
 

Tóm lại dãy
( )
n
x
hội tụ khi và chỉ khi

1 1 1
1 2 2 2 1 1 2
;x và l nếu x l nếu x
         


Bài T11/408: - THTT tháng 10/2011 tr23
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
u n  được xác định như sau:
1 1
2 3
2011 1 2
8 2 3
cos cos
; cos , , ,
n n
n n
u u
u u u n


 
     
 
 

Chứng minh dãy số (u
n

) có giới hạn hữu hạn.

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 18
Ta sử dụng biến đổi sau đây:
2 2 2
2 2
2 3 2 2 2 4 2
1 25 1 25
4 1 2 1 2 4 2
2 16 4 4
5
2 3 1
8 16
2 3
8 2 3
(sin sin sin ) ( sin cos sin ) (sin cos cos sin )
cos ( cos ) (cos )
sin sin sin ( )
cos cos
( ) cos
x x x x x x x x x x
x x x
Suy ra x x x
x x
Xét hàm số f x x trên
Kh
 

      
   

       
   
   
  
 
  
 
 

1
1
2 3
8
5
1 1 2
16
( ) ( ) ( ) :
'( ) (sin sin sin )
( ) '( ) , ( )
n n
i đó u f u n hàm f x có đạo hàm trên và
f x x x x
Theo thì f x x



 
   
   




Vậy nên hàm số g(x) = f(x) -x là hàm nghịch biến trên R vì có 1 0
'( ) '( ) ,
g x f x x
    


Để ý rằng
11 3 1
0 0
40 6 6 8 2 4
( ) ( ) ( )
g o và g
   
      

Nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất (kí hiệu là

) trong khoảng (0;
6

), tức là
( )
f
 

.
Vậy dãy số đã cho thỏa mãn điều kiện:
1

3
( ) ( ) ( )
n n
u f u f
 

  
Theo định lý Lagrange, tồn tại
1
1 1
1
5
16
5
0
16
5
0 2 0
16
( ) ( ) ( ) '( ), : '( )
, :
lim ( ( )), lim( ) , lim
n n n n n
n
n
n
n n
để f u f u f nên u u f u
Bằng quy nạp ta thu được u u
Do theo nên suy ra u tức u


       

 

 



       
 
   
 
 
 
   
 
 


Bài T12/409: - THTT tháng 11/2011 tr25
Cho hàm số :f 
 
thỏa mãn hai điều kiện:

2
1 2 1 2
1 1
1 2011
1 1

1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ,
; . lim( )
( ) ( )
n n
i i
i f
ii f x f x f x f x x
Đặt S S Tìm S S
f i f i
 

     
  
 
 


2
1 1
2
1
2011 1 1
1
1
1
*
( ),

: ; ,
n
n n n n
n n
n n
n n
Kí hiệu a f n n
Từ đk của bài toán ta có a a a a a n
a a
Suy ra a a
a a


 
     
 
   


Từ CT trên và bằng quy nạp theo n, ta thấy ngay:
1 2 3
2011 2010 1
,
n
a a a và a n n
       

1
1 2011
lim ( ; )

n
Chú ý a vì pt giới hạn a a không có nghiệm thực thuộc
a
     

Từ các nhận xét trên ta có:
1 2009 1
,
i
a i i
    

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 19
1
1 1 1
2
1 2
1 1 1
1 2009
( lim )
:
lim( )
n n n
i i i
i
Do đó S khi n vì ta biết
a i i
Tương tự S khi n
Như vậy S S
  

 
       
 
 
 
   
  
  

* Chú ý: Kết quả là hay hơn nếu ta xét:
1 2
lim( )
S S

Thật vậy:
1 2
2
1 1
1 1 2
1 1
1
n n
i i
i i
i
S S
a a
a
 
 

 
   
 
 
 
 
 

 
 
 

1 1
2 2 2 2 2
1
2
1
1 2
2
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1

1
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
1
:
.
:
i
i i i i
i i i
i i i
i i
i i i i i
i i
i
n n
i i
i i n
i
a
Chú ý a a a a
a a a
a a a
a a
a a a a a
a a
a
Bởi vậy S S
a a a a

a

 


 
 

       
  
      
 
    
  
 

 
 
     
 
 
 
 
   

 
 
 
1 2
1

2 2 1
1 2010 1005
lim( )S S
a
 
 
 
 
    


Bài T11/410: - THTT tháng 12/2011 tr23
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
a n  được xác định như sau:
1 2 3 1 1 2
0 38 90 19 30 3
; ; ,
n n n
a a a và a a a n
  
       

Chứng minh
2011
2011
a chia hết cho .

Xét phương trình đặc trưng của dãy:

3
1 2 3
19 30 0 2 3 5 0 3 2 3 5
( )( )( ) ;a x x x x có nghiệm pb x x và x
           

1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 3 5
0 38 90 1 2 3 5
( )
; ; . ( )
n n n
n
n n n
n
Vậy a c c c
Từ điều kiện ban đầu a a a ta tìm được c c c Vậy a
   
          

Với p là số ngun tố, theo định lý Rermat ta có 2 2 3 3 5 5
(mod ); (mod );( ) (mod )
p p p
p p p
    
Do đó,
2011
2 3 5 0 2011 2011
(mod ).

p
a p Với p ta có a chia hết cho    
Hết năm 2011


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 20
IV. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2012

Bài T11/412: - THTT tháng 02/2012 tr24
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
x n  được xác định như sau:
3
3
2 8 1 1 2
, , , .
n
x n a n n với a tham số thực
    
a/ Tìm a sao cho dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.
b/ Tìm a sao cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
x n  là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó)

3 3
3
3
3

3 2 3 2
3
8 1 2
1 2 8 1 2 0
8 1 2 8 1 4
( )
: ( ) . ,
( )
n n n
n n
Ta có x a n a y với y n n
n n n n
 
       
   

Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
n
x
khi và chỉ khi a = - 1.
b/ Từ lí luận phần a/ suy ra:
1
0 1
1
lim
n
nếu a
x nếu a
nếu a


  

  


  


Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại
1 2
1
*

m m m
m sao cho x x x là a
 
     


Ta cm
1
a
 
là điều kiện đủ để có kết luận trên. Thật vậy với
1
a
 










3
3 3
3
1
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 2
3 3 3
3 3 3 3 2 3 3
1 2 3
2 1 8 1 1 2 8 1
2 8 1 1 8 1 2 8 1 1 8 1 2 8 1 8 1 1 0
2 8 1 8 12 8 1 6 8 1 8 1 8 1 3 3 1 8 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
. ( ) ( )
:
n n
x x n a n n a n
a n n n n n n
vì n n n n n n n n
Suy ra x x x


        
                  
                
  

Vậy dãy số
( )
n
x
là dãy số tăng kể từ số hạng nào đó khi và chỉ khi
1
a
 
và trong trường hợp đó
( )
n
x
là dãy số tăng ngay từ số x
1
.

Bài T10/413: - THTT tháng 03/2012 tr23
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1 1
2 1 1

1 2
2 1
( )
; , , ,
n
n
n
u
u a u n
u

 
   
 

a/ Tìm a sao cho mọi số hạng của dãy đã cho đều xác định.
b/ Tìm a để
2011
2011
u 

2
2
1
1 2 1 0
8 4 2
0
1
8
8

8
cot . : cot ( ).
cot ,
cot cot
: cot( )
cot cot
x
Đặt x Chú ý x vì x
x
Giả sử a
Khi đó u
 
  







      
  

  


Tương tự, chứng minh bằng quy nạp ta có:
1
8
*

( )
cot , ( )
n
n
u n


 

  
 
 


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 21
Do đó dãy số
1
( )
n n
u


đều xác định khi và chỉ khi
1 2 7
8
( ), , , ,
m
k k m

 

    


1 2 7 2 1 2 1 1 0
8
cot cot , , , , ( ); ( ); ;
l
l a


          
b/ Ta có:
2011 3
1
1
4
4 1
4
cot cot
cot( )
cot cot
a
u u
a









    



2011
1 2012 1006
2011 2011
1 2010 1005
:
a
Do đó u a
a

       



Bài T11/415: - THTT tháng 05/2012 tr23
Cho dãy số
( )
n
a
được xác định như sau:
1 1
1
1
1 2 1 2
; , , ,


n
n
a a n
a a

    
 

Tìm giới hạn của dãy số
1 2
( )
n n n
b với b a a a
   


* Với
1 1 2 1 1
1
2 1
*
: ;
n n n n
n
n ta có b a a a a b b
b
 
         


1
2
* , :Với bất kì x ta có x
x

  

Do đó, cm bằng quy nạp theo n ta thấy: 2 2
*
,
n
b n   


1 1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1
2 0
* , ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ), ( ) ( )
Với x y x y x y x y
x y y x xy
nên x y f x f y với f x x x
x y x
             
        

Ta có:
2 1 3 2
1 1 1

2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ; ( ) ; ( )b f b f b f b        


1
2 2 3 2
2 2 2 3 2 3 1 3 1 0 7 0 9 1
4 2 2 2
( ) ( , ) ,
b

            


Từ các nhận xét trên ta suy ra:
2 4 2 1 4 3 1 3
2 4 6 1 3 5
2 2 1 1
2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2 2 1
*

( ); ( ); ( )
:
lim ; lim , : , ,
,
n n n n
n
b b do b f b b f b f và b b
Như vậy ta có b b b và b b b
Kí hiệu p b q b ta suy ra p q do b b n
b
Cho n chẵn n ta được q p pq p p
p
Ch
 
      
       
       
        

2
2 2
1
2 2 1
1 2 2 0 2 0
,
( ) ( ) :( ) ( ) ( )( )
o n lẻ n ta được p q pq q q
q
Từ và suy ra p q p q p q p q
        

        

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 22
2 2 2
2 0 2 1
1
2 2 1 2 2 2 1 0 2 1 0
2
1 1
2
2 2
1 1
2 2
: , ( ) :
( ) ( )
: . : lim
n
Chú ý p q q p thay vào ta có
p p p p p p p p
q
Như vậy ta luôn có p q Hệ quả là b
     
            
   
  


Bài T10/417: - THTT tháng 07/2012 tr23
Cho dãy số
0 1 2

2
, , , ,
n
a a a a với n

, được xác định như sau:
0
1 1 1
0 1 2
1 2
; , , , ,
k
a a k n
n n n k
     
  
. Chứng minh bất đẳng thức:
1
0
1
2 1 1
1
(ln ) lim( )
k
n
a
n
a
n
n

k
e
a e với e
n k n


    
 



Trước hết có 2 nhận xét
1/ Xét hàm số f(x) = lnx, với
*
m

bất kì. Từ định lý Lagrange tồn tại m < b < m+ 1 mà:
1 1
1 1
1
1
1
1 2 2 1
( ) ( ) '( )
: (ln( ) ln( )) ln ln ln ( )
n n
n
i i
f m f m f b
b m

Từ đó a n i n i n n
n i
 
    

        

 


2/ Xét hàm số 0( ) , ,
x
g x e x x bất kì
  

. Từ định lý Lagrange tồn tại 0 < c < x mà:
1 0
1
1 1 1
1
0 0 0
0 0 1
1 1 2
1
1 2 0 2
2 2 0 0 2
( ) ( ) '( )( ) .
: ( ) ( )
( ) (ln ) ; ln
: '( ) (ln ) (ln ) , ( ;ln )

k
k k k n n
x c
a
n n n
a a a a a a
n k
k k k
x x
x x x x
g x g g c x e e x x
e
Từ đó e e e e e e e
n k
Đặt h x e x e x
Chú ý h x e e x e x e x

  
 
  
      
 
       
 
 
 
 
     
        
  


Suy ra h(x) là hàm đồng biến trên
0 2
( ;ln )
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
1
0
2 2 1
1
(ln ) ( ) (ln )
k
n
a
n
a
n n
k
e
a e h a h
n k


    
 


Bất đẳng thức được chứng minh.

Bài T7/421: - THTT tháng 11/2012 tr21

Cho dãy số thực dương
0 1 2
( ), , ,
n
a n  , được xác định như sau:
0
1 1 1 1
0 1 2 2012
1
1 4
*
; , ,
.

m n
n n n n n n
a a a với m n m n
a a a và a a a với mọi n
Tính tổng T a a a a
   
   
    
    




Từ điều kiện của bài ta có:
0 1 2
1


a a a và
    :
1 2 0 1 2
1 21 2 0
1
1 1
4 1 2
4
( )
( )
a a a a a
a a
a a a


   
 

 
 
 
 


Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 23
Từ (1) có :
2 2
2 1 1 1 1 1 1
1 3 2 4 1 1 2 4 0

( ), ( ) : ( )a a thay vào được a a a a a
        

4 2 2
1
1 1 2
2 2
1
1 1
1 2 4 0 2 2 2 0 2
2 4 3 9
1 4 9 1 1
4 4 1
, : ( )( )
: . ( ) :
: , , . ; ( ) ,
, : ( )
k k
k k k k
Đặt t a t ta được pt t t t t t t t
Do đó a a Thay vào ta có a
Như vậy ba số hạng đầu của dãy là Giả sử a
k a k k
Từ giả thiết a a a suy ra k a

 
           
   
   
   

2 2
1 1
2( )
k
k a k
 
   

Theo ngun lý quy nạp ta được:
2
1 0 1 2
( ) , , ,
n
a n n  
Ap dụng cơngthức:
2 2 2
1 2 1
1 2
6
( )( )
:
n n n
n ta có
 
   
2 2 2
2013 2014 4027
1 2 2013 2721031819
6
2721031819

. .
T
Vậy T
     



Bài T11/420: - THTT tháng 10/2012 tr23
Cho dãy số 1 2
( ) ( , , )
n
x n  được xác định như sau:
1
2 3 4 2011 2012
1
1001
1003
*
,
n n n n n n n
x
x x x x x x x n






        



. Hãy tìm
lim ( . )
n
n
n x

.
(có dấu hiệu của TB Cesaro)
Ta có:
2012
2 3 2011
1
1
1 1
1
( )
( ) ( )
n n
n n n n n n
n
x x
x x x x x x
x


      


Ta chứng minh

0 1
n
x
 

Thật vậy, n = 1 khẳng định đúng
Giả sử khẳng định đúng với n. Suy ra
2012
1
0 1
1
n
n
x
x

 

. V65y từ (1) suy ra:
1
1 2
( )
n n
x x

 
Từ (2) ta có dãy (x
n
) giảm và bị chặn dưới bởi 0. Do đó tồn tại lim x
n

= a
Qua giới hạn hai vế của (1) ta được:
2012
1
0 0
1
( )
. lim
n
a a
a a Vậy x
a

   


Để tìm
lim ( . )
n
n
n x

ta sử dụng bổ đề TB Cesaro:
Bổ đề: Cho dãy
( )
n
u
thỏa mãn lim
n
u a


. Khi đó
1 2

lim
n
u u u
a
n
  


Chứng minh bổ đề:
Khơng giảm tổng qt, giả sử: a = 0 (nếu 0
/
)
n n
a thì ta xét dãy u u a
  

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 24
0 0
0
0
0 0
1 1
1 1
1
1
1

1
1 0 1
1
0
2
0
, ,
:
( ) , , max( ; )
lim ( )
n
n n
n
n
i i
i
i
i i
i n
i
n
n
i
i
i
i
n
i
i
Cho n sao cho u n n

u u
u
u
Ta có
n n n n
u
u
Chon n đủ lớn n n sao cho ta được n n n
n n
u
Vậy đfcm
n
 

 
 
 






    
   
    

 







Trở lại bài tốn, xét dãy
1
1 1
( ) .
n n
n n
u với u
x x

 
2011 2011
2012 2012 2012 2012
1
1 2
1 1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 3
1 1
1 1
1 1 1
1
1
:

( )
lim lim ( )

: lim lim
lim lim .
( )
n n n
n
n n n
n n n n n
n n
n
n
n
x x x
Ta có u
x x x
x x x x x
Do x nên u
u u u
Theo bổ đềvừa cm
n nx nx
n
nx n n x



 
      
   

 
 
  
   
 
 
 
 

  
 
 

 
1
1
1 1 1
lim lim( )
n
n n
nx
nx

    

Nhận xét:
1/ Có thể phát biểu, chứng minh rồi áp dụng ĐL Stolz giải.
Ta có:
1
1 1

1 3 1
1 1 1
1
( )
lim ( ( )). lim lim( . )
n
n n n
n n n
do Do đó n x
x x x

 
   


2/ Nếu khơng dùng Stolz thì cm:
1 2 1
1
2 2
. , , lim( . )
n n
n n
n x n Từ đó dùng nguyên lý kẹp ta được n x
n
n n
    

 




Bài T9/422: - THTT tháng 12/2012 tr23
Xét hai dãy số
( ) ( )
n n
a và b
được xác định như sau:
0 0
1 1
1 1
3 3
3 2 1
4 3 1
;
,
,
n n n
n n n
a b
a a b n
b a b n
 
 

  

  


  



Tìm tất cả những số tự nhiên n để:
2
0
9
( )
n
k
k
b



là số chính phương.

Nhận xét rằng:
2 2
1 1 1 1
2 2 3 2 4 3
( ) ( )
n n n n n n
a b a b a b
   
    
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào Trang: 25

2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2

1 1
2 2
0 0
2 2 2 2
2
2 1
0 0
2 9 12 4 16 24 9
2 1
2 9
2 9 9 2 0 2
9 2
*
( ) ( )
, ( )

: , ( )
: ( ) .
n n n n n n n n
n n
n n n n
n n
n
k k
k k
a a b b a a b b
a b n
Và a b
Do đó a b b a n
Bởi vậy b a

       
 

 
     
   
  
      
 
 
 
 
 


- Chú ý: Từ các cơng thức truy nạp của các dãy số (a
n
), (b
n
) ta có:
0
, ,
n n
a b n
   
 

2 0 0
( ) ,
n

Từ ta suy ra a n
  

Từ đó suy ra
2
0
9
( )
n
k
k
b



là số chính phương khi và chỉ khi:
1 2
n
 

n là số ngun dương lẻ.
* Nhận xét: Bài dễ nhưng khó là nhận xét được cơng thức lùi (1).


Bài T11/422: - THTT tháng 12/2012 tr24
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:

0
2
1
0 2
1
1
[ ; )
. lim ( . )
, ,
n
n
n
n
u a
Tìm u n
u
u n n
n



 



  






Ta chỉ ra rằng ln tìm được số hạng thứ k nào đó của dãy mà
1 1
[ ; ]
k
u  
Thật vậy,
0
0
2
1
1
1 1
0 1 0 1 1 1
1 2 1 2
1
1 1 1
2 1 2
1 1
1 2
1 1
*
( ; ] ( ; ] [ ; ]
( ; ), ( ; )
[ ; ] , ,
: , : , , , .
n
n n n
n n k
n k

nếu a thì u a
Xét TH a tức u
u
Nếu mọi u thì từ hệ thức u suy ra u n
n
n u n u k u
n k
Để ý rằng tức là k n
n u n n k u k
Ta thu


 
    
 

     
     
 
   
   

0
0
0
2
1 2
2 2
2
1 2 1

2 2 1 2
2 1 2
( )( )
:
( )( )
( ) ( )( )
n
n
n u
n n
được
u
u
n n
hay u n u n n
n
 
 


 

 
       
 

 

Điều này là khơng xảy ra vì khi n đủ lớn
0

0
2
u
n
u
 

 
 

 
thì vế trái là số dương còn vế phải là số âm
Vậy, ln tồn tại k


mà
1 1
[ ; ]
k
u   . Khi đó theo hệ thức
2
1
1
n
n
u
u
n



 suy ra
1
,
n
u n k
n
  

1
0
: , . lim ( . )
n n
n
Do đó u n n k Suy ra u n
n

   

* Có thể dùng cơng thức
1
2
lim cos
n


cũng làm được.
Hết năm 2012