1




Lời nói đầu.


Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thớc
bên mình để có thể vẽ đợc những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng
cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc
tôi phải có những tởng tợng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận đợc điều này trớc
sự nhăn nhó của học sinh .
Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng
pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp
chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng
cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành
Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng
pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện ,
phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng các phép biến hình Tôi cũng đã
thử nghiệm một vài phơng pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với
năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12).
Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi
hơn ; Nhng tôi vẫn cảm thấy rằng nó cha thật vừa ý , nhân tiện tổ có đa ra yêu cầu viết một
chuyên đề nên tôi có dịp đa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý
báu cho công tác giảng dạy sau này.
Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác
chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà thôi.
Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức
hình họccha kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết đợc một tài liệu

có chất hơn.
Rất mong đợc sự đóng góp quý báu của các thầy cô!


Thanh Long ngày 18/03/2007.
Phạm Kim Chung






a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ:

I). Quy trình giải toán

Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc > Phiên dịch các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ véc tơ.
Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc
tơ theo hệ véc tơ gốc .
Bớc 3: Chuyển các kết luận véc tơ sang các tính chất hình học tơng ứng .

VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD và G là
trung điểm của đoạn thẳng MN.
a). Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A của tam giác BCD. Phát biểu kết luận
tơng tự đối với các đờng thẳng BG,CG và DG.
b). Chứng minh GA=3GA.

BG: Chọn hệ
{

}
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
A

*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc.
+Giả thiết:
M là trung điểm của AB
1
2
A
MA=
JJJJKJJK

2
B
J

N là trung điểm CD
1
()
2
A
NADAC+
JJJK JJJK JJJK
=

.
G là trung điểm đoạn MN


()()
11
24
A
GAMAN ABACAD= + = ++
J
JJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
.(1)
A là trọng tâm tam giác BCD
()
1
'
3
A
AABACAD++=
J
JJJKJJJK JJJK JJJK
.(2)
+ Dễ thấy yêu cầu của bài toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh
(H.1)
A
G
N
M
B
D

2
'

3
A
GA=
C

A
J
JJK JJJJK

Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên.
II, Một số tính chất cần ghi nhớ
Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái
niệm và tính chất sau:
1). Quy tắc 3 điểm:
A
BBC AC+=
JJJK JJJK JJJK
, với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian.
2). Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc:
A
B
JJJK
là một véc tơ cho trớc thì với mọi điểm O bất kì , ta có:

A
BOBOA=
JJJKJJJKJJJK
.
3). Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có :
OB OA OC=+

J
JJKJJJK JJJK
.
4). Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì:
JJJ JJJ K
+ .
0MB MA+=
K K
,OB OM
JJJK JJJK JJJJK
GB GC =
JK KJJJK K
OB OC OG=
JJJK JJJK JJJK JJJK
+
OA+= với mọi điểm O. 2
5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
JJ JJJ
+
GA++
.
0
+
OA++
với mọi điểm O.
3
6). Tích vô hớng của 2 véc tơ:
(
)
. cos ,ABCD AB CD AB CD=

JJJKJJJK JJJK JJJK JJJKJJJK
.
7). Điều kiện để 2 véc tơ cùng phơng : Véc tơ
a
G
cùng phơng với véc tơ
(0)bb

3

GG
:kRakb =
G
G
.
G
8). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng. ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là:
0:kABkA = C
J
JJK JJJK
.
9). Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc:
.0AB CD AB CD

=
G
JJJK JJJK JJJK JJJK
.
10). Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đờng thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng.

11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hớng 2 véc tơ:
+
()
2
22
1
.
2
ab

a b a b

=+


GG G G G G
+
()
2
22
1
.
2
ab

a b a b

=



GG G G G G
12). Nếu là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :
,,abc
GGG
1112 22
x
aybzcxaybzc++= ++
G
GG G GG
thì:
12
12
12
x
x
yy
zz
=


=


=

.
13). Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1

thì với điểm O bất kì ta có:
1

OA kOB
OM
k

=

JJJK JJJK
J
JJJK
.
14). Trong không gian cho hệ
{
}
,,,OOAOBOD
JJJK JJJKJJJK
. Điểm D
()mp ABC


thì
OD

,( 1; , , )OA OB OC R

=++ ++=
JJJK JJJK JJJK JJJK

b, Các dạng bi tập
*Bi tập hình thnh phơng pháp .
Dạng 1 . Bi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng

(Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10)
VD2: Cho tứ diện ABCD . Các trung tuyến AA
1
và BB
1
của tam giác ABC cắt nhau tại M . Có thể
biểu diễn véc tơ theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây? DM
JJJJK
1).
,,DA DC DB
J
JJK JJJK JJJK

2).
1
,,
1
D
J
AAA BB
JJK JJJK JJJK
.
3).
11
,,
A
BDAAB
J
JJKJJJK JJJJK
.

D
1).
()
1
3
DM DA DB DC=++
JJJJK JJJK JJJK JJJK


2).
11
2
0.
3
DM DA AA BB=+ +
JJJJK JJJK JJJK JJJK



3). Do A
1
B
1
//AB nên 3 véc tơ trên là
đồng phẳng , mặt khác véc tơ
DM
J
JJJK
không đồng
phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy DM

J
JJJK

không biểu diễn đợc theo các véc tơ:
11
,,
A
BDAAB
JJJKJJJK JJJJK


VD3: Cho tứ diện ABCD . Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC .
Hãy biễu diễn
DM
J
JJJK
theo các véc tơ:
,,DA AC CB
J
JJKJJJKJJJK
.
(H.2)
B
1
A
1
M
A
C


B

HD: (Xem hình 2.). M là trọng tâm của tam giác ABC nên:
(
1
3
DM DA DB DC=++
)
J
JJJK JJJK JJJK JJJK
. Vậy để giải quyết bài
toán ta cần biểu diễn theo 3 véc tơ
,DB DC
JJJK JJJK
,,DA AC CB
J
JJKJJJKJJJK
.Ta có:
+
D
BDAACCB=++
JJJK JJJK JJJK JJJK
và
D
CDAAC=+
JJJK JJJK JJJK
Từ đó suy ra:
()
1
32

3
DM DA AC CB=++
J
JJJK JJJKJJJKJJJK
.
Bi tập tự giải:
1).Cho tứ diện ABCD . M và N là trung điểm DB và DC . Hãy phân tích các véc tơ
,, theo ,,
A
MBNMN DADBDC
JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
2). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
a). Hãy phân tích .
theo , ,SD SA SB SC
JJJKJJKJJKJK
JJ
b). Hãy phân tích các véc tơ theo các véc tơ
,,,SA SB SC SD
JJK JJK JJJKJJJK
,,
A
BACSO
J
JJKJJJKJJJK
.
3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD . Gọi O là tâm của hình lập phơng và I là tâm của mặt CDDC . Hãy
phân tích các véc tơ
', theo , ,
A

OAI ABADAA
K JK JK JJK JK
1 1
1
11
;;
JJJ J JJ J JJJ
.
4). Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C .

4
1
a). Đặt
A
CcBAaCBb== =
GG G
KJJJKJJJK
JJJJ
. Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,
A
Aabc
G
GG
J
JJK
.
b). M là trung điểm đoạn B
1

C . Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,
A
MAAABAC
J
JJJK JJJK JJJK JJJK
.
5). Cho tứ diện ABCD . M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số
;
MD NA
m
MB NC
= n=
. Hãy phân
tích véc tơ theo , ,
M
NABDABC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
JJ
.
6). Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm ).
Hãy phân tích véc tơ biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 60
theo , ,SO SA SB SC
JJJKJJKJJKJK
0
.




Dạng 2: Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc .

* Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phơng pháp véc tơ . Nói chung
việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng .
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc
tơ một cách đơn giản nhất.

VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Gọi R
là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) . Chứng minh
rằng AS=2SD.
BG:
A


Chọn hệ
{
}
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở. Ta có:
P là trung điểm AB
1
2
A
PAB
JJJKJJJK
=

Q là trung điểm CD

()
1
2
A
QACAD= +
JJJK JJJK JJJK

R nằm trên BC và BR=2RC
12
33
A
RABA= +
JJJK JJJK JJJK
C

Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng minh :
2
2 hay
3
A
SSD AS AD==
JJJKJJJKJJJKJJJ
(H.3)
B
R
S

P

C


Q
D
K
.
Giả sử
A
SkAD=
JJJKJJJ
K
. Điểm S thuộc mp(PQR) do đó tồn tại
,,
R



sao cho:
(Xem mục A-II-14)
;( 1)AS AP AQ AR

=++ ++=
JJJK JJJK JJJK JJJK
Hay
()
11 12
22 33
kAD AB AC AD AB AC


=+ ++ +



JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
11 12 1
23 23 2
kAD AB AC AD


=+ ++ +


J
JJK JJJK JJJK JJJK

1
11
0
23
12
0
23
1

2
k




++=




+=




+=



=



2
3
k=
(Xem mục A-II-12), suy ra đpcm.
Bình luận : Với chứng minh trên ta nhận thấy pp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm nhũng hình phụ
phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi học hình học không gian.
Ta sẽ xét sang VD khác , để nhận thấy rõ hơn u điểm của phơng pháp véc tơ.
VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh rằng nếu đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ
diện ABCD là đờng vuông góc chung của AB và CD thì AC=BD, AD=BC.
BG:

Giả sử M,N là trung điểm của AB, CD.
Chọn hệ
{

}
,,,AABACAD
J
JJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
A
M là trung điểm của AB
1
2
A
MA=

5
B
J
JJJKJJKJ
.
N là trung điểm CD
1
()
2
A
NADA= +C
J
JJK JJJK JJJK
.

(
1
2

)
M
NANAM ACADAB== +
J
JJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
CD AD AC=
J
JJK JJJK JJJK
.

+ MN vuông góc với AB nên:

()
1
.0 .0
4
MN AB AC AD AB AB
(H.4)
M
N
C

B
D

=
+ =
J
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK

.

2
0 . . (1)AB AC AB AD AB= +
J
JJK JJJK JJJK JJJK JJJK

+ MN vuông góc với CD nên:


()(
1
.0
4
MN CD AC AD AB AD AC
)
0
=
+ =
J
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK


2
2
. . (2)AD AC AB AC AB AD= +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc:
()
2

22
A
DABACBCADB= ==
JJJK JJJK
C
.
Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD. Suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận:
+Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải
quyết bài toán bằng phơng pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản.
+ Bài toán còn có thể giải bằng phơng pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công
thức trung tuyến cũng là một phơng pháp hay.

Bi tập tự giải:

1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình
phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11). Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau . Chứng minh rằng :

'', AB' ', AD' '
A
CBD CD CB
.
3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) .Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc
n
()
,
A
BDM

.
4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c.
a). Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó .
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD.
5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, SB=SD.
Chứng minh rằng :
a). .
()SO mp ABCD
b). .
AC SD
6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11). Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu
AB CD

và thì
AC BD AD BC

.
7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11). Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc . Kẻ
H nằm trên mp(ABC) . Chứng minh :
(OH mp ABC D )
a) H là trực tâm tam giác ABC
b)
222
1111
OH OA OB OC
=++
2
.
8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD =
2a

.
Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AD và BC .
a). Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC).
b).Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB.



*bi tập phân theo các dạng toán giải đợc bằng pp véc tơ.

Một câu hỏi thờng gặp ở học sinh khi dạy phơng pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng nh thế nào thì giải
đợc bằng phơng pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phơng pháp véc tơ là u điểm ? , đờng lối giải quyết nó nh
thế nào ? Thực ra để trả lời đợc câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói
riêng là khó tìm một phơng pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu nh không muốn nói là không thể.
Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ đợc phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể
dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs
khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; đối với
những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song
song ,vuông góc ở mức độ khó hơn.


Dạng 1:
Bi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện.
+ M là trung điểm AB
()
1
2
OM OA OB= +
J
JJJKJJJK JJJK


+G là trọng tâm tam giác ABC
(
)
1
3
OG OA OB OC= ++
JJJG
J
JJK JJJKJJJK

(Với mọi điểm O bất kì trong không gian )

VD6: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của tam giác ABD.

6

HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở
{
}
,',,AAA ABAD
J
JJJK JJJK JJJK

Phân tích bài toán:

7

*Giả thiết:
Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M.

Suy ra:
+
': '
M
AC k R AM k AC =
J
JJJK K
k AA AB AB+
JJJJK JJJJK JJJK JJJK
JJJJ

hay
AM =+
()
'

(' )
'
MmpABD
AM AA AB AD


= + +
J
JJJK JJJJK JJJK JJJK


(
)
,, : 1R


++=


*Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng
C
(H.5)
M
B
D
D
B
A
C
minh:
()
1
'
3
A
MAAABAD=++
J
JJJKJJJJK JJJK JJJK

A
Với việc lập hệ phơng trình và giải quyết tơng tự VD4 , ta suy ra đpcm.

Bi tập tự giải:
1). Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD . Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D qua các điểm A, B, C . Chứng
tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD.

2). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh 2 tam giác ANP và
CMQ có chung trọng tâm.
3). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:

''' 'AA BB CC DD+++ =0
G
JJJ JJJ JJJJK JK JKJJJJK
.
4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A, B, C ,D lần lợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho:

'' ''
''' '
AA BB CC DD
k
AB BC CD DA
=== =
.
Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
5). Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A
1
D
1

; Gọi P
1
,Q ,Q
1
,R
1
theo thứ tự
là giao điểm của các đờ ch ủa c m t (ABCD), (CDDng éo c cá ặ
1
C
1
), (A
1
BB
1
C
1
D
1
),(ADD
1
A
1
).
a). Chứng minh rằng :
111
0PP QQ RR++=
G
JJJK JJJJK JJJK
.

b). Chứng minh hai tam giác PRQ và P
1
R
1
Q
1
có cùng trọng tâm.



Dạng 2: bi tập về các điểm thẳng hng.
Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh:
( , R: 1)AP AM AN

=
++=
J
JJK JJJJK JJJK

trong đó A là điểm bất kì (thông thờng A là gốc của hệ cơ sở).

VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi :

' , ' '
A
PADCQC= = D
;
M là trung điểm BB . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng .



HD:
Chọn hệ
{
}
', ' , ' ' , ' 'AAA aAB bAD c===
GG
JJJJK JJJJJK JJJJJK
G
làm cơ sở.
Phân tích bài toán:
* Giải thiết :
'''2
A
PADAPADAPa= = = d
G
JG
JJJK JJJJK JJJJK


'''''2CQ CD CQ CD AQ b d a= = = +
G
JGG
JJJJK JJJJJK JJJJK

M là trung điểm BB
()
11
''''
22
A

MABABab+ =+=
G
G
JJJJJK JJJJK JJJJJK

* Yêu cầu của bài toán tơng đơng với việc chứng minh:
()
,:' ' ' 1AM AP AQ


J
=+ +=
JJJJK JJJJK JJJJK
.
Thay các đẳng thức trên và giải hệ phơng trình ta đợc
1
2

=
=
.

Bi tập tự giải :
1). Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D

1
. Gọi P là trung điểm của cạnh B
1
C
1
. Đờng thẳng d qua P cắt đờng thẳng AB
tại M và cắt đờng thẳng DD
1
tại N . Chứng minh P là trung điểm của đoạn MN.
2).Cho tứ diện OABC . Gọi M,N ,P lần lợt là các điểm đối xứng với O đối với trung điểm các cạnh tam giác ABC
. Chứng minh rằng , điểm O và trọng tâm các tam giác ABC , MNP thẳng hàng.
3). Cho tứ diện OABC . Gọi P, Q,R lần lợt là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COA . Chứng minh rằng điểm
O và trọng tâm các tam giác ABC, PQR thẳng hàng.
4). Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp cùng nằm trên một
đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le trong tứ diện)
5). Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. P là điểm trên đờng thẳng CC
1
sao cho :
1
3
2
CP

. M là điểm trên đờng
thẳng AD, N là điểm trên đờng thẳng BD
CC=
1
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng . Tính :
M
D
M
A
.


Dạng 3: quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng v mặt phẳng.

VD8. (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC,
SB=SD. Chứng minh rằng:
a). .
()SO mp ABCD
b). .
AC SD
Chọn hệ véc tơ cơ sở:

{
}
,,,OOAOBOS
JJJK JJJKJJJK

S

8


a). Ta có:
SA =

OA OS
JJK JJJKJJJK


(
)
SC OC OS OA OS==+
JJJK JJJK JJJKJJJKJJJK

Theo bài ra : SA=SC


()
(
)
22
22
SA SC OA OS OA OS= =+
JJJKJJJKJJJKJJJK


=.0OAOS OA OS
J
JJKJJJK
.


Tơng tự ta chứng minh đợc :
OB
, suy ra:
OS
()SO mp ABCD

.
b). Ta có :
2
A
CO=
JJJK JJJK
A
K JJJK
; . Do đó:
SD OD OS=
JJJK
JJJ
(
)
.2. 0AD SD OA OD OS AC SD= =
J
JJG JJJG JJJG
J
JJK JJJK
.
O
A
D
C

(H.6)
B

VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) .Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu
, AC
A
BCD BD
thì:
AD BC



HD: Chọn hệ
{
}
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
Ta có:
()
()
.0 0
0
0. .0
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC AD AB AD
AC BD AC AD AB AC AD AC AB

= =


=

= =


JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
(1)
.

Nên: <Theo (1)>đpcm.
()
.0AD BC AD AC AB AD BC==
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK

+ Để chứng minh , ta chứng minh:
AB CD .0AB CD
=
J
JJK JJJK

+ Để chứng minh
()AB


, ta chứng minh AB vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau thuộc mp
()

.

+ Để chứng minh
() ()



, ta chứng minh 1 đờng thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với 2 đờng
thẳng thuộc mặt phẳng kia.

Bi tập tự giải :
1). Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC , vẽ
(
)
D
EABEAB
, biết
. Gọi M là trung điểm DE.
(SE mp ABC )
Chứng minh :
()
A
MmpSEC
.
2).Cho hình lập phơng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1

. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AD và BB
1
. Chứng minh:
1
M
NAC .
3). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC là tam giác cân (AB=AC) . Vẽ , D là trung
điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh :
(SO mp ABC )
()CD mp SOE

.
4). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. M và N là các điểm lần lợt thuộc
các đờng chéo AB và BC. Biết rằng :

32
'' ; '
55
'
A
MABBNB==C
.
Chứng minh rằng :
'
M
NAB
và
'
M
NBC

.
5). Tổng hai góc phẳng của góc tam diện bằng 180
0
. Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của chúng vuông
góc với phân giác của góc phẳng thứ ba.






Dạng 4:
Tính góc giữa hai đờng thẳng.


()
(
)
2
22
.1
,
2
ab ab
ab
cos a b
ab ab


+



==






G
GGG
G
G
GG
GG GG





VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11). Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC .

9
Tính cosin của góc
n
(
)
,
A
BDM

.



10

Chọn hệ véc tơ cơ sở
{
}
,,,
B
BA BC BD
J
JJG
JJJKJJJK
. Ta có:

A

1
2
DM BM BD BC BD==
J
JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
.

Do đó:
()
.
,

AB DM
cos AB DM
DM AB
=
J
JJJG
JJJK
JJJJG
J
JJK
JJJJG
J
JJK


Dễ thấy : AB=a ; DM=
3
2
a


(H.7)
C

B
M
D


22

111

2232
2
1
.
34
A
BDM BA BC BD BDBA BABC a cos a cos a


= = = =


JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK JJJK
. Do đó
()
,cos AB DM =
JJJJG
JJJK
3
0
6
>


n
()
3
,

6
cos AB DM
=
.
Chú ý :
()
(
)
m
(
)
(
)
(
)
m
()
,0 , ,; ,0 , ,c

os ab ab ab cos ab ab ab

> = < =
GG GG GG GG

Bi tập tự giải :
1)( Bài tập3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c.
a). Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD.
2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết
AB=CD=2a và MN= 3a . Tính góc

n
()
,
A
BCD
.
3). Trong hình chóp tam giác ABCD tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau . Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm
O là trọng tâm tam giác ABC , điểm N là trung điểm cạnh AB và điểm K là trung điểm cạnh CD. Tìm góc giữa
các đờng thẳng MO và KN.
4). Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
: BC=a; AC=b ; AB=c; AA
1
=h. Tính cosin của góc:
a). Giữa các đờng chéo AB
1
và BC
1
.
b). Giữa các cạnh AB và các đờng chéo B
1
C.
5)*. Biết các góc phẳng của góc tam diện SABC:
n
n
n

; CSA ; ASBBSC


=
==
. Tính cosin của các góc :
a). Giữa cạnh SC và phân giác góc
n
ASB .
b). Giữa các phân giác góc
n
ASB và .
n
ASC
c). Giữa cạnh SC và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng chứa mặt đối diện.
<HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở
{
}
1112 13
,,,SSA e SB e SC e== =
JG JJGJ
JJJK JJJK JJJK
G
trong đó
123
,,eee
J
GJJGJG
là các véc tơ đơn vị>




Dạng 5: quan hệ song song giữa đờng thẳng v mặt phẳng.

1).Hai đờng thẳng song song.

Để chứng minh đờng thẳng AB//CD ta chứng minh :
(k R)AB kCD
=

J
JJK JJJK

VD11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
BB
1
C
1
. Giả sử M, N, E, F lần lợt là trọng tâm
của các tam giác AA
1
B ,A
1
BB
1
C
1
,ABC , BCC
1

. Chứng minh MN//EF.



Chọn hệ véc tơ cơ sở:
{
}
1
,,,AAA aAB bAC c===
GG
G
J
JJK JJJKJJJK


11

Theo bài ra ta có:

M là trọng tâm tam giác AA
1
BB
1

()
11
1
3
A
MAAAB= +

JJJJK JJJK JJJJK
.
N là trọng tâm tam giác A
1
B
1
C
1

()
11
1
3
1
A
NAAABAC= ++
JJJK JJJK JJJJK JJJJK

E là trọng tâm tam giác ABC
()
1
3
A
EABAC=

+
JJJK JJJK JJJK
F là trọng tâm tam giác BCC
1


()
1
1
3
A
FABACAC=

B
1
N

M

F

E

B

A
1
A

C

C
1
(H.8)

++

JJJK JJJKJJJKJJJJK
=

Ta cần chứng minh :
:kMN kEF
J
JJJK JJJK
.
Thật vậy:
(
)
1
3
M
NANAM ac= = +
GG
JJJJK JJJK JJJJK
;
(
)
1
3
E
Fac
=
+
G
G
JJJK
từ đó suy ra:

MN EF
=

J
JJJK JJJK
MN//EF
2).Đờng thẳng song song với mặt phẳng.

Để chứng minh đờng thẳng d//mp(

) ta lấy trên d một véc tơ
a
G
, và trên (

) hai véc tơ
b,
G
c
G

sau đó chứng minh 3 véc tơ trên đồng phẳng, nghĩa là chứng minh
,:kl R a kb lc

=+
GG
G

VD12. Cho hình hộp ABCD.A
1

BB
1
C
1
D
1
. Giả sử M và N lần lợt là trung điểm các cạnh AA
1
và B
1
C
1
. Chứng
minh rằng MN song song với mặt phẳng (DA
1
C
1
).


Chọn hệ véc tơ cơ sở:


{
}
1
,,,DDA aDC bDD c== =
GG
G
J

JJK JJJK JJJJK



Ta có:
M
NDNDN=
J
JJJKJJJJKJJJJK
(
)
1
2
2
bac=+
J
JG G G
(1)

Ta cần chứng minh :


()
(
)
11
,:
x
yRMNxDC yDA xbc yac


=+=+++
GG GG
J
JJJK JJJJK JJJJK
(2)
D
C
C
1
N
M
B
D
1
A
1
B
1
(H.9)

A
Từ (1) và (2) suy ra : x=1;y=
1
2

. Do đó MN//mp(DA
1
C
1
)

Chú ý: Nếu là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :
,,abc
GGG
1112 22
x
aybzcxaybzc++= ++
G
GG G G G
thì:
12
12
12
x
x
yy
zz
=


=


=

.

3).Hai mặt phẳng song song.

Để chứng minh 2 mặt phẳng (P)//(Q), ta lấy trên (P) 2 véc tơ ,ab
G

G
, và trên (Q) 2 véc
tơ
,
x
y
GJG
. Sau đó chứng minh các bộ 3 véc tơ
(
)
(
)
,, ; ,,axy bxy
G
GJGGGJG
là đồng phẳng.

VD13. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
BB
1
C
1
. Gọi M, N lần lợt là trung điểm AA
1
và CC
1
; G là trọng tâm
của tam giác A
1

B
1
B C
1
. Chứng minh rằng mp(MGC
1
)//mp(AB
1
N).



12


Chọn hệ véc tơ cơ sở:

{
}
1
,,,AAA aAB bAC c===
GG
G
J
JJK JJJKJJJK


Ta cần chứng minh tồn tại x,y,x
1
,y

1
sao cho:


1
1111
M
GxAByAN
M
CxAByAN

=+


=+


J
JJJK JJJJK JJJK
J
JJJK JJJJK JJJK

G
1
M
B
C
A
A
1

C
1
B
1
(H.10)

N



Tính toán ta có:

111 1
233 2
MG abcx yaxbycxy

=++=+ ++==


GGG GGG
JJJJK
1
3
. Tơng tự , suy ra đpcm.
11
0; 1xy= =

Bi tập tự giải :
1).Cho hình hộp ABCD.A
1

B
1
C
1
D
1
. Giả sử E là tâm của mặt ABB
1
A
1
; N, I lần lợt là trung điểm của CC
1
và CD .
Chứng minh EN//AI.
2). Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Giả sử M,N lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABA
1
và ABC . Chứng
minh rằng MN//mp(AA
1
C
1
).
3). Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1

B
1
C
1
. Giả sử M,N,E lần lợt là trung điểm các cạnh BB
1
, CC
1
, AA
1
; G là trọng
tâm tam giác A
1
B
1
C
1
. Chứng minh:
a). mp(MGC
1
)//mp(BA
1
N)
b). mp(A
1
GN)//mp(B
1
CE).
4). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lợt là trung điểm của SA ,SD.
a). Chứng minh: mp(OMN)//(SBC).

b). Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON . Chứng minh : PQ//mp(SBC).






Dạng 6: bốn điểm hay ba véc tơ đồng phẳng.


+ Cho ba véc tơ trong đó
,,abc
GGG
a
G
và
b
G
không cùng phơng. Khi đó ba véc tơ
,,abc
G
GG

đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l sao cho:
ckalb
=
+
G
GG
.

+ Bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực
,


sao cho:
(
)
1 ,OA OB OC OD

=++
JG JJG G
JJJK
JJ J JJJ
điểm O.
VD14. Chứng minh rằng ba véc tơ
,,
x
yz
GJGG
xác định bởi các biểu thức sau đồng phẳng :
; ; 2
x
abycaz abc= = = ++
GGGJGGGG GGG
. Với ,,abc
G
GG
là ba véc tơ cho trớc không đồng phẳng.
HD: Ta có :
()

2
y
xca ab abcz= = ++=
JGG GG GG GGGG
. Suy ra các véc tơ
,,
x
yz
G
JGG
đồng phẳng.
VD15. Cho tứ diện ABCD và các điểm I, K, E, F là các điểm thoả mãn :
JJ
JJ
. Chứng minh rằng: 2 0 ; 2 0 ; 2 3 0 ;2 3 0IB IA K C KD EB EC FA FD+= + = + = + =
G G JJJG JJJG G G G
KJJJKJJJK JJJKJJJK
a). Các véc tơ
,,
B
CIKAD
JJJG JJG JJJG
đồng phẳng.
b). Các véc tơ
,,
B
AEFCD
JJJG JJJG
JJJK
đồng phẳng.

c). Bốn điểm I, E, K, F cùng thuộc một mặt phẳng.
HD: Chọn hệ
{
}
,,,AAB xAC yAD z===
GJGG
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
Theo giả thiết ta có :
22
20
I
33
BIA AI AB x+= = =
GG
JJK JJK JJK JJJK
;
2121
20
3333
KC KD AK AC AD y z+== + =+
J
JJG JJJG G JGG
J
JJK JJJK JJJK
;
23 23
23 0
55 55
E

BEC AE AB AC x+== + =+
GG
y
G
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
J
;

13
33
23 0
55
F
AFD AF AD z+== =
G
G
J
JJK JJJK JJJK JJJK

<Câu a). b). học sinh tự giải .> Ta cần chứng minh tồn tại
,


sao cho:
(
)
1AI AE AK AF

=++
J

JK JJJK JJJK JJJK
(1)
Thay các biểu thức véctơ trên vào (1), ta có :
()
223 21
1
355 33
3
5
x
xy yz


=++++


GGJGJGG
z

G
. áp dụng (A-II-12) ta tìm đợc
,


.
VD16. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N là trung điểm AB và CD ; P, Q là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh
AC, BD sao cho:
PA QB
PC QD
=

. Chứng minh rằng 4 điểm M, N ,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Đặt
:
PA QB AP BQ
k
PC QD AC BD
=
==. Do P, Q thuộc cạnh AC, BD nên:
A

(1)
(2)
AP kAC
BQ kBD
=

=
J
JJK JJJK
JJJK JJJK



Bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng khi
và chỉ khi tồn tại các số thực
,


sao cho:



(
)
1AQ AM AN AP

=++
J
JJK JJJJK JJJK JJJK
.(3)
Biểu diễn các véc tơ
,, ,
A
QAPAMAN
JJJK JJJKJJJJKJJJK
theo cơ sở
rồi thay vào (3) suy ra : đpcm
()
21 ; 2kk

= =
(H.11)
Q
P

M
B
C

N

D


Bi tập tự giải :
1). Cho hình lập phơng ABCD.A
1
B
1
C
1
D . Các điểm M,N lần lợt thuộc các cạnh AD, BB
1
sao cho AM=BN.

14
1
,,
1
Chứng minh rằng ba véc tơ
M
NABBD
J
JJJG
JK K
1
K JKJJJJK
JJJ JJJ
đồng phẳng.
2). Cho hai hình bình hành ABCD và A
1

B
1
C
1
D
1
không cùng thuộc một mặt phẳng . Chứng minh rằng các véc tơ
JJJ JJJ
đồng phẳng.
11
,,BB CC DD
3). Cho tứ diện ABCD . Gọi A,B,C,D lần lợt là các điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo cùng tỉ số k,
tức là :

''' '
''' '
AA BB CC DD
k
AB BC CD DA
=== =
.
Với giá trị nào của k thì 4 điểm A , B, C, D đồng phẳng.
4).(Bài tập 7-Tr60-SGK12) Cho tứ diện ABCD ; P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Hai điểm M,N lần
lợt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên cùng một
mặt phẳng.



Dạng 7: chứng minh đẳng thức độ di, tính độ di đoạn thẳng.


+
(
)
2
22
1
.
2
ab a b a b


=+




G
GGGGG

+
(
)
2
22
1
.
2
ab a b a b



=




G
GGGGG

+
(
)
(
)
22
1
.
4
ab a b a b


=+




G
GGGGG




VD17. Các cạnh AB và CD của tứ tứ diện ABCD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng :

2222
A
CADBCBD=


Chọn hệ véc tơ cơ sở:
{
}
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
. Ta có:
()
2
22
2
2.
B
CACAB BC ACAB AC ACABAB= = = +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK
(1)
()
2
22
2
2.
B
DADAB BD ADAB AD ADABAB= = = +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK

(2)
Từ (1),(2)
(
)
22 22 22 2
22.
2
B
CBDACAD ABADACACAD ABCDACAD=+ =+ =
J
JJK JJJK JJJK JJJK JJJK
,đpcm.
VD18.(Đề thi HSG Tỉnh11).Cho hình chóp SABCD . Đáy ABCD là hình bình hành . Một mặt phẳng (P)
cắt SA, SB,SC,SD theo thứ tự tại K,L,M,N . Chứng minh rằng :
SA SC SB SD
SK SM SL SN
+=+
.


Chọn hệ véc tơ cơ sở:


{
}
,,,SSA aSB bSC c
=
==
G
GG

J
JK JJK JJJK
.
(H.12)
B
A
D
N
K
M
C
S

L



Đặt :
,, ,
SK SL SM SN
.
x
yz
SA SB SC SD
== ==t
G


Từ đó ta có : .
()

,, ,SK xa SL yb SM z b c a SN tc== =+=
GG GGG
JJJK JJK JJJK JJJK
Vì K,L,M,N đồng phẳng nên:
(
)
,, : 1RSM SK SL SN


J
=++ ++=
JJK JJJK JJK JJJK
.
Từ đó suy ra:
()
z
x
xz
z
zb c a xa yb tc y z
y
tz
z
t







=


=



+ = + + = =


=


=


GGG G G G
mà:
1


++=
, nên ta có:
1111
1
zzz
x
yt zxyt
++=+=+
SA SC SB SD

SK SM SL SN
+=+
. đpcm.
Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta biểu diễn véc tơ
A
B
J
JJK
theo cơ sở sau đó tính:
2
AB
J
JJK


VD19. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm cạnh CD, F là trung điểm đờng cao BL của mặt
ABD. Các điểm M,N lần lợt thuộc các đờng thẳng AD và BC. Biết rằng đờng thẳng MN cắt đờng
thẳng EF và MN vuông góc với EF . Tính độ dài đoạn thẳng MN.



Chọn hệ véc tơ cơ sở:
{
}
,,,
B
BA a BC c BD d===
GG G
JJJK JJJK JJJK
J

=
= + +

Theo giả thiết:


()


15





J
JJJKJJJK
JJJKJJJK JJJK JJJK
. 0
, đồn

, ,
g

p
hẳn
g
1 (1)
EF MN EF
E F BE BF BN BM

MN
M N


Vì M,N thuộc BC,AD ta có thể
g
iả sử

+
()
== =+
G
J
JJK JJK K JJK JJJK
; 1
J JJJ J
B
MkBCkcBNlBA lBD
+
(
) ()
=
+=+
J
JJG JJJG G G
J
JJK
11
22
B

EBCBD cd

+
(
)
(
)
=
+= =+
J
JJG JJJGG
(H.13)
D
A
C

B
N
E
F
L
M
G
J
JJKJJJKJJJK
11
22
1
4
B

LBABDBFBLad

+
()
==+
JJJG G G G
JJJJKJJJK
1
M
NBNBMla ldkc
+
==
GG
JJJKJJJKJJJK
111
424
G
E
FBFBE a c d
.



=== =

G
GGGGG
22
1
32

ac ad cd a cos a

*
=
JJJJK JJJK
.0MN EF
()
= =
2
1
4230234
8
akl l k

(2)
* Từ (1) suy ra :
() ()
() ( )


+= ++ + +

GG GG G G G
11
11
24
cd ad la ld kc
() ()



+= =+ =
111 1
0 và 1 và 1
424 2
ll

k





(3). Từ (2) và (3) suy ra:
=12lk
=
=
12
; k
63
l
=+
G
GG
J
JJJK
65
4
M
Na d c


()
=+==
GGG
2
22
65 130
36 5 4
21
2
M
Nadc aMN a
.
Bi tập tự giải :
1).Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c , BC=DA=a, CA=BD=b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các trung
tuyến của tứ diện (đt kẻ từ đỉnh xuống trọng tâm mặt đối diện) AA
1
và CC
1
vuông góc với nhau là: a
2
+c
2
=3b
2
.
2).(Bài tập 5-Tr78-SGK11). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, BC=b, CC=c. Chứng minh rằng
các đờng chéo của hình hộp đó bằng nhau và bằng
+
+
22

abc
2
.
3). Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Gọi P và Q là các điểm xác định bởi: ==
J
JJJG JJJJG
JJJK JJJJK
', ' '
A
PDACQDC.
Tính độ dài PQ .
4). Cho tứ diện ABCD. Các điểm M,N lần lợt là trung điểm các cạnh AB,CD. Các điểm P,Q thuộc các cạnh
AC,BD sao cho:
=
PA
k
P
C
. Biết rằng MN cắt PQ . Tính tỉ số
QB
QD
.
5).(Đề thi HSG Tỉnh 12 năm 1999-2000) . Cho tứ diện SABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lợt lấy các điểm
D,E,F. Biết rằng các mặt phẳng (ABF),(BCD),(ACE) cắt nhau tại M và đờng thẳng SM cắt mặt phẳng (DEF) tại
N, cắt mặt phẳng (ABC) tại P. Chứng minh :
= 3
NP MP
NS MS
.





Dạng 7: khoảng cách.
1). Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng.

Để tính khoảng cách giữa điểm M và đờng thẳng d, ta lấy trên d hai điểm A,B và thực hiện các bớc sau:
JJJJ
+B1: Giả sử N là hình chiếu vuông góc của M trên d
()
. 0

OA 1
, , thẳng hàng
MN AB
MN AB
ON OB
NAB



=




=+




KJJJK
J
JJJKJJJK
JJJK JJJK JJJK
JJJJK
.
+B2: Thực hiện các phép biến đổi về hệ véc tơ cơ sở (gốc O là gốc của hệ cơ sở)
=

?MN
+B3: Tính
2
M
NMN=
JJJJK JJJJK


VD20.(Bài tập 1-Tr85-SGK11). Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng khoảng
cách từ các điểm B, C, D, A, B, D tới đờng chéo AC bằng nhau. Tính khoảng cách đó.




16




Chọn hệ véc tơ cơ sở:




{
}
,,',
B
BA a BB b BC c===
GG
JJJK JJJK JJJK
G


Giả sử H là hình chiếu của B lên AC.
D
D
B
B
A
C

C
A
(H.14)
Suy ra:
''
A
CBCBAbca==+
GGG
JJJJK JJJJKJJJK
.Do

'.'BH AC BH AC 0

=
J
JJK JJJJK


(Chú ý: ). Do đó ta có:
ab ac bc===
GG GG GG
0
()
(
)
(
)
()
2
2
1023
3
abcbcaa


0
+
+ +===

G
GG GGG


Hay
2
2
6
32
.
9 6
3
a
BH a b c BH a BH= = =
GGG
JJJK JJJK
Bình luận: Mặc dù bài tập là không khó , tuy nhiên chúng ta thấy đợc rõ lợi thế của phơng pháp véc tơ là ta
không cần xác định rõ ràng vị trí của điểm H trên hình vẽ.
2). Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Để tính khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng (ABC) nào đó, ta gọi H là hình chiếu của M trên (ABC).
+B1: Suy ra đẳng thức véc tơ dựa vào sự đồng phẳng của: A,B,C,H.(Nếu chọn gốc trùng với A,B,C việc
tính toán sẽ dễ dàng hơn).
+B2: Dựa vào sự vuông góc của MH với mp(ABC) để tìm các yếu tố biểu diễn
H
M
JJJJG
qua cơ sở.
+B3: Tính
2
H
MHM
JJJJG

.
VD21. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a; BC=b; CC=c. Tính khoảng cách từ B tới
mp(DAC).



B
D
C
A
D
C
B
A


(H.15)








Chọn hệ véc tơ:
{
}
,,',
B

BA a BB b BC c===
GG
JJJK JJJK JJJK
G
. Gọi H là hình chiếu của B trên mp(DCA).
Do H, D, C, A đồng phẳng nên:
()
(
)( )
()
'1 ' 1
B
HBDBC BA ac cb a


=+ + =++++
JJJG JJJG JJJJG JJJG G G G G G

0
0
. Lại
có:
+ .
()()
''DC BC BD b c c a b a==++=
JJJJG JJJJG JJJG G G G G G G
+ .
()()
''DA BA BD a b a c b c==++=
JJJJG JJJG JJJG G G G G G G

(Chú ý: ). Do
ab ac bc===
GG GG GG
.'0, BH.'BH DC DA
=
=
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
nên ta có hệ:
() ( )
()
() ( )
()
10
10
ab cba
ab cbc




+++ =




+++ =



GG GGG

GG GGG
()
()
2
22
22 2
22 2

a
ab
ab c
ca b



=

+





=

+

()
22 22
22 22

22 2
ba ab
B
Hab
ab ab
ca b
= + +
++
+
c
J
JJG G G G


()()()
24 42 44
2
22
2
+
22 22 222
ab ab ab
BH
ab ab cab
=++
++
JJJG
(
)
()

22 22 22
22
ab c b c a a b
BH
ca b
++
=
+
.



17

3). Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.

* Chú ý: Điểm M
(
)
:1AB R OM OA OB

= +
J
JJJGJJJG JJJG
.
Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau ta thực hiện các bớc sau:
+B1: Gọi HK là đờng vuông góc chung , biến đổi
H
K
J

JJJG
theo cơ sở.(có chứa tham biến)
+B2: Dựa vào tính chất vuông góc của HK với 2 đờng thẳng thiết lập hệ pt.
+B3: Giải hệ pt, tìm biểu thức véc tơ theo cơ sở của
H
K
J
JJJG
, áp dụng:
2
H
KHK=
JJJJG JJJJG


VD22(Ví dụ 2-Tr84-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông
góc với đáy và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng :
a). SC và BD.
b). AC và SD.
Chọn hệ véc tơ cơ sở:
{
}
,, ,AAS sAD dAB b
=
==
J
JJG G JJJG JG JJJGG

Giả sử HK là đờng vuông góc chung của SC và BD
(

)
, K BDHSC


18

Do
()
()
()
11HSC AH AC AS bd s


= + = ++
J
JJJG JJJG JJJGGJGG


(
)
(
)
11KBD AK AB AD b d


= + =+
J
JJG JJJG JJJG G JG



(
)( )
(
)
11HK AK AH b s d

==+ +
J
JJJG JJJG JJJJGGG GJ

. Lại có:


; BDSC b d s d b
=
+ =
J
JJGGJGG JJJG JGG

Chú ý:
cs .
(H.16)
A
K
H
D
C
B
S


G
0cd sd
=
==
GGJGGJG
.



Do HK là đờng vuông góc chung nên:
.0
.0
HK SC
HK BD

=


=


J
JJJGJJJG
JJJJGJJJG
2
3
1
2




=





=


(
)
62HK b s d=++
J
JJJGGGJG

2
2
6
36 6
6
a
HK a HK
==
JJJJG
.
Tơng tự hs giải câu b).

Bi tập tự giải :
1). Giải các bài tập (2->8)-Tr86-SGK11.

2).Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , AC=a; BC=b,
SA=h. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AC và SB.
a). Tính độ dài MN.
b). Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h để MN là đờng vuông góc chung của AC và SB.
3). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD=2a và có
cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA= 6a .
a). Tính các khoảng cách từ A và B đến mp(SCD).
b). Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).


Dạng 7: Góc giữa đờng thẳng ,mặt phẳng v mặt phẳng.
1).Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.




19
a M trên (P)

+B1: Gọi N là hình chiếu củ
JJJ
+B2: Biểu diễn các véc tơ :
JGJJJGGG
,,,
A
MANab theo cơ sở
+B3:


J

JJJG G JJJJGG
;
M
NaMNb, suy ra các đẳng thức véc tơ
+B4: Tìm góc
(
)
J
JJJGJJJG
,
A
MAN. Kết luận
M

VD23.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
: BC=a, AC=b, AB=c, AA
1
=h . Tính cosin góc giữa

G
P)
b
M
A
N

G
a

B
1
A
1
C
1
C

B
A