LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn






DẠNG 2. PP ĐẶT ẨN PHỤ
 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1.
7
3
1
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
2.
5
20
2

4
( 4)
I x x dx
= −
∫
3.
1
15 8
3
0
1 3
I x x dx
= +
∫

4.
4
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
5.
3
2
5

1
ln
ln 1
e
x
I dx
x x
=
+
∫
6.
2
2
5
2
2
1
1
x
I dx
x x
−
−
+
=
+
∫

H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1. Đặ
t
2
3
2 2 3
2 3
2 3
1 1
1
xdx t dt
x t x t
x t

=

+ = ⇔ + = ⇒

= −



Đổ
i c
ậ
n :

2
7 7 2 2
3 2 3 2 5 2
4
1
3 32 2
0 0 1 1
1
0 1
. 3 ( 1) 3 3 3 141
( )
2 2 10 4 20
7 2
1 1
x t
x dx x xdx t t t t
I dt t t dt
t
x t
x x
=
⇒
=

 
−

→ = = = = − = − =

 

=
⇒
=

+ +
 

∫ ∫ ∫ ∫

2. Đặ
t
4
4
dx dt
x t
x t
=

− =
⇒

= +


Đổ
i c
ậ
n :
1
5 1 1 1

22 21
20 20 21 20
2
4 0 0 0
0
4 0
4 109
( 4) ( 4) 4
5 1
22 21 462
x t
t t
I x x dx t t dt t dt t dt
x t
=
⇒
=
 

→ = − = + = + = + =

 
=
⇒
=

 
∫ ∫ ∫ ∫

3. Đặ

t
7 7
8 8 2
2
8
24 2
12
1 3 1 3
1
3
tdt
x dx tdt x dx
x t x t
t
x

= ⇒ =


+ = ⇔ + = ⇒

−

=



Đổ
i c
ậ

n :
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =


= ⇒ =


2
1 2 2 2
2 5 3
15 8 8 8 7 4 2
3
0 1 1 1
1
1 ( 1) 1 1 29
1 3 1 3 . . . ( ) .
12 3 36 36 5 3 270
t t t
I x x dx x x x dx t tdt t t dt
 
−
→ = + = + = = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫


4.
4
1 1
1 3ln ln
1 3ln ln (ln )
e e
x x
I dx x xd x
x
+
= = +
∫ ∫

Đặ
t
2
2
3 (ln ) 2
1 3ln 1 3ln
1
ln
3
d x tdt
x t x t
t
x
=


+ = ⇔ + = ⇒


−
=



Đổ
i c
ậ
n :
2
2 2
2 5 3
4 2
4
1 1 1
1
1 1
1 2 2 2 2 116
1 3ln ln (ln ) . . ( ) .
3 2
3 3 9 45 27 135
e
x t
t t t
I x xd x t tdt t t dt
x t
= ⇒ =
 


−
→ = + = = − = − =

 
= ⇒ =

 
∫ ∫ ∫

5.
3 3
2 2
5
1 1
ln ln
(ln )
ln 1 ln 1
e e
x x
I dx d x
x x x
= =
+ +
∫ ∫

Đặ
t
2
2
(ln ) 2

1 ln 1 ln
ln 1
d x tdt
x t x t
x t
=

+ = ⇔ + = ⇒

= −


Tài liệu bài giảng:

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Đổi cận :
3
2
2 2
2 2 2 5 3
4 2
5
3
1 1 1
1
1 1
ln ( 1) 2 2 76

(ln ) 2 ( 2 1) 2 .
5 3 15
2
ln 1
e
x t
x t t t t
I d x dt t t dt t
t
x e t
x
= ⇒ =

 
−
→ = = = − + = − + =

 
= ⇒ =
+
 

∫ ∫ ∫

6. Đặ
t
2 2 2
2 2
1 1
1

xdx tdt
x t x t
x t
=

+ = ⇔ + = ⇒

= −


Đổ
i c
ậ
n :
2 3 3 3
2 2 2
6
2 2 2
2
2
5 5 5
2 5
1 1 1 1
1
1 1 1
2 3
1
x t
x t t
I dx dt dt dt

t t t
x t
x x
−
−

= − ⇒ =
+ − +

 
→ = = = = +

 
− − −
 
= − ⇒ =
+


∫ ∫ ∫ ∫

5
3 3 3
5 5 5
5
1 1 1 1 1 3 1 5 1
ln 3 5 ln ln
2 1 2 1 2 1 2
3 1 5 1
dt dt t

dt t
t t t
 
 
− − −
= + − = + = − + −
 
 
 
− + +
+ +
 
 
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
1.
( )
( )
2
2 2
3
2
1
0 0
0
2 2 8
2 2 4 2 2 1
3 3
2 2

xdx
I x dx x x
x x
 
 
= = + − = + − + = −
 
 
+ +
 
 
∫ ∫

2.
3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1
( 7) ( 1) ( 1)
1 6 1
1 ( 1) 6
7 7 7 7
x x dx x dx
x x dx x dx
I x d x
x x x x
− − −
− −
= = + = − − −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



( )
3
3
2
2 2
1
2 4 2
1 6 6
3 3
x I I
′ ′
= − − = −
với
3
2
1
( 1)
7
x dx
I
x
−
′
=
−
∫

Để tính

3
2
1
( 1)
7
x dx
I
x
−
′
=
−
∫
ta đặt
2
1 1
x t x t
− = ⇒ = +

( )
2
2 2
2
2
2 2
0 0
0
2 6 6
2 1 2 3ln 2 2 3ln(2 3)
6 6

6
t dt t
I dt t
t t
t
 
−
 
′
⇒ = = + = + = + −
 
 
 
− −
+
 
 
∫ ∫

Do đó:
2
32 2
48ln(2 3)
3
I = − −

3.
6
3
2

1
2 1 4 1
I dx
x x
=
+ + +
∫

Đổi biến
2
4 1 4 1 2
t x t x tdt dx
= +
⇒ = + ⇒ =

( )
5
5 5 5
3
2 2
3 3 3
3
( 1) ( 1) 1 1 3
ln 1 ln
2 1 ( 1) ( 1) 1 12 2
 
+ +
 
⇒ = = − = + + = − +
 

 
+ + + + +
 
 
∫ ∫ ∫
tdt d t d t
I t
t t t t t

4.
10
4
5
2 2 1
2
ln
1
=
− −
= +
∫
dx
I
x x
(đổi biến
1
t x
= −
)
5.

1
8 3
5
0
1
= −
∫
I x x

Đổi biến
3 2 3 2
1 1 2 3
t x t x tdt x dx
= − ⇒ = − ⇒ = −

( ) ( )
1
0 1
6 5 3
2
2 2 6 4 2
5
1 0
0
2 2 2 2
1 2
3 3 3 7 5 3
 
⇒ = − − = − + = − + =
 

 
∫ ∫
t t t
I t t dt t t t dt

6.
1
6
0
3 2
.
2 1 1
+
=
+ +
∫
x
I dx
x
(đổi biến
2 1 1
t x
= + +
)
7.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2

2 2 2
2
1 1 3
2 2 2
7
3
1 1 1
2
2 4 2 3
1
2 2 3 2
2 2
2
− −
+ − + +
−
 
= = = + − + + +
 
+ +
 
+
∫ ∫ ∫
x x
x
I dx dx x x x dx
x x
x




( ) ( ) ( )
2
3 1 1
2 2 2
1
2 5
2 2 2 6 2 2 3
3 3
x x x
−
 
= + − + − + = −
 
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
8.
( )
2
3
2 2 3
7 5 3
1
2
5 2 2 2
8
0 1
1

2
1 1
7 5 3
= +
 
= + = − = − + =
 
 
∫ ∫
t x
t t t
I x x dx t t dt

9.
( ) ( )
1 1 1
2
9
0 0 0
1
1 1
1 1 1
 
= = = − + −
 
− − −
 
∫ ∫ ∫
x x
x x x

x x x
e e
I dx d e e d e
e e e


( ) ( )
( )
1
3 1
2 2
0
2 2
1 2 1 1 2
3 3
x x
e e e e
 
= − + − = − +
 
 

10.
( )
ln3
10
3
0
1
=

+
∫
x
x
e
I dx
e
. Đặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
= + ⇒ = + ⇒ =

2
2 2
10
3 2
2
2 2
2 2 2
2 1
⇒ = = = − = −
∫ ∫
tdt dt
I
t t t

11.
11

1
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫
e
x
I dx
x x

Đặt
2
1
2ln 1 2ln 1
t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + ⇒ =
( )
2
2 2
2 3
2
11
1 1
1
4 10 2 11
4 4
3 3 3

 
−
⇒ = = − = − = −
 
 
∫ ∫
t t
I tdt t dt t
t

12.

4
12
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
∫
x
I dx
x

Đặ
t
( ) ( )
2
1 2 1 1 2 1 1

t x t x dx t dt
= + + ⇒ − = + ⇒ = −
( )
4
4 4
2
12
2 2
2
1 1
1 2 2 ln 2 ln 2
2
 
−
 
⇒ = − = − + = − + = +
 
 
 
 
∫ ∫
t t
I t dt t dt t t
t t

13.
( ) ( )
1 1 1
3 2
2 2 2

13
2 2
0 0 0
1 1
4
2 2
4 4
 
= − = + −
 
− −
 
∫ ∫ ∫
x x
x x
I xe dx xd e d x
x x


4
1
4
3
2 2
2
2
3
0
3
2 2

1 1 4 1 1 1 2
8
2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 32 61
6 3 3 3
4 2 3 4 12
x
x
e t e
xe dt t t
t
e e
 
   
−
= − − = + − −
 
   
   
 
+
 
= − − = + −
 
 
∫

Ví dụ 3:
Tính các tích phân sau:


a)
2
1
2
x x dx
+
∫
b)
3
0
3 4
4
x
dx
x
−
−
∫
c)
3
3
4
3 4
4
x
dx
x
−
−
−

∫

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
b)
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
c)
3
3 2
0
1

x x dx
+
∫


Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
a)
7
3
3
0
1
3 1
+
+
∫
x
dx
x
b)
2
3
0
8 4
xdx
−
∫
c)
1
2

0
1
x x dx
+
∫

Ví dụ 6:
Tính các tích phân sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
a)
1
0
1
3 2
dx
x
−
∫
b)
5
1
2
2 1
−
∫
x x dx
c)
2
2

0
4
x x dx
−
∫

Ví dụ 7: Tính các tích phân sau:
a)
2
32 3
0
8
x x dx
−
∫
b)
2
2
3 3
0
1
x
dx
x+
∫
c)
4
2
0
9

x x dx
+
∫


Ví dụ 8: Tính các tích phân sau:
a)
4
0
1
1
dx
x
+
∫
b)
1
0
1
1
dx
x
+
∫
c)
( )
2
3
0
1

1
x
dx
x
−
+
∫

Ví dụ 9:
Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
32
5
2
4xx
dx
b)
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
c)
∫
−

+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx

Ví dụ 10: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
2
1
3
1xx
dx
b)
2
2
1
2013
+
∫
x dx
6.
2
2
1

2013
+
∫
dx
x

Ví dụ 11: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
1
0
22
1 dxxx
b)
∫
−
1
0
32
)1( dxx
c)
∫
+
+
3
1
22
2
1

1
dx
xx
x

Ví dụ 12: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
b)
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
c)
∫
−
2

2
0
32
)1( x
dx

Ví dụ 13: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
+++
1
1
2
11 xx
dx
b)
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
c)
∫
+
e
dx

x
xx
1
lnln31

Ví dụ 14: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
b)
∫
−
++
0
1
3
2
)1( dxxex
x
c)
3

2
2
0
cos2
2 3 tan
cos
cos
π
+
∫
x
x
x
dx
x

Ví dụ 15: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
b)
∫

+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
c)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx