GIẢNG DẠY BÀI TOÁN CHỨNG MINH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH BẰNG
NHAU NHƯ THẾ NÀO?
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
- Chúng ta đã biết toán học được phát sinh, phát triển do nhu cầu thực
tiễn của con người từ việc đo đạc tính toán vì vậy các kiến thức toán học có ý
nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tiễn, nó được áp dụng rộng rãi trong đời
sống sinh hoạt của con người, không những thế các kiến thức toán học còn là
phương tiện cho nhiều ngành khoa học khác phát triển.
- Đặc biệt thể loại toán chứng minh diện tích các hình bằng nhau có rất
nhiều ứng dụng cụ thể trong đời sống nó giúp ta xác định được:
+Cần bao nhiêu viên gạch men có kích hức cụ thể để lát kín một nền nhà có diện
tích xác định.
+ Hoặc muốn xây một căn nhà có diện tích sử dụng cho trước cần bao nhiêu m
2
đất
- Do tính thực tiễn của nó nên kỹ năng giải baì toán chứng minh diện tích
các hình bằng nhau là một trong những yêu cầu không thể thiếu đối với tất cả
học sinh nói chung và học sinh THCS nói riêng. Chính vì thế mà ta đã ,suy
nghĩ , tìm tòi và trăn trở rất nhiều để tìm ra cách chứng minh diện tích các hình
bằng nhau một cách có hiệu quả nhất, phát huy hết khả năng quan sát, nhận biết
và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập thuộc thể loại nói trên.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
1
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.

Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài
toán
2
PHẦN II. NỘI DUNG
*)Thông thường để hướng dẫn học chứng minh diện tích các hình bằng nhau tôi
thường định hướng cho các em lợi dụng một số đơn vị kiến thức sau:
(1) Tính chất diện tích tam giác.
(2) Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì diện tích
bằng nhau.
(3) Diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành có đáy và
chiều cao bằng đáy và chiều cao của tam giác.
(4) Tỷ số diện tích của hai tam giác có chiều cao bằng nhau bằng tỷ số hai đáy
của hai tam giác đó.
(5) Ba đường trung bình của tam giác chia tam giác ấy thành bốn tam giác nhỏ

bằng nhau và diện tích mỗi tam giác tạo nên bởi một đường trung bình cắt hai
cạnh chỉ bằng một phần tư diện tích tam giác cũ.
*) Để sử dụng được các đơn vị kiến thức trên khi tiến hành làm bài, học sinh
phải :
+ Đọc kỹ đầu bài.
+ Vẽ hình.
+ Quan sát hình vẽ, suy xét vấn đề.
+ Bằng lượng kiến thức về diện tích đa giác, kết hợp với các dữ kiện bài cho,
các em phân tích, suy luận phát hiện ra tất cả các dữ kiện mới, những vấn đề
mới có được từ giả thiết hoặc từ tính chất của hình vẽ
+ Song song với việc tìm tòi của học sinh, giáo viên còn phải dẫn dắt định
hướng cho học sinh đưa được bài toán về dạng áp dụng được các kiến thức liên
quan đến diện tích.
Trong các quá trình tiến hành nói trên suy xét vấn đề để định hướng các làm là
mấu chốt để giải quyết vấn đề. Vì vậy tôi xin được đưa ra một số ví dụ thể hiện
quá trình suy xét như sau:
3
*)Các ví dụ cụ thể:
(1) Lợi dụng các tam giác có đáy và chiều cao bằng nhau.
" Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì có diện tích
bằng nhau" được ứng dụng nhiều trong trường hợp như hình (a).
( Hai tam giác có cạnh đáy chung, đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường
thẳng song song với đáy).
Trường hợp như các hình (b) và (c), (có đỉnh chung và hai đáy bằng nhau cùng
nằm trên một đường thẳng), và hình (d) gồm cả đặc điểm của hai loại trên, thì ít
ứng dụng đến.

(a) (b) ( c) (d)
GT ∆ABC, qua A, B , C dựng AD // BE // CF cắt cạnh đối
diện hoặc cạnh kéo dài tại D, E, F


KL SDEF = 2 SABC
E
4
F
A

B D C
Suy xét:
∆DEF có thể chia làm 3 phần: một là ∆ADE, hai là ∆ADF , ba là ∆AEF, tam
giác ADE và tam giác ADB có đáy chung và chiều cao bằng nhau nên
SADE = SADB (1) ,(S là diện tích )
Tương tự SADF = SADC (2)
Cộng (1) và (2) thì sẽ bằng diện tích của ∆ABC.
Ta chỉ cần chứng minh thêm: SAEF = SABC
Nhìn vào hình vẽ ta thấy SCFE = SCFB
Đem hai vế của đẳng thức này trừ đi SCFA, rồi đem cộng với (1) và (2) ta sẽ
chứng minh được kết luận.
(2) Lợi dụng hình bình hành và tam giác có đáy và chiều cao bằng nhau.
ứng dụng "Diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành có
đáy và chiều cao bằng đáy và chiều cao của tam giác" cũng có thể chứng minh
diện tích các hình bằng nhau.
5
VD2: (Dùng diện tích để chứng minh định lý Pi ta go)
GT ∆ABC, ( A = 90
o
) dựng các hình vuông ABDE, BCFG
và CAH K ra phía ngoài của ∆ABC
KL S ABDE + S CAHK = S BCFG
E


D H
A

K
B C
A D
Suy xét:
6
Nối C với D thì hình vuông BADE và tam giác BCD có BD là đáy chung, AB
bằng đường cao của tam giác nên:
S

ABDE = 2 S ∆

BCD (1)
Nối thêm AG, ta sẽ chứng minh được ∆

BCD = ∆

BGA, tam giác bằng nhau thì
diện tích của chúng cũng bằng nhau
+ Ta dựng thêm ALM vuông góc với BC
Tương tự như (1) ta có:
S

BLMG = 2 S

BGA (2)
so sánh (1) và (2) ta thấy:

SABDE = SBLMG
và ta cũng có thể dùng cùng mọt phương pháp chứng minh
SACKH = SCLMF
(3) lợi dụng tỷ số của hai tam giác có chiều cao bằng nhau:
Vì "Tỷ số diện tích của hai tam giác có chiều cao bằng nhau bằng tỷ số hai đáy
của hai tam giác đó" cho nên nếu có BE : EC = m : n thì có
S

ABE : SAEC = m : n
VD3:
GT ∆ABC, ∆EBC, AD =⅓AB , E thuộc BC, BE = ⅓BC
F thuộc AC, CF = ⅓CA

KL S DEF =

⅓S

ABC
A

7
D

F
B C
E
Suy xét:
Giữa ∆DEF và ∆ABC Không kiên quan trực tiếp với nhau nên phải tìm một tam
giác khác làm trung gian.
+ Muốn chứng minh: S DEF =


⅓S

ABC
Thì ta CM: S BED + S CFE + S ADF =⅔ S

ABC
+ Ta quan sát: ∆BED và ∆ABC, để so sánh ta nối AE và dùng ∆ABE làm trung
gian vì hai tam giác trước đều có chiều cao bằng chiều cao của ∆ABE
* CM cụ thể:
Nối AE, ta đã biết BE = 1/3 BC
Mà BE và Bc là hai đáy của ∆ABE và ∆ABC có chiều cao bằng nhau
Từ định lý nên ở (3) ta có: S ABE =

⅓ S

ABC
Mặt khác : BD = ⅔

AB nên S BED =

⅔ S

ABE
= 2/3 . 1/3 S

ABC
= 2/9 S

ABC

CM tương tự ta cũng có:
SCFE =

2/9 SABC ; S ADF =

2/9 SABC
Lấy SABC lần lượt trừ đi diện tích ba tam giác trên ta được:
SDEF = (1 - 3 . 2/9) S ABC = ⅓ S ABC
8
(4) Lợi dụng đường trung bình của tam giác
Ba đường trung bình của tam giác chia tam giác ấy thành bốn tam giác nhỏ bằng
nhau, và diện tích mỗi tam giác tạo nên bởi một đường trung bình cắt hai cạnh
chỉ bằng một phần tư diện tích tam giác cũ. Mối liên hệ này cũng thường được
ứng dụng trong khi chứng minh.
VD 4:
GT Tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AC,BD;
MO//DB, NO//AC, nối trung điểm của 4 cạnh là E, F, G, H
với O

KL OE; OF; OG; OH chia tứ giác ABCD thành 4 phần có diện
tích bằng nhau
A
D
E

M

N

O



B C
Suy xét:
Nối MF; MG thì:
S OFC = 1/4 SABC
9
SMGC = 1/4 SADC
Cộng từng vế của hai đẳng thức ta được : S MFCD = 1/4 SABDC
Muốn chứng minh : SOFCG = 1/4 S ABDC Ta chỉ cần chứng minh:
SMFCG = S OFCG là được .
Hai tứ giác này có tam giác FCG chung nên chỉ cần chứng minh thêm SMFG =
SOFG vì FG//BD//OM
Nên hai tam giác này có cùng một chiều cao, lại có đáy chung. Do đó diện tích
của chúng bằng nhau
10
PHẦN III/ KẾT QUẢ
Qua những năm công tác giảng dạy khi gặp thể loaị bài tập chứng minh
diện tích các hình bằng nhau tôi đã kiên trì làm theo phương pháp đã nêu tôi
nhận thấy:
+ 80% học sinh biết suy xét nhận ra những hình có cùng diện tích . Từ đó rút ra
kết luận đối với những bài tập ở mức độ đơn giản.
+ 60% học sinh làm được bài tập chứng minh diện tích các hình bằng nhau
thông qua một hình trung gian.
* Tóm lại: Khoảng 60% - 70% học sinh biết quan sát, suy xét làm bài tập chứng
minh diện tích các hình bằng nhau.
11
PHẦN IV. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện
cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học
12
nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo
viên đã áp dụng trong chuyên đề này.

2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
- Cần có biện pháp trang bị đồ dùng trực quan phục vụ cho công tác giảng
dạy
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung. - Cần có biện pháp trang bị đồ dùng trực quan phục vụ cho công tác
giảng dạy
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con



13