[Type text]

Chương năm: Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính
Giống như các bộ lọc tín hiệu tương tự, bộ lọc số là mạch thực hiện chức năng chọn lọc tín hiệu theo tần số. Các mạch lọc số cho tín hiệu số
có phổ nằm trong một dải tần số nhất định đi qua và không cho các tín hiệu có phổ nằm ngoài dải tần số đó đi qua.
Dải tần số mà mạch lọc cho tín hiệu đi qua được gọi là dải thông, còn dải tần số mà mạch lọc không cho tín hiệu đi qua được gọi là dải chặn.
Tần số phân cách giữa dải thông và dải chặn là tần số cắt và được ký hiệu là
ω
c
. Theo dạng của đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
), người ta chia các bộ
lọc số thành các loại :
- Bộ lọc thông thấp, có dải thông
),( 0
c
ωω
∈
.
- Bộ lọc thông cao, có dải thông
),( ∞∈
c
ωω
.
- Bộ lọc dải thông, có dải thông
),(
21 cc
ωωω
∈
.

- Bộ lọc dải chặn, có dải thông
),(
1
0
c
ωω
∈
và
),(
2
∞∈
c
ωω
.
Theo dạng của đặc tính xung h(n), người ta phân biệt các bộ lọc số :
- Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)
- Bộ lọc số có đặc tính xung vô hạn (bộ lọc số IIR)
Chương năm trình bầy các phương pháp phân tích và tổng hợp các bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn, pha tuyến tính (gọi vắn tắt là bộ lọc số
FIR pha tuyến tính).
5.1 các bộ lọc số lý tưởng
Bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số dạng chữ nhật :



∈
∈
=
chÆnid¶Khi
th«ng id¶Khi
ω

ω
e
j
H
0
1
)(
ω
[5.1-1]
Trên thực tế không thể xây dựng được bộ lọc số có đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
) như vậy, tuy nhiên các bộ lọc
số lý tưởng là cơ sở để phân tích và tổng hợp các bộ lọc số thực tế.
ở chương ba chúng ta đã biết rằng, đặc tính tần số H(e
j
ω
) của hệ xử lý số là hàm tuần hoàn của biến
ω
với chu kỳ
2
π
, hơn nữa đặc tính biên độ tần số H(e
j
ω
) là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Vì thế, chỉ cần nghiên cứu đặc tính
tần số của các bộ lọc số lý tưởng trong một chu kỳ tần số
ω

∈

[ -
π
,
π
], hoặc trong nửa chu kỳ
ω

∈
[ 0 ,
π
]. Dưới đây sẽ
trình bầy về đặc tính tần số và đặc tính xung của các bộ lọc số lý tưởng thuộc các loại thông thấp, thông cao, dải thông ,
và dải chặn.
5.1.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng
5.1.1a Định nghĩa : Bộ lọc thông thấp lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω
∈ [-π , π ] như sau :



∈−−∈
−∈
=
][][0
][1
)(
ππ
ω
,ωωω,ωKhi
ω,ωωKhi

e
cc
cc
j
lp
H
vµ
[5.1-2]
Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng ở hình 5.1.

)(
ω
j
lp
eH

ω
-
π
-
ω
c
0
ω
c

π
Hình 5.1 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng.
5.1.1b Các tham số thực của bộ lọc thông thấp lý tưởng
- Tần số cắt : f

c
- Dải thông : f
∈
[ 0 , f
c
]
- Dải chặn : f
∈
[f
c
,
∞
]
Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f < f
c
đi qua, chặn không cho tín hiệu số
trong dải tần f > f
c
đi qua.
5.1.1c Đặc tính xung h
lp
(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng
Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính
αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của nó có dạng :






∈−−∈
−∈
=
−
][][
][
)(
0
ππ
αω
ω
,ωωω,ωKhi
ω,ωωKhie
e
cc
cc
j
j
lp
H
vµ
[5.1-3]
Đặc tính xung h
lp
(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
195
1
[Type text]


[ ]
∫
−
==
π
π
ωωω
ω
π
deeeIFTnh
njj
lp
j
lplp
HH
)()()(
2
1
c
c
c
c
njnjj
lp
e
nj
deenh
ω
ω
αω

ω
ω
ωαω
α
ω
ππ
−
−
−
−
−
==
∫
)(
)(
)(
1
2
1
2
1
)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(
αω
αωω
α
αω

ππ
−
−
=
−
−
=
n
n
n
n
nh
c
ccc
lp
[5.1-4]
Theo [5.1-4], bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính có đặc tính xung h
lp
(n) dạng hàm sin giảm dần về 0 khi n
→ ± ∞ . Tại n = 0 có :
ππ
ω
αω
αωω
c
c
cc
n
lp
n

lp
n
n
LimnhLimh
=






−
−
==
→→
)(
)](sin[
)()(
00
0
Đặc tính xung h
lp
(n) đạt cực đại tại n = 0 , và
0)( =nh
lp
tại các điểm
c
kn
ωπ
=

, với k là số nguyên.
Ví dụ 5.1 : Hãy xác định và vẽ đồ thị đặc tính xung h
lp
(n) của bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không [
0)( =
ωθ
], có tần
số cắt
3
π
ω
=
c
.
Giải : Đặc tính xung của bộ lọc thông thấp pha không lý tưởng :
π
π
.
)sin(
)(
3
n
n
nh
lp
=
Theo công thức trên lập được bảng 5.1 :
Bảng 5.1
n
0

± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7
± 8
h
lp
(n)
0,33 0,28 0,14 0 -0,07 -0,05 0 0,04
0,03
Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung h
lp
(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không với
3
π
ω
=
c
trên hình 5.2.


-9 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 6 9
Hình 5.2 : h
lp
(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không với
3
π
ω
=
c
.
Nhận xét : Đặc tính xung h
lp

(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng là dãy chẵn, đối xứng qua trục tung, có độ dài vô
hạn và không nhân quả, nên không thể thực hiện được trên thực tế.
5.1.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng
5.1.2a Định nghĩa : Bộ lọc thông cao lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω
∈ [-π , π ] như sau :



−∈
∈−−∈
=
][0
][][1
)(
cc
cc
j
hp
ω,ωωKhi
,ωωω,Khi
e
H
ππ
ω
ω
vµ
[5.1-5]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng ở hình 5.3.


)(
ω
j
hp
eH

ω
-
π
-
ω
c
0
ω
c

π
Hình 5.3 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng.
5.1.2b Các tham số thực của bộ lọc thông cao lý tưởng
- Tần số cắt : f
c
- Dải thông : f
∈
[f
c
,
∞
]
- Dải chặn : f
∈

[ 0 , f
c
]
196
...
...
0,33
h
lp
(n)
0,280,28
0,14
-0,07
0,14
-0,07
0,040,04
n
1
[Type text]

Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f > f
c
đi qua, chặn không cho tín hiệu trong
dải tần f < f
c
đi qua.
5.1.2c Đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng
Xét bộ lọc thông cao lý tưởng pha tuyến tính

αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của nó có dạng :





−∈
∈−−∈
=
−
][0
][][
)(
cc
cc
j
j
hp
ω,ωωKhi
,ωωω,ωKhie
e
H
ππ
αω
ω
vµ
[5.1-6]
Vì dải thông và dải chặn của bộ lọc thông cao ngược với bộ lọc thông thấp, nên có thể biểu diễn H

hp
(e
j
ω
) qua
H
lp
(e
j
ω
) như sau :
)()(
1
ωω
j
lp
j
hp
ee
HH
−=
[5.1-7]
Theo [5.1-7] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc thông cao từ đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp có cùng
tần số cắt.
Đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
[ ] [ ]
∫
−

−==
π
π
ωωω
ω
π
deeeIFTnh
njj
lp
j
hphp
HH
.)()()(
1
2
1
∫ ∫
− −
−
−=
π
π
ω
ω
ωαωω
ωω
ππ
c
c
deedenh

njjnj
hp
2
1
2
1
)(
c
c
njnj
hp
e
nj
e
jn
nh
ω
ω
αω
π
π
ω
α
ππ
−
−
−
−
−=
)(

)(
)(
1
2
11
2
1
)(
)](sin[
).sin(
)(
.
α
αω
ππ
π
−
−
−=
n
n
n
n
nh
c
hp

Hay :
)(
)](sin[

).sin(
)(
.
αω
αωω
ππ
π
−
−
−=
n
n
n
n
nh
c
cc
hp
[5.1-8]
Vì :
)(
.
).sin(
.
).sin(
00
01
n
n
n

nKhi
nKhi
n
n
δ
π
π
π
π
=⇒



≠
=
=
Nên có thể viết lại [5.1-8] dưới dạng :
)(
)](sin[
)(
)sin(
)()(
.
αω
αωω
δ
ω
δ
ππ
−

−
−=−=
n
n
n
n
n
nnh
c
ccc
hp
[5.1-9]
So sánh [5.1-9] với [5.1-4], có thể biểu diễn đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc thông cao qua đặc tính xung h
lp
(n) của
bộ lọc thông thấp :
)()()( nhnnh
lphp
−=
δ
[5.1-10]
Theo [5.1-10] có thể tìm được đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc thông cao từ đặc tính xung h
lp
(n) của bộ lọc thông
thấp có cùng tần số cắt
ω

c
.
Đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng là dãy chẵn, đối xứng qua trục tung và đạt cực đại tại n = 0.
Khi tần số cắt
N
c
π
ω
=
thì đặc tính xung h
hp
(kN) = 0 tại các điểm n = kN, với k là số nguyên.
Ví dụ 5.2 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung h
hp
(n) của bộ lọc số thông cao lý tưởng pha không có tần số cắt
3
π
ω
=
c
.
Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc thông cao pha không lý tưởng :
π
π
δδ
.
)sin(
)()()()(

3
n
n
nnhnnh
lphp
−=−=
Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.1 lập được bảng 5.2 :
Bảng 5.2
n
0
± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7
± 8
h
lp
(n)
0,33 0,28 0,14 0 -0,07 -0,05 0 0,04
0,03
h
hp
(n)
0,77 -0,28 -0,14 0 0,07 0,05 0 -0,04
-0,03
Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không với
3
π
ω
=
c

trên hình 5.4.

197
h
hp
(n)
0,77
-0,28
-0,14-0,14
-0,28
0,070,07
0,050,05
n
... ...
-0,04-0,04
[Type text]


-9 -6 -5 -4 -3 0 3 4 5 6 9
Hình 5.4 : Đặc tính xung của bộ lọc thông cao lý tưởng với
3
π
ω
=
c
.
Nhận xét : Theo [5.1-9] , bộ lọc thông cao lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế không thể thực hiện
được trên thực tế.
5.1.3 Bộ lọc dải thông lý tưởng
5.1.3a Định nghĩa : Bộ lọc dải thông lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω


∈
[-
π
,
π
] như sau :



∈−−∈
=
n.trªngkho¶c¸cngoµin»m
vµ
ωKhi
ω,ωωω,ωωKhi
e
cccc
j
bp
H
0
][][1
)(
2121
ω
[5.1-11]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng ở hình 5.5.

)(
ω

j
bp
eH

ω
-
π
-
ω
c
1
-
ω
c
2
0
ω
c
1

ω
c
2

π
Hình 5.5 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng.
5.1.3b Các tham số thực của bộ lọc dải thông lý tưởng
- Tần số cắt : f
c1
, f

c2

- Dải thông : f
∈
[f
c1
, f
c2
]
- Dải chặn : f
∈
[ 0 , f
c1
] và [f
c2
,
∞
]
Bộ lọc dải thông lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f
c1
< f > f
c2
đi qua, chặn không cho tín hiệu
ngoài dải tần đó đi qua.
5.1.3c Đặc tính xung h
bp
(n) của bộ lọc dải thông
Xét bộ lọc dải thông lý tưởng có pha tuyến tính
αωωθ
−=)(

, đặc tính tần số của nó có dạng :





∈−−∈
=
−
n.trªngkho¶c¸cngoµin»m
vµ
ωKhi
ω,ωωω,ωωKhie
e
cccc
j
j
bp
H
0
][][
)(
2121
αω
ω
[5.1-12]
Có thể biểu diễn H
bp
(e
j

ω
) qua đặc tính tần số H
lp1
(e
j
ω
) và H
lp2
(e
j
ω
) của các bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt
ω
c1
và
ω
c2
tương ứng :
)()()(
12
ωωω
j
lp
j
lp
j
bp
eee
HHH
−=

[5.1-13]
Theo [5.1-13] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt
ω
c1
và
ω
c2
, từ đặc tính tần số của
hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt
ω
c1
và
ω
c2
tương ứng.
Đặc tính xung h
bp
(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
[ ] [ ]
∫
−
−==
π
π
ωωωω
ω
π
deeeeIFTnh
njj
lp

j
lp
j
bpbp
HHH
.)()()()(
12
2
1
∫∫
−
−
−
−
−=
1
1
2
2
2
1
2
1
)(
c
c
c
c
deedeenh
njjnjj

bp
ω
ω
ωαω
ω
ω
ωαω
ωω
ππ
198
1
[Type text]

)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(
..
12
α
αω
α
αω
ππ
−
−
−
−
−

=
n
n
n
n
nh
cc
bp
[5.1-14]
)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(
1
11
2
22
αω
αωω
αω
αωω
ππ
−
−
−
−
−
=
n

n
n
n
nh
c
cc
c
cc
bp
[5.1-15]
Hay :
)()()(
12
nhnhnh
lplpbp
−=
[5.1-16]
Theo [5.1-16] có thể tìm được đặc tính xung h
bp
(n) của bộ lọc dải thông theo đặc tính xung h
lp1
(n) và h
lp2
(n) của các
bộ lọc thông thấp có tần số cắt
ω
c1
và
ω
c2

tương ứng.
Ví dụ 5.3 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung h
bp
(n) của bộ lọc số dải thông lý tưởng pha không có các tần số cắt
3
1
π
ω
=
c
và
2
2
π
ω
=
c
.
Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc dải thông pha không lý tưởng :
π
π
π
π
.
)sin(
.
)sin(
)()()(
32
12

n
n
n
n
nhnhnh
lplpbp
−=−=
Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.1 lập được bảng 5.3 :
Bảng 5.3
n
0
± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7
± 8
h
lp2
(n)
0,50 0,32 0 -0,11 0 0,06 0 -0,04
0
h
lp1
(n)
0,33 0,28 0,14 0 -0,07 -0,05 0 0,04
0,03
h
bp
(n)
0,17 0,04 -0,14 -0,11 0,07 0,01 0 -0,08
-0.03
Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc dải thông lý tưởng với
3

1
π
ω
=
c
và
2
2
π
ω
=
c
trên hình 5.6.
Hình 5.6 : Đặc tính xung của bộ lọc dải thông lý tưởng.
Nhận xét : Bộ lọc dải thông lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế nó không thể thực hiện được trên
thực tế.
5.1.4 Bộ lọc dải chặn lý tưởng
5.1.4a Định nghĩa : Bộ lọc dải chặn lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω

∈
[-
π
,
π
] như sau :



∈−−∈

=
ntrªngkho¶c¸cthuéckh«ng
vµ
ωKhi
ω,ωωω,ωωKhi
e
cccc
j
bs
H
1
0
][][
)(
2121
ω
[5.1-17]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng ở hình 5.7.
5.1.4b Các tham số thực của bộ lọc dải chặn lý tưởng
- Tần số cắt : f
c1
, f
c2
- Dải thông : f
∈
[ 0 , f
c1
] và [f
c2
,

∞
]
- Dải chặn : f
∈
[f
c1
, f
c2
]
Bộ lọc dải chặn lý tưởng chặn không cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f
c1
< f > f
c2
đi qua, cho tín hiệu số
ngoài dải tần đó đi qua.

)(
ω
j
bp
eH

ω
-
π
-
ω
c
1
-

ω
c
2
0
ω
c
1

ω
c
2

π
Hình 5.7 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng.
5.1.4c Đặc tính xung h
bs
(n) của bộ lọc dải chặn lý tưởng
Xét bộ lọc dải chặn lý tưởng pha tuyến tính
αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của nó có dạng :
199
-0,14-0,14
h
bp
(n)
0,17
0,040,04
0,070,07
-0,11-0,11 -0,08-0,08

-0,03-0,03
n
... ...
1