ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

























L
L

Ê
Ê


M
M
Ạ
Ạ
N
N
H
H


C
C
Ử
Ử
U
U













MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN
TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



















THÁI NGUYÊN - 2014




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






















L
L
Ê
Ê



M
M
Ạ
Ạ
N
N
H
H


C
C
Ử
Ử
U
U







MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN
TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số : 60.46.01.04





LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC


HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

















THÁI NGUYÊN - 2014

Mục lục
Lời mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Giải nội xạ tối tiểu và chiều nội xạ . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Môđun chính tắc 16
2.1 Môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến . . . . . . 26
3 Vành Gorenstein 33
3.1 Vành Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm một biến . . . . 39
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
i
Lời mở đầu
Vành Gorenstein là một cấu trúc quan trọng trong đại số giao hoán
và hình học đại số. Lớp các vành này có quan hệ chặt chẽ với vành chính
quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay theo sơ đồ
Chính quy ⇒ giao đầy đủ ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay.
Grothendieck là người đầu tiên đưa ra định nghĩa và nghiên cứu về
vành Gorenstein, còn tên Gorenstein được đặt theo tên của nhà toán học
Daniel Gorenstein (1923 - 1992) do công trình của ông về đối ngẫu trên
các đường cong đại số. Vành Gorenstein được nhiều nhà toán học nghiên
cứu, có thể kể đến các công trình của Macaulay, Serre, Grothendieck hay
Bass. Trong đó, Bass là một trong những người có đóng góp nhiều nhất
trong việc nghiên cứu vành này, các định nghĩa vành Gorenstein trong
các tài liệu hiện nay hầu hết là của ông (xem thêm trong bài báo [4] của
Huneke). Có nhiều cách để định nghĩa vành Gorenstein, trong đó tiêu biểu
là thông qua tính hữu hạn của chiều nội xạ. Trong luận văn, chúng tôi
chọn cách định nghĩa thông qua môđun chính tắc bởi nó có liên hệ chặt
chẽ với lý thuyết đối ngẫu trên phạm trù các môđun.
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về môđun

chính tắc và vành Gorenstein địa phương trong trường hợp chiều dương
dựa theo tài liệu [3] của D. Eisenbud và [5] của H. Matsumura. Trường
hợp chiều 0 được xét trong luận văn của Vũ Thị Duyên [2].
Luận văn chia làm ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày
một số kiến thức cơ sở về giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ và môđun
1
Cohen-Maccaulay. Đây là những công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa
và chứng minh ở hai chương sau.
Chương 2 được dành để trình bày về môđun chính tắc trên vành
Cohen-Macaulay địa phương. Chương 2 chia làm hai phần. Tiết 1 của
chương, chúng tôi trình bày về môđun chính tắc trên vành Cohen-Macaulay
địa phương. Kết quả chính của tiết này là Định lý 2.1.7. Định lý này trình
bày điều kiện cần và đủ để một môđun hữu hạn sinh trên một vành
Cohen-Macaulay địa phương là môđun chính tắc thông qua độ sâu, chiều
nội xạ và cấu trúc vành các tự đồng cấu. Tiết sau của chương, chúng tôi
xét môđun chính tắc trên vành nửa nhóm một biến. Định lý 2.2.6 cho
phép ta mô tả môđun chính tắc của vành nửa nhóm bất kỳ một cách cụ
thể.
Chương cuối của luận văn, chúng tôi trình bày về vành Gorenstein
địa phương. Tiết đầu của chương này, sau khi định nghĩa vành Gorenstein
qua môđun chính tắc, chúng tôi trình bày đặc trưng Gorenstein của một
vành địa phương thông qua chiều nội xạ và tính triệt tiêu của các môđun
Ext. Đây nằm trong những đặc trưng quan trọng nhất của vành Goren-
stein. Tiết 2 của chương, chúng ta trở lại với vành nửa nhóm một biến.
Dựa vào các mô tả môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến trong
chương 2, chúng tôi chứng minh một đặc trưng tính chất Gorenstein của
vành này thông qua tính chất tổ hợp của nửa nhóm tương ứng (Định lý
3.2.1). Dựa vào đặc trưng đó, chúng tôi đưa ra một số ví dụ cụ thể vành
nửa nhóm Gorenstein.
Vì điều kiện thời gian nên luận văn vẫn còn những thiếu sót. Tác

giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô, các bạn học viên, độc giả quan
2
tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.
Đoàn Trung Cường, Viện Toán học. Thầy đã dành rất nhiều thời gian và
công sức giúp tôi hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi cũng xin cảm ơn TS. Trần Nguyên An, PGS.
TS. Lê Thanh Nhàn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi nắm những kiến thức
cơ sở. Tôi xin cảm ơn các thầy cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa
Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014
Tác giả luận văn
Lê Mạnh Cửu
Xác nhận của khoa Toán Xác nhận của người hướng dẫn
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính
chất cơ bản về giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, dãy chính quy, độ sâu
và môđun Cohen-Macaulay phục vụ cho việc tìm hiểu môđun chính tắc
và vành Gorenstein sẽ được trình bày ở hai chương sau. Trong đó quan
trọng nhất là Mệnh đề 1.1.9 cho ta cách xây dựng giải nội xạ tối tiểu của
môđun M/xM trên vành A/(x) khi biết giải nội xạ tối tiểu của môđun
M trên vành A. Kết quả này được sử dụng thường xuyên trong các chứng
minh bằng phương pháp quy nạp.
1.1 Giải nội xạ tối tiểu và chiều nội xạ
Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn xét vành là giao hoán và có
đơn vị. Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940.
Từ đó tới nay lớp môđun này đã trở thành công cụ quan trọng của đại

số, trong đó có đại số giao hoán.
4
Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành giao hoán, một A−môđun E là
nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N → M giữa các A−môđun và một đồng
cấu g : N → E, luôn tồn tại một đồng cấu h : M → E sao cho g = h ◦ f.
Một tính chất cơ bản của môđun nội xạ là tính chất nội xạ được
bảo toàn khi địa phương hóa tại một iđêan nguyên tố bất kì của vành. Và
đó là nội dung của mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.2. Cho A là một vành Noether, M là một A−môđun
hữu hạn sinh và p là iđêan nguyên tố của A. Khi đó Hom
A
(M, N)
p
∼
=
Hom
A
p
(M
p
, N
p
), như là các A
p
−môđun. Hệ quả là, nếu I là một A−môđun
nội xạ thì I
p
là một A
p
−môđun nội xạ.

Chứng minh. Vì M là A−môđun hữu hạn sinh nên ta có một toàn cấu
ϕ : A
r
→ M, khi đó Ker ϕ cũng là A−môđun hữu hạn sinh nên tồn tại
một toàn cấu ψ : A
s
→ Ker ϕ. Do đó dãy
A
s
ψ
−→ A
r
ϕ
−→ M → 0 (1)
là khớp. Địa phương hóa dãy khớp trên tại iđêan nguyên tố p ta được dãy
khớp
A
s
p
ψ
−→ A
r
p
ϕ
−→ M
p
→ 0, (2)
trong đó ψ và ϕ là hai đồng cấu cảm sinh tương ứng của ψ và ϕ. Hơn
nữa, ta được biểu đồ sau là giao hoán
A

s
ϕ
//

A
r
ψ
//

M
//

0
A
s
p
ϕ
//
A
r
p
ψ
//
M
p
//
0
Tác động hàm tử Hom
A
(−, N) vào (1) ta được dãy khớp

0 → Hom
A
(M, N) → Hom
A
(A
r
, N) → Hom
A
(A
s
, N).
5
Địa phương hóa dãy khớp trên tại p ta được dãy khớp
0 → Hom
A
(M, N)
p
→ Hom
A
(A
r
, N)
p
→ Hom
A
(A
s
, N)
p
.

Tác động hàm tử Hom
A
p
(−, N
p
) vào (2) ta được dãy khớp
0 → Hom
A
p
(M
p
, N
p
) → Hom
A
p
(A
r
p
, N
p
) → Hom
A
p
(A
s
p
, N
p
).

Ta được một biểu đồ giao hoán với các dòng là khớp
0 −→
0 −→
Hom
A
(M, N)
p


f
1
Hom
A
p
(M
p
, N
p
)
ϕ
1
−−→
ϕ
3
−−→
Hom
A
(A
r
, N)

p


f
2
Hom
A
p
(A
r
p
, N
p
)
ϕ
2
−−→
ϕ
4
−−→
Hom
A
(A
s
, N)
p


f
3

Hom
A
p
(A
s
p
, N
p
),
trong đó ϕ
1
và ϕ
2
cảm sinh bởi ψ và ϕ, ϕ
3
và ϕ
4
cảm sinh bởi ψ và
ϕ, f
2
và f
3
là các đẳng cấu. Ta sẽ chứng minh f
1
là đẳng cấu. Giả sử
x ∈ Hom
A
(M, N)
p
mà f

1
(x) = 0. Suy ra f
2
(ϕ
1
(x)) = ϕ
3
(f
1
(x)) = ϕ
3
(0) =
0. Do đó ϕ
1
(x) ∈ Ker(f
2
) = 0 nên x = 0. Suy ra f
1
là đơn cấu. Tiếp
theo, ta chứng minh f
1
là toàn cấu. Giả sử y ∈ Hom
A
p
(M
p
, N
p
). Suy ra
ϕ

3
(y) ∈ Ker(ϕ
4
), nên tồn tại z ∈ Hom
A
(A
r
, N)
p
sao cho f
2
(z) = ϕ
3
(y).
Suy ra z ∈ Im ϕ
1
, nên tồn tại x ∈ Hom
A
(M, N)
p
mà ϕ
1
(x) = z. Ta có
ϕ
3
(f
1
(x)) = f
2
(ϕ

1
(x)) = f
2
(z) = ϕ
3
(y). Vì ϕ
3
là đơn cấu nên f
1
(x) = y.
Do đó f
1
là toàn cấu. Vậy Hom
A
(M, N)
p
∼
=
Hom
A
p
(M
p
, N
p
).
Nếu I là A−môđun nội xạ thì hàm tử Hom
A
(−, I) từ phạm trù các
A−môđun hữu hạn sinh tới phạm trù các A−môđun là hàm tử khớp. Do

đó Hom
A
(−, I)
p
từ phạm trù các A
p
−môđun hữu hạn sinh tới phạm trù
các A
p
−môđun là hàm tử khớp. Do đó Hom
A
p
(−, I
p
) là khớp và I
p
là một
A
p
−môđun nội xạ.
Ứng với mỗi môđun có một môđun nội xạ rất quan trọng là bao nội
6
xạ của môđun đó. Khái niệm này được trình bày ở phần tiếp theo cho
phép ta xây dựng giải nội xạ tối tiểu của một môđun.
Định nghĩa 1.1.3. Cho M là một A−môđun không tầm thường trên
vành giao hoán A. Một A−môđun nội xạ E được gọi là bao nội xạ của
M nếu M ⊆ E là môđun con và với mỗi môđun con khác không N của
E luôn có N ∩ M = 0. Ta kí hiệu bao nội xạ của M là E(M).
Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một A−môđun không tầm thường trên
vành giao hoán A. Một giải nội xạ của A− môđun M là một dãy khớp

0 → M → E
0
→ E
1
→ E
2
→ , trong đó các E
i
là nội xạ, với mọi i ≥ 0.
Tiếp theo là định nghĩa về giải nội xạ tối tiểu, một công cụ quan
trọng để nghiên cứu về môđun chính tắc.
Định nghĩa 1.1.5. Cho M là một môđun trên vành giao hoán A. Một
giải nội xạ của M
0 → M → E
0
→ E
1
→
là giải nội xạ tối tiểu nếu với mỗi n > 0, ta đặt M
n
= Coker(E
n−1
→ E
n
)
thì E
n+1
∼
=
E(M

n
) và ánh xạ E
n
→ E
n+1
là hợp thành của hai ánh xạ tự
nhiên
E
n
→ M
n
→ E
n+1
= E(M
n
).
Ngoài định nghĩa trên, giải nội xạ tối tiểu còn có một cách định
tương đương khác như sau.
Bổ đề 1.1.6. Cho M là một môđun trên vành giao hoán A. Một dãy
A−môđun nội xạ
E
•
: E
0
→ E
1
→ → E
n
→ E
n+1

→
7
là giải nội xạ tối tiểu của M khi và chỉ khi M
∼
=
Ker(E
0
→ E
1
), E
•
là khớp
tại tất cả các mắt trừ E
0
và mỗi E
n
là bao nội xạ của Ker(E
n
→ E
n+1
).
Chứng minh. Hai cách định nghĩa về giải nội xạ tối tiểu như trên là tương
đương nhau. Thật vậy, giả sử
E
•
: 0 → E
0
→ E
1
→

là một giải nội xạ của M. Ta có M
∼
=
Ker(E
0
→ E
1
) và E
•
là khớp
tại tất cả các mắt trừ E
0
. Do đó, ta chỉ cần chứng minh mỗi E
n
là bao
nội xạ của Ker(E
n
→ E
n+1
). Ta có E
n
∼
=
E(Coker(E
n−2
→ E
n−1
))
∼
=

E(E
n−1
/ Ker(E
n−1
→ E
n
))
∼
=
E(Im(E
n−1
→ E
n
))
∼
=
E(Ker(E
n
→ E
n+1
)).
Ngược lại, nếu E
•
là khớp tại tất cả các mắt trừ tại E
0
và M
∼
=
Ker(E
0

→
E
1
) thì
E
•
: 0 → M → E
0
→ E
1
→ → E
n
→
là khớp, và ta chỉ cần chứng minh E
n
∼
=
E(Coker(E
n−2
→ E
n−1
)). Giả sử
E
•
:
d
n−2
−−→ E
n−1
d

n−1
−−→ E
n
d
n
−→ E
n+1
→ ,
ta có
E
n
= E(Ker(d
n
))
∼
=
E(Im d
i−1
)
∼
=
E(E
n+1
/Ker d
n−1
)
∼
=
E(E
n−1

/Im d
n−2
)
∼
=
E(Coker d
n−2
).
Định nghĩa 1.1.7. Cho M là một môđun trên vành giao hoán A và
0 → M → E
0
→ E
1
→ → E
n
→ 0 (1) là một giải nội xạ của M. Khi
đó, số n được gọi là độ dài giải nội xạ (1) của M. Nếu giải nội xạ trên là
một dãy vô hạn thì độ dài giải nội xạ (1) của M là ∞.
8
Định nghĩa 1.1.8. Chiều nội xạ của A−môđun M là độ dài của giải nội
xạ tối tiểu của M. Kí hiệu chiều nội xạ của A−môđun M là inj. dim
A
M.
Như vậy, inj. dim
A
M = ∞ nếu mọi giải nội xạ của A−môđun M đều có
độ dài là vô hạn.
Vì môđun chính tắc của một vành có chiều lớn hơn 0 được định
nghĩa một cách quy nạp theo chiều của vành nên các tính chất và đặc
trưng của nó cũng được nghiên cứu theo quy nạp. Giải nội xạ tối tiểu,

chiều nội xạ, môđun Ext là những công cụ để nghiên cứu môđun chính
tắc nên việc nghiên cứu quan hệ giữa các đối tượng trên vành A và trên
vành A/(x) là hết sức cần thiết. Định lý sau đây cho ta cách xây dựng
giải nội xạ của môđun M/xM trên A/(x) dựa trên giải nội xạ của môđun
M trên A. Từ đó cho ta những kết quả quan trọng về chiều nội xạ và
môđun Ext của hai môđun M và M/xM. Có thể nói đây là định lý quan
trọng nhất của Chương 1.
Mệnh đề 1.1.9. Giả sử
E
•
: E
0
d
0
−→ E
1
d
1
−→ E
2
d
2
−→ → E
n
d
n
−→ E
n+1
→
là một giải nội xạ tối tiểu của A−môđun M. Xét một phần tử x ∈ A là

chính quy đồng thời trên A và trên M. Đặt E

i
= Hom
A
(A/(x), E
i
). Khi
đó dãy
E

•
: E

1
→ E

2
→ → E

n
→
là một giải nội xạ tối tiểu của môđun M/xM trên vành A/(x), với các ánh
xạ là cảm sinh từ E
•
. Do đó inj. dim
A/(x)
(M/xM) = inj. dim
A
M − 1. Nếu

N là A−môđun triệt tiêu bởi x thì Ext
j
A/(x)
(N, M/xM)
∼
=
Ext
j+1
A
(N, M),
với mọi j ≥ 0.
9
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh E

•
là giải nội xạ của M/xM trên
A/(x). Tác động hàm tử Hom
A
(A/(x), −) vào dãy E
•
, ta được
Hom
A
(A/(x), E
•
) : E

0
→ E


1
→ E

2
→ → E

n
→ .
Vì E
0
= E(M) và M không chứa môđun con nào triệt tiêu bởi x, nên
E

0
= Hom
A
(A/(x), E
0
) = (0 :
E
0
x) = 0. Do đó E

•
= Hom
A
(A/(x), E
•
). Vì
dãy

0 → A
x
−→ A → A/(x) → 0
là khớp, nên ta có dãy khớp dài
0 → Hom
A
(A/(x), M) → Hom
A
(A, M) → Hom
A
(A, M)
→ Ext
1
A
(A/(x), M) → Ext
1
A
(A, M) → . (1)
Vì Hom
A
(A/(x), M)
∼
=
(0 :
M
x) = 0, Ext
i
A
(A, M) = 0, với mọi i và
Hom

A
(A, M)
∼
=
M nên (1) trở thành
0 → M
x
−→ M → Ext
1
A
(A/(x), M) → 0.
Dẫn đến Ext
1
A
(A/(x), M)
∼
=
M/xM và Ext
i
A
(A/(x), M) = 0, với mọi
i ≥ 2. Từ giải nội xạ của A−môđun M, ta có hai dãy khớp
0 → M → E
0
→ Im d
0
→ 0 (2)
và
0 → Im d
0

→ E
1
→ E
2
→ . (3)
Vì (2) là khớp nên ta có dãy khớp dài
0 → Hom
A
(A/(x), M) → Hom
A
(A/(x), E
0
) → Hom
A
(A/(x), Im d
0
)
→ Ext
1
A
(A/(x), M) → Ext
1
A
(A/(x), E
0
) → Ext
1
A
(A/(x), Im d
0

) → .
10
Hay dãy sau là khớp
0 → Hom
A
(A/(x), Im d
0
) → Ext
1
A
(A/(x), M) → 0.
Suy ra
Ext
1
A
(A/(x), M)
∼
=
Hom
A
(A/(x), Im d
0
))
∼
=
M/xM.
Khi tác động hàm tử Hom
A
(A/(x), −) vào (3) ta được dãy khớp
0 → Hom

A
(A/(x), Im d
0
) → Hom
A
(A/(x), E
1
) → ,
hay dãy sau là khớp
0 → M/xM → E

1
→ → E

n
→ .
Vậy E

•
là giải nội xạ của M/xM.
Tiếp theo ta chứng minh E

•
là tối tiểu. Giả sử d
n
: E
n
→ E
n+1
là

đồng cấu trong giải nội xạ E
•
, khi đó d
n
: E

n
→ E

n+1
là đồng cấu cảm
sinh từ d
n
. Vì vậy với mọi môđun con N khác không của môđun E

n
, ta
có
0 = N ∩ Ker d
n
= N ∩ E

n
∩ Ker d
n
= N ∩ Ker d
n
.
Hơn nữa E
n

là nội xạ nên E

n
là nội xạ với mọi n. Vậy E

•
là giải nội xạ
tối tiểu của M/xM trên A/(x). Do đó
inj. dim
A/(x)
(M/xM) = inj. dim
A
(M) − 1.
Nếu N là A−môđun triệt tiêu bởi x. Khi đó mọi đồng cấu từ N → E
i
có ảnh triệt tiêu bởi x, suy ra Hom
A
(N, E
•
)
∼
=
Hom
A/x
(N, E

•
). Ta lại có
Hom
A

(N, Hom
A
(A/(x), E
i
)
∼
=
Hom
A
(N ⊗ A/(x), E
i
)
11
∼
=
Hom
A
(N/xN, E
i
) = Hom
A
(N, E
i
).
Suy ra Hom
A
(N, E

•
)

∼
=
Hom
A
(N, E
•
) nên
Hom
A
(N, E
•
)
∼
=
Hom
A
(N, E

•
)
∼
=
Hom
A/(x)
(N, E

•
).
Vậy Ext
j

A/(x)
(N, M/xM)
∼
=
Ext
j+1
A
(N, M).
1.2 Môđun Cohen-Macaulay
Môđun Cohen-Macaulay là một lớp môđun có nhiều tính chất đẹp và
là lớp môđun rất quan trọng trong đại số giao hoán. Mỗi vành Gorenstein
là một vành Cohen-Macaulay. Để định nghĩa lớp môđun này ta cần một
số khái niệm về dãy chính quy và độ sâu của môđun trên một vành.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành giao hoán và M là một A−môđun
hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x
1
, x
2
, , x
d
của vành A gọi là dãy
chính quy của M (còn gọi là M−dãy), nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) (x
1
, x
2
, , x
d
)M = M.
(ii) Với mọi i = 1, , d thì x

i
/∈ ZD(M/(x
1
, x
2
, , x
i−1
)M). Trong
đó ZD(M) = {a ∈ A| ∃ 0 = x ∈ M, a.x = 0}.
Xét (A, m, k) là một vành Noether địa phương và M là một A−môđun
hữu hạn sinh. Một M−dãy x
1
, x
2
, , x
d
được gọi là M−dãy cực đại nếu
không có thêm phần tử y ∈ m nào để x
1
, x
2
, , x
d
, y là M−dãy. Số phần
tử của hai M−dãy cực đại luôn bằng nhau và số này được gọi là độ sâu
của môđun M, kí hiệu là depth
A
M hoặc depth M nếu vành A đã rõ.
Độ sâu của môđun được đặc trưng qua sự triệt tiêu của các môđun
Ext như sau.

12
Mệnh đề 1.2.2. Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh trên vành địa
phương (A, m, k). Khi đó
(i) depth(M/x
1
M) = depth M − 1, với x
1
là một phần tử M−chính
quy.
(ii) depth M = inf

i| Ext
i
A
(A/m, M) = 0

.
Chứng minh. (i) Giả sử x
1
, x
2
, , x
n
là M− dãy cực đại thì ảnh x
2
, , x
n
∈
m là M/x
1

M−dãy cực đại. Do đó depth(M/x
1
M) = depth M − 1.
(ii) Ta chứng minh quy nạp theo depth M. Nếu depth M = 0, suy ra M
không có phần tử nào là chính quy. Do đó (0 :
M
x) = 0 với mọi x ∈ m.
Từ đây suy ra Hom
A
(A/m, M)
∼
=
(0 :
M
m) = 0 hay
inf

i| Ext
i
A
(A/m, M) = 0

= 0 = depth M.
Nếu depth M > 0, ta chọn một phần tử x ∈ m là M−chính quy. Theo giả
thiết quy nạp
depth(M/xM) = inf

i| Ext
i
A/(x)

(A/m, M/xM) = 0

.
Mà theo Mệnh đề 1.1.9 thì Ext
i
A/(x)
(A/m, M/xM)
∼
=
Ext
i+1
A
(A, M), nên
depth(M/xM) = inf

i| Ext
i
A
(A/m, M) = 0

− 1.
Vậy depth M = inf

i| Ext
i
A
(A/m, M) = 0

.
Định nghĩa 1.2.3. Cho (A, m, k) là một vành Noether địa phương và

M là một A−môđun hữu hạn sinh. M được gọi là A−môđun Cohen-
Macaulay nếu M = 0 hoặc depth M = dim M . Nếu A bản thân nó là
môđun Cohen-Macaulay thì ta nói (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay
địa phương.
13
Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có ngay đặc trưng sau đây của môđun Cohen-
Macaulay.
Hệ quả 1.2.4. Cho (A, m, k) là một vành Noether địa phương và M là
một A−môđun hữu hạn sinh chiều n. M là A−môđun Cohen-Macaulay
khi và chỉ khi Ext
i
A
(k, M) = 0 với mọi i < n và Ext
n
A
(k, M) = 0.
Ta kết thúc tiết này với ba bổ đề về sự triệt tiêu của môđun Ext.
Các bổ đề này rất hữu ích để chứng minh một số đặc trưng của vành
Gorenstein qua tính hữu hạn của chiều nội xạ.
Bổ đề 1.2.5. Cho A là một vành giao hoán, M là một A−môđun hữu
hạn sinh và n là một số nguyên dương. Khi đó inj. dim M ≤ n khi và chỉ
khi Ext
n+1
A
(A/I, M) = 0, với mọi iđêan I. Nếu A là một vành Noether ta
chỉ cần giả thiết I là iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Điều kiện cần của định lý có được bằng cách tính trực
tiếp môđun Ext dựa vào giải nội xạ tối tiểu của M. Chiều ngược lại
ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Giả sử n = 0, từ dãy khớp 0 →
I → A → A/I → 0 và Ext

1
A
(A/I, M) = 0, ta có dãy Hom
A
(A, M) →
Hom
A
(I, M) → 0 là khớp với mọi iđêan I, do đó M là A−môđun nội
xạ. Nếu n > 0, tồn tại dãy khớp 0 → M → Q
0
→ Q
1
→ →
Q
n−1
→ C → 0 với Q
i
là nội xạ và C = Coker(Q
n−2
→ Q
n−1
). Ta có
Ext
n+1
A
(A/I, M)
∼
=
Ext
1

A
(A/I, C) = 0. Theo trường hợp n = 0 thì C là
nội xạ. Suy ra inj. dim M = n.
Nếu A là một vành Noether thì bất kỳ một A−môđun hữu hạn sinh
N luôn có dãy 0 = N
r
⊂ ⊂ N
1
⊂ N
0
= N các môđun con thỏa mãn
N
j
/N
j+1
∼
=
A/p
j
với p
j
∈ Spec A. Nếu Ext
i
A
(A/p, M) = 0 với mọi iđêan
14
nguyên tố p. Suy ra Ext
i
A
(N, M) = 0 với mọi A−môđun hữu hạn sinh N.

Ta áp dụng cho i = n +1 và N = A/I thì được điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.2.6. Cho (A, m, k) là một vành Noether địa phương, M là một
A−môđun hữu hạn sinh và p ∈ Spec A. Giả sử ht(m/p) = 1. Khi đó nếu
Ext
i+1
A
(k, M) = 0 thì Ext
i
A
(A/p, M) = 0.
Chứng minh. Chọn x ∈ m\p, khi đó ta có dãy 0 → A/p
x
−→ A/p →
A/(p + Ax) → 0 là khớp. Do ht(m/p) = 1 và rad(p + Ax) là giao của
tất cả các iđêan nguyên tố chứa p + Ax nên p + Ax là m−nguyên sơ.
Vì vậy, nếu đặt N = A/(p + Ax) thì tồn tại dãy các môđun con của N
là 0 = N
r
⊂ N
r−1
⊂ ⊂ N
1
⊂ N
0
= N sao cho N
i
/N
i+1
∼
=

k. Do
đó từ giả thiết Ext
i+1
A
(k, M) = 0, ta có Ext
i+1
A
(A/(p + Ax), M) = 0 và
dãy Ext
i
A
(A/p, M)
x
−→ Ext
i
A
(A/p, M) → 0 là khớp. Theo bổ đề Nakayama
Ext
i
A
(A/p, M) = 0.
Bổ đề 1.2.7. Cho (A, m, k) là một vành Noether địa phương, M là một
A−môđun hữu hạn sinh và p ∈ Spec A. Giả sử ht(m/p) = d. Khi đó, nếu
Ext
i+d
A
(k, M) = 0 thì Ext
i
A
(κ(p), M

p
) = 0.
Chứng minh. Vì ht(m/p) = d nên có dãy các iđêan nguyên tố sau p =
p
d
⊂ p
d−1
⊂ ⊂ p
1
⊂ p
0
= m với ht(p
i
/p
i+1
) = 1. Theo Bổ đề 1.2.6
Ext
i+d−1
A
(A/p
1
, M) = 0 và địa phương hóa tại iđêan nguyên tố p
1
ta có
Ext
i+d−1
p
1
(κ(p
1

), M
p
1
) = 0. Tiếp tục quá trình này thì Ext
i
A
(κ(p), M
p
) =
0.
15
Chương 2
Môđun chính tắc
Chương này được chia làm hai phần. Trong phần đầu của chương
chúng tôi trình bày về môđun chính tắc của một vành Cohen-Macaulay.
Nó là cơ sở để định nghĩa vành Gorenstein trong chương sau. Nội dung
chính của phần này xoay quanh vấn đề khi nào một môđun hữu hạn sinh
trở thành môđun chính tắc và nêu lên đặc trưng của một môđun chính
tắc. Cả hai vấn đề trên đều được giải quyết trong Định lý 2.1.7. Phần thứ
hai của chương là môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến. Nội
dung quan trọng nhất của phần này được trình bày trong Định lý 2.2.6.
Định lý này cho ta một mô tả cụ thể môđun chính tắc của một vành nửa
nhóm một biến bất kỳ.
2.1 Môđun chính tắc
Từ đây đến cuối luận văn (A, m, k) luôn là một vành giao hoán
Noether địa phương
Trước tiên ta định nghĩa môđun chính tắc trong trường hợp chiều
16
của vành bằng 0.
Định nghĩa 2.1.1. Cho (A, m, k) là một vành địa phương chiều không.

Một A−môđun hữu hạn sinh ω
A
được gọi là môđun chính tắc trên A nếu
ω
A
là bao nội xạ của trường thặng dư A/m.
Trong trường hợp chiều của vành lớn hơn không, ta định nghĩa
môđun chính tắc quy nạp theo chiều của vành.
Định nghĩa 2.1.2. Cho (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay địa phương
chiều lớn hơn không. Một A−môđun hữu hạn sinh W là môđun chính tắc
của A nếu tồn tại phần tử chính quy x ∈ A sao cho W/xW là môđun
chính tắc của A/(x).
Trong tiết này, ta sẽ tìm hiểu một số đặc trưng của môđun chính
tắc. Những đặc trưng này sẽ giúp ta trả lời hai câu hỏi khi nào một môđun
hữu hạn sinh trên một vành Noether địa phương trở thành môđun chính
tắc và liệu môđun chính tắc của vành có là duy nhất hay không. Để trả
lời được những câu hỏi trên chúng ta cần một số chuẩn bị về môđun
Cohen-Macaulay cực đại.
Mệnh đề 2.1.3. Cho (A, m, k) là một vành địa phương chiều d và M là
một A−môđun hữu hạn sinh. Các điều sau đây là tương đương:
(i) Mọi hệ tham số trong A là M−dãy.
(ii) Một hệ tham số trong A là M−dãy.
(iii) depth M = d.
Nếu M thỏa mãn điều kiện trên, ta gọi M là một môđun Cohen-Macaulay
cực đại trên A. Khi đó mọi phần tử nằm ngoài các iđêan nguyên tố tối
tiểu của A đều là M−chính quy.
17
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên theo định nghĩa độ sâu.
Giả sử depth M = d. Khi đó dim M = depth M = d và M là một
A−môđun Cohen-Macaulay. Nếu x = x

1
, x
2
, , x
d
là hệ tham số trong
A thì (A/(x)) < ∞ và
A/(x) ⊇ mA/(x) ⊇ m
2
A/(x) ⊇ ⊇ m
n
A/(x) ⊇
là một dãy giảm. Do đó tồn tại t < ∞ sao cho m
t
A/(x) = 0. Suy ra m
t
⊆
(x) ⊆ m nên căn của (x) là m. Do đó (M/xM) < 0, hay x
1
, x
2
, , x
d
là
một hệ tham số của M. Vì M là môđun Cohen-Macaulay nên x
1
, x
2
, , x
d

là một M−dãy.
Nếu x
1
không nằm trong bất kỳ một iđêan nguyên tố tối tiểu nào
của A. Khi đó dim A/(x
1
) = dim A − 1 nên một hệ tham số trong vành
A/(x
1
) trở thành một hệ tham số trong vành A bằng cách thêm vào phần
tử x
1
. Theo chứng minh trên mọi hệ tham số trong A đều là M−dãy nên
x
1
là M−chính quy.
Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa chiều nội xạ của một môđun
Cohen-Macaulay cực đại với chiều của vành và quan hệ của môđun Cohen-
Macaulay cực đại với môđun chính tắc của vành trong trường hợp chiều
0. Đây là kết quả đẹp trong trường hợp này.
Mệnh đề 2.1.4. Cho (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay địa phương.
Nếu M là một A−môđun Cohen-Macaulay cực đại có inj. dim
A
M < ∞,
khi đó inj. dim
A
M = dim A. Nếu dim A = 0 thì M là tổng trực tiếp của
các ω
A
và M

∼
=
ω
A
khi và chỉ khi End
A
M
∼
=
A.
Chứng minh. Giả sử dim A = 0. Xét hàm tử đối ngẫu D = Hom
A
(−, ω
A
).
Nếu M có chiều nội xạ hữu hạn, tác động hàm tử D vào giải nội xạ
18
của M, ta được một giải xạ ảnh của D(M). Vậy D(M) là môđun có
chiều xạ ảnh hữu hạn (xem Nhận xét 2.1.6(iv) trong [2]). Theo công thức
Auslander-busbaum [3, theorem 19.9], ta có pro. dim
A
M = depth(m, A)−
depth(m, M). Suy ra pro. dim
A
M = 0 hay D(M) là tự do. Tác động
hàm tử D một lần nữa ta có D
2
(M)
∼
=

M. Vì D(M) là tự do nên tồn
tại n sao cho D(M)
∼
=
A
n
. Suy ra M
∼
=
D(D(M))
∼
=
(D(A))
n
∼
=
ω
n
A
.
Nói riêng, M là nội xạ hay inj. dim
A
M = 0. Hơn nữa D(M)
∼
=
A
n
nên
End
A

(M)
∼
=
End
A
(D(M))
∼
=
End(A
n
). Vậy End
A
(M)
∼
=
A khi và chỉ khi
n = 1.
Bây giờ ta xét A có chiều d bất kỳ và M là một A−môđun cực đại
có chiều nội xạ hữu hạn. Ta sẽ chứng minh inj. dim
A
M = d bằng quy
nạp theo d. Trường hợp d = 0 đã được chứng minh ở trên. Xét d > 0,
khi đó theo Mệnh đề 2.1.3, có một phần tử x ∈ m là chính quy trên A và
trên M. Theo Mệnh đề 1.1.9 và giả thiết quy nạp, ta có inj. dim
A
M =
inj. dim
A/(x)
(M/xM) + 1 = dim
A/(x)

(M/xM) + 1 = dim M = d.
Mệnh đề 2.1.5. Cho (A, m, k) là một vành địa phương chiều d và M là
một A−môđun Cohen-Macaulay cực đại có chiều nội xạ hữu hạn. Khi đó
(i) Nếu N là môđun hữu hạn sinh có depth N = e thì Ext
j
A
(N, M) =
0 với j > d − e.
(ii) Nếu x ∈ m là một phần tử chính quy trên M thì x cũng là phần
tử chính quy trên Hom
A
(N, M). Nếu N là một môđun Cohen-Macaulay
cực đại thì
Hom
A
(N, M)/x Hom
A
(N, M)
∼
=
Hom
A/(x)
(N/xN, M/xM).
Chứng minh. (i)Ta chứng minh quy nạp theo e. Theo Mệnh đề 2.1.4,
19
chiều nội xạ của M bằng d. Suy ra, với bất kỳ A−môđun hữu hạn sinh
N ta có Ext
j
A
(N, M) = 0 nếu j > d. Vậy mệnh đề đúng cho trường hợp

e = 0. Giả sử e > 0 và x ∈ m là chính quy trên N. Từ dãy khớp ngắn
0 → N
x
−→ N → N/xN → 0, ta có dãy khớp dài
→ Ext
j
A
(N, M)
x
−→ Ext
j
A
(N, M) → Ext
j+1
A
(N/xN, M) → .(1)
Vì depth N = e nên depth N/xN = e − 1. Theo giả thiết quy nạp ta có
Ext
j+1
A
(N/xN, M) = 0 nếu j+1 > d−(e−1) hay j > d−e nên (1) trở thành
→ Ext
j
A
x
−→ Ext
j
A
(N, M) → 0. Suy ra x Ext
j

A
(N, M) = Ext
j
A
(N, M) và
x ∈ m nên theo Bổ đề Nakayama Ext
j
A
(N, M) = 0 với mọi j > d − e.
(ii) Giả sử x ∈ m là một phần tử chính quy trên M. Từ dãy khớp
ngắn 0 → M
x
−→ M → M/xM → 0, ta có dãy khớp dài
0 → Hom
A
(N, M)
x
−→ Hom
A
(N, M) → Hom
A
(N, M/xM)
→ Ext
1
A
(N, M) → .(2)
Do đó x là một phần tử chính quy trên Hom
A
(N, M). Nếu N là một
A−môđun Cohen-Macaulay cực đại thì depth N = d, suy ra Ext

1
A
(N, M) =
0 theo (i). Vì mọi đồng cấu ϕ : N → M/xM đều tương ứng với một đồng
cấu
ϕ : N/xN → M/xM nên
Hom
A
(N, M/xM)
∼
=
Hom
A
(N/xN, M/xM),
và dãy khớp (2) trở thành
0 → Hom
A
(N, M)
x
−→ Hom
A
(N, M) → Hom
A
(N/xN, M/xM) → 0.
Do đó Hom
A
(N/xN, M/xM)
∼
=
Hom

A
(N, M)/x Hom
A
(N, M).
20
Mệnh đề 2.1.6. Cho (A, m, k) là một vành địa phương và M và N là
các A−môđun hữu hạn sinh. Giả sử x ∈ m là phần tử chính quy trên M,
ϕ : N → M là một ánh xạ và ψ : N/xN → M/xM là ánh xạ cảm sinh
bởi ϕ, khi đó:
(i) Nếu ψ là toàn cấu thì ϕ cũng là toàn cấu.
(ii) Nếu ψ là đơn cấu thì ϕ cũng là đơn cấu.
Chứng minh. (i) Vì ψ : N/xN → M/xM biến a thành ϕ(a) là toàn
ánh nên ψ(N/xN) = M/xM. Suy ra (ψ(N) + xM)/xM = M/xM và
ψ(N) + xM = M. Theo Bổ đề Nakayama ψ(N) = M nên ϕ là toàn cấu.
(ii) Giả sử ψ là đơn cấu và đặt N
0
= Ker ϕ. Khi đó ψ(N
0
+ xN) = 0
nên N
0
+ xN ∈ Ker ψ, suy ra N
0
⊂ xN. Mặt khác nếu x /∈ ZD(Im ϕ)
thì (0 :
N/N
0
x) = 0 nên (N
0
:

N
x)/N
0
= 0 hay (N
0
:
N
x) = N
0
. Do đó
a ∈ (N
0
:
N
x) = N
0
⊆ xN. Suy ra tồn tại b ∈ N sao cho a = xb nên
ax = x
2
b. Từ đó ta có b ∈ (N
0
:
N
x
2
) = (N
0
:
N
x) : x = (N

0
:
N
x) = N
0
.
Suy ra a = bx ∈ x(N
0
:
N
x = xN
0
) nên N
0
⊆ xN
0
. Hơn nữa xN
0
⊆ N
0
,
suy ra xN
0
= N
0
. Vậy N
0
= 0 theo Bổ đề Nakayama và ϕ là đơn cấu.
Định lý tiếp theo cho một điều kiện cần và đủ để một môđun hữu
hạn sinh trên một vành Cohen-Macaulay là một môđun chính tắc thông

qua độ sâu, chiều nội xạ và cấu trúc vành các tự đồng cấu. Đây là kết quả
chính của tiết này.
Định lý 2.1.7 (Đặc trưng môđun chính tắc). Cho (A, m, k) là một vành
Cohen-Macaulay địa phương chiều d và W là một A−môđun hữu hạn sinh.
W là môđun chính tắc trên A khi và chỉ khi
(i) depth W = d;
21
(ii) W là môđun có chiều nội xạ hữu hạn;
(iii) End
A
(W )
∼
=
A.
Chứng minh. Trước tiên, ta giả sử W là môđun chính tắc. Ta chứng minh
quy nạp theo chiều của vành A, và ở (ii) ta chứng minh rằng inj. dim
A
W =
depth W = d.
Nếu dim A = 0 thì depth W = 0. Trong trường hợp chiều 0, môđun
chính tắc W = ω
A
là môđun nội xạ nên inj. dim
A
W = 0. Theo đối ngẫu
ta có End(ω
A
)
∼
=

End(D(ω
A
))
∼
=
End(A) = A.
Giả sử dim A > 0 và x /∈ ZD(A). Theo giả thiết quy nạp ta có
W/xW là môđun chính tắc trên A/(x) nên W/xW thỏa mãn ba điều kiện
của môđun chính tắc trên vành A/(x), hơn nữa inj. dim
A/(x)
W/xW =
depth W/xW . Thứ nhất, theo giả thiết quy nạp depth W/xW = dim A/(x) =
d − 1 và theo Mệnh đề 1.2.2 thì depth W = depth W/xW − 1 = d. Thứ
hai, theo Mệnh đề 1.1.9 ta có inj. dim
A/(x)
(W/xW ) = inj. dim
A
W − 1
và theo giả thiết quy nạp inj. dim
A/(x)
W/xW = depth W/xW = d − 1
nên inj. dim
A
W = d. Thứ ba, ta cần chứng minh End(W )
∼
=
A. Đặt
B = End(W ). Xét ánh xạ tự nhiên ϕ : A → B biến mỗi phần tử
a ∈ A thành ánh xạ nhân bởi a thuộc End W , chúng ta cần chứng
minh ϕ là đẳng cấu. Theo Mệnh đề 2.1.5 ta có x là chính quy trên B

và B/xB
∼
=
End
A/(x)
(W/xW )
∼
=
A/(x). Do đó ánh xạ ϕ : B/xB → A/(x)
cảm sinh bởi ϕ là đẳng cấu. Do đó ϕ là đẳng cấu theo Mệnh đề 2.1.6.
Ngược lại, giả sử W là một A−môđun hữu hạn sinh thỏa mãn
ba điều kiện đã nêu trong định lý, ta cần chứng minh W là môđun
chính tắc trên A. Ta vẫn chứng minh quy nạp theo chiều của vành A.
Trong trường hợp dim A = 0, vì W là một A−môđun Cohen-Macaulay
22