Đáp án 2011-2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.01 KB, 4 trang )
1/4
HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC
CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Bậc THPT năm học 2011-2012
Qui ñịnh chung: Thí sinh chỉ ñược ñiểm tối ña khi có cách giải ñúng và kết quả ñúng. Trường hợp cách giải
và công thức ñúng nhưng kết quả sai thì cho 1/2 số ñiểm của phần ấy. Trường hợp công thức ñưa ra sai mà
kết quả ñúng thì không tính ñiểm cả hai phần. Trường hợp kết quả sai chữ số thập phân cuối cùng thì trừ 0,25
ñiểm ở phần ấy.
Bài
Cách giải Kết quả ðiểm
ðặt
3 ; 2
D
= −
, ta thấy
f
xác ñịnh, liên tục trên D và có
( )
3 2
3
3 3
' 4 2 17 1
2
f x x x x
= − − +
1
(
)
{
}
' 0 0,1824; 0,9603
f x x
= ⇔ ∈ −
(ñã loại giá trị 1,4275
D
∉
)
1
Ta có:
(
)
3 3,0579
f
− ≈
,
(
)
0,9603 2,7104
f
− ≈ −
,
(
)
0,1824 0,9035
f
≈ −
,
(
)
2 3,1741
f
≈ −
1
1
Suy ra
(
)
3,1741 3,0579
f x
− ≤ ≤
mọi
x D
∈
Do ñó,
(
)
0 3,1741
f x
≤ ≤
mọi
x D
∈
(Dấu bằng xẩy ra)
( ) 3,1741
x D
Max f x
∈
≈
( ) 0
x D
Min f x
∈
=
2
Sử dụng lệnh Shift Solve ñể giải phương trình và lưu vào biến nhớ,
sau ñó tính ñược ba giá trị:
2
(
)
≈
1
14955,0177
f x
(
)
≈
2
33,6746
f x
(
)
≈
3
586,3181
f x
5
Xét hàm số:
3 7sin
x
y x x
= − −
; Ta có:
' 3 ln 3 7cos 1
x
y x
= − −
;
2
" 3 ln 3 7sin
x
y x
= +
Và
, ,,
, ,
y y y
ñều là các hàm số liên tục trong khoảng
(
)
0;
+∞
1
Xét
(
)
0;
x
π
∈
ta có
sin 0
x
>
và
2
3 ln 3 0
x
>
(
)
" 0 0;
y x
π
⇒ > ∀ ∈
Xét
[ ; )
x
π
∈ + ∞
ta có
2 2
7sin 7
3 ln 3 3 .ln 3 7
x
x
π
≥ −
≥ >
" 0 [ ; )
y x
π
⇒ > ∀ ∈ +∞
Vậy
(
)
" 0 0;
y x
> ∀ ∈ ∞
. Suy ra
,
0
y
=
có nhiều nhất một nghiệm trên
(
)
0;
+∞
Do ñó phương trình
0
y
=
(tức phương trình ñang xét) có nhiều nhất hai nghiệm.
2
3
Sử dụng máy tìm ñược nghiệm:
0,1474; 1,9439
x x
≈ ≈
2
ðk:
0
xy
≠
.
Ta có:
1
(1) ( ) 1 0
1
x y
x y
xy
xy
=
⇔ − + = ⇔
= −
1
4
TH1:
= =
⇔ ⇔ = ≈ −
= + − + =
3 3
2,0946
2 5 2 5 0
x y x y
x y
y x x x
2,0946
x y
= ≈ −
1
2/4
TH2:
3
1
2 5
xy
y x
= −
⇔
= +
4
1
(3)
5 2 0 (4)
y
x
x x
= −
+ + =
1
Giải phương trình (4) bằng cách xét hàm số
4
( ) 5 2
f x x x
= + +
Ta thấy hàm số này liên tục trên
R
, và có:
3
'( ) 4 5
f x x
= +
3
3
'( ) 0 4 5 0 5/ 4
f x x x= ⇔ + = ⇔ = −
Vì
=
'( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất nên phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm.
1
4
Sử dụng máy tính ta tìm ñược hai nghiệm gần ñúng là:
≈
≈
-1.5478
0,6461
x
y
;
≈
≈
-0,4054
2,4667
x
y
Vậy hệ có ba nghiệm ñã nêu trên
1
Gọi
k
là số bi cần bốc trong một lần
Gọi biến cố
A
: “Trong
k
viên bi có ít nhất một viên bi màu ñỏ”
Suy ra biến cố
A
: “
k
viên bi bốc ñược toàn màu xanh”
Ta thấy, nếu
19
k
≥
thì
(
)
1 0,9765
p A
= >
.
Bây giờ ta tìm trong tập
{
}
1,2, ,18
xem còn giá trị
k
nào nữa
không. Ta có:
(
)
22
k
n C
Ω =
;
(
)
18
k
n A C
= ;
( )
18
22
k
k
C
p A
C
= ;
( )
( )
18
22
1 1
k
k
C
p A p A
C
= − = −
2
Sử dụng máy tìm ñược các giá trị sau:
k
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(
)
p A
0,1818 0,3377 0,4701 0,5817 0,6746 0,7512 0,8134 0,8632 0,9023
k
10 11 12 13 14 15 16 17 18
(
)
p A
0,9323 0,9549 0,9713 0,9828 0,9904 0,9952 0,9979 0,9993 0,9999
2
5
Vậy:
13
k
=
1
Gọi
r
là bán kính lõi gỗ,
d
là ñộ dày của vải,
k
l
là chiều dài của vải ở vòng thứ
1, ,
k n
=
.
Ta có:
1
2
l r
π
=
;
(
)
2
2
l r d
π
= +
;
(
)
3
2 2
l r d
π
= +
; ;
[
]
π
= + −
2 ( 1)
n
l r n d
2
Tổng chiều dài của n vòng:
1 2 3
n
S l l l l
= + + + +
[
]
π
= + + + + −
2 . (1 2 3 1)
n r n d
(
)
[ ]
π π
−
= + = + −
1
2 . 2 ( 1)
2
n n
n r d n r n d
2
6
Thay
357; 0,05678; 0,0005234
n r d
= = =
(ñơn vị là mét) ta có :
336,3417
S
≈
(m)
1
7
Do
( )
2
1
1 6 2 3 2
cos
α
=
+ + − −
nên
0
7 30
'
α
=
0
7 30
'
α
=
1
3/4
Tam giác
IAB
vuông tại I, có
IAB
α
∠ =
nên
90
ABI
α
∠ = −
o
Với
2
x
≠ −
, ta có:
( )
2
7
0 2
2
f '( x ) , x
x
= > ∀ ≠ −
+
. Chứng tỏ
tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc dương. Do ñó hệ số góc của tiếp
tuyến là:
90
k tan( ) cot
α α
= − =
o
.
k cot
α
=
1
Gọi
0
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C).
Ta có:
( )
0
2
0
7
2
f '( x ) k cot
x
α
= ⇔ =
+
0
0
0
1 0400
2 7
2 9600
x ,
x .tan
x ,
α
≈ −
⇔ = − ± ⇔
≈ −
1
Với
(
)
0 0
1 0400 5 2918
x , y ,
≈ − ⇒ ≈ −
, có phương trình tiếp tuyến
(
)
0 0
y y k x x
− = −
hay
7 5958 2 6079
y , x ,
= +
1
7
Với
(
)
0 0
2 9600 9 2918
x , y ,
≈ − ⇒ ≈
, phương trình tiếp tuyến
7 5958 31 7751
y , x ,
= +
1
ðặt
; ;
a BC b CA c AB
= = =
;
p
là nửa chu vi ñáy;
r
là bán kính
ñường tròn nội tiếp ñáy. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của ñỉnh
S
trên mặt ñáy, dễ dàng chứng minh ñược
H
là tâm ñường tròn nội
tiếp ñáy.
Ta có:
( )( )( )
ABC
S p p a p b p c
∆
= − − −
;
ABC
S
r
p
∆
= ;
.tan
SH r
α
=
1
Ta có
1
3
ABC
V S SH
∆
= ×
44,6735
≈
2
8
Ta có
1
1
cos
tp ABC xq ABC
S S S S
α
∆ ∆
= + = +
93,6299
≈
2
2a
a
a
a
x
Q
I
M
H
N
P
C
E
A
D
B
S
* Xác ñịnh tâm mặt cầu.
Gọi M là trung ñiểm CD thì M là tâm ∆CED.
Kẻ Mx//SA thì Mx là trục của ñáy CED. (1)
1
9
Trong (SED), kẻ trung trực của SD và ED cắt nhau tại H thì H cũng
là tâm của ∆SED.
Ta có
/ /
MP CE
và
( ) ( )
( )
CE AD
MP SAD
SAD CDE
⊥
⇒ ⊥
⊥
nên trong
1
4/4
(
)
,
Mx HP
, kẻ HI//MP thì HI là trục của ∆SED. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
IS IC ID IE R
= = = =
.
Vậy, tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.CDE hoàn toàn ñược xác ñịnh.
* Tính bán kính R.
QNH QPD
∆ ∆
nên
. 5 5 5
. :
4 4 4 4
QH QD QD QN a a a a
QH
QN QP QP
= ⇒ = = =
.
Suy ra
5 3
4 4 2
a a a
HP HQ QP IM
= + = + = =
(HIMP là hình chữ
nhật).
2
2
2 2
2 3 11. 33
2 2 2 2
a a a
R IC CM MI
= = + = + = =
.
2
9
3
4
99,2589
3
V R
π
= ≈
99,2589
≈
1
Ta có:
[
]
+ + + +
+ +
= + = + + = + + −
1 1 1 1
2 1
2 2 2 2 2( 2 )
n n n n
n n n n n n
u u v u u v u u u u
Suy ra:
1
2
4 3
n
n n
u u u
+
+
= −
Từ ñây tính ñược:
1 2 3 4 5
4; 10; 28; 82; 244
u u u u u= = = = =
1
Tương tự:
1
2
4 3
n
n n
v v v
+
+
= −
Suy ra:
1 2 3 4 5
2; 8; 26; 80; 242
v v v v v= = = = =
1
Bằng quy nạp, chứng minh ñược:
1 3
n
n
u
= +
và
= − +
1 3
n
n
v
1
Dễ thấy:
(
)
= − = − − =
2012 2012
2012 1 1 4024
u v
N S S
1
10
Ta có
2 3 3
n
n n
u v
− = +
.
Suy ra
= − = × + + + + =
1 2 16
16 16
2 3 16 3 3 3 64.570.128
u v
M S S
1
