1

Mở ñầu
1. ðặt vấn ñề
Số phức ra ñời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương
trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lí và
các ngành kĩ thuật khác. Lịch sử số phức bắt ñầu từ thế kỉ XVI, ñó là thời kì phục
hưng của toán học châu Âu sau ñêm dài trung cổ. Các ñại lượng ảo xuất hiện ñầu
tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy, G.Cardano
(1501-1576) và của R.Bombelli (1530-1572). Sau ñó ñược Gauss gọi là số phức và
ñược kí hiệu: a + bi trong ñó
2
1
i
= −
và ñược L.Euler ñưa vào năm 1777 ñược gọi
là ñơn vị ảo. Quá trình thừa nhận và áp dụng số phức như là một công cụ giải toán
của toán học ñã diễn ra rất chậm chạp. Cho ñến thế kỉ XIX, Gauss mới thành công
trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức, khẳng ñịnh trong
trường số phức
ℂ
mọi phương trình ña thức ñều có nghiệm. Từ ñó với ñịnh lí cơ
bản của ñại số Gauss chứng minh ñược trường
ℂ
là một trường ñóng ñại số.
Số phức ñóng vai trò như là một công cụ ñắc lực nhằm giải quyết hiệu quả
nhiều bài toán của hình học, giải tích, ñại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các
tính chất cơ bản của số phức và biến phức còn ñược sử dụng trong toán cao cấp,
toán ứng dụng và trong nhiều mô hình thực tế. Số phức và biến phức thường ñược

ñề cập dưới nhiều dạng phong phú thông qua các ñặc trưng và biến ñổi khác nhau
của phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp cao, vừa mang tính ñặc thù sâu sắc.
Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông hầu hết các nước ñều có
phần kiến thức về số phức. Ở nước ta sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức ñã
ñược ñưa vào chương trình phổ thông nhưng chỉ ở mức ñộ ñơn giản. Những ứng
dụng của số phức trong việc giải toán sơ cấp ít ñược ñề cập. Việc sử dụng số phức
trong nghiên cứu có nhiều thuận lợi, nhất là trong việc xem xét các vấn ñề liên
quan ñến ñại số và tổ hợp. Từ ñó cho ta thấy rõ hơn những khía cạnh khác nhau
của ñại số và tổ hợp.
Tổ hợp là một khoa học ra ñời khá sớm. Tổ hợp nghiên cứu các bài toán thường
ñược kết hợp bởi một số ràng buộc và có nhiều nghiệm, do việc mở rộng trong
trường số phức ta sẽ tìm ñược ñầy ñủ các nghiệm của bài toán. Tổ hợp chỉ ra số
lượng nghiệm, lớp các nghiệm cụ thể, hoặc lớp các nghiệm thỏa mãn thêm một số
ñiều kiện nào ñó, hoặc nghiệm tối ưu bằng các thuật toán cụ thể. Các thuật toán tổ
hợp ngày càng ñược biến ñổi hoàn thiện ñể dễ sử dụng và có ñộ phức tạp tính toán
nhỏ dần. Tổ hợp ñược ứng dụng rộng rãi trong ñời sống thực tế, ñặc biệt trong xử


2

lí thông tin phi số, trong ñiều hành hệ thống, trong khoa học quân sự và an ninh,…
Nhờ vào công cụ số phức những phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và bậc
cao có thể giải ñơn giản hơn và tìm ñược ñầy ñủ các nghiệm. ðồng thời việc chứng
minh các bài toán về ña thức có hướng ñi mới.
Xuất phát từ quan ñiểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các ñối tượng và
tính chất của ñại số và tổ hợp sẽ cung cấp cho bạn ñọc một phương pháp bổ ích và
lí thú khi nghiên cứu ñại số và tổ hợp. Từ ñó giúp cho người học có cơ hội, thúc
ñẩy nhu cầu hiểu biết, chủ ñộng giải quyết các vấn ñề liên quan một cách có hiệu
quả. Củng cố kiến thức và áp dụng vào các học phần khác. ðồng thời việc nghiên
cứu giúp tôi tích lũy thêm những kiến thức mới trong quá trình nghiên cứu.

Vì những lí do ñó tôi chọn “ Ứng dụng số phức trong ñại số và tổ hợp ” cho
khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình.
2. Mục tiêu của khóa luận
•
••
• Mục tiêu khoa học công nghệ: Hệ thống hóa các vấn ñề cơ bản về số
phức; phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ñại số và tổ hợp có thể
giải bằng công cụ số phức; ñưa ra những chỉ dẫn về lời giải, về cách thức
nhận biết từng dạng bài tập.
•
••
• Sản phẩm khoa học công nghệ: Xây dựng tập tài liệu về ứng dụng số
phức trong ñại số và tổ hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
•
••
• Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về số phức
•
••
• Hệ thống hóa những kiến thức số phức có thể vận dụng vào việc giải toán
ñại số và tổ hợp.
•
••
• Phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ñại số và tổ hợp có thể giải
bằng số phức, kèm theo chỉ dẫn về cách nhận biết dạng bài tập; ñưa ra lời
giải chi tiết hoặc hướng dẫn giải cho các bài tập này.
4. Phương pháp nghiên cứu
•
••
• Phương pháp nghiên cứu lí luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình về số

phức (ở ñại học, ở phổ thông). ðọc các tài liệu liên quan ñến ứng dụng của
số phức trong ñại số và tổ hợp rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức.
•
••
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm bản thân, các
bạn sinh viên trong quá trình học tập môn Hàm phức ở ñại học. Tổng kết
kinh nghiệm của giáo viên dạy học môn Toán ở phổ thông qua quá trình
dạy học chủ ñề Số phức trong chương trình toán phổ thông.


3

•
••
• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên giảng dạy môn Hàm phức ở trường ðại học
Hùng Vương ñể hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
••
• ðối tượng: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải toán ñại số và tổ hợp.
•
••
• Phạm vi: Nghiên cứu việc giải các dạng bài tập về ña thức, phương trình,
hệ phương trình ñại số, các bài toán về tổ hợp.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành
các chương.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và các phép toán

1.1.1. ðịnh nghĩa số phức
1.1.2. Các phép toán của số phức
1.1.3. Số phức liên hợp và môñun của số phức
1.2. Các dạng biểu diễn của số phức
1.2.1. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức
1.2.2. Căn bậc n của ñơn vị và biểu diễn hình học số phức
Chương 2. Ứng dụng của số phức trong ñại số
2.1. Phương trình và hệ phương trình ñại số
2.1.1. Phương trình bậc hai
2.1.2. Phương trình bậc ba
2.1.3. Phương trình bậc bốn
2.1.4. Một số bài toán về phương trình và hệ phương trình ñại số
2.2. Các bài toán về ña thức
2.2.1. ða thức bất khả quy
2.2.2. Bài toán về sự chia hết ña thức
2.3. Các bài tập áp dụng
2.3.1. Các bài tập có lời giải
2.3.2. Các bài tập ñề nghị
Chương 3. Ứng dụng của số phức trong tổ hợp
3.1. Rút gọn một số tổng tổ hợp
3.2. Các bài toán ñếm
3.3. Các bài tập áp dụng
3.3.1. Các bài tập có lời giải
3.3.2. Các bài tập ñề nghị



4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Số phức và các phép toán
1.1.1. ðịnh nghĩa số phức
Xét
(
)
{
}
2
; , .
x y x y= × = ∈
ℝ ℝ ℝ ℝ

Hai phần tử
(
)
1 1
;
x y
và
(
)
2 2
;
x y
của
2
ℝ
ñược gọi là bằng nhau
⇔


1 2
1 2
x x
y y
=


=


Ta xây dựng phép toán trong
2
ℝ
như sau:
(
)
(
)
2
1 1 1 2 2 2
; , ;z x y z x y∀ = = ∈
ℝ

- Phép cộng:
(
)
(
)
(
)

2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
; ; ;z z x y x y x x y y+ = + = + + ∈
ℝ
.
- Phép nhân:
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. ; . ; . . ; .z z x y x y x x y y x y x y= = − + ∈
ℝ
.
Cặp
(
)
0;1
ñược gọi là ñơn vị ảo, kí hiệu:
2
1
i
= −
.
ðịnh nghĩa 1.1. Tập
2
ℝ

cùng với hai phép toán cộng và nhân ñược ñịnh nghĩa
như trên gọi là tập số phức
ℂ
, phần tử
(
)
,x y
∈
ℂ
là m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c.

1.1.2. Các phép toán của số phức
ðịnh lý 1.1.
(
)
, ,.
+
ℂ
là một trường (nghĩa là trên
ℂ
với các phép toán ñã ñịnh
nghĩa có các tính chất tương tự trên
ℝ
với các phép toán cộng nhân thông

thường).
Chứng minh. ðể chứng minh
(
)
, ,.
+
ℂ
là một trường ta chứng minh các tính chất
sau.
(i). Phép cộng có tính giao hoán:
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;z x y z x y
∀ = = ∈
ℂ
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
; ; ; ;
z z x y x y x x y y x x y y z z

+ = + = + + = + + = +
.
(ii). Phép c
ộ
ng có tính k
ế
t h
ợ
p:
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
; , ; , ;z x y z x y z x y
∀ = = = ∈
ℂ
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
; ; ;

z z z x x y y x y x x x y y y
+ + = + + + = + + + +

(
)
(
)
(
)
1 1 2 3 2 3 1 2 3
; ; .x y x x y y z z z
= + + + = + +

(iii). T
ồ
n t
ạ
i ph
ầ
n t
ử
không
(
)
0 0;0 .
= ∈
ℂ

Th
ậ

t v
ậ
y ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; , 0 ; 0;0 0; 0 ;
z x y z x y x y x y z
∀ = ∈ + = + = + + = =
ℂ
.
(iv). T
ồ
n t
ạ
i ph
ầ
n t
ử

ñố
i
(

)
(
)
; , ;
z x y z x y
∀ = ∈ ∃− = − −
ℂ
là ph
ầ
n t
ử

ñố
i.
Th
ậ
t v
ậ
y:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; ; ; 0;0 .

z z x y x y x x y y
+ − = + − − = − − =

(v). Phép nhân có tính giao hoán


5

(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ; .
z x y z x y
∀ = = ∈
ℂ

Ta có:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
. . . ; . . . . ; . . . .
z z x x y y x y x y x x y y x y x y z z
= − + = − + =

(vi). Phép nhân có tính k
ế

t h
ợ
p
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , , , ,z x y z x y z x y
∀ = = = ∈
ℂ
ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3
1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1
. ; . ;
. . ; . .
;
z z z x x y y x y x y x y

x x y y x x y x y y x x y y y x y x y x
x x x y y x x y y x y y x x y y y y x x y x x y
= − +
= − − + − + +
= − − − − + +

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2
2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1
. ; ;
. . ; . .
;
z z z x y x x y y x y x y
x x y y x x y x y y x y x y x x x y y y
x x x y y x x y y x y y x x y y y y x x y x x y
= − +
= − − + + + −
= − − − − + +

ð
i

ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ
:
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
. . .
z z z z z z
=

(vii). Phép nhân có ph
ầ
n t
ử

ñơ
n v
ị
: T
ồ
n t
ạ
i ph
ầ
n t

ử

ñơ
n v
ị

(
)
1 1;0
= ∈
ℂ

Th
ậ
t v
ậ
y ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
; , 1. 1;0 . ; 1 0 ;1 0 ; ; . 1;0 .1
z x y z x y x y y x x y x y z z
∀ = ∈ = = − + = = = =
ℂ
.
(viii). T
ồ
n t
ạ
i ph
ầ
n t
ử
ngh
ị
ch
ñả
o:
(
)
; , 0
z x y z
∀ = ∈ ≠
ℂ
, ph
ầ
n t
ử
ngh

ị
ch
ñả
o c
ủ
a
z

là:
1
2 2 2 2
;
x y
z
x y x y
−
 
= −
 
+ +
 
sao cho
1 1
. . 1
z z z z
− −
= =
.
Th
ậ

t v
ậ
y gi
ả
s
ử

(
)
*
;
z x y
= ∈
ℂ
, và
(
)
1
;
z x y
−
′ ′
=
là ph
ầ
n t
ử
ngh
ị
ch

ñả
o c
ủ
a nó.
Ta có:
( ) ( ) ( )
1
. . 1
. 1 ; . ; 1;0
. . 0.
x x y y
z z x y x y
y x x y
−
′ ′
− =

′ ′
= ⇔ = ⇒

′ ′
+ =


Gi
ả
i h
ệ
ta
ñượ

c
2 2 2 2
,
x y
x y
x y x y
′ ′
= = −
+ +
.
V
ậ
y
1
2 2 2 2
1
;
x y
z
z x y x y
−
 
= = −
 
+ +
 
.
Th
ươ
ng hai s

ố

(
)
(
)
*
1 1 1
; , ;z x y z x y
= = ∈
ℂ
là
( )
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
. ; . ; ;
z x y x x y y x y y x
z z x y
z x y x y x y x y
−
   
+ − +
= = − = ∈
   
+ + + +
   
ℂ
.

Phép toán tìm th
ươ
ng hai s
ố
ph
ứ
c g
ọ
i là phép chia.
(ix). Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng


6

(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
; , ; , ;z x y z x y z x y
∀ = = = ∈
ℂ

ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 1 2 3 2 3
; . ;
z z z x y x x y y
+ = + +

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
. ; . .
x x x y y y x y y y x x
= + − + + + +

(
)
( )

( )
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3
;
; ; .
x x x x y y y y x y x y y x y x
x x y y x y y x x x y y x y y x z z z z
= + − − + + +
= − + + − + = +

Vậy ta ñã chứng minh ñược
(
)
, ,.
+
ℂ
thỏ
a mãn các tiên
ñề
c
ủ
a m
ộ
t tr
ườ
ng. Do
ñ
ó
(
)

, ,.
+
ℂ
là m
ộ
t tr
ườ
ng s
ố
.
1.1.3. Số phức liên hợp và Môñun của số phức
ðịnh nghĩa 1.2. Cho số phức
z x iy
= +
, số phức có dạng
x iy
−
ñược gọi là số
phức liên hợp của số phức
z
, kí hiệu là
z
, nghĩa là
z x yi x iy
= + = −
.
Mệnh ñề 1.1.
1.
z z z
= ⇔ ∈

ℝ
.
2.
z z
=
.
3.
z z
⋅
là số thực không âm.
4.
1 2 1 2
.
z z z z
+ = +

5.
1 2 1 2
. . .
z z z z
=

6.
(
)
1
1 *
, .
z z z
−

−
= ∈
ℂ

7.
*
1 1
2
2
2
; .
z z
z
z
z
 
= ∈
 
 
ℂ

8. Re
( ) ( )
, Im .
2 2
z z z z
z z
i
+ −
= =

Chứng minh.
1. Ta có :
z z
=
nên suy ra
2 0 0 .
x yi x yi yi y z x
+ = −
⇒
=
⇒
=
⇒
= ∈
ℝ

2. Ta có:
, .
z x yi z x yi z
= −
⇒
= + =

3. Ta có:
(
)
(
)
2 2
. 0.

z z x yi x yi x y
= + − = + ≥

4. Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
.
z z x x y y i x x y y i x y i x y i z z
+ = + + + = + − + = − + − = +
5. Ta có:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

z z x x y y x y x y i
⋅ = − + +


(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2
.
x x y y x y x y i x y i x y i z z
= − − + = − ⋅ − = ⋅

6. Ta có:
( )
1
1
1 1 1
. 1 . 1 . 1
z z z z z
z z z
−
−
 
 
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
 
 
 

.
7. Ta có :
1 1
1 1 1
2 2 2
2 2
1 1 1
. . .
z z
z z z
z z z
z z
 
   
= = = =
 
   
   
 
.
8.
(
)
(
)
2 ,
z z x iy x iy x
+ = + + − =




7


(
)
(
)
2 ,
z z x iy x iy iy
− = + − − =

Do
ñó:
( ) ( )
Re , Im
2 2
z z z z
z z
i
+ −
= =
.
ðịnh nghĩa 1.3. Cho số phức
z x iy
= +
. Khi ñó
2 2
x y
+

gọi là môñun ( trị tuyệt
ñối ) của số phức
z
ký hiệu
2 2
z x y
= +
.
Mệnh ñề 1.2.
1.
Re( ) ; Im( ) ,
z z z z z z
− ≤ ≤ − ≤ ≤

2.
0, 0 0,
z z z
≥ = ⇔ =

3.
,
z z z
= − =

4.
2
. ,
z z z
=


5.
1 2 1 2
. ,
z z z z
=

6.
1 2 1 2 1 2
,
z z z z z z
− ≤ + ≤ +

7.
1
1 *
, ,
z z z
−
−
= ∈
ℂ

8.
*
1
1
1 2
2 2
; , ,
z

z
z z
z z
= ∈
ℂ

9.
1 2 1 2 1 2
,
z z z z z z
− ≤ − ≤ +

10.
(
)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 .
z z z z z z+ + − = +

Chứng minh.
Các mệnh ñề từ 1 – 4 trực tiếp suy ra từ ñịnh nghĩa.
● (5) Ta có :
(
)
(
)
(
)
(

)
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
. . . . . . . .
z z z z z z z z z z z z
= = =

● (6) Ta có :
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
( ) .
z z z z z z z z z z z z z z z z
+ = + + = + + = + + +

Ngoài ra,
2
1 2 1 1 2
. .
z z z z z z
= =
nên suy ra
(
)
2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
. 2Re 2 2 . 2 . ,
z z z z z z z z z z z z
+ = ≤ = =

Do
ñ
ó
(
)
2
2
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
hay
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
m
ặ
t khác,
1 1 2 2 1 2 2
z z z z z z z
= + − ≤ + +
suy ra
1 2 1 2
.
z z z z
− ≤ +


●
(7) Ta có:
1 1 1 1
1 1z z
z z z z
= ⇒ = ⇒ =
nên :
1
1 *
,
z z z
−
−
= ∈
ℂ
.
● (8)
1
1 1
1
1
1 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1
. .
z
z
z z z z z z z
z z z

−
− −
= = = = =

● (9) Tương tự trong phần (6) ta cũng có:
1 1 2 2 1 2 2
z z z z z z z
= − + ≤ − +
nên suy
ra:
1 2 1 2
z z z z
− ≤ −
ngoài ra
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
.
z z z z z z z z
− = + − ≤ + − = +
● (10) Ta có:


8

y
x
O
M
P

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2
2 .
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z
+ + − = + + + − −
= + + + + − − + = +

1.2.Các dạng biểu diễn của số phức
1.2.1. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức
Ở dạng này cho ta thấy tính chất ñặc biệt về lũy thừa của một số phức thông qua
ñịnh lí Moivre.
1.2.1.1. Tọa ñộ cực của số phức.
Trong mặt phẳng
Ox
y
cho tọa ñộ diểm
(
)

;
M x y
khác gốc tọa ñộ.
Số thực
2 2
.
r z z z x y
= = = +
gọi là bán kính cực của ñiểm
M
, số ño
[
]
0;2
θ π
∈
của góc lượng giác
(
)
0 ;0
x M
 
g
ọ
i là agument c
ủ
a
M
. C
ặ

p có th
ứ
t
ự

(
)
;
r
θ
g
ọ
i là t
ọ
a
ñộ
c
ự
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
M
, vi
ế
t
(

)
;
M r
θ
.
Chú ý:
Ánh x
ạ

(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
: \ 0;0 0; 0;2 , , ;
h h x y r
π θ
× → ∞ × →
ℝ ℝ
là m
ộ
t song
ánh.

(

)
(
)
; ;
x y r
θ
֏

ð
i
ể
m g
ố
c
O
là
ñ
i
ể
m duy nh
ấ
t có
0,
r
θ
=
không xác
ñị
nh.
M

ỗ
i
ñ
i
ể
m
M
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng có duy nh
ấ
t
ñ
i
ể
m
(
)
1;
P
θ

là giao
ñ
i
ể
m c
ủ

a tia
OM
v
ớ
i
ñườ
ng tròn
ñơ
n v
ị
tâm
O
.
S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a
sin
và cosin ta th
ấ
y :

cos , sin
x r y r
θ θ

= =
.
Ngoài ra ta c
ũ
ng có th
ể

ñị
nh ngh
ĩ
a agument c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z
nh
ư
sau:
Re Im
0,cos ,sin .
z z
z
z z
θ θ
∀ ≠ = =

1.2.1.2. Biểu diễn lượng giác của số phức.

Cho s
ố
ph
ứ
c
z x yi
= +
ta có th
ể
vi
ế
t
z
d
ướ
i d
ạ
ng c
ự
c :
(
)
cos sin .
z r i
θ θ
= +

ðặ
t
2 ,

k k
α θ π
= + ∈
ℤ
, khi
ñ
ó
(
)
cos sin
z r i
α α
= +
.
T
ứ
c là v
ớ
i s
ố
ph
ứ
c
z
b
ấ
t kì ta luôn vi
ế
t
ñượ

c d
ướ
i d
ạ
ng:
(
)
cos sin , 0, .
z r t i t r t
= + ≥ ∈
ℝ

1.2.1.3. Phép toán trong dạng lượng giác của số phức.
Cho hai s
ố
ph
ứ
c
1 2
, 0
z z
≠
,có bi
ể
u di
ễ
n d
ạ
ng l
ượ

ng giác

(
)
1 1 1 1
cos sin ,
z r t i t
= +
(
)
2 2 2 2
cos sin
z r t i t
= +
khi
ñ
ó :


9

Hai s
ố

1 2
,
z z
g
ọ
i là b

ằ
ng nhau n
ế
u
1 2
r r
=
và
2 1
2 , .
t t k k
π
− = ∈
ℤ

Tích hai s
ố
ph
ứ
c
1 2
.
z z
là m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c

ñượ
c xác
ñị
nh :
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
. cos sin
z z rr t t i t t
= + + +
.
ðịnh lí 1.2. ( De Moivre ) Cho
(
)
cos sin
z r t i t
= +
và
n
∈
ℕ
, khi ñó ta có :
(
)
cos sin
n n

z r nt i nt
= +
.
Chú ý: Công thức De Moivre vẫn ñúng cho lũy thừa nguyên âm.
1.2.1.4. Dạng mũ của số phức
Ngoài
(
)
cos sin
z r i
θ θ
= +
còn ñược biểu diễn dưới dạng
i
z re
θ
=
gọi là biểu diễn
số phức dưới dạng mũ.
Phép nâng số phức lên lũy thừa bậc
n
ñược thực hiện theo công thức Moivre
,
n n in
z r e
θ
=
n
ế
u

1
r
=
thì công th
ứ
c Moivre có d
ạ
ng l
ượ
ng giác
ñặ
c bi
ệ
t
(
)
cos sin cos sin
n
i n i n
θ θ θ θ
+ = +
. T
ừ

ñ
ó ta có công th
ứ
c Euler:
( ) ( )
1 1

cos ; sin .
2 2
i i i i
e ie e e
θ θ θ θ
θ θ
− −
= + = −
Mệnh ñề 1.3. Với mọi
1 2
, ,
φ φ φ
∈
ℝ
ta có:
1.
(
)
1 2
1 2
i
i i
e e e
φ φ
φ φ
+
=
, 2.
(
)

2
,
i
i
e e
φ π
φ
+
=

3.
i i
e e
φ φ
−
=
, 4.
1.
i
e
φ
=


Ch
ứ
ng minh.
ðối với mệnh ñề từ 1– 4 suy ra trực tiếp từ ñịnh nghĩa và tính chất
của lũy thừa. Ta chứng minh cho mệnh ñề 3.
Ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos sin cos sin cos sin
i i
e i i i e
φ φ
φ φ φ φ φ φ
−
= + = − = − + − =
.
1.2.2. Căn bậc n của ñơn vị và biểu diễn hình học số phức
1.2.2.1. Căn bậc n của số phức.
ðịnh nghĩa 1.4. Cho số phức
0
w
≠
và số nguyên
2
n
≥

. Khi ñó nghiệm
z
của
phương trình
0
n
z w
− =
là căn bậc n của số phức z.
Mệnh ñề 1.4. Cho số phức
(
)
(
)
(
)
cos sinw r i
θ θ
= + , với
0
r
>
,
[
)
0;2
θ π
∈
. Khi ñó
căn bậc n của số phức w gồm n số phân biệt xác ñịnh bởi:

2 2
cos sin , 0,1,2, , –1.
n
k
k k
z r i k n
n n
π π
θ θ
 
   
= + + + =
   
 
   
 

Ch
ứ
ng minh
.



10

Xét dạng lượng giác của số phức
(
)
cos sin

z i n
ρ ϕ ϕ
= +
khi ñó
(
)
cos sin
n n
z n i n
ρ ϕ ϕ
= +
.
Ngoài ra ta có:
n
z w
=
nên suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
cos sin cos sin
n
n i n r i
ρ ϕ ϕ θ θ
+ = +

.
Do ñó:
, 2 ,
n
r n k k
ρ ϕ θ π
= = + ∈
ℤ
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
0
n
z w
− =
có d
ạ
ng:
(
)
cos sin ,
n
k k k

z r i k
ϕ ϕ
= + ∈
ℤ
.

Vì
{
}
0 1 1
0 2 , 0,1, , 1
n k
nên k n
ϕ ϕ ϕ π ϕ
−
≤ < < < < ∈ −
là argument c
ự
c. B
ở
i tính
duy nh
ấ
t c
ủ
a t
ọ
a
ñộ
c

ự
c ta suy ra ph
ươ
ng trình có
n
nghi
ệ
m . M
ặ
t khác v
ớ
i s
ố

nguyên
k
tùy ý, g
ọ
i
{
}
0,1,2, , 1
r n
∈ −
là h
ệ
th
ặ
ng d
ư

theo mô
ñ
un
n
( ngh
ĩ
a là
chia
k
cho
n
ta
ñượ
c các s
ố
d
ư

{
}
0,1,2, , 1
n
−
).

Khi
ñ
ó
( )
2 2

2 2
k r
nq r r q q
n n n n
θ π θ π
ϕ π ϕ π
= + + = + + = +
.
ð
i
ề
u này suy ra :
k r
z z
=
hay
{
}
{
}
0 1 1
, , , ,
k n
z k z z z
−
∈ =
ℤ
.
ðịnh nghĩa 1.5.
Nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
1 0
n
z
− =
, g
ọ
i là
căn bậc
n
của ñơn vị .
Từ ñịnh nghĩa ta thấy rằng căn bậc
n
của ñơn vị là:
2 2
cos sin , 0,1, , 1
k
k k
w i k n
n n
π π
= + = −
.
Người ta kí hiệu cho tập các căn bậc n của ñơn vị là
{

}
2 1
1, , ,
n
n
U w w w
−
=
(
n
U
là
nhóm nhân xyclic cấp
n
).
Số
k n
w U
∈
gọi là căn bậc nguyên thủy bậc
n
của ñơn vị nếu mọi số nguyên dương
m n
<
ta có
1
m
k
w
≠

.
1.2.2.2. Biểu diễn hình học của số phức.
ðịnh nghĩa 1.6. ðiểm
(
)
;
M x y
trong mặ
t ph
ẳ
ng
Oxy
g
ọ
i là
ñ
i
ể
m
biểu diễn hình
học
c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z x iy
= +

.
S
ố
ph
ứ
c
z x iy
= +
g
ọ
i là t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
(
)
;
M x y
, ta dùng kí hi
ệ
u

(
)
M z

ñể

ch
ỉ
t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
M
là
z
.
M
ặ
t ph
ẳ
ng t

ọ
a
ñộ
v
ớ
i vi
ệ
c bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c nh
ư
trên g
ọ
i là m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c.
Ngoài ra, trên m
ặ
t ph
ẳ

ng ph
ứ
c ng
ườ
i ta c
ũ
ng
ñồ
ng nh
ấ
t s
ố
ph
ứ
c
z x iy
= +
v
ớ
i
v OM
=
 
,
(
)
;
M x y
.
ðịnh nghĩa 1.7. Cho số phức

z x iy
= +
có biểu diễn hình học là
(
)
M z
, khi ñó


11

khoảng cách từ
(
)
M z
ñến
O
là môñun của số phức
z
.
Xét hai số phức
1 1 1 2 2 2
,
z x iy z x iy
= + = +
và các vectơ tương ứng
1 1 1 2 2 2
,
v x i y j v x i y j
= + = +

     
, khi ñó:
● Tổng hai số phức:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z x x y y i
+ = + + +

● Tổng hai vectơ:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
v v x x i y y j
+ = + + +
   
. Qua biểu diễn ta thấy tổng hai
số phức
1 2
z z
+
tương ứng với tổng hai vectơ
1 2
v v
+
 

.
● Hiệu hai số phức:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z x x y y i
− = − + −

● Hiệu hai vectơ:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
v v x x i y y j
− = − + −
   

● Khoảng cách hai ñiểm
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
bằ
ng mô

ñ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
1 2
z z
−

b
ằ
ng
ñộ
dài c
ủ
a
1 2
v v
−
 
hay
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
M M z z v v x x y y
= − = − = − + −
 

.
●
N
ế
u
λ
là s
ố
th
ự
c thì tích
.
z x yi
λ λ λ
= +
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i vect
ơ

v xi yj
λ λ λ
= +
 

.

●
Tích c
ủ
a hai s
ố
ph
ứ
c
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin
z r i z r i
θ θ θ θ
= + = +
và g
ọ
i
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M r M r
θ θ
là t
ọ

a
ñộ
c
ự
c t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
ñ
i
ể
m
1 2
,
M M
, g
ọ
i
1 2
,
P P
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ

a
ñườ
ng tròn
(
)
;1
C O
v
ớ
i tia
1 2
,
OM OM
. D
ự
ng
3
P
thu
ộ
c
ñườ
ng tròn có
argument c
ự
c
1 2
θ θ
+
, ch

ọ
n
3
M
thu
ộ
c tia
3
OP
:
3 1 2
.
OM OM OM
=
.G
ọ
i
3
z
là t
ọ
a
ñộ

ph
ứ
c c
ủ
a
ñ

i
ể
m
3
M
khi
ñ
ó
(
)
3 1 2 1 2
;M r r
θ θ
+
là
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a tích
1 2
.
z z
.


M
1
M
2
y
x
O
M

a>0
M x;y
( )
y
x
O
M' ax;ay
( )

Hình bi
ể
u di
ễ
n t
ổ
ng hai s
ố
ph
ứ
c Hình bi
ể

u di
ễ
n tích m
ộ
t s
ố
th
ự
c
d
ươ
ng và m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c

Chú ý:
i) V
ớ
i s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
r

t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
ph
ứ
c v
ớ
i mô
ñ
un
r
bi
ể
u di
ễ
n trên

m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c là
ñườ
ng tròn
(

)
;
C O r
.
( ii) Các s
ố
ph
ứ
c
{
}
,
z z r
<
là các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong
ñườ
ng tròn
(
)
;
C O r
.



12

(iii) Các s
ố
ph
ứ
c
{
}
,
z z r
>
là các
ñ
i
ể
m n
ằ
m ngoài
ñườ
ng tròn
(
)
;
C O r
.
Mệnh ñề 1.5. Biểu diễn hình học của các căn bậc
2
n
>

của
0
w
≠
là ñỉnh của
n

giác ñều nội tiếp trong ñường tròn tâm
O
bán kính ,
n
r r w
=
.
Chứng minh.
Gọi các ñiểm biểu diễn của các số phức
0 1 1
, , ,
n
z z z
−
trên mặt phẳng phức là
(
)
(
)
(
)
0 0 1 1 1 1
, , ,

n n
M z M z M z
− −
. Khi ñó ta có:

{
}
, 0,1, , 1 .
n
k k
OM z r k n
= = ∈ −

Suy ra :
(
)
0;
n
k
M C r
∈
.Mặt khác, số ño cung

1
k k
M M
+
bằng :

(

)
(
)
{ }
1
2 1 2
2
arg arg , 0,1, , 2 .
k k
k k
z z k n
n n
θ π θ π
π
+
+ + − +
− = = ∈ −

Cung còn lại có số ño ñược xác ñịnh như sau :

( )
1 0
2
2 1 .
n
sd M M n
n
π
π
−

= − −


Từ ñó suy ra các cung trên có số ño bằng nhau, hay ña giác
0 1 1

n
M M M
−
ñều.
6
2 2
2 cos sin ,
12 3 12 3
0,1,2,
k
z k i k
k
π π π π
 
   
= + + +
   
 
   
 
=


6 6 6

0 1 2
3 17
2; , 2; , 2;
12 4 12
M M M
π π π
     
     
     




Hình biểu diễn các căn bậc ba của số phức
1
z i
= +

ðịnh lí 1.3. (1).Nếu
n q
thì nghiệ
m b
ấ
t kì c
ủ
a ph
ươ
ng trình
1 0
n

z
− =
c
ũ
ng là
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
1 0
q
z
− =
.
(2).Các nghi
ệ
m chung c
ủ
a ph
ươ
ng trình
1 0
m
z
− =
và
1 0

n
z
− =
là các nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình
(
)
1 0, ,
d
z d UCLN m n
− = =
.
(3).Các c
ă
n b
ậ
c nguyên th
ủ
y c
ủ
a
ñơ
n v
ị

là:
( )
2 2
cos sin , 0 , , 1.
k
k k
w i k n UCLN k n
n n
π π
= + ≤ ≤ =

Ch
ứ
ng minh.
Xem (
[
]
10 , 45 45
p
−
).


M
2
M
1
M
0
y

x
O


13

Kết luận chương 1

Ch
ương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị cho hai chương tiếp theo của
khóa luận, gồm các nội dung: ñịnh nghĩa số phức, các phép toán số phức, số phức
liên hợp, môñun của số phức; những dạng biểu diễn cơ bản của số phức như dạng
lượng giác, dạng mũ của số phức, căn bậc
n
của ñơn vị và biểu diễn hình học của
số phức. Trong ñó các phép toán số phức, số phức liên hợp, môñun của số phức là
những kiến thức quan trọng liên quan trực tiếp ñến việc thiết lập các phương trình,
hệ phương trình ñại số; các kiến thức về xác ñịnh phần thực, phần ảo của số phức
cũng tạo cho người ñọc liên tưởng ñến việc thiết lập hệ phương trình, hệ số khai
triển trong ñại số tổ hợp. Các kiến thức ñược trình bày trong chương 1 là cơ sở ñể
tiếp tục thực hiện chương 2 và chương 3 của khóa luận.

























14

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ðẠI SỐ
2.1. Phương trình và hệ phương trình ñại số
2.1.1. Phương trình bậc hai
Cho tam thức bậc hai với hệ số thực :
(
)
2 2
0, 0, 4
f x ax bx c a b ac
= + + = ≠ ∆ = −
.
Ta có:
● Nếu

0
∆ <
, phương trình không có nghiệm thực.
● Nếu
0
∆ ≥
, phương trình có hai nghiệm thực:
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
.
Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
0, 0
ax bx c a
+ + = ≠
v
ẫ
n có nghi
ệ
m ph
ứ
c
trong c
ả
tr

ườ
ng h
ợ
p bi
ệ
t th
ứ
c
0
∆ <
. Th
ậ
t v
ậ
y,
Phân tích v
ế
trái:
2
2
0,
2 4
b
a x
a a
 
−∆
 
+ + =
 

 
 
 
 
hay
2
2
2
0.
2 2
b
x i
a a
 
−∆
 
+ − =
 
 
 
 

Do
ñ
ó
1
2
b i
x
a

− + −∆
=
,
2
2
b i
x
a
− − −∆
=
là hai nghi
ệm phức và là hai số phức liên
h
ợp.
Xét tr
ường hợp phương trình bậc hai với hệ số phức
2
0, 0.
az bz c a
+ + = ≠

Phân tích nh
ư trên ta ñược
2
2
0
2 4
b
a z
a a

 
−∆
 
+ + =
 
 
 
 
 
⇒
2
2
,
2 4
b
z
a a
∆
 
+ =
 
 
hay
(
)
2
2 .
az b
+ = ∆


ðặ
t
2
y az b
= +
, ph
ươ
ng trình trên tr
ở
thành:
2
, , .
y u iv u v
= ∆ = + ∈
ℝ

Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
( )
1,2
sgn . ,
2 2
r u r u
y v i
 
+ −
= ± +

 
 
v
ớ
i
r
= ∆
,
sgn
v
là
d
ấ
u c
ủ
a
v
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình ban
ñầ
u là:
( )

1,2 1,2
1
.
2
z b y
a
= − +

Quan h
ệ
nghi
ệ
m và s
ố
theo
ñị
nh lí Viet
1 2 1 2
, . ,
b c
z z z z
a a
−
+ = =
và có phân tích
thành nhân t
ử
:
(
)

(
)
2
1 2
.
az bz c a z z z z
+ + = − −

Ví dụ 2.1.
Giải phương trình hệ số phức:
(
)
2
8 1 63 16 0.
z i z i
− − + − =

Lời giải.


15

(
)
(
)
2
4 4 63 16 63 16 ,
i i i
′

∆ = − − − = − −

2 2
63 16 65.
r
′
= ∆ = + =

Phương trình
2
63 16
y i
= − −
có nghi
ệ
m
( )
1,2
65 63 65 63
1 8 .
2 2
y i i
 
− +
= ± + = ± −
 
 

Vậy nghiệm ban ñầu là
(

)
1,2 1 2
4 4 1 8 5 12 , 3 4 .
z i i z i z i
= − ± − ⇒ = − = +

Ta có th
ể
dùng cách khác
ñể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai trên
(
)
(
)
2
4 4 63 16 63 16 .
i i i
′
∆ = − − − = − −

Tìm c
ă
n b

ậ
c hai c
ủ
a
63 16
i
− −
, t
ứ
c là tìm
2
, 63 16 ,
z x yi z i
= + = − −

2 2
2 2
1
63
2 63 16 .
8
8
x
x y
x y xyi i
y
xy
= ±

− =


⇒ − + = − − ⇒ ⇒
 
= ±
= −



′
∆
có hai c
ă
n b
ậ
c hai là
1 8 , 1 8 .
i i
− − +

Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
(
)
(
)
( ) ( )
1

2
4 1 1 8 5 12
4 1 1 8 3 4 .
z i i i
z i i i
= − + − = −
= − − − = +

Ví dụ 2.2.
Giải các phương trình
(
)
2
a) 10 0
x i x i
+ − − =

(
)
2
b) 2 4 1
x i x
− + =

2
c) 3 2 0
x x
− + =

Lời giải.


a) Ta có
(
)
2
10 4 99 16
i i i
∆ = − + = −
.
ðặt
99 16
i a bi
− = +
, ta nh
ậ
n
ñượ
c h
ệ

2 2
4 2
8
99
8
99 64 0.
b
a b
a
ab

a a

= −

− =

⇔
 
= −


− − =


Hệ có hai nghiệm
1 1 2 2
10057 99 10057 99 10057 99 10057 99
, , , .
2 2 2 2
a b a b
+ − + −
= = − = − =



16

Suy ra phương trình ñã cho có hai nghiệm
1
2

1 10057 99 1 10057 99
10 1 ,
2 2 2 2
1 10057 99 1 10057 99
10 1 .
2 2 2 2
x i
x i
   
+ −
   
= − − −
   
   
   
+ −
   
= − + + +
   
   

b) Ta có
(
)
2
4 8 23 8
i i
∆ = + + = +
,
23 8

23 8 593,cos ,sin ,0
2
593 593
i
π
ϕ ϕ ϕ
+ = = = < <
.
Do ñó phương trình có hai nghiệm
4 4
1
4 4
2
1 1 593 23 1 593 23
4 593cos 593sin 4 1 ,
4 2 2 4 2 4 2
1 1 593 23 1 593 23
4 593cos 593sin 4 1 .
4 2 2 4 2 4 2
x i i i
x i i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
   
+ −
 
   
= + + + = + + +
 
   

 
   
   
+ −
 
   
= + − − = − + −
 
   
 
   
c) Ta có
2
1 24 23 23
i
∆ = − = − =
, do ñó phương trình ñã cho có hai nghiệm là
1 2
1 23 1 23
,
6 6
i i
x x
− +
= = .
2.1.2. Phương trình bậc ba
Xét ph
ương trình bậc ba với hệ số thực hoặc phức.
3 2
0

x ax bx c
+ + + =
(1).
Ta
ñưa (1) ñược về phương trình bậc ba dạng
3
0
y py q
+ + =
(2) b
ằ
ng cách
ñặ
t
.
3
a
y x
= +

ðể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình (2) ta
ñặ
t
y u v
= +

,
.
3
p
uv
− =

Khi
ñ
ó
u
và
v
xác
ñị
nh b
ở
i các công th
ứ
c Cac
ñ
anô – Tactali:
2 3 2 3
3 3
, .
2 4 27 2 4 27
q q p q q p
u v
   
   

∈ − + + ∈ − − +
   
   
   

Gi
ả
s
ử

1
u
là m
ộ
t giá tr
ị
c
ủ
a
2 3
3
2 4 27
q q p
− + +
khi
ñ
ó ph
ầ
n t
ử


1
v
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i nó
là m
ộ
t trong ba giá tr
ị
c
ủ
a
2 3
3
2 4 27
q q p
− − +
sao cho
1 1
3
p
u v
= −
.



17

G
ọ
i
ε
là m
ộ
t c
ă
n nguyên th
ủ
y b
ậ
c ba c
ủ
a 1 (hay
3
1
ε
=
) thì ta có công th
ứ
c nghi
ệ
m
c
ủ
a ph

ươ
ng trình (2) là:
2 2
1 1 1 2 1 1 3 1 1
, , .
y u v y u v y u v
ε ε ε ε
= + = + = +

Ví dụ 2.3.
Giải phương trình:
a)
3 2
4 36 84 20 0.
y y y
− + − =

b)
3
6 0.
x x
− − =

Lời giải.
a)
3 2
4 36 84 20 0
y y y
− + − =
(1)

3 2
9 21 5 0
y y y
⇔ − + − =
(2)
ðặ
t
3
x y
= −
ta có:
(
)
(
)
(
)
3 2
3 9 3 21 3 5 0
x x x
+ − + + + − =
3
6 4 0
x x
⇔ − + =
(3)
Áp d
ụ
ng công th
ứ

c Cac
ñ
anô – Tactali ta có:
3
1
2 2 .
u i
= − +

G
ọ
i
1
u
là m
ộ
t giá tr
ị
th
ự
c c
ủ
a
3
2 2
i
− +
và có
1
v

là giá tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
1
u
s
ẽ
là
giá tr
ị
th
ự
c c
ủ
a
3
2 2
i
− −
. V
ậ
y ta s
ẽ
có nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (3) là
3 3
1 1 1
2 2
2 1 1 3 1 1
2 2 2 2
, .
x u v i i
x u v x u v
ε ε ε ε
= + = − + + − −
= + = +

T
ừ

ñ
ó ta suy ra nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (2) và (3).
b).

3
6 0
x x
− − =
(
)
(
)
2
2 2 3 0.
x x x
⇔ − + + =

Ph
ươ
ng trình
2
2 3 0
x x
+ + =
có hai nghi
ệ
m là
2 3
1 2, 1 2.
x i x i
= − + = − −

V
ậ

y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho là:
1
2
x
=
,
2
1 2
x i
= − +
,
3
1 2.
x i
= − −

Chú ý:
N
ế
u gi
ả
i ph

ươ
ng trình này b
ằ
ng công th
ứ
c Cac
ñ
anô – Tactali thì nghi
ệ
m
th
ự
c c
ủ
a
1
x
c
ủ
a nó s
ẽ
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng t
ổ
ng c

ủ
a hai s
ố
ph
ứ
c r
ấ
t c
ồ
ng k
ề
nh.
Ví dụ 2.4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 2
8 24 6 10 3 6 0.
x x x
+ + − − =

L
ờ
i gi
ả
i.
Ph
ươ

ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình sau
3 2
3 10 3 6
3 0.
4 8
x x x
+
+ + − =



18

ðặt
1
x y
= −
. Ta thu ñược phương trình
3
9 3 6

0.
4 8
y y
− − =

L
ại ñặt
3
y t
=
ta thu ñược phương trình
3
2
4 3 .
2
t t
− =

Ph
ương trình này có các nghiệm là
1 2 3
3 17
cos , cos , cos
12 4 12
t t t
π π π
= = =
Tr
ở lại với ẩn x ta có các nghiệm
1 2 3

3 17
cos 1, cos 1, cos 1.
12 4 12
x x x
π π π
= − = − = −

2.1.3. Phương trình bậc bốn
 Phương pháp 1:
ðể giải phương trình bậc bốn ta ñưa về việc giải một phương trình phụ bậc ba và
hai phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc bốn có dạng:
4 3 2
0.
x ax bx cx d
+ + + + =
(1)
Ta ñưa về giải các phương trình
2 2
0 0
, .
2 2 2 2
ax y ax y
x x x x
α β α β
+ + = + + + = − −

trong ñó
0
y

là một nghiệm của phương trình
(
)
(
)
3 2 2 2
4 4 0.
y by ac d y d a b c
 
− + − − − + =
 
(2)
Phương trình (2) ñược gọi là phương trình giải bậc ba của phương trình (1).
 Phương pháp 2
 Giải phương trình bậc bốn khuyết trên trường số phức dạng
(
)
4 2
0z az bz c
+ + + = ∗
.
Phân tích ta có
(
)
( ) ( )
2
2
4 2 2 4 2 2 2
2 2
z az bz c z m p z n z m p z pnz m pn

+ + + = + − + = + − − + −
.
sau ñó ñồng nhất hệ số ta ñược:
(
)
( )
( )
2 2
2 1
2 2
3
m p a
pn b
m pn c

− =

− =


− =


Từ (1) ta có
2
p a
m
+
=
, từ (2) ta có

2
b
n
p
−
=
, thế vào (3) ta ñược


19

( )
( )
2
2
2
. 4
4 4
p a
b
p c
p
+
− =

Trong phương trình (4) ta tìm ra
p
sau ñó thay vào phương trình (1) và (2) tìm m,
n và giải phương trình ñã cho.
 ðể giải phương trình bậc bốn trên trường số phức có dạng:

4 3 2
0, , , ,z az bz cz d a b c d
+ + + + = ∈
ℝ
.
ðưa phương trình trên về dạng phương trình khuyết ñã giải bằng cách ñặt
4
a
z y
= −
, khi
ñ
ó h
ệ
s
ố
b
ậ
c ba s
ẽ
b
ị
tri
ệ
t tiêu.
Ví dụ 2.5.
Giải phương trình sau trên trường số phức:
4
24 32 0
z z

− − =
.
Lời giải.

Ta có
(
)
( ) ( )
2
2
4 2 4 2 2 2
24 32 2 2
z z z m p z n z m p z pnz m pn
− − = + − + = + − − + −
.
ñồng nhất hệ số ta ñược
(
)
( )
( )
2 2
2 0 1
2 24 2
32 3
m p
pn
m pn

− =


− = −


− = −


Từ (1), (2) suy ra
12
,
2
p
m n
p
= =
thay vào (3) có phương trình
( )
2
3
2
144
. 32 128 576 0 4
4
p
p p p
p
− = − ⇔ + − =

Phương trình (4) có một nghiệm
4
p

=
nên suy ra
2, 3
m n
= =
.
Vậy phương trình ñã cho trở thành
( )
( )
( )( )
2
2
2
2 2 2
2
2 4 0
2 4 3 0 2 4 2 8 0
2 8 0
z z
z z z z z z
z z

− − =
+ − + = ⇔ − − + + = ⇔

+ + =


Từ ñây ta suy ra phương trình ñã cho có 4 nghiệm
1 2 3 4

1 5, 1 5, 1 7, 1 7
z z z i z i
= − = + = − + = − −
.
Ví dụ 2.6.
Giải phương trình sau trên tập số phức:
(
)
4 3 2
8 24 16 220 0 1
z z z z+ + − − =
.
Lời giải.


20

ðặt
2
z y
= −
, với ẩn
y
phương trình (1) trở thành
(
)
(
)
(
)

(
)
4 3 2
2 8 2 24 2 16 2 220 0
y y y y
− + − + − − − − =

(
)
4
48 140 0 2
y y
⇔ − − =

Ta có:
(
)
( ) ( )
2
2
4 2 4 2 2 2
48 140 0 2 2
y y y m p y n y m p y pny m pn
− − = = + − + = + − − + −
,
ñồng nhất hệ số ta có
(
)
( )
( )

2 2
2 0 3
2 48 4
140 5
m p
pn
m pn

− =

− = −


− = −


Từ (3) và (4) ta có:
24
,
2
p
m n
p
= =
thế vào (5) ta ñược
( )
2
3
2
576

. 140 560 2304 0 6
4
p
p p p
p
− = − ⇔ + − =

Phương trình (6) có một nghiệm
4
p
=
suy ra
2, 6
m n
= =
.
Vậy phương trình ñã cho trở thành
( )
( )
( )( )
2
2
2
2 2 2
2
2 14 0
2 4 6 0 2 14 2 10 0
2 10 0
y y
y y y y y y

y y

+ + =
+ − + = ⇔ + + − − = ⇔

− − =


T
ừ

ñ
ây suy ra ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m là
1 2 3 4
1 13, 1 13, 1 11, 1 11
y i y i y y= − + = − − = + = −
.
Khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có nghi
ệ
m là

1 2 3 4
3 13, 3 13, 1 11, 1 11
z i z i z z= − + = − − = − + = − −
.
Ví dụ 2.7.
Giải phương trình:
4 3 2
6 6 8 0.
x x x
+ + − =

Lời giải.


4 3 2
6 6 8 0
x x x
+ + − =
(1)

4 3 2
6 6 8
x x x
⇔ + = − +


4 3 2 2 2
6 9 9 6 8
x x x x x
⇔ + + = − +



(
)
2
2 2
3 3 8.
x x x
⇔ + = +
(2)
Cộng vào hai vế của (2) với
( )
2
2
3
4
y
x x y
+ +
ta ñược


21

( )
2
2
2 2
3 3 3 8 .
2 4

y y
x x y x yx
 
 
+ + = + + + +
 
 
 
 
(3)
ðể cho vế phải là một bình phương của một biểu thức, y phải thỏa mãn ñiều kiện
( )
2
2
9 4 3 8 0
4
y
y y
 
∆ = − + + =
 
 

3 2
6 32 96 0.
y y y
⇔ − + + =
(4)
Trong ñó
0

2
y
= −
là một nghiệm của phương trình (4).
Phương trình này tương ñương với
(
)
( )
2
2
2 2
2 2 0
3 1 3
3 1 3 4 4 0
x x
x x x
x x x x x

+ + = ∗

+ − = −
⇔


+ − = − + + − = ∗∗




Phương trình (*) có nghiệm là

1 2
1 ; 1 .
x i x i
= − + = − −

Phương trình (**) có nghiệm là
3 4
2 8; 2 8.
x x= − + = − −

Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,
x x x x
như trên.
Nhận xét: Các phương trình cao hơn bậc bốn thì ta thường giải bằng cách sử dụng
ñồng nhất thức ñại số và lượng giác.
2.1.4. Một số bài toán về phương trình và hệ phương trình ñại số
Một phương trình với ẩn phức
(
)
0
f z
=
và với nghiệm
z x iy
= +
, có thể giải bằng
cách tách phần thực và phần ảo, ta luôn có thể ñưa về dạng hệ phương trình
(

)
( )
, 0
, 0.
h x y
g x y
=



=



Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
ñể
tìm c
ă
n b
ậ
c ba c
ủ
a s
ố
ph
ứ

c
1
i
+
, ta tìm s
ố
ph
ứ
c
z x iy
= +
sao cho
3
1
z i
= +
. B
ằ
ng cách tách ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o trong
ñẳ
ng th
ứ

c
(
)
3
1
x iy i
+ = +

ta thu
ñượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 2
2 3
3 1
3 1.
x xy
x y y

− =


− =


(1)
Gi

ả
i h
ệ
ta tìm
ñượ
c
(
)
;
x y
t
ừ

ñ
ó ta tìm
ñượ
c
z
. Tuy nhiên
z
có th
ể
tìm
ñượ
c b
ằ
ng
cách khai c
ă
n

1
i
+
, ta có


22

6
3
3
2 2
1 2 cos sin 2 cos sin ,
4 4 12 3 12 3
k k
z i i i
π π π π π π
 
     
= + = + = + + +
     
 
     
 

v
ớ
i
0,1,2
k

=
.
T
ừ

ñ
ó ng
ượ
c l
ạ
i ta tìm
ñượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình (1) là
( )
6 6
2 2
, 2cos , 2 sin , 0,1,2.
12 3 12 3
k k
x y i k
π π π π
 

   
= + + =
   
 
   
 

Nh
ư
v
ậ
y, m
ộ
t s
ố
h
ệ
ph
ươ
ng trình có th
ể
có t
ừ
vi
ệ
c gi
ả
i các ph
ươ
ng trình nghi

ệ
m
ph
ứ
c. B
ằ
ng cách
ñ
i ng
ượ
c l
ạ
i quá trình t
ừ
ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m ph
ứ
c v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng
trình, t
ừ
h

ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho ta thu
ñượ
c ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m ph
ứ
c g
ố
c. Gi
ả
i
ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m ph
ứ
c này, so sánh ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ

n
ả
o ta thu
ñượ
c nghi
ệ
m
c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình.
Ví dụ 2.8.
Giải hệ phương trình:
12 5
8 3
4
1.
8
z
z i
z
z
 −
=

−



−

=

−


Lời giải.

ðể hệ phương trình có nghĩa thì
8, 8
z z i
≠ ≠
.
ðặt
z x iy
= +
, ta có:
(
)
( )
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
12 12

12 144 24
,
8 64 16
88
z x y
z x y x
z i x y y
x yz i
− − +
− + + −
= = =
− + + −
+ −−

(
)
( )
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
4 4
4 16 8
.
8 64 16
88
z x y

z x y x
z x y x
x yz
− − +
− + + −
= = =
− + + −
− +−

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
144 24 25
64 16 9
2 2 27 50 38 0
6.
16 8
1
64 16
x y x
x y y
x y x y
x
x y x
x y x

+ + −

=

+ + − 
+ + − + =

⇔
 
=
+ + −


=

+ + −


Thay
6
x
=
vào phương trình thứ nhất ta ñược
2
1 2
25 136 0 8, 17.
y y y y
− + = ⇔ = =

Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm là
1 2
6 8 , 6 17

z i z i
= + = +
.


23

Nhận xét: Những hệ phương trình gồm các phương trình có chứa dấu trị tuyệt ñối
và chứa i trong ñó, vế còn lại là hằng số ta dùng cách ñặt ẩn là một số phức. Sau
ñó dùng tính chất số phức ñể giải hệ phương trình ñã cho.
Ví dụ 2.9.
Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
1
7 1 4 2.
x
x y
y
x y

 
+ =

 
+
  

 


− =
 

+
 


Lời giải.

Nhận thấy
, 0
x y
>
.
ðặt
,
x u y v
= =
. Hệ phương trình ñã cho trở thành
2 2
2 2
1 2
1
3
1 4 2
1 .
7
u
u v
v

u v

 
+ =
 

+
 


 

− =
 

+
 


Vì
2 2
u v
+
là bình phương của môñun số phức
z u iv
= +
, bằng cách cộng phương
trình thứ nhất với phương trình thứ hai (sau khi nhân với i), ta ñược
2 2
2 4 2

.
3 7
u iv
u iv i
u v
−
+ + = +
+

Vì
2
2 2
1
,
u iv z
u v z
z
−
= =
+
nên phương trình trên ñược viết lại dưới dạng
2
1 2 4 2 2 4 2
1 0
3 7 3 7
z i z i z
z
 
+ = + ⇔ − + + =
 

 

1 2 2 2
2 .
3 21 7
z i
 
⇔ = ± + ±
 
 

T
ừ

ñ
ó suy ra
( )
1 2 2 2
, , 2 .
3 21 7
u v
 
= ± ±
 
 

Do
ñ
ó h
ệ

ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có hai nghi
ệ
m
( )
2
2
1 2 2 2 11 4 22 8
, , 2 , .
21 7
3 21 7 3 7 7
x y
 
 
   
 
= ± ± = ± ±
 
   
 
   
 
 



24


Nhận xét: Những hệ phương trình có chứa dạng môñun của một số phức như
2 2
1
x y
+
,
2 2
1
x y
+
cho ta liên hệ hướng giải quyết tới môñun của số phức
z
là
z

hoặc
1
z
,
z
; ta có thể nhân một phương trình trong hệ với
i
rồi cộng với phương
trình còn lại. Từ ñó ta ñược một phương trình mới dựa vào các tính chất của số
phức ñể giải bài tập ñó. ðôi khi việc giải phương trình ñại số trong
ℝ
quy về việc
giải phương trình trên
ℂ

với việc coi
x
là phần thực,
y
là phần ảo.
Ví dụ 2.10.
Giải phương trình:
2
0.
z z
+ =

Lời giải.

ðặt
(
)
, ,z x iy x y
= + ∈
ℝ
, phương trình ñã cho viết lại dưới dạng
( )
2
2 2 2 2 2 2
0 2 0
x iy x y x y x y xyi
+ + + = ⇔ − + + + =

2 2 2 2
2 2 2 2

2 2 2 2
2 2 2 2
0
0
0
0
0
0
2 0.
0
0
x
x y x y
x y x y
x y x y
x
y
xy
y
x y x y
 =





− + + =
− + + =





− + + =
 
⇔ ⇔ ⇔
  
=

=

=



 

=
 


− + + =




( )
( )
2
2
0

0
0
0
1 0
1 0
0
0
0 0
0
1 0 0
1 0
x
y
x
x
y
y y
y y
y
y y
x x
x x x
x
 =




=


=


=











− =
− =
− + =

 



  

⇔ ⇔ ⇔



=

= =
  











+ =
+ =
 =









+ =







( )
0
0, 0
0
0, 1
1
0, 1
0
0, 0
0 do 1 0
x
x y
y
x y
y
x y
y
x y
x x
 =



 = =

=







= =



=

⇔ ⇔





= = −


=



= =




= + >






Vậy phương trình ñã cho có ba nghiệm
1 2 3
0, , .
z z i z i
= = = −

Nhận xét: Từ phương trình ñã cho nếu có nó có chứa cả biến và trị tuyệt ñối của


25

nó, hoặc có thể chứa cả ñơn vị ảo
i
thì ta dùng cách ñồng nhất phần thực và phần
ảo rồi ñưa về hệ phương trình ñể giải.
2.2. Các bài toán về ña thức
2.2.1. ða thức bất khả quy
Một ña thức
(
)
p x
bậc n (
0
n
>
) trên trường

P
ñược gọi là ña thức bất khả quy trên
P
(hoặc không phân tích ñược trên
P
) nếu nó không thể viết ñược dưới dạng tích
của hai ña thức bậc khác không và bé hơn n của vành
[
]
P x
.
Mỗi ña thức bậc
0
n
>
của vành
[
]
P x
ñều phân tích ñược thành tích của những ña
thức bất khả quy trên
P
và sự phân tích ñó là duy nhất nếu không kể ñến thứ tự
các nhân tử và các nhân tử bậc không.
Trên trường số phức, chỉ có các nhị thức bậc nhất là ña thức bất khả quy. Trên
trường số thực, các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai với biệt thức
0
∆ <

và chỉ chúng là các ña thức bất khả quy.

Ta quan tâm tới việc xem xét tính bất khả quy trên trường
ℚ
mà bản chất chính là
xét tính bất khả quy của ña thức trên vành
ℤ
. Ngoài tiêu chuẩn Eisenstien ñã biết
ta có thể xét tính bất khả quy dựa theo tiêu chuẩn Perron.
Bổ ñề 2.1:
Cho
ξ
là một số phức sao cho
1
Re
2
b
ξ
< −
. Khi
ñ
ó
1 .
b b
ξ ξ
− > − −

Ch
ứ
ng minh.
ðặt
i

ξ α β
= +
với
,
α β
là các số thực. Theo giả thiết thì
Re
ξ α
=
và
1
2
b
α
< −
.
Ta có
2 2
1 1b b b b
ξ ξ ξ ξ
− > − − ⇔ − > − −

2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2b b b b b
α α β α α α β
⇔ − + + > + + − + − +

1
.
2

b
α
⇔ < −

ðịnh lí 2.1. (Tiêu chuẩn Perron)
Cho
(
)
P x
là ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên. Gi
ả
thi
ế
t t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên
b

và s
ố
nguyên
t
ố
p, sao cho chúng th
ỏ
a mãn nh
ữ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
1.

( )
P b p
=
,