36
CHƯƠNG III: VÀNH CÁC THƯƠNG.

TẬP CON NHÂN.

Định nghĩa 3.1: Cho A là một vành. Một tập con
SA được gọi là tập con nhân
nếu:
(i)
1 S

(ii)
,ab S ab S 

Nói cách khác, tập con nhân là một vị nhóm con của vị nhóm nhân (,)
A



Thí dụ:

{/ 0}
n
fAS f n   là một tập con nhân.
 Tập
\SAP , với P là iđêan nguyên tố của A, là một tập con nhân.
 Nếu A là miền nguyên thì
\{0}SAA




là một tập con nhân.
 Tập
1SI
, với I là iđêan của A, là tập con nhân.

VÀNH CÁC THƯƠNG.

Cho tập con nhân S của một vành A. Trên tập
A
S

ta định nghĩa một quan hệ
hai ngôi
 như sau:
(,),(,) (,) (,) ( ) 0as as A S as as t S as ast
   
 
.
Dễ thấy rằng
 là một quan hệ tương đương trên
A
S

.
Ta ký hiệu tập thương
A
S

là
1

SA

và ký hiệu lớp tương đương của phần tử
(,)as
là
a
s
.

Mệnh đề 3.2:
Tập
1
SA

cùng với hai qui tắc:
 cộng:
1
,
ab a b atbs
s
tstst
SA


 
 nhân:
1
,
ab ab ab
s

tstst
SA

 
là một vành.
Chứng minh:
Các qui tắc đã cho là phép toán, thật vậy:

1
,,,
aa bb
ss tt
SA





()0(1)
,
()0(2)
aa
ss
bb
tt
as a s u
uv S
bt b t v











 








37
(1) và (2) suy ra
()0 ( )0
()0 ( )0
as a s uvtt as tt a stt uv
bt b t vuss bt ss b tss uv

 






  




[( ) ( ) ] 0at bs ts at bs st uv
  
  
at bs a t b s a b a b
s
tststst

  




 
Mặt khác, (1) và (2) cũng cho:

()0
as u a su
abs t uv a b stuv abs t a bst uv
bt v b tv



    








ab a b a b a b
s
tst stst




 .
Các tiên đề định nghĩa vành được dễ dàng kiểm tra. Đơn vị của vành là
1
1
.

Định nghĩa 3.3:
Vành
1
SA

trong mệnh đề 3.2 được gọi là vành các thương của vành A theo
tập con nhân S.

1
SA

là vành không 0 S


 .
 Từ định nghĩa ta thấy mọi phần tử
t
s
với ,ts S

đều khả nghịch trong
1
SA

. Nghịch đảo của
t
s
là
s
t

 Nếu A là miền nguyên và chọn
\{0}SS A A

 

thì
1
00
aa
ss
SA a


  

, nên mọi phần tử khác 0 của vành các
thương
1
SA


đều khả nghịch, do đó
1
SA


là một trường gọi là
trường các thương của miền nguyên A.
 Anh xạ
1
:
f
ASA


xác định bởi
1
()
a
fa

là một đồng cấu
vành (nói chung f không phải đơn cấu). Dễ thấy những tính chất sau:

o
()
s
Sfs khả nghịch trong
1
SA

.
o
() 0 0
f
asSas 
.
o Mỗi phần tử của
1
SA

được viết dưới dạng
1
() ()
f
afs

với
,aAsS
Vành các thương của một vành được đặc trưng bởi tính chất trên:

Mệnh đề 3.4:
Nếu
:gA B


 là một đồng cấu vành sao cho ()gs khả nghịch trong B
với mọi
s
S thì tồn tại duy nhất một đồng cấu vành
1
: SA B




sao cho
gf

  .

Chứng minh:
38
 Xét
1
: SA B



 xác định bởi
1
() ()()
a
s
gags




.

được định nghĩa tốt vì nếu
ab
s
t

thì
()0at bs u


.
Suy ra
[( ) ] 0 [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) 0g at bsu gagt gbgs gu  


()() ()()gagt gbgs (vì g(u) khả nghịch)

11
()() ()()gags gbgt





() ()
ab

s
t

.
Dễ thấy

là dồng cấu, ngoài ra
1
1
() () ()(1) ()
a
a A f a gag ga


   
(vì
(1) 1g 
)
tức là
gf

 
.
 Nếu có
1
: SA B






thoả gf



 thì
1111
11 1 1 1 1
11
() [() ] () [() ] () ()
[()][()] ()() ()
aaasasas
ss
a
s
SA
f a f s gags
   
 


   
   


Vậy





.


Hệ quả 3.5:
Nếu
:gA B

 là một đồng cấu vành sao cho:
o
()
s
Sgs
khả nghịch trong B.
o
() 0 0ga s S as .
o Mỗi phần tử của B được viết dưới dạng
1
()()gags

với
,aAsS
thì tồn tại đẳng cấu vành
1
:hS A B



sao cho ghf

 .


Chứng minh:
Vì
()gs khả nghịch trong B với mọi
s
S

nên theo 3.4 tồn tại đồng cấu vành
1
:hS A B


 sao cho ghf

 .
Vì mỗi phần tử
bB có dạng
111
11
() () [ ()][ () ] ( ())( ())
(())(() ) (()() ) ()
a
s
b gags h f a h f s h f a hf s
hfa hfs hfafs h


 




nên h toàn ánh.
Ngoài ra, nếu
() 0
a
s
h  thì
11
0(()())()()h f a f s gags



() 0 0 0
a
s
ga t S at 
39
nên h đơn ánh. Vậy h là đẳng cấu cần tìm.


ĐỊA PHƯƠNG HOÁ.

Cho iđêan nguyên tố P của vành A. Tập
\SAP

là tập con nhân của A.
Trong trường hợp này vành các thương
1
SA


được ký hiệu là
P
A
.

Mệnh đề 3.6:
Vành
P
A
là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp
1
:/ ,
p
SP pPsS
s





.
Chứng minh:
1
SP

là iđêan thực sự của
P
A
vì:


1
0 SP




11
,
pp p p psps
ss s s ss
SP SP




   vì ps p s P

.

11 1
pppa
aa
ststst
SP SA SP
 
    vì pa P .

1
1 SP



vì nếu
1
11,
p
s
SP pP


 


(1 ) 0
s
pt st pt P , vô lý!
Ngoài ra,
1
aa
s
s
SPaP aS

   khả nghịch.
Theo 1.27,
P
A
là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là
1
SP


.

Vành địa phương
P
A
được gọi là địa phương hoá của vành A theo iđêan
nguyên tố P.

MÔĐUN CÁC THƯƠNG.

Cho tập con nhân S của một vành A và một A-môđun M. Trên tập
M
S ta
định nghĩa một quan hệ hai ngôi

như sau:
(,),(,) (,)(,) ( )0ms ms M S ms ms t S tsm sm
   
 
.
Dễ thấy rằng
 là một quan hệ tương đương trên
M
S

.
Ta ký hiệu tập thương
M
S


là
1
SM

và ký hiệu lớp tương đương của phần
tử
(,)ms là
m
s
.

Mệnh đề 3.7:
Tập
1
SM

cùng với hai qui tắc:
40
 cộng:
1
,
mn m n tmsn
s
tstst
SM


 

 nhân:

11
am amam
s
tstst
SA SM


    

là một
1
SA

-môđun.

Chứng minh:
Các qui tắc đã cho là phép toán, thật vậy:

1
,,,
mmnn
ss tt
SM





()0(1)
,

()0(2)
mm
ss
nn
tt
usm sm
uv S
vtn tn










 








(1) và (2) suy ra
()0 ( )0
()0 ( )0

uvtt sm s m uv stt m s tt m
vuss tn t n vu tss n t ss n

 





 




[( ) ( )] 0uvts tm sn ts tm sn

 


tm sn t m s n m n m n
s
tststst

  



 
Mặt khác, (1) và (2) cũng cho:


()0
usm us m
uvstm n uvs t mn uv stm n s t mn
vtn vt n



   
 






mn m n m n m n
s
tst stst




 .
Các tiên đề định nghĩa môđun được dễ dàng kiểm tra.

Định nghĩa 3.8:

1
SA


-môđun
1
SM

được gọi là môđun các thương của A-môđun M theo
tập con nhân S. Hiển nhiên,
1
SM

cũng là một A-môđun.
 Nếu
\SAP với P là iđêan nguyên tố của vành A thì
1
SM

sẽ được
ghi là
P
M
.
 Nếu
:uM N là một đồng cấu A-môđun thì
11 1
:SuSM SN
 
 xác định bởi
()
1
()
um

m
s
s
Su

 là một
đồng cấu
1
SA

-môđun. Hiển nhiên
111
() () ()SvuSvSu




Mệnh đề 3.9:
Nếu dãy
uv
M
MM



khớp tại M thì dãy

11
111
Su Sv

SM SM SM




 khớp tại
1
SM

.


41
Chứng minh:

11 1 1
() 00SvSu S vu S
  

.

()
11
() 0 0
vm
mm
sss
KerS v S v

  


() 0 ( ) 0t S tv m t S v tm



Im ( )tStmKerv u m M tmum


      


()
11
1[ ( ) ] 0 0 ( ) I m .
um
mm
sst st
s
um stm S u S u




 



 Mệnh đề 3.9 nói lên rằng nếu
M


là một môđun con của A-môđun M thì
đồng cấu chính tắc
11
SM SM



 là một đơn cấu. Do đó ta có thể
coi
1
SM


như là một môđun con của
1
SM

.
Với qui ước này ta có hệ quả sau:

Hệ quả 3.10:
Nếu N, P là các môđun con của A-môđun M và S là tập con nhân của A thì:
a)
111
()SNPSNSP

 
.
b)
111

()SNPSNSP

 
c)
1
1
1
1
()
SA
SM
M
S
N
SN




 .

Chứng minh: Xem như bài tập.

 A-môđun
1
A
SAM


có cấu trúc một

1
SA

-môđun với phép nhân ngoài


ab ab
st st
mm
(giải thích?). Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 3.11:
Cho A-môđun M, tập con nhân
SA . Khi đó, hai
1
SA

-môđun
1
SM

và
1
A
SAM

 đẳng cấu nhau qua đồng cấu
11
:
A

f
SAM SM

 định bởi
()
aam
s
s
fm

Chứng minh:
Vì ánh xạ
11
:gS AM S M

 với (, )
aam
s
s
gm là A-song tuyến
42
tính nên tồn tại một đồng cấu
11
:
A
f
SAM SM


thoả

()
aam
s
s
fm
.
Do hệ thức này nên f là toàn cấu.
Giả sử
1
()
i
i
a
i
s
i
mSAM

 

. Đặt ,
ii j
iji
s
sSt s




, ta có:



11 1
()( )( )
iii
i
aat
iiiiiiii
sssss
ii i i
mmatmatmm    
  
.
Do đó một phần tử bất kỳ của
1
A
SAM


đều có dạng
1
s
m

.
Nếu
1
()0
s
fm thì 0

m
s

, suy ra 0( )tm t S

 , do đó

111
00
t
sstst st
mmtm .
Vậy f đơn cấu, do đó là đẳng cấu.

Hệ quả 3.12:

1
SA

là A-môđun phẳng.


Mệnh đề 3.13:
Ta có
1
1
111
()
A
SA

SA
SM SN S M N



.
Nói riêng,
()
P
P
P
PP
A
AA
M
NMN.





43
Bài tập Chương III.

1) Cho 1n  và p là một số nguyên tố. Gọi :
n





 là phép chiếu chính
tắc và đặt
()Pp

 
.
a. Chứng minh:
P là iđêan thực sự của
n


khi và chỉ khi
|
p
n
.
b. Giả sử
|pn, chứng minh P là idêan nguyên tố của
n


.
c. Giả sử
|
p
n
và
2
|
/

pn
. Chứng minh rằng trong địa phương hóa


n
P


iđêan
P
P
là iđêan 0.
Từ đó suy ra rằng


np
P





.

2) Cho tập con nhân S của một vành A.
a. Chứng minh S cũng là tập con nhân của vành đa thức
[]
A
x
.

b. Chứng minh
11
()[] ([])SAx S Ax


 .
c. Chứng minh
1
1
()
A
SA
S


NN.
3) Tập con nhân S của 1 vành A được gọi là bảo hòa nếu
x
yS xS

và yS

.
a. Chứng minh một tập con nhân S của vành A là bảo hòa khi và chỉ khi
\AS là hợp của những iđêan nguyên tố của A.
b. Cho tập con nhân S của vành A. Đặt
{/ }SxAyAxyS  
.
Chứng minh
S là tập con nhân bảo hòa nhỏ nhất chứa S (ta gọi S là bao

bảo hòa của S).
c. Chứng minh \
A
S là hợp những iđêan nguyên tố của A mà không giao
với S.

4)
Cho A-môđun hữu hạn sinh M và tập con nhân SA . Chứng minh

11
[()] ( )SAnnM AnnSM

 .
5)
Cho tập con nhân S của vành A và 2 A-môđun M,N. Chứng minh:
111
()
AA
SMNSMSN

 
.
6)
Chứng minh nếu A là vành euclide thì
1
SA

cũng là vành euclide (nếu 0 S

).