1
CÁC BÀI TOÁN CÓ NHIỀU LỜI GIẢI


Võ Quốc Bá Cẩn


Bài 1. (Chọn đội tuyển Rumani 1999) Cho
12
,,,
n
aa a
là các số thực
dương thỏa mãn
12
1.
n
aaa
Chứng minh rằng
12
11
11
1
1.
1
n
n a n na a

Chứng minh.

Cách 1. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho
1n
và để ý rằng
1
1,
11
i
ii
a
n
a n a n

ta viết được nó dưới dạng
12
12
1.
1 1 1
n
n
a a a
a n a n a n

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
12
12
2
12
12
1 1 1
,

( 1) ( 1) ( 1)
n
n
n
n
a a a
a n a n a n
aa
a n a n
a
an

ta đưa được bài toán về chứng minh
2
1 2 1 2
( 1).
nn
a a a aa a n n

Do
2
12
1 1
2
n
n i j
i j n
i
i
aa a a aa

nên bất đẳng thức
trên tương đương với
1
( 1)
.
2
ij
i j n
nn
aa

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức AM-GM


2
( 1)
2
1
1
( 1) ( 1)
.
22
nn
i j i j
i j n
i j n
n n n n
a a a a

Bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
1.
n
a aa

Cách 2. Giả sử bất đẳng thức đã cho sai. Khi đó tồn tại các số thực dương
12
,,,
n
aa a
thỏa mãn
12
1
n
aa a
sao cho
12
11
11
1
1,
1
n
n a n na a

hay
12
12
1.

1 1 1
n
n
a a a
a n a n a n

Từ đây sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
12
23
1
23
3
1
1
1
1
1 1 2 3
1
1
1 1 1 1
( 1)
( 1)( 1) ( 1)
1
( 1) .
(1
1
)
n
n
n

n
n
n
n
i
i
a
an
a a a
a a a
n
a n a n a n
n
a n a n a n
an
n
an
an
a
Suy ra
1
1
1
1
(1
1.
(1
)
)
i

n
n
i
a
a
a
n
n

Tương tự ta cũng có
23
1 1 1
23
1 1 1
1, 1, 1.
( 1) (
( 1)
1) ( 1
( 1) (
,
)
1)
n
n n n
n n n
i i i
i i i
n
a a a
a n a n a n

a n a n a n

Nhân các bất đẳng thức này lại theo vế ta thu được
11
(vô lý). Mâu thuẫn
này chứng tỏ điều giả sử ở trên là sai, hay nói một cách khác, bài toán được
chứng minh.
Cách 3. Thực hiện biến đổi tương tự như cách 1, ta phải chứng minh


3
12
12
1.
1 1 1
n
n
a a a
a n a n a n

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
1
1 1 1
1
1
1 1 2
1 2 3
1
1
1 1 1 1

1
1 2 3
1
1
1 1 1 1
1 2 3
1
( 1)
( 1)
( 1)
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n n
n
n n n n
n
n
n
n n n n
nn
n
n
nn

n
a a a
an
a n a a
a n a a
a
a n a a a
a
a a a a
a
a

Tương tự
1
22
1 1 1
2
12
1
33
1 1 1
3
12
1
1 1 1
12
,
1
,
.

1
,
1
n
n
n n n
n n n
n
n
n
n n n
n n n
n
n
n
nn
n n n
n
n n n
n
aa
an
a a a
aa
an
a a a
aa
an
a a a


Cộng
n
bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có ngay điều phải chứng minh.
Cách 4. Ta sẽ chứng minh mệnh đề tổng quát như sau: Nếu
12
,,,
n
aa a
là
các số thực dương thỏa mãn
12
1
n
aa a
và
1,
n
mn
thì
12
11 1
.
1
n nn nn
a m a m
n
a m m

Kết quả bài toán ứng với trường hợp
1.

n
mn

Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp Toán học.


4
Với
2,n
bất đẳng thức trở thành
1 2 2 2 2
11
,
1
n
a m a m m
đúng vì
1
1 2 2 2 2 1 2 2 1 2
2
12
1 2 2 1 2
1 1 2 1 2
1 1 1
( 1) ( 1)
0.
( )(1 )(1 )
a
a m a m m a m m a m
am

a m m a m

Giả sử bất đẳng thức đúng với
2.nk
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng
với
1,nk
tức là: Nếu
12 1
,,,,
kk
aaa a
là các số thực dương thỏa
mãn
112
1
kk
aa aa
và
1
,
k
mk
thì
111 121 11
11 1 1 1
.
1
kkkk k k k
k

a m a m ma m a m

Không mất tính tổng quát giả sử
12 1
,
kk
aaaa
suy ra
1
1.
k
a

Đặt
1
12
1
1, 2,1 ,,
1
, , .
k
i
k
k ik
k
k
a i k
m
a
b

b
a a b m
b
a

Khi đó ta có
12
1
k
bb b
và
1
1
kk
m m k k
nên theo giả thiết quy
nạp, ta sẽ có
12
1 1
.
1
1
k k k kk
b m b m
k
mmb

Thay
i
i

a
b
b
và
1k
k
m
m
b
vào rồi rút gọn, ta thu được ngay
1 11 121
1 1
.
1
k k k kk
k
amam bmam

Từ đánh giá này suy ra ta chỉ cần chứng minh (chú ý
1
1
k
k
a
b
)
11
1
1
.

1
1
k
k
kk
k
k b k
b m m
mb

Bất đẳng thức này tương đương với


5
11
1
1
1
1
1
11
(1 ) (1 )
1,
1
1 (1 )
,
1
(1 ) ( )(1 ) (1 ) 0,
k
kk

k
k
k
k
k
k
k
kk
kk
b m k m
k
bm
mb
b k b
bm
mb
b b m b b k m b

12
1
2 1 1
1
(1 ) (1 ) 0,
(1 ) (1 2 ) ( 1) 0.
k k k
k
kk
k
b m b b kb b b b k
b m b kb k k b b


Bất đẳng thức cuối cùng đúng do
1 1 1
1
1
( 1) (1 ) (1 2 )
(1 2 ).
k k k
k
k
k k b b k b b k b kb
m b kb

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cũng đúng với
1.nk

Theo nguyên lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi
2.n

Bài 2. Cho
, , ,a b c d
là các số thực dương thỏa mãn
1.abcd
Chứng
minh bất đẳng thức sau
2 2 2 2
1 1 1 1
1.
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )a b c d


Chứng minh.
Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề. Nếu
,xy
là các số thực dương, thì
22
1 1 1
.
1
(1 ) (1 )
xy
xy

Chứng minh. Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
( )(1 )
(1 ) 1 (1 ) ,
x x y xy
x xy
yy

suy ra
2
1
.
( )(1 )
(1 )
y
x y xy
x


Tương tự ta cũng có


6
2
1
.
( )(1 )
(1 )
x
x y xy
y

Cộng hai bất đẳng thức này lại, ta được
22
1 1 1
.
( )(1 ) 1
(1 ) (1 )
yx
x y xy xy
xy

Bổ đề được chứng minh.
Cách 2. Tiến hành biến đổi trực tiếp, ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
22
22

1 1 1 ( ) 2 1
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
( ) ( 1)
0.
(1 ) (1 ) (1 )
xy x y x y xy
xy
x y x y xy
xy x y xy
x y xy

Trở lại bài toán. Sử dụng bổ đề trên ta được
22
22
1 1 1
,
1
(1 ) (1 )
1 1 1 1
.
1 1 1
(1 ) (1 )
1
ab
ab
ab
cd ab
cd
ab


Từ đó suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1 1
1.
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
ab
ab
a b c d

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.a b c d

Cách 2. Đặt
5 5 5
4 2 3 3 2 2 4
1 1 1
,,x y z
a b c ab c a bc
và
1,t
ta dễ dàng
kiểm tra được
2 2 2 2
, , , .
yz zt tx xy
a b c d
x y z t
Thay bất đẳng thức đã

cho, ta viết được nó lại thành
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
1.
( ) ( ) ( ) ( )
x y z t
x yz y zt z tx t xy

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được


7
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
()
.
( ) ( ) ( ) ( )
x y z t
x yz y zt z tx t xy
x y z t
x yz y zt z tx t xy

Mặt khác
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ),
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ).
x yz z tx x y x z z t z x
x y z t x z
y zt t xy y z y t t x t y
x y z t y t

Kết hợp với trên, ta suy ra
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
()
1.
( )( ) ( )( )
x y z t
x yz y zt z tx t xy
x y z t
x y z t x z x y z t y t

Cách 3. Đặt
1, ,x y a z ab
và
,t abc
ta dễ thấy
,,
yz

ab
xy

t
c
z
và
.
x
d
t
Thay vào bất đẳng thức đã cho, ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
1.
( ) ( ) ( ) ( )
x y z t
x y y z z t t x

Gọi
P
là vế trái của bất đẳng thức trên. Sử dụng lần lượt các bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 ( ) ( )
x x t y y x z z y t t z
P
x y x t y z y x z t z y t x t z
x y z t x y yz zt tx
x y z t x t y z
x y z t x t y z
x y z t
2 2 2
1.
( ) ( )x t y z



8
Cách 4. Đặt
4 4 4 4
1 1 1 1
, , ,a b c d
x y z t

( , , , 0)x y z t
thì ta cũng
có
1.xyzt

Khi đó
8 8 6
2 4 2 4 2 3 2
1
.
(1 ) ( 1) ( ) ( )
x x x
a x x xyzt x yzt

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
6 6 6 6
3 2 3 2 3 2 3 2
1.
( ) ( ) ( ) ( )
x y z t
x yzt y ztx z txy t xyz

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta đưa được bài toán về
chứng minh
3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .x y z t x yzt y ztx z txy t xyz

Thực hiện khai triển và rút gọn, ta được
3 2 2 233
2 2 .
sym
x yzt y z txy

Bất đẳng thức này đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
3 3 3

3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 3
4
2 2 ,
33
2
.
33
sym
sym
y z t
x yzt x x y
y z z t t y
y z t x y

Phép chứng minh hoàn tất.
Bài 3. (Olympic Toán Ukraine 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực
dương
, , , , , ,a b c x y z
bất đẳng thức sau đây luôn được thỏa mãn
2
( ) 4( )( ).ay az bz bx cx cy ab bc ca xy yz zx

Chứng minh.
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
2
( ) ( )
4 ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( ) .
bc y z yz b c
VP a y z x b c
y z y z
bc y z yz b c
a y z x b c
y z y z

Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh được


9
( ) ( )
( ) ( ) .
bc y z yz b c
ay az bz bx cx cy a y z x b c
y z y z

Bất đẳng thức này tương đương với
( ) ( )
,
bc y z yz b c
bz cy
b c y z

22
()
.
b z c y yz b c
b c y z


Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2 2 2
11
( ) ( ) .b z c y b c
zy

Từ đó suy ra
22
()
.
11
b z c y b c yz b c
b c y z
zy

Phép chứng minh được hoàn tất.
Cách 2. Lấy căn bậc hai của hai vế và chú ý rằng
( )( ) ( ),ay az bz bx cx cy a b c x y z ax by cz

ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng
2 ( )( ) ( )( ).ax by cz ab bc ca xy yz zx a b c x y z

Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 2( ) 2( )
[ 2( )][ 2( )]
( )( ) .
VT a b c x y z ab bc ca xy yz zx

a b c ab bc ca x y z xy yz zx
a b c x y z VP

Cách 3. Tương tự như cách 2, ta phải chứng minh rằng
2 ( )( ) ( )( ).ax by cz ab bc ca xy yz zx a b c x y z

Để ý rằng đây là một bất đẳng thức thuần nhất cho các bộ số
( , , )a b c
và
( , , ).x y z
Vì thế, không giảm đi tính tổng quát, ta hoàn toàn có thể giả sử
rằng
1.a b c x y z
Lúc này, áp dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có


10
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
( ) ( )
2 2 2
2( ) 2( )
22
( ) ( )
1 ( )( ).
22
a x b y c z
VT ab bc ca xy yz zx

a b c ab bc ca x y z xy yz zx
a b c x y z
a b c x y z

Bài 4. (IMO 2008) Cho
,, 1x y z
và
1.xyz
Chứng minh rằng
2 2 2
1.
1 1 1
x y z
x y z

Chứng minh.
Cách 1. Đặt
, , ,
1 1 1
x y z
a b c
x y z
khi đó ta có
,,.
1 1 1
a b c
x y z
a b c

Do giả thiết

1xyz
nên
( 1)( 1)( 1),abc a b c
suy ra
1.a b c ab bc ca

Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về
2 2 2
1.a b c
Để ý rằng
1 2 1 2( ) 1,a b c ab bc ca

ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng
2 2 2
2( ) 1.a b c a b c ab bc ca

Không mấy khó khăn, ta có thể phân tích bất đẳng thức cuối thành
2
( 1) 0a b c

là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Chứng minh hoàn tất.
Cách 2. Do
,, 1x y z
và
1xyz
nên tồn tại các số thực
,,a b c
sao cho
2 2 2
,,

bc ca ab
x y z
a b c
(chẳng hạn
33
3
1 1 1
,,a b c
x y z
). Khi đó,
bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng thuần nhất là
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1.
( ) ( ) ( )
a b c
a bc b ca c ab

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có


11
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
()
.
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a bc b ca c ab


Lại có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,a b c a bc b ca c ab ab bc ca

nên kết hợp với trên, ta dễ dàng suy ra được điều phải chứng minh.
Cách 3. Dễ thấy tồn tại các số thực phân biệt
,,a b c
sao cho
,
a
x
b

,.
bc
yz
ca
Thay vào, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
2 2 2
1.
( ) ( ) ( )
a b c
a b b c c a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .VT a b a c a a c b b a c c b


Đến đây, với chú ý ở đẳng thức
0xy yz zx
trong đó
( )( ), ( )( ), ( )( ),x a b a c y b c b a z c a c b

ta thấy
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( ) 2( )
( ) ,
a b a c x y z x y z xy yz zx
x y z

mà
( )( ) ( ) ( ) ( ),x y z a b a c a a c b b a c c b
nên từ
trên, ta có ngay điều phải chứng minh.
Bài 5. Cho
,,A B C
là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng
2 2 2
cos cos cos 1
.
cos 1 cos 1 cos 1 2
A B C
A B C

Chứng minh.
Cách 1. Đặt

cot , cotx A y B
và
cotzC
thì ta có
, , 0x y z
và
1.xy yz zx
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có


12
2
22
22
2
2
22
2
33
22
2
33
2
1
cos
1
cos 1
1
11
1

1
( )( )
1
.
2( ) 2( )
x
x x x
Ax
x
Ax
x
x x x
x
xx
xx
x y x z
x
xx
x
x y x z

Tương tự ta cũng có
2 3 3
2
2 3 3
2
cos
,
cos 1 2( ) 2( )
cos

.
cos 1 2( ) 2( )
B y y
y
B y z y x
C z z
z
C z x z y

Từ đây suy ra
2 3 3 3 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
cos
cos 1 2( ) 2( ) 2( )
2 2 2
1
.
22
A x y y z z x
x y z
A x y y z z x
x xy y y yz z z zx x
x y z
xy yz zx

Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho là tam giác đều.
Cách 2. Đặt

cos , cosx A y B
và
coszC
thì ta có
, , 0x y z
và
2 2 2
2 1.x y z xyz
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
2 2 2
1.
1 1 1
x y z
x y z

Thay
2 2 2
12x y z xyz
và để ý rằng
22
2
2 (1 )
,
11
x x x
x
xx
ta có
thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng

2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )
2.
1 1 1
x x y y z z
xyz
x y z

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có


13
2 2 2 2 2 2
3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 )
3.
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x x y y z z x y z x y z
x y z x y z

Sử dụng các kết quả quen thuộc trong tam giác nhọn
(1 cos )(1 cos )(1 cos ) cos cos cos ,A B C A B C

3
cos cos cos ,
2
A B C

ta thu được
(1 )(1 )(1 )x y z xyz

và
3
.
2
x y z
Từ đó dẫn đến
2 2 2 2 2 2
3
3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 )
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
3
(1 )(1 )(1 )
99
2.
33
3
2
x x y y z z x y z x y z
x y z x y z
xyz
x y z
xyz xyz
xyz
x y z

Cách 3. Thay
2 2 2
cos

2
b c a
A
bc
vào, ta được
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
cos ( )
.
cos 1
2[ ( ) ]
1
2
b c a
bc
A b c a
A
b c a bc b c a bc
bc

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
1.
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c

bc b c a bc ca c a b ca ab a b c ab

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2 2 2 2
2 2 2
()
.
( ) ( ) ( ) ( )
a b c
VT
bc b c ca c a ab a b abc a b c

Mà
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0a b c bc b c abc a b c a a b a c

theo bất đẳng thức Schur bậc 4 nên kết hợp với trên, ta có ngay điều phải
chứng minh.


14
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, , ,a b c
ta luôn có
33
1 1 1 3
.
( 1) ( 1) ( 1)
1
a b b c c a

abc abc

Chứng minh.
Cách 1. Áp dụng kết quả quen thuộc
2
( ) 3( ),x y z xy yz zx
ta có
thể đưa bài toán về chứng minh
2
3
3
2 2 2
13
,
( 1)( 1)
1
ab b c
a b c abc

hay là
2
3
3
2 2 2
3
.
( 1)( 1)( 1)
1
a b c ab bc ca
abc a b c

a b c abc

Bây giờ, để ý rằng
( 1)( 1)( 1) ( 1) ( ),a b c abc a b c ab bc ca

3
3
2 2 2
33a b c ab bc ca abc a b c

và hàm số
()
t
ft
tk
luôn tăng với mọi
, 0.tk
Do đó, ta dễ dàng thu
được
3
3
2 2 2
3
3
2 2 2
2
3
3
2 2 2
33

( 1)( 1)( 1)
( 1) 3 3
3
.
1
a b c ab bc ca a bc a b c
abc a b c
abc abc abc a b c
a b c abc

Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.a b c

Cách 2. Để ý rằng
1 1 ( 1)
1,
( 1) ( 1) 1
abc a b c
a b a b a
ta có
3
3
1 1 1 1 ( 1)
3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
3
3.
abc abc abc a b c
a b b c c a a b b
abc

abc



15
Từ đó, ta được
3
3
33
3
33
1 1 1 3
.
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
abc
abc
a b b c c a abc
abc abc

Cách 3. Đặt
3
,abc k
khi đó ta dễ dàng chứng minh được tồn tại các số
dương
,,x y z
sao cho
, , .
ky kz kx
a b c

x y z
Với phép đặt ẩn này, bất
đẳng thức của ta được đưa về
1 1 1 3
,
( 1)
1 1 1
kk
ky kz kz kx kx ky
x y y z z x

tương đương
3
.
1
x y z
y kz z kx x ky k

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
2
()
( ) ( ) ( )
( ) 3
.
( 1)( ) 1
x y z x y z
y kz z kx x ky x y kz y z kx z x ky
x y z
k xy yz zx k


Bất đẳng thức được chứng minh xong.
Bài 7. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thỏa mãn
1.ad bc
Chứng minh
2 2 2 2
3.a b c d ac bd

Chứng minh.
Cách 1. Thay
3 3( )ad bc
vào, ta viết được bất đẳng thức dưới dạng
2 2 2 2
3( ),a b c d ac bd ad bc

tương đương
2 2 2 2
3 3 .a b c d a d c b c d

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có


16
22
22
33
3 , 3 .
44

d c c d
a d c a b c d b

Từ đó suy ra
22
22
2 2 2 2
33
33
4
.
d c c d
a d c b c d a b
a b c d

Chứng minh hoàn tất.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2 3 .
23
ad bc
a d c
b c d

Cách 2. Để ý rằng
2 2 2 2
2 2 2 2
31
( ) ( ) ,
44

13
( ) ( ) .
44
a c ac a c a c
b d bd d b d b

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
2 2 2 2
3( ) ( ) ( ) 3( ) 4 3.a c d b a c d b

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
22
22
3( ) ( ) 2 3( )( ),
( ) 3( ) 2 3( )( ).
a c d b a c d b
a c d b a c d b

Từ đây suy ra
2 3 ( )( ) ( )( ) 4 3( ) 4 3.VT a c d b a c d b ad bc

Cách 3. Sử dụng giả thiết
1,ad bc
ta có
2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1.a b c d ac bd ad bc ac bd

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2

( ) ( ) 2 ( )( )
2 ( ) 1.
a b c d a b c d a b c d
ac bd

Do đó ta ta chỉ cần chứng minh
2
2 1 3xx
với
.x ac bd



17
Rõ ràng vế trái của bất đẳng thức này luôn dương, vì thế ta có thể lấy bình
phương hai vế để thu được bất đẳng thức tương đương
2
2
2 1 3.xx

Ta có
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 1 4(1 ) 4 1
(1 ) 4 1 4 3
1 2 3 3.
x x x x x x

x x x x
xx

Bài toán được chứng minh xong.
Bài 8. (Chọn đội tuyển Iran 2009) Cho
,,a b c
là các số thực dương thỏa
mãn
3.a b c
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
4
2 2 2a b b c c a

Chứng minh.
Cách 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
.
2
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( 2) ( 2) ( 2)
( )( )
.
3
a b b c c a
VT
a b b c c a
a b c a b a c
a b c

Do đó ta chỉ cần chứng minh
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2 ( )( ) 3( 3).a b c a b a c a b c

Bất đẳng thức này tương đương với
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 ( )( ) 9,
2 ( )( ) ( ) ,
( )( ) .
a b a c a b c
a b a c a b c a b c
a b a c a b c ab bc ca




18
Bất đẳng thức cuối đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) .a b a c a bc a b c ab bc ca

Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.a b c

Cách 2. Tương tự như cách 1, ta phải chứng minh
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
,
2
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a

tương đương
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
.
2
2( ) 2( ) 2( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a

a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4( )
.
2( ) 2( ) 2( )
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a

Như vậy, bất đẳng thức đã cho sẽ được chứng minh nếu ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( )
( ) ( ) ( ) 24.
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a

Đến đây, ta thấy

2 2 2 2
41
12 ( ) ( ) ( ) ( )
33
a b a b c a b a b

và
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )
12
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a

nên bất đẳng thức này tương đương với
2 2 2
2 2 2 2 2 2
6 6 6
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0.a b b c c a
a b b c c a

Với giả thiết
,a b c
ta thấy ngay bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng
nếu
22
6,ab
và vì thế bài toán của ta cũng được chứng minh trong
trường hợp này. Xét trường hợp ngược lại
22

6,ab
khi đó ta có
22
11
8
2ab
và


19
do
2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 8 2
11
( 0 6).
82
a c b c a b b b
b

Điều này dẫn đến
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3
,
8 8 2 4
2 2 2a b b c c a

và bài toán của ta được giải quyết hoàn toàn.
Cách 3. Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Nếu

,,x y z
là các số thực
dương, thì
1 1 1 3
.
2( )
x y z
y z z x x y xy yz zx x y z

Nhân hai vế của bất đẳng thức này cho
xy yz zx
và để ý rằng
,
xy yz zx yz
x
y z y z

ta viết được nó dưới dạng
3( )
.
2( )
yz zx xy xy yz zx
y z z x x y x y z

Nhân tiếp hai vế cho
x y z
rồi sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
( ) ( )
,
4

( ) ( )
,
4
( ) ( )
.
4
yz x y z xyz x y z
yz yz
y z y z
zx x y z yzx y z x
zx zx
z x z x
xy x y z zxy z x y
xy xy
x y x y

Cộng ba bất đẳng thức này lại, ta được
3
( ) ( ).
2
xy yz zx
x y z xy yz zx
x y y z z x

Từ đây ta thu được kết quả như trên.
Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức trên với
2 2 2
1, 1, 1,x a y b z c

ta được



20
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 3 3
2 ( 1)( 1) 2( 3)
33
2( ) 3 2( 3)
33
.
2( 3)
2( ) 3
3
a b c
a b a b a b c
a b c
a b a b c a b c
a b c
a b c
ab
a b c

Vậy ta chỉ cần chứng minh
2 2 2

2 2 2 2
2 2 2
3 3 3
.
4
2( 3)
2( ) 3
3
a b c
a b c
ab
a b c

Đặt
,q ab bc ca
ta có
2 2 2
9 2 .a b c q
Thay vào, bất đẳng
thức trên được viết lại thành
2
3
2
9 2 3 3 3
,
2(9 2 3) 4
2(9 2 ) 3
3
3( 3)
0.

4( 12 63)(6 )
q
q
q
q
q
q q q

Bất đẳng thức cuối đúng do
2
()
3.
3
a b c
q ab bc ca

Bài 9. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thỏa mãn
2 2 2 2
( 1)( 1)( 1)( 1) 16.a b c d

Chứng minh rằng
3 5.ab ac ad bc bd cd abcd

Chứng minh.
Cách 1. Để ý rằng
2 2 2 2
2 2 2
( 1)( 1) (1 ) ( ) ,

( 1)( 1) ( 1) ( ).
a b ab a b
c d cd c d

Từ đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được


21
2
2
16 (1 )( 1) ( )( )
( 1) .
ab cd a b c d
ab ac ad bc bd cd abcd

Từ đây ta suy ra
35ab ac ad bc bd cd abcd

là điều phải chứng minh.
Cách 2. Do
2 2 2
1 ( )( )a a i a i a i
nên
16 ( )( ) ( ) ( ) .a i a i a i a i

Ta có
2 3 4
2 3 4
()
1

1,
()
1
1.
sym
sym
sym
sym
sym
sym
a i abcd i abc i ab i a i
abcd i abc ab i a
abcd ab i a abc
a i abcd i abc i ab i a i
abcd i abc ab i a
abcd ab i a abc

Do đó tích
( ) ( )a i a i
có dạng
22
( )( ) ,A Bi A Bi A B

từ đây suy ra
22
2
16 1 1 ,
sym sym
abcd ab a abc abcd ab


suy ra
3 5.ab ac ad bc bd cd abcd

Bài toán được chứng minh xong.
Cách 3. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
4 1 4,
( ) 1 4,
( ) 1 16.
ab ac ad bc bd cd abcd
a b c d bcd bc bd cd
a b c d bcd bc bd cd

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được


22
2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( ) ( 1)
( 1)( 1)( 1)( 1) 16.
VT a b c d bcd bc bd cd
a b c d

Suy ra ta chỉ cần chứng minh
2 2 2 2 2
( ) ( 1) ( 1)( 1)( 1).b c d bcd bc bd cd b c c

Thực hiện khai triển và rút gọn, ta được ngay một hằng đẳng thức đúng.
Bài 10. (Olympic Toán Belarus 1998) Cho

,,a b c
là các số thực dương.
Chứng minh rằng
1.
a b c a b b c
b c a b c a b

Chứng minh.
Cách 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
( 2 )
1 2 .
( )( )
a b c a b b c a b c
b c a b c a b a b b c

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2
22
2
()
1
( 2 )
.
( )( )
a b c a b c b a b c b
b c a ab bc ca
b ab bc ca b
a b c
a b b c


Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.a b c

Cách 2. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho
,bc
ta được
2
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2,
()
,
()
2 2 0.
a a b b b c c b c b c
a b c
b c a a b
ac bc c b b c
bc
b a a c a b
ac bc b c b c
c c b b
b a c a a b

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do
22
2 2 2 2

2 2 , 2 2 ,
()
.
ac bc ac bc b b
c c c b
b a b a c c
c c b c b
b
a a b a b



23
Cách 3. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
1,
2
.
( ) ( ) ( )
a a b b c c b
b b c c b c a a b a b
ac b bc a b
b b c c b c a a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
2
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )

.
ac b bc a b c
b c a b
b b c c b c a a b b
ac ab bc
b c a

Bài toán được quy về chứng minh
2
2 ( )
( ) ( ) .
ab bc ca a b a b c
b c a b
c a b a b b

Bất đẳng thức này tương đương với
( 2 )(2 )
2 2 2 2 4 2 ,
ab bc ca a b b c ac
a b c a b c
c a b b b

2
ab bc
b
ca
(đúng theo AM-GM).
Bài toán được chứng minh xong.
Cách 4. Đặt
,,

ac
xy
bb
ta có
11
, , .
11
c y a b x b c y
a x b c y a b x

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
1 1 1
1.
11
y x y
x
y x y x

Sau khi khai triển và rút gọn, ta được
3 2 2 3 2 2 2
2 2 .x y x x y y x y xy xy

Bất đẳng thức cuối này đúng vì theo AM-GM, ta có
3 2 3 2 3 3
2 2 2 2
, 2 , 2 .
22
x y x x y x y y
x y xy x y xy


Cách 5. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


24
2 2 2 2
( ) 3 ( ) 2 ,
( )( )
2 2 2 .
( )( )
a b c a b b c
a b c a b c
b c a b c a b
a b c ab bc ca a b c a c
a b c
b c a c a b a b b c

Do
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
0
2
ab bc ca a b c b c a c a b
a b c
c a b abc

và
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )a b c a b b c c a
a b c
b c a b c a


nên ta chỉ cần chứng minh
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ).
a b b c c a a b c a c
b c a a b b c

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
a b b c
a b b c a c
b c b c b c

Suy ra ta chỉ cần chứng minh
2 2 2
( ) ( ) ( )( )
.
( )( )
a c a c a b c a c
b c a a b b c

Bất đẳng thức cuối này đúng vì
1 1 ( )
0.
( )( ) ( )( )

a b c b a b c
a b c a b b c a a b b c

Bài 11. Chứng minh rằng với mọi
,,a b c
dương, ta đều có
4 2 2 4 2 2 4 2 2
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c
a bc b ca c ab

Chứng minh.
Cách 1. Sử dụng tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa cho
1.abc
Bất đẳng
thức cần chứng minh trở thành
6 6 6
3 3 3
2 2 2

( 2) ( 2) ( 2)
a b c
a b c
a a b b c c

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có



25
3
3
33
6 2 2 10 3 3
( 1 1)( 1)( 1 ) ( 2) ,a a a a a a a a a a

từ đó suy ra
63
3 2 2
2 2 3
1.
( 2) 1 1
aa
a
a a a a a a

Bằng cách thiết lập hai bất đẳng thức tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta
có thể đưa bài toán về chứng minh
2 2 2
1 1 1
1.
1 1 1a a b b c c

Đặt
2 2 2
,,
yz zx xy

a b c
x y z
với
, , 0,x y z
ta được
4 4 4
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
1.
x y z
x x yz y z y y zx z x z z xy x y

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với kết quả cơ bản
2 2 2 2 2 2
( ),x y y z z x xyz x y z
ta có
2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
()
( ) ( ) ( )
()
1.
( ) 2( )
x y z
VT
x y z xyz x y z y z z x x y
x y z
x y z y z z x x y


Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.a b c

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có
4 2 2 2 2 2 3
( )( )( ) ( 2 ) ,a b c b c a b c a c b a bc

suy ra
4 2 2 2
2
22
.
2
a b c a bc
a b c
a bc

Từ đó, ta được
2 2 2
2 2 2
.
a bc b ca c ab
VT a b c
a b c a b c a b c

Cách 3. Trước hết, ta sẽ chứng minh
2 2 2
.
2 2 2

a b c a b c
ab bc ca
a bc b ca c ab