Cac dang toan on thi vao lop10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (320.17 KB, 25 trang )

1
Các chú ý v lời giảI cho một số bi toán cơ bản

A. toán rút gọn biểu thức
I. Ví dụ : Rút gọn biểu thức
2x x 3x 3 2x 4
P:1
x9
x3 x3 x3

( với x
0,x 1,x 9)
Giải : Với x
0,x 1,x 9 ta có

2x x 3 x x 3 3x 3 2x 4 x 3

P:
x3
x3 x3

2x6xx3x3x32x4 x3 3x3 x1
::
x3 x3
x3 x3 x3 x3
3x1 x3
3
x3
x3 x3 x1

II. Chú ý :

Khi rút gọn các biểu thức l các phép tính giữa các phân thức ta thờng
tìm cách đa biểu thức thnh một phân thức sau đó phân tích tử v mẫu
thnh nhân tử rồi giản ớc những thừa số chung của cả tử v mẫu.

Trờng hợp đề bi không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm
điều kiện cho biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng v các thừa
số đã đợc giản ớc để tìm điều kiện.

Ví dụ với bi ny : + Biểu thức cuối cùng cần
x0

+ Các thừa số đợc giản ớc l :
x1v x3 cầnx1v x9

Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa l x
0,x 1,x 9

B. phơng trình bậc hai v định lí viét

I. Ví dụ
Đề bi 1:
Cho phơng trình x
2
(2m-1)x + m 1 = 0
a. Giải phơng trình với

5
m
3

b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2
= -1
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
22
12
xx1

k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
v x
2
của phơng trình
l. Tìm GTNN của
12

xx
m. Tìm GTLN của

222 2
122 1
x1x x14x

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
v x
2
, chứng minh biểu thức sau không phụ
thuộc vo m

12
22
12 21
x1x1
xx xx

B
Giải :

a. Giải phơng trình với

5
m
3

Với
5
m
3

ta có phơng trình :
22
72
xx 03x7x20
33

2
7 4.3.2 49 24 25 0; 5 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
75 1 75
x;x2
63 6

Vậy với
5
m

3

phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt l
1
v 2
3

b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0vớimọi m 2m 1 1 1 0vớimọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m

c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi

ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1

Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

2
2m 2 1 0( luôn dúng)
0
m10 m 1
ac 0 m 1 0

Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng

Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi

2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b2m10
2
0
a

Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng.

f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3

2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 vô n
g
hiệm

2m 1
m
b2m10
2
0
a

Vậy không có giá trị no của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau :
Phơng trình có một nghiệm dơng v một nghiệm bằng 0
Thay x = 0 vo phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vo phơng trình
ta đợc
x
2
- x = 0

xx 1 0 x 0hoặcx 1 ( thỏa mãn )
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện l :

2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b2m10
2
0
a

Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện l :

ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1
Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2

2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
c
m1
a

Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau khi x
1
.x
2
= 1
m11 m 2

Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau.
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2
= -1
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet v đề bi ta có :
12

12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
2x 5x 1 (3)

Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc :
5x
1
+ 5x
2
2 x
1
5x
2
= 10m 5 + 1
11
10m 4
3x 10m 4 x
3

(4)
Thay (4) vo (1) ta có :
22
10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m
x 2m1 x 2m1
3333

(5)
Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
4

2
2
2
12
10m 4 1 4m
. m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16m 9m 9
33
40m 17m 5 0
17 4.40. 5 1089 0; 33
17 33 1 17 33 5
m;m
80 5 80 8

Vậy với
15
mhoặcm
58

thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
bi.
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
22
12
xx1

Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :

12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)

Theo đề bi :

2
22 22
12 12 12 12 12 12
xx1xx2xx2xx1 xx 2xx1(3)

Thay (1) v (2) vo (3) ta có (2m 1)
2
2(m 1) = 1

22 22
(2m - 1) - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 6m 2 0 2m 3m 1 0

Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l m
1
= 1 ; m
2
=
c1
a2

Vậy với
1
m1hoặcm
2

thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
bi.
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
v x
2
của phơng trình
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

12
12
12
12
xx1
xx 2m1
m
2
x.x m 1
mx.x 1

12
12 1 2 12
xx1
x.x 1 x x 2x.x 1
2

Vậy hệ thức cần tìm l
12 12
xx2x.x 1
l. Tìm GTNN của
12
xx
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :

12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)

Đặt A =

22 2
222
12 12 12 1 122 12 12
xx 0 A xx xx x2xxx xx 4xx
Thay (1) v (2) vo ta có

2 2
222
A2m14m14m4m14m44m8m412m211 với mọi m
(3)
M
A0nêntừ(3) A1vớimọim
Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)
2
= 0 m1

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
5
Vậy GTNN của
12
Axx l 1 xảy ra khi m = 1
m. Tìm GTLN của

222 2
122 1
x1x x14x
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :

12
12

xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)

Ta có

2
2
222 22222
122 1121212 1212
Ax1x x14x x x 5xx x x 2xx 5xx
(3)
Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc :

22
22 2
2
2
A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2
2m4m42m2

Vì

22
m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m
Dấu bằng xảy ra khi (m 2)
2
= 0 hay m = 2
Vậy GTLN của

222 2
122 1
Ax1x x14x l 2 khi m = 2
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
v x
2
,
chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m :
12
22
12 21
x1x1
xx xx

B
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4

2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1

Vì

22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)

22
12 12
112 2
12
2 2 22 22
12 21 1 2 1 2
22
12 12 12
22 2
12
2
22
222
xx xx
x1.x x1.x
x1x1
Ta có:
xx xx xx xx
xx xx 2xx 2m1 2m12m1
xx
m1
4m 1

4m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4
4
m1 m1 m1

B

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vo giá trị của m.

Đề bi 2.
Cho phơng trình (m+1)x
2
- 2(m+2)x + m + 5 = 0
a. Giải phơng trình với m = -5
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của
22
12
Ax x
j. Tìm m để A = 6
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
6
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
. Khi đó
hãy lập phơng trình có hai nghiệm l

12
21
6x 1 6x 1
v
3x 3x

Giải :

a. Giải phơng trình với m = -5
Thay m = -5 vo phơng trình ta có : -4x
2
+ 6x = 0

x0
2x 0
3
2x 2x 3 0
2x 3 0
x
2

Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm l 0 v
3
2

b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. Phơng trình có một
nghiệm x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có nghiệm khi
1
2m 1 0 m
2

Tóm lại phơng trình có nghiệm khi
1

m
2

c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
2m 1 0 m
2

( thỏa mãn )
Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
m1hoặcm
2

Chú ý :

Trờng hợp phơng trình bậc hai có
0

cũng đợc coi l có
nghiệm duy nhất

d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
2m 1 0 m
2

Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
mv m1
2

e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
7
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

m10 m 1
(vô nghiệm)
m50 m 5
m1m5 0 5m 1

m10 m 1
m50 m 5

Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau :
Để (1) xảy ra thì m + 1 v m + 5 l hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5
nên (1) xảy ra khi

m + 1 <0 m<-1
5m 1
m + 5 >0 m>-5

Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ

ngoi cùng trong khác

v dịch nh sau : ngoi khoảng hai nghiệm thì vế
trái cùng dấu với hệ số a
, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với
hệ số a ( hệ số a l hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở
đây l nghiệm của đa thức vế trái )
Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm l -1 v -5 , dạng khai triển l m
2

+ 6m + 5 nên hệ số a l 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức l khác dấu với hệ số a
nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức l -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )(
m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức
l m < -5 hoặc m > -1
Một số ví dụ minh họa :

m3m7 0 m 7hoặcm3; 2m43m9 0 3m2
2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4hoặcm 5

f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi

11
mm1
2m 1 0
0
22
ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I
b
2m 2 m 2 m 1 0 m 2hoặcm 13
0
0
a

m1
1
m5hoặc1m
2

Chú ý :

Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền
các số mốc lên đó v lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng
nghiệm chung v kết luận. Việc lm đó diễn tả nh sau :

5
2
1
1
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
8

ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt l các đờng lấy nghiệm của các bất
phơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m <
1
2

l
các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó l tập

nghiệm của hệ bất phơng trình (I)

g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có
0

Tức l

m1
m1
1
2m 1 0
m
2

Khi đó theo đề bi v định lí Viet ta có

12
12
12
2m 2
b

xx 1
am1
cm5
x.x 2
am1
x3x 4 3

Từ (1) v (3) ta có hệ phơng trình
12 1 2 1
12
12
22 2
2m 4 2m 4 2m 4 m m 4
2m 4

xx x x x
xx
m1 m1 m1 m1 m1
m1
2m 4 m m
x3x 4
2x 4 x x
m1 m1 m1

Thay vo (2) ta có phơng trình :

22
m4 m m5
.m4.mm5m1dom1
m1m1 m1
5
m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn
2

Vậy
5
m
2

l giá trị cần tìm.
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22

m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
9
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l

m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2

Khi đó theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
m5
m1

Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải
thỏa mãn điều kiện (1) v

m5
1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn
m1

Vậy m = -3 l giá trị cần tìm.
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của
22
12
Ax x
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0

x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l

m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2

Khi đó theo định lí Viet :

12
12
2m 2
b
xx 1
am1
cm5
x.x 2
am1

2
2
22 2 2
1 2 1 12 2 12 1 2 12
2
22 2
222
2m 5
2m 4
Tacó A x x x 2x x x 2x x x x 2x x
m1 m1
2m 4 2 m 5 m 1
4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6
m1 m1 m1

2
2
2m 4m 6 1
Vậy A với m 1v m
2
m1

j. Tìm m để A = 6

2
2
2m 4m 6 1
Ta có A với m 1v m
2
m1

2
2
2
2
22 2
12m4m6
Với m 1v m tacó A 6 6 2m 4m 6 6 m 1
2
m1
2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0hoặcm 2

Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
.
Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm l
12
21

6x 1 6x 1
v
3x 3x

Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2

. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
10

2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1

Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l

m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2

Thay x =
1
2
vo phơng trình đã cho ta có
(m+1).(
1
2
)
2
- 2(m+2).
1

2
+ m + 5 = 0

m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa
mãn (1))
Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
.
Thay m = -13 phơng trình trở thnh -12x
2
+ 22x - 8 = 0 6x
2
- 11x + 4 = 0
Theo định lí Viet :
12 12
11 4 2
xx :xx
663

. Khi đó :

2
2
22

12 12 12
1 2 11 22
2 1 12 12
11 2 11
6. 12.
6x x 12xx x x
6x 1 6x 1 6x x 6x x
14
636
7
2
3x 3x 3x x 3x x 2
3.
3

12 1 2
12
21 12
211
36. 6. 1
36x x 6 x x 1
6x 1 6x 1

36
36
.6
2
3x 3x 9x x 6
9.
3

Do đó phơng trình cần tìm có dạng y
2
- 7y + 6 = 0 (2)
Chú ý :

Phơng trình (2) không nên lấy ẩn l x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình
của đề bi

II. Chú ý :
Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng l m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa
bậc hai)ta cần xét riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp ny có
thỏa mãn yêu cầu của đề bi hay không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng
định đó l phơng trình bậc hai rồi mới đợc tính

.
C. hm số v đồ thị

I. Ví dụ

Đề bi 1:
Cho hm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m

5
2
có đồ thị l đờng
thẳng d
Tìm giá trị của m để
a. Góc tạo bởi (d) v v trục Ox l góc nhọn, góc tù ( hoặc hm số đồng biến, nghịch
biến)
b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4
d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2
g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm)
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
11
i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục
honh)
j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung

Giải :

Hm số có a = 2m 5 ; b = 3
a. Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn, góc tù
Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn khi đờng thẳng d có hệ số a > 0

2m 5 >0 m >
5
2
( thỏa mãn)
Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi đờng thẳng d có hệ số a < 0
2m 5 <0 m <
5
2
( thỏa mãn )
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn khi m >
5
2

góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi m <
5
2

b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d ta có
-1 = 2. ( 2m - 5) + 3
4m 10 + 3 = -1

m =
3
2
( thỏa mãn)
Vậy với m =
3
2
thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)

Chú ý :

Phải viết l

Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d
,

không đợc viết l

Thay x = 2 ; y = -1 vo đờng thẳng d

c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4
(d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4

2m 5 3 m 4
m4
34 34

( thỏa mãn)
Vậy m = 4 l giá trị cần tìm

d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
Ta có 3x + 2y = 1

31
yx
22

(d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1

(d) song song với đờng thẳng
31
yx
22

37
2m 5 m
7
24
m
11
4
33
22

( thỏa mãn) . Vậy
7
m
4

l giá trị cần tìm

e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0
Ta có 2x - 4y - 3 = 0

13
yx
24

(d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0

(d) luôn cắt đờng thẳng
13
yx
24

111
2m 5 m
24

. Kết hợp với điều kiên ta có m

5
2
v
11
m
4

l giá trị cần tìm.
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2
Thay x = -2 vo phơng trình đờng thẳng
2x + y = -3 ta đợc 2. (-2) + y = -3

y = 1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
12
(d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vo phơng trình
đờng thẳng d ta có 1 = ( 2m 5 ). (-2) + 3

-4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa mãn).
Vậy m = 3 l giá trị cần tìm.

g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm)
Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3
x =
3
2m 5

(d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung

35
02m50m
2m 5 2

( thỏa
mãn).
Vậy
5
m
2

l giá trị cần tìm.
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục
tung)
(d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1
2m 5

3

m

4
Honh độ giao điểm của (d) v đờng thẳng y = 3x + 1 l nghiệm của phơng trình ẩn x

sau :
( 2m 5 )x + 3 = 3x + 1
( 2m - 8)x = -2

2
x
2m 8

( vì m 4 )
(d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm

2
02m80m4
2m 8

( thỏa mãn các điều kiện m

5
2
v m 4 )
Vậy m > 4 l giá trị cần tìm.

i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục
honh)
* (d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3

2m 5

5

m

5
* Honh độ giao điểm của (d) v đờng thẳng y = 5x - 3 l nghiệm của phơng trình ẩn x
sau :
( 2m 5 )x + 3 = 5x - 3
( 2m - 10)x = -6

63
x
2m 10 m 5

( vì m 5 )
Thay
3
x
m5

vo phơng trình đờng thẳng y = 5x - 3 ta có y =
3153m153m

5. 3
m5 m5 m5

(d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dơng

3m
03mm50mm500m5
m5

Kết hợp với các điều kiện ta có 0 < m < 5 v m

5
2
l giá trị cần tìm

j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung
Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ ( x
0
; y
0
). Khi đó :
y

0
= ( 2m 5 )x
0
+ 3 với mọi m 2x
0
m 5x
0
y
0
+ 3 = 0 với mọi m

00
00 0
2x 0 x 0
5x
y
30
y
3

Vậy (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung có tọa độ l ( 0 ; 3 )

Chú ý đề bi 1:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
13
* Ta luôn so sánh m tìm đợc với điều kiện của đề bi l
m
5
2
( điều ny rất
rất hay quên)
* Nếu đề bi chỉ

Cho phơng trình bậc nhất

m không cho điều kiện ta vẫn
phải đặt điều kiện để phơng trình l phơng trình bậc nhất ( tức l phải có a

0 v lấy điều kiện đó để so sánh trớc khi kết luận)
Đề bi 2:
Cho đờng thẳng d có phơng trình y = ( m + 1)x 3n + 6 . Tìm m v n để :
a. (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1)
b. (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh độ l
-1
c. (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2
v cắt trục tung tại điểm có tung độ l
1
d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có
honh độ l 1
e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3

g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )

Giải :

a. (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1)
(d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5

m3
m1 2
1
3n 6 5
n
3

(d) đi qua điểm ( 2 ; -1)
-1 = ( m + 1).2 3n +6

2m - 3n = -9
Thay m = -3 vo ta có 2. (-3) 3n = -9

n = 1 ( thỏa mãn )
Vậy m = -3 , n = 1

b. (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh
độ l -1
(d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1

m2
m13
5
3n 6 1
n
3

(d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l -1

0 = ( m + 1 ). (-1) 3n + 6

m
+ 3n = 5

Thay m = 2 vo ta đợc 2 + 3n = 5

n = 1 ( thỏa mãn ) .Vậy m = 2 , n = 1
c. (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2
v cắt trục tung tại điểm có
tung độ l 1
(d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2

0 = ( m + 1 ).
3
2
3n + 6

m -
2n = -5
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 1

1 = -3n + 6

n =
5
3
.
Thay vo phơng trình m - 2n = -5 ta có m - 2.
5

3
= -5

m = -
5
3

Vậy n =
5
3
, m = -
5
3

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
14
d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại
điểm có honh độ l 1
(d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3

m12 m1
3n 6 3 n 1

(d) cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có honh độ l 1

m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 .
Thay m = 1 vo ta có 1 3n = - 2

n = 1( không thỏa mãn )
Vậy không có giá trị no của m v n thỏa mãn điều kiện đề bi.
Chú ý :

Ta thờng quên so sánh với điều kiện
n1

nên dẫn đến kết luận
sai

e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
(d) đi qua diểm ( -3 ; -3 )

3m1.33n6 mn2
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
33n6n1

Thay vo phơng trình m + n = 2 ta đợc m + 1 = 2

m = 1
Vậy m = 1 , n = 1

f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3
(d) đi qua diểm ( 2 ; -5 )

5m1.23n6 2m3n 13

(d) có tung độ gốc l -3
33n6n3
Thay vo phơng trình 2m - 3n = -13 ta đợc 2m 3.3 = -13
m = -2
Vậy m = -2 , n = 3

g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )
(d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )

m0
3m1.13n6
m3n 2 2m0
2
3m 3n 2 3m 3n 2
n
1m1.33n6
3

Vậy m = 0 , m =
2
3

Đề bi 3:

Cho hai hm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 v y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị tơng ứng
l (d
1
) v (d
2
)
Tìm m để :
a. (d
1
) v (d

2
) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau
b. (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
c. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh
d. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung
e. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên dới trục honh
f. (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )
g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,

đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.

Giải :

Để các hm số đã cho l các hm số bậc nhất ta phải có :

m30 m 3
2m 0 m 0

Chú ý :

Điều kiện trên luôn đợc dùng so sánh trớc khi đa ra một kết luận
về m

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
15

a. (d
1
) v (d
2

) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau
(d
1
) v (d
2
) song song với nhau

m32m m3
m3
2m 1 3m 4 m 1

(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m3
(d
1
) v (d
2
) trùng nhau

m32m m3
2m 1 3m 4 m 1

( vô nghiệm )
Kết hợp với các điều kiện ta có:
Với m = 3 thì (d
1
) v (d
2
) song song với nhau

m3 , m0 , m3 thì (d
1
) v (d
2
) cắt nhau
Không có giá trị no của m để (d
1
) v (d
2
) trùng nhau

b. (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
(d
1
) v (d
2

) cắt nhau m32m m 3
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi
2m + 1 = - 3m - 4 m 1
Kết hợp với các điều kiện ta có với m = -1 thì (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên
trục tung.

Chú ý :

Giao điểm của ( d
1
) v ( d
2
) với trục tung lần lợt l ( 0 ; 2m + 1) v ( 0 ;
-3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng
nhau, tức l 2m+1 = -3m

4. Do đó lời giải trên nhanh m không phải lm tắt.

c. (d
1
) cắt (d
2

) tại một điểm trên trục honh
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m3
Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng (d
1
) v (d
2
) ta có

2m 1
x
m3x2m10
m3
3m 4
2mx 3m 4 0
x
2m

( Vì m3

, m0

)
Giao điểm của (d
1
) v (d
2
) với trục honh lần lợt l
2m 1 3m 4
;0 v ;0
m3 2m

(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh khi

22 2

2m 1 3m 4
2m 2m 1 m 3 3m 4 4m 2m 3m 13m 12 m 11m 12 0
m3 2m

Phơng trình trên l phơng trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m
1
= -1 ; m
2

= 12
Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục
honh

Chú ý :

Phải kết hợp với cả ba điều kiện l
m3

, m0 , m3
rồi mới kết
luận
.
d. (d

1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m3
Honh độ giao điểm của (d
1
) v (d
2
) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau :

5m 5
m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x
m3

( vì m 3 )
(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi honh độ giao điểm dơng
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
16

5m 5
05m5m30m1hoặcm3
m3

Kết hợp với các điều kiện ta có
m3,m1hoặcm3

e. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên dới trục honh
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau
m32m m 3

Honh độ giao điểm của (d
1
) v (d
2
) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau :

5m 5
m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x
m3

( vì m 3 )
Thay
5m 5
x
m3

vo phơng trình đờng thẳng ( d
1
) ta có

222
5m 5 5m 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12
ym3. 2m1
m3 m3 m3

* (d
1
) cắt (d

2
) tại điểm nằm bên dới trục honh khi tung độ giao điểm âm
2
7m 15m 12
0(*)
m3

2
2
222
95 3 15
Ta có 7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0
44 2 4

Nên (*) tơng đơng với m-3<0
m3
Kết hợp với các điều kiện ta có :
m3,m 3,m0

l giá trị cần tìm

f. (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau
m32m m 3

(d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )

2m32m1
m2
m2
m2
22m3m4

Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,
đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.
Giả sử khi m thay đổi các đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm ( x
0
; y
0
) , tức l :

00 000
00
00 0
y
m3x 2m1vớimọim x 2m3x
y
10vớimọim
x20 x 2
3x y 1 0 y 5

Vậy khi ma thay đổi thì các đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định
Chú ý :

Với đờng thẳng ( d
2
) ta lm tơng tự , điểm cố định l
3
;4
2

Đề bi 4:

Cho hai đờng thẳng d
1
v d
2

lần lợt có phơng trình y = -2x + 4 v y = 2x - 2
a. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên.
b. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1
v d
2

c. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d
1
v d
2
với trục honh; D v E lần lợt l
giao điểm của d
1
v d
2
với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE.
d. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh.
Giải :

e. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
17
Giao điểm của hai đờng thẳng l nghiệm của hệ phơng trình sau :

4
y
41 3
y2x4
xx
222
y2x2
2y 2 y 1

Vậy giao điểm A của hai đờng thẳng l A
3
;1
2

f. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1

v d
2

Xét đờng thẳng (d
1
) : y = -2x + 4
Với x = 0
y = 4 ; y = 0 x = 2. Đờng thẳng (d
1
) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) v ( 2 ; 0
)
Xét đờng thẳng (d
2
) : y = 2x - 2
Với x = 0
y = -2 ; y = 0 x = 1. Đờng thẳng (d
1
) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) v ( 1 ;
0 )

g. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d
1
v d
2
với trục honh; D v E lần lợt
l giao điểm của d
1
v d
2
với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE
, ABE.
Ta có : A
3
;1
2

, B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) v E( 0 ; -2 )
Do đó : BC = | 2 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 0 | = 2
Gọi AH l đờng cao của
ABC , AK l đờng cao của

ADE AH = 1 , AK =
3
2

Gọi
ABC
S ,
ADE
S ,
BDE
S ,
ABE
S lần lợt l diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE
, ABE.
Ta có :

ABC
111
S AH.BC .1.1
222

( đơn vị diện tích )

ADE
1139
SAK.DE 6
2222

( đơn vị diện tích )

BDE
11
S BO.DE .2.6 6
22

( đơn vị diện tích )
-4 -3
-2
-1
O
1
2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
x
y
A
E
CB
D
d
1
d
2

H
K
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
18

ABE BDE ADE
93
SSS6
22

( đơn vị diện tích )
h. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh.
Góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh lần lợt l

DBx v ACx
Tam giác OBD vuông tại O có :

0
OD 4
T

g
OBD 2 OBD 63, 4
OB 2

00 0
BDx 180 63,4 116,6

Tam giác OCE vuông tại O có :

0
OE 2
T
g
OCE 2 OCE 63,4
OC 1

0
ACx 63,4
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh cùng l 63,4
0
.

II. chú ý :

Khi đề bi không cho điều kiện của tham số m m nói l cho hm số
bậc nhất thì khi lm bi ta vẫn phải tìm điều kiện để có phơng trình bậc nhất
v dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi kết luận

D. Hệ phơng trình

Đề bi 1:
Giải các hệ phơng trình sau :
a)

234
925
yx
yx
b)

522
52
22
xyyx
yx

c)

2
77
22
33
yxyx
yyxx

d)
13
2
x2y
21
1
x2y

( Đặt ẩn phụ ) e)
22
7
3316
x
yxy
xy xy

( đối xứng loại 1 )
f)
22
22
232
232
xy y
yx x

( đối xứng loại 2 ) g)
22
22
32 11
2525
xxyy
xxyy

( đẳng cấp bậc hai )

Giải :

a)

x1
x1
5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23
24
413y2

4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2
y
2
3

Vậy hệ có một nghiệm l : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 )

2
2
22 22 2
2

2
x52y
x2y5 x52y
b)
52y 2y 252yy 5
x2
y
2x
y
52520
y
4
y
2
y
10
y
4
y
5
x52y 1
x52y
10y 30y 20 0
y3y202

Phơng trình (2) l phơng trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l
12
c
y
1;
y
2
a

Với y = y
1
= 1 thay vo (1) ta có x = 5 2.1 = 3
Với y = y
2
= 2 thay vo (1) ta có x = 5 2.2 = 1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm ( x ; y ) l ( 3 ; 1 ) v ( 1 ; 2 )

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

19

22
33 33
22 22
22
22
22
x
y
xx
yy
7x
y
0
x7xy7y xy7x7y0
c)
xyxy2 xyxy2
xyxy2
xyx xyy 7 01
xyxy2 2

Từ (1) => x - y = 0 hoặc x
2
+ xy + y
2
+ 7 = 0
Nếu x y = 0

x = y thay vo (2) ta có :
22 2
xxxx2 xx10

2
14.1.150 . Phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
15 15
x;x
22

Hệ có nghiệm
15 15
xy v xy
22

Nếu x
2
+ xy + y
2
+ 7 = 0 kết hợp với (2 ta có hệ :

22
2
22
22

xyxy90
xy2xy70
xyxy70
x
y
2x
y
x
y
2
xyxy2
xyxy2

Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ

2
2
2
PS9
SP90
PS9
S2S9S2
S2PS2
SS160*

Phơng trình (*) l phơng trình bậc hai có
2
1 4.1.16 63 0

nên (*) vô nghiệm. Hệ

vô nghiệm
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm l
15 15
xy v xy
22

d)
13
2
x2y
21
1
x2y

. Điều kiện x0,y2

Đặt
11
a, b
x2y

ta có hệ phơng trình :

1
a
a3b2 a3b2 5a1
5
2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3
b2a12. 1
55

Do đó
11
x5

x5
511
13
y2
33
2y 5

( thỏa mãn các điều kiện )
Vậy hệ phơng trình có nghiệm l

11
x;
y
5;
3

e)

2
22
7
7
3316
23 16
xyxy
xyxy
xy xy
xy xy xy

Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ

2
2 2
P7S
SP 7 P 7S
S27S3S16
S2P3S16 SS20

Phơng trình S
2
S 2 = 0 có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm l S
1
= -1 , S
2
= 2
Với S = S
1
= -1 ta có P = -7 + 1 = -6

x

y
1
x
y
6

.
x v y l nghiệm của phơng trình bậc hai sau : A
2
+ A - 6 = 0

2
14.1.6 250 5 . Phơng trình có hai nghiệm :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
20
12
15 15
A2;A 3
22

=> Hệ phơng trình có nghiệm ( 2 ; -3 ) v ( -3 ; 2 )
Với S = S
2
= 2 ta có P = -7 - 2 = -9 . => Tự lm tiếp.
Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm l :

( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) ,

110;110,110;110

f)

22
22
2321
2322
xy y
yx x

Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta có :

22 22
2(x -
y
)-(x-
y
) = 3(
y
-x ) 2 x
y
x
y
x
y
3x
y
x
y
0
x-y=0
x-y2x2y13x3y 0 xy5x5y1 0
5x 5
y
10

Nếu x - y = 0 x = y thay vo (1) ta có 2x
2
+ x = 3x
2
- 2 x
2
- x - 2 = 0
Phơng trình có dạng a b + c = 0 nên có hai nghiệm l x
1
= -1 , x
2
= 2
Hệ phơng trình có hai nghiệm x = y = -1 v x = y = 2
Nếu 5x + 5y 1 = 0
15x
y
5

thay vo (1) ta có :

2
2222
2

15x 15x
2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0
55
5 4.25. 52 5225 0

Phơng trình có hai nghiệm
12
5 5225 1 209 5 5225 1 209
x;x
50 10 50 10

Với x = x
1
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =

1 209
10

Với x = x
2
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =
1 209
10

Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l :

1 209 1 209 1 209 1 209
1; 1 , 2; 2 , ; , ;
10 10 10 10

Chú ý :

Nếu hệ đối xứng bậc 3 thì cách lm vẫn thế nhng lời giải di v khó
hơn rất nhiều cần quan sát kĩ xem ở bớc thứ hai có cách no đơn giản không

22
22
22
22 22
22
22222222
25. 3 2 25.11
32 111
75 50 25 275
)
25252 112255275
11. 2 5 11.25
75 50 25 11 22 55 64 28 30 0 32 14 15 0 *
xxyy
xxyy
xxyy
g
xxyy x xyy
xxyy
x xyy x xyy x xyy x xyy

Với y = 0 thay vo hệ phơng trình ta có :
2
2
3x 11
x25

( hệ vô nghiệm)
Với y
0 chia hai vế của (*) cho y
2
ta đợc phơng trình :
2
2
2
32x 14x x x
15 0 32. 14. 15 0
yyy
y

Đặt t =
x
y
ta có phơng trình : 32t
2
+ 14t 15 = 0
Phơng trình trên có

2
' 7 32. 15 529 0 ' 23
Phơng trình có hai nghiệm :

12
723 15 723 1
t;t
32 16 32 2

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
21
Với t = t
1
=
15
16

x15 15
x
y
y
16 16

. Thay vo phơng trình (2) ta có :
hoặc

2
2222
22
15 15
2. 5 25 225 480 1280 6400
16 16
256 16 16
1025 6400
41
41 41
yyyy yyy
yyy y

Với

16 15 16 15
.
16
41 41 41
yx
Với

16 15 16 15
.
16

41 41 41
yx
Với t = t
2
=
1
2

x1 1
x
y
y
22

. Thay vo phơng trình (2) ta có :

2
2222 2 2
2
11
2. 5 25 4 20 100 25 100 4
2

22
y
yyyyyyy y y
y

Với y = 2
1
x.21
2

Với y = -2

1
x.2 1
2

Tóm lai hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l :

15 16 15 16
; , ; , 1; 2 , 1; 2
41 41 41 41

Chú ý :

Nếu trong hệ có các biểu thức cần điều kiện thì trớc khi giải ta phải
tìm điều kiện của biến trớc, sau đó dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi
kết luận về nghiệm của hệ

Đề bi 2:
Cho hệ phơng trình:

3x m 1
y
12
m1x12
y
24

a. Giải hệ phơng trình với m = 2
b. Giải v biện luân hệ phơng trình.
c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.
d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.
e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1

f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
g. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất l nghiệm nguyên
h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ .Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y không
phụ thuộc vo m.
Giải :

a. Giải hệ phơng trình với m = 2 ( tự lm )
b. Giải v biện luân hệ phơng trình.

2
36x 12 m 1 y 144
3x m 1 y 12 1
m1x12y 24 2
m1x12m1
y
24 m 1

Trừ từng vế của hai phơng trình trên ta có :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
22

22
m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144
m 7 m 5 x 24m 168 3

Nếu m = 7 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6y 12 x 2y 4
x2
y
4x42
y
6x 12y 24 x 2y 4

Hệ vô số nghiệm dạng ( 4 2t ; t ) với t

R

Nếu m = -5 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6
y
12 x 2
y
4
6x 12
y
24 x 2
y
4

Hệ vô nghiệm
Nếu
m5v m7
từ (3) ta có :

24 m 7
24m 168 24
x
m7m5 m7m5 m5

Thay vo (2) ta có:

24 m 1 2 m 1
24 12
m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y
m5 m5 m5 m5

Tóm lại :
Nếu m = -5 hệ phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vô số nghiệm x = 4 2t , y = t với t

R
Nếu
m5v m7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất:
24 12
x,y
m5 m5

Chú ý :

Khi tìm đợc
24
x
m5

ta không nên thay vo (1) để tìm y vì khi đó hệ
số của y vẫn còn m v ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng v khác 0 để
tìm y

c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5

24 12
x
y

1
m5 m5

Với
m5v m7 ta có (x + 5)
2
>0 . Nhân hai vế của (1) với (x + 5)
2
>0 ta đợc bất
phơng trình

24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5
Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
23

Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một biểu thức ta
phải chú ý xem biểu thức đó dơng hay âm để đổi chiều hay không đổi
chiều bất đẳng thức

Nếu đề bi cho lm câu c ( hoặc d, e, f, g ) m không cho câu b thì khi
lm, bớc 1 ta phải tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, khi đó ta
trình by nh câu b tới (3) v lập luận hệ có nghiệm duy nhất khi (3) có
nghiệm duy nhất

m5v m7

d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5

Hệ có một nghiệm duy nhất âm khi

24
0
m50
m5
m50 m 5
12 m 5 0
0
m5

Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :

Nghiệm ( x ; y ) của hệ đợc gọi l âm nếu x < 0 v y < 0. Nghiệm
dơng, không âm, không dơng của hệ cũng tơng tự.
e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5

Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
24 12 36 m 5 31 m
100
m5m5 m5 m5

31 m 0 m 31
m50 m 5
m31
5m31
m5
31 m 0 m 31
vô nghiệm
m50 m 5

Kết hợp với các điều kiện ta có

5m31 v m7

l giá trị cần tìm
f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5

Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = -1

24 12 36 2m 10 46 2m
200462m0dom5m23
m5m5 m5 m5

Kết hợp các điều kiện ta có m = - 23 l giá trị cần tìm
g. Tìm m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

24
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5

Hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên khi
24 12
v
m5 m5

l các số nguyên
Vì m nguyên nên m + 5 l ớc của 24 v 12

m 5 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12

m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1;7
Kết hợp điều kiện ta có

m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1 l các giá trị cần tìm
h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y
không phụ thuộc vo m.

Ta có

3x m 1 y 12
3x my y 12 my y 3x 12
I
mx x 12y 24 mx x 12y 24
m1x12y 24

Thay y = 0 vo hệ ta có :

3x 12
x4
m1x 24
m7

Thay m = 7 vo hệ ta đợc

3x 6y 12 x 2y 4
x2
y
4
6x 12y 24 x 2y 4

( hệ vô số nghiệm )
Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thì
y
0

222
y3x12
y3x12
m
I .x x 12 24
y
y

mx x 12 24
x
y
3x 12x x
y
12
y
24
y
3x 12x 12
y
0x4x4
y
0

Vậy biểu thức cần tìm l x
2
4x + 4y = 0

Bi tập tự lm

Bi 1
Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau :
1)

2
4
22
yxxy
yxyx
2)
22
7
3316
x
yxy
xy xy

3)

30
11
22
xyyx
yxxy
4)

092)(3
13
22
xyyx
yx

5)

35

30
33
22
yx
xyyx
6)

20
6
22
xyyx
xyyx
7)

4
4
xyyx
yx

8)

2
34
44
yx
yx

Đáp án

1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3)
(1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4)
10 10 10 10
(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
22 22

5) (2;3);(3;2) 6)
(1; 4), (4;1)
Bi 2
Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau ( đẳng cấp bậc hai ):
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
25
1)

22
22
32 11
2525
xxyy
xxyy

2)

495
5626
22
22
yxyx
yxyx
3)
32
32

23 5
67
xxy
yxy

Bi 3.
Cho hệ phơng trình:
x2y3m
2x
y
3(m 2)

a) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình l (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bi 4.
Cho hệ phơng trình

a1x
y
4
ax y 2a

(a l tham số).
a) Giải hệ khi a = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y
2.

Bi 5
Tìm các giá trị của m v n để các hệ phơng trình
a)

21726
12
2
66