NHĐ
20


Chương I









1. Hàm số bậc ba

3 2
0
    
y ax bx cx d (a )
:

 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
 Các dạng đồ thò:


a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
 ’ = b

2
– 3ac > 0


y’ = 0 có nghiệm kép
 ’ = b
2
– 3ac = 0


y’ = 0 vô nghiệm
 ’ = b
2
– 3ac < 0









.

KH
ẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

y


x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I


ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
NHĐ
21
2. Hàm số trùng phương
4 2
0
   
y ax bx c (a )
:
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:


3. Hàm số nhất biến

( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d

   

:
 Tập xác đònh D =
\
d
R

c
 

 
 
.
 Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c
 
và một tiệm cận ngang là
a
y
c

.
Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.

 Các dạng đồ thò:



Bài 48.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
3 2
3 9 1
y x x x
   

b)
3 2
3 3 5
y x x x
   
c)
3 2
3 2
y x x
   

d)
2
( 1) (4 )
y x x
  
e)
3
2
1
3 3
x
y x
  
f)
3 2
3 4 2
y x x x
    


Bài 49.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
4 2
2 1
y x x
  
b)
4 2
4 1
y x x
  
c)
4
2
5
3
2 2
x
y x
  


a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
 ab < 0








y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0








y

x

0

y
x

0

y

x


0

y

x

0

0

ad
–
bc > 0

x

y
0

ad
–
bc < 0

x

y

NHĐ
22
d)

2 2
( 1) ( 1)
y x x
  
e)
4 2
2 2
y x x
   
f)
4 2
2 4 8
y x x
   

Bài 50.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x



b)
2 1
1
x

y
x



c)
3
4
x
y
x




d)
1 2
1 2
x
y
x



e)
3 1
3
x
y
x




f)
2
2 1
x
y
x





VẤN ĐỀ 1 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm
của (C
1
) và (C
2
) ta giải phương trình:
f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
3 2

( 0)
y ax bx cx d a
    
cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt  Phương trình
3 2
0
ax bx cx d
   
có 3 nghiệm phân biệt.

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d
   
có cực đại, cực tiểu và
. 0
CĐ CT
y y

.

Bài 51.
Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
2
3
3
2 2
1

2 2
x
y x
x
y

   




 


b)
2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x




 

   


c)
3
4 3
2
y x x
y x

 

  


d)
4 2
2
1
4 5
y x x
y x


  

 


e)
3 2
2

5 10 5
1
y x x x
y x x


   

  



Bài 52.
Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
y m x
3
3 2
( 2)

  

 

b)
3 2
2
3 2
1 13

2 12
x x
y x
y m x

  



 

  
 

 

c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


  


 



d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m







 

e)
1
1
2
x
y
x
y x m








  













NHĐ
23
VẤN ĐỀ 2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
ĐỒ THỊ

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C

1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến
đổi (*) về một trong các dạng sau:
Dạng 1
: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
 Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.

 Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Chú ý:

Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:



x




thì ta chỉ vẽ đồ thò (C):
y = f(x) với



x



.

Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện
luận theo m.
DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:
3 2
0
ax bx cx d
   
(a

0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba:
3 2
( )
y f x ax bx cx d
    

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung



CĐ CT
f không có cực trò h a
f có cực trò
h b
y y
( .1 )
2
( .1 )
. 0












 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm


(C) tiếp xúc với Ox



2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y





(C)

A

x
0

O

x

y

(h.1a)


(C)

A

x
0

x

y

(h.1b)

x
1
o

x
2

y
CT

y
CĐ

y

x


m

A

(C)

c.
(d) : y = m

c.
y
CĐ

y
CT

x
A

NHĐ
24



 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt




2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y





Dạng 2:
Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y

x x
a f hay ad





 

 




 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x

a f hay ad





 

 











Bài 53.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận
theo m số nghiệm của phương trình:
a)
3 3
3 1; 3 1 0
y x x x x m
      
b)
3 3

3 1; 3 1 0
y x x x x m
       

c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0
y x x x x m m
       
d)
3 3
3 1; 3 4 0
y x x x x m
       

e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m
       
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0
y x x x x m
      

Bài 54.

Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
3 2
3 2 ; 2
y x x mx m y x
      
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y

A


o

x
2

x

a > 0

y
CT

B

f(0)

x
1

x
A

x
B

x
C

C


(C)

y
CĐ

y

A

o

x
2

x

a < 0

y
CT

B

f(0)

x"
0

C


x
1

(C)

y
CĐ

y

A

o

x
2

x

(H.3)

y
CĐ

x
0

x'
0


B

(C)

y
CĐ

y

A

x
0

o

x
1

B

x'
0

(y
CT
= f(x
0
) = 0)


x

(H.2)

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y

A

o

x

2

x

a > 0

y
CT

B

f(0)

x
C

x
2

x
1

x
A

x
B

C


(C)

y
CĐ

y

A

o

x

a < 0

y
CT

B

f(0)

NHĐ
25
b)
3 2
3 (1 2 ) 1
y mx mx m x
    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c)
2 2
( 1)( 3)
y x x mx m
    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2
2 2 2 1; 2 2
y x x x m y x x
       
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 55.
Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
4 2
2 1;
y x x y m
   
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)
y x m m x m
   
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
(2 3) 3
y x m x m m

    
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 56.
Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a)
3 2
2 3( 1) 6 2 0
x m x mx
    
b)
3 2
3 3(1 ) 1 3 0
x x m x m
     

c)
3 2
2 3 6( 1) 3 12 0
x mx m x m
     
d)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     

Bài 57.
Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a)
3 2 2

( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0
x m x m m x m m
       
b)
3
3 2 0
x mx m
  

c)
3 2
(2 1) (3 1) ( 1) 0
x m x m x m
      
d)
3 2
3 3(1 ) 1 3 0
x x m x m
     

Bài 58.
Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
b)
3 2
6 3( 4) 4 8 0

x x m x m
     

c)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0
x m x m x m
      
d)
3
1
0
3
x x m
  

Bài 59.
Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
b)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     

c)

3 2
1 5 7
4 0
3 2 6
x x x m
    
d)
3 2
(2 1) 2 0
x mx m x m
     

Bài 60.
Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0
x m x m x m
      
b)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     

c)
3 2
3 9 0
x x x m
   

d)
3 2
18 2 0
x x mx m
   



VẤN ĐỀ 3: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ
số góc của tiếp tuyến với đồ thò (C) của hàm số tại điểm


0 0 0
; ( )
M x f x
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


0 0 0
; ( )
M x f x
là:
y – y
0
= f (x

0
).(x – x
0
) (y
0
= f(x
0
))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là
hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x





(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax

2
+ bx + c thì C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau
 phương trình
2
ax bx c px q
   
có nghiệm kép.


NHĐ
26
1. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM NẰM TRÊN ĐƯỜNG CONG
Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x) tại điểm


0 0 0
;
M x y
:
 Tìm tọa độ tiếp điểm điểm


0 0 0
;

M x y

Nếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
.
 Tính y

= f

(x). Suy ra y

(x
0
) = f

(x
0
).
 Phương trình tiếp tuyến


là: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)

Bài 61.
(NTS) : Gọi (C) là đồ thò hàm số
  
3 2
3 4 4
y x x x
. Gọi M là điểm trên đồ thò có
hoành độ x = 1. Tiếp tuyến tại M cắt (C) tại M’. Tìm tạo độ M’.
Bài 62.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
3 2
3 7 1
y x x x
   
tại A(0; 1) b) (C):
4 2
2 1
y x x

  
tại B(1; 0)
c) (C):
3 4
2 3
x
y
x



tại C(1; –7)
Bài 63.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
3( 2)
1
x
y
x



tại điểm B có y
B
= 4
b) (C):
1
2
x

y
x



tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
3
3 1
y x x
  
tại điểm uốn của (C).
e) (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x
  
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
f) (C):
    
3 2
3 9 2
y x x x
tại điểm có hoành độ x
0
biết f’’(x
0
) = -6

Bài 64.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được
chỉ ra:
a) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   
và d:
7 4
y x
 
.
b) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   
và (P):
2
8 3
y x x
   
.
c) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   
và (C’):

3 2
4 6 7
y x x x
   
.
Bài 65.
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C):
2
1
x m
y
x



tại điểm A có x
A
= 2 và S =
1
2
.
b) (C):
3
2
x m
y
x




tại điểm B có x
B
= –1 và S =
9
2
.
c) (C):
3
1 ( 1)
y x m x
   
tại điểm C có x
C
= 0 và S = 8.









NHĐ
27
2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG

Giả sử ta có đường cong (C) và đường thẳng d:

(C) : y = f(x) ; d: y = ax + b
d tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

 



( )
'( )
f x ax b
f x a


Bài 66.
Tìm m để hai đường (C
1
), (C
2
) tiếp xúc nhau:
a)
3 2
1 2
( ): (3 ) 2; ( ):
C y x m x mx C trục hoành
    

b)
3 2
1 2
( ) : 2 ( 1) ; ( ):

C y x x m x m C trục hoành
    

c)
3
1 2
( ) : ( 1) 1; ( ): 1
C y x m x C y x
     

d)
3 2
1 2
( ) : 2 2 1; ( ):
C y x x x C y x m
     

Bài 67.
Cho hàm số



1
ax b
y
x
. Xác đònh a, b sao cho đồ thò hàm số đi qua điểm A(3,1)
và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 4.

3. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC CHO TRƯỚC


Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x), biết

có hệ số góc k cho trước.
Cách 1
: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f

(x
0
).


có hệ số góc k

f

(x
0
) = k (1)
 Giải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y

0
= f(x
0
). Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2
: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng

có dạng: y = kx + m.


tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )
'( )
f x kx m
f x k

 



(*)
 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến


có thể được cho gián tiếp như sau:



tạo với chiều dương trục hoành góc

thì k = tan





song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a


vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a

0) thì k =
1
a




tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc

thì
tan
1
k a

ka






Bài 68.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C):
y x x
3 2
2 3 5
  
; k = 12 b) (C):
2 1
2
x
y
x



; k = –3
Bài 69.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho
trước:
NHĐ
28
a) (C):

3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
; d: y = 3x + 2 b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
3
2
4
y x
  

c) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x
  

; d: y = –4x + 1
Bài 70.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
; d:
2
8
x
y
  
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
y x



Bài 71.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; 60
3
x
y x x    

b) (C):
3
2 0
2 4; 75
3
x
y x x    


c)
0
3 2
( ): ; 45
1
x
C y
x

 




Bài 72.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x      


b) (C):
0
4 3
( ): ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x

  



Bài 73.
Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d
cho trước:

(C):
2
(3 1)
( 0)
m x m m
y m
x m
  
 

tại điểm A có y
A
= 0 và d:
10
y x
 
.

4. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y = f(x), biết

đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y

0
= f

(x
0
).
 Phương trình tiếp tuyến

tại M: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)


đi qua

( ; )
A A
A x y
nên: y
A
– y
0
= f

(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)
 Giải phương trình (2), tìm được x
0
. Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng

đi qua
( ; )
A A
A x y
và có hệ số góc k: y – y
A

= k(x – x
A
)


tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k

  



(*)

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến

.

Bài 74.
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C):
3
3 2
y x x
   

; A(2; –4) b) (C):
3
3 1
y x x
  
; B(1; –6)
c) (C):
 
2
2
2
y x
 
; C(0; 4) d) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x
  
;
3
0;
2
D
 
 
 

e) (C):

2
2
x
y
x



; E(–6; 5) f) (C):
3 4
1
x
y
x



; F(2; 3)
NHĐ
29


5. TÌM ĐIỂM NẰM TRÊN (C) ĐỂ TỪ ĐÓ KẺ TIẾP TUYẾN SONG SONG HOẶC
VUÔNG GÓC d


 Gọi M(x
0
; y
0

)

(C).

là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f

(x
0
).
 Vì

// d nên f

(x
0
) = k
d
(1)
hoặc



d nên f

(x
0
) =
1
d
k


(2)

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x
0
; y
0
)

(C).

Bài 75.
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d
cho trước: (C):
3 2
10
y x x x
   
; d:
2
y x



6. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỂ TỪ ĐÓ KẺ 1, 2, 3, … TIẾP TUYẾN

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M

; y
M
)

d.


Phương trình đường thẳng

qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M





tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k

  







Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Ví dụ : Cho hàm số
    
3 2
6 9 2
y x x x
, A(a,0). Xác đònh a để từ A kẻ được ba
tiếp tuyến với hàm số.
Giải
Phương trình đường thẳng qua A: d : y= kx –ka
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :


     

   



3 2
2
6 9 4 (1)
3 12 9 (2)
x x x kx ka
x x k

Thay (2) vào (1) ta được :
   
   
 
     
 




     

2
2
1 2 3 4 9 4 0
1
2 3 4 9 4 0
x x a x a
x
g x x a x a

Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là phương trình g(x) = 0
có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều đó tương đương với :

   
 



    

  




  





2
3 4 8 9 4 0
1 6 6 0
4
4
3
1
a a
g a
a a
a




NHĐ
30
Bài 76.
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ): 3 2
C y x x
   
b)
3
( ): 3 1
C y x x
  

Bài 77.
Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với
(C):
a)
1
( ):
1
x
C y
x




; d là trục tung b)
3
( ):
1
x
C y
x



; d: y = 2x + 1
Bài 78.
Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với
(C):
a)
2 1
( ):
2
x
C y
x



; d: x = 3 b)
3 4
( ):
4 3
x
C y

x



; d: y = 2
Bài 79.
Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ): 3 2
C y x x
   
; d: y = 2 b)
3
( ): 3
C y x x
 
; d: x = 2
c)
3
( ) : 3 2
C y x x
   
; d là trục hoành d)
3
( ) : 12 12
C y x x
  
; d: y = –4
e)

4 2
( ): 2
C y x x
  
; d là trục tung e)
4 2
( ): 2 1
C y x x
   
; d là trục tung
Bài 80.
Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ) : 9 17 2
C y x x x
   
; A(–2; 5) b)
3 2
1 4 4
( ): 2 3 4; ;
3 9 3
C y x x x A
 
   
 
 

c)
3 2

( ) : 2 3 5; (1; 4)
C y x x A
   


7. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM TỪ ĐÓ KẺ ĐƯC 2 TIẾP TUYẾN VUÔNG GÓC

Gọi M(x
M
; y
M
).


Phương trình đường thẳng

qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M





tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M

f x k x x y
f x k

  






Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)

(3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.


Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau


f

(x
1
).f

(x
2
) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục
hoành thì
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0
có nghiệm phân biệt
f x f x






Bài 81.
Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C)
vuông góc với nhau:
a)
3 2
( ): 3 2
C y x x

  
; d: y = –2 b)
3 2
( ): 3
C y x x
 
; d là trục hoành







NHĐ
31
VẤN ĐỀ 4 : HÀM SỐ CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thò của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trò tuyệt đối.

 Chia miền xác đònh thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trò
tuyệt đối.
 Vẽ đồ thò hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác đònh.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thò.
Dạng 1: Vẽ đồ thò hàm số
( )
y f x


.
Đồ thò (C
) của hàm số
( )
y f x

có thể được suy từ đồ thò (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thò của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thò (C
) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thò của hàm số


y f x

.
Đồ thò (C) của hàm số


y f x

có thể được suy từ đồ thò (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thò (C
) là hợp của hai phần trên.



Bài 82.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C). Từ đó suy ra đồ thò C). Dùng đồ thò (C)
biện luận số nghiệm của phương trình (1):
a) (C):
3 2
3 6
y x x
  
; (C):
3 2
3 6
y x x
  
;
3 2
3 6
x x m
  
(1)
b) (C):
4 2
2 3
y x x
  
; (C):
4 2
2 3
y x x

  
;
4 2
2 3
x x m
  
(1)
Bài 83.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C). Từ đó suy ra đồ thò C). Dùng đồ thò (C)
biện luận số nghiệm của phương trình (1):
NHĐ
32
a) (C):
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
; (C):
3
2
2 9 12 4
y x x x
   
;
3
2
2 9 12
x x x m
  


b) (C):
2
1
x
y
x


; (C):
2
1
x
y
x


;
( 2). 0
m x m
  
(1)
Bài 84.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C). Từ đó suy ra đồ thò C). Dùng đồ thò
(C
), tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:
a) (C):
4 2
2 1
y x x
  

; (C):
4 2
2 1
y x x
  
;
4 2
2
2 1 log
x x m
  
; k = 6.
b) (C):
3 2
6 9
y x x x
  
; (C):
3
2
6 9
y x x x
  
;
3
2
6 9 3 0
x x x m
    
; k = 6.

d) (C):
4
2
5
3
2 2
x
y x
  
; (C):
4
2
5
3
2 2
x
y x
  
;
4
2 2
5
3 2
2 2
x
x m m
   
; k = 8.

VẤN ĐỀ 5: ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ


1. ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN
Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x

có toạ độ là những số nguyên:


Phân tích
( )
( )
P x
y
Q x

thành dạng
( )
( )
a
y A x
Q x
 
, với A(x) là đa thức, a là số nguyên.


Khi đó

x
y









Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trò x nguyên để Q(x) là
ước số của a.


Thử lại các giá trò tìm được và kết luận.

Bài 85.
Tìm các điểm trên đồ thò (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a)
2
1
x
y
x



b)
10

2
x
y
x



c)
2
2
x
y
x





2. ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI CÁC ĐIỂM LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
Tọa độ điểm uốn I (x
0
,y
0
) đường cong (C): y = f(x) thỏa





0

0
''( ) 0
( )
f x
y f x

Hàm bậc 3
    
3 2
, 0
y ax bx cx d a

“Đồ thò cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng thì điểm uốn
nằm trên trục hoành”
Ta còn có thề lí luận như sau:
1.Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
   
3 2
0
ax bx cx d

2. Giả sử (C) cắt trục hoành tại ba điểm A, B, C lập thành cấp số cộng tức là :
 
2
A C B
x x x

Mà
   
A B C

b
x x x
a
. Suy ra
 
3
B
b
x
a
. Từ đó tìm y
B
, do B nằm trên trục hoành
nên y
B
= 0. Tìm được m.
3. Kiểm tra lại thấy thỏa điều kiện.
NHĐ
33
Ví dụ : Cho hàm số
   
3 2
3 9
y x x x m
. Xác đònh m để đồ thò cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
   
3 2

3 9 0
x x x m

Giả sử (C) cắt trục hoành tại ba điểm A, B, C lập thành cấp số cộng tức là :
 
2
A C B
x x x

Mà
       
3 1 11
A B C B B
x x x x y m
.
Do B nằm trên trục hoành nên y
B
= 0 nên m = 11.
Kiểm tra lại thấy m = 11 thỏa mãn điều kiện.
Hàm bậc 4 trùng phương :
   
4 2
, 0
y ax bx c a

1.Hoành độ giao điểm với trục hoành :
  
4 2
0
ax bx c


2.Đặt
 
2
0
t x
phương trình trở thành
  
2
0 (2)
at bt c

3.Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt









0
0
0
P
S

4.Giả sử 2 nghiệm của (2) là t
1

, t
2
(t
1
< t
2
). Khi đó các nghiệm của (1) là :
 
2 1 1 2
, , ,
t t t t

5. Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi :
     
2 1 1 2 1
2 9
t t t t t

Mà

  







1 2
1 2

.
b
t t
a
c
t t
a

6.Từ đó ta tính được m.


Bài 86.
Cho hàm số


     
3 2 2
3 2 4 9
y x mx m m x m m
.Xác đònh m để đồ thò cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau.
Bài 87.
Cho hàm số
   
3 2
( ): 3 9 1
C y x x x
. Xác đònh m để đồ thò cắt đường thẳng
(d) :y = - x + m tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
Bài 88.

Xác đònh m để đồ thò cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng:
a)


    
4 2
( ): 2 1 2 1
C y x m x m

b)
    
4 2
( ) : 2 2 1
C y x mx m








NHĐ
34
3.TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d

d là trung trực của đoạn AB



Phương trình đường thẳng

vuông góc với d: y = ax = b có dạng:


:
1
y x m
a
  



Phương trình hoành độ giao điểm của

và (C):
f(x) =
1
x m
a
 
(1)


Tìm điều kiện của m để

cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x
A
, x

B
là các nghiệm của (1).


Tìm toạ độ trung điểm I của AB.


Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d

I

d, ta tìm
được m

x
A
, x
B


y
A
, y
B


A, B.
Chú ý:

A, B đối xứng nhau qua trục hoành



A B
A B
x x
y y



 




A, B đối xứng nhau qua trục tung


A B
A B
x x
y y

 






A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b



2
A B
A B
x x
y y b



 




A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a


2
A B
A B
x x a
y y

 






Bài 89.
Tìm trên đồ thò (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)
3
( ) : ; : 2 0
C y x x d x y
   
b)
4
( ): ; : 2 6 0
2
x
C y d x y
x

   


Bài 90.
Tìm m để trên đồ thò (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)
3 2 2
( ) : 3 2 ; :
C y mx x x m d Ox
   


4.TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG QUA ĐIỂM I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I


I là trung điểm của AB.


Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng:
( )
y k x a b
  
.


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) =
( )
k x a b
 
(1)


Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1).


Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I

I là trung điểm của AB, ta tìm được k


x
A
, x
B
.
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O


A B
A B
x x
y y

 

 



Bài 91.
Tìm trên đồ thò (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:
a)
3 2
( ) : 4 2; (2;4)
C y x x x I   
b)
3 4
( ): ; (1;1)
2 1

x
C y I
x




(d)

(C)

()

B
A
I
A
B
I
NHĐ
35
c)
3 2
( ): 3 2 1; (0;0)
C y x x x I O    
d)
4
( ): ; (0;0)
1
x

C y I O
x

 



5. KHOẢNG CÁCH
Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y  

2) Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
) đến đường thẳng

: ax + by + c = 0:
d(M,

) =
0 0
2 2
ax by c
a b
 



3) Diện tích tam giác ABC:
S =
 
2
2 2
1 1
. .sin . .
2 2
AB AC A AB AC AB AC
 
 


Bài 92.
Cho (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a)
2
( ): 1; (0;0)
C y x A O  
b)
2
( ): ; (3;0)
C y x A

c)
2
( ): 2 1; (9;1)

C y x A 

Bài 93.
Cho đồ thò (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ
M đến d là nhỏ nhất.
a)
4 2
( ): 2 3 2 1; : 2 1
C y x x x d y x
     
b)
2
( ): ; : 2( 1)
C y x x d y x
   

c)
1
( ): ; : 2 3
1
x
C y d y x
x

   


Bài 94.
Tìm các điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho d(M,Ox) = d(M,Oy) với k cho trước.
2

( ): ; 1
2
x
C y k
x

 


Bài 95.
Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài
AB là nhỏ nhất.
1
( ): ; :2 0
1
x
H y d x y m
x

   



6. TÌM ĐIỂM TRÊN 2 NHÁNH CỦA HÀM NHẤT BIẾN
Bài 96.
Cho hàm số



2 4

1
x
y
x
. Tìm trên mỗi nhánh đồ thò hàm số một điểm sao cho
khoảng cách giữa hai điểm đó là ngắn nhất.
HD: Ta có

  
 
2 4 2
2
1 1
x
y
x x

Phương trình tiệm cận đứng : x = 1
Giả sử hai điểm trên hai nhánh đồ thò có tọa độ





 

 
 
 
 

 
 


1
1
2
;
2
2
2
x
x
A B
y
y

Thiết lập khoảng cách AB và áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần ta có AB
min
= 4 khi
và chỉ khi
 
 





  





16
2
4