Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
62

BÀI 7. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH
A. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG
I. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA
1. Điểm chạy ra vô tận:

M(
x
,
y
)
→

∞

⇔

x
y
x
y
→ ∞


→ ∞


→ ∞




→ ∞




2. Định nghĩa tiệm cận
Cho đường cong (C):
y

=

f
(
x
) và đường thẳng (D). Lấy M bất kì
∈
C). Gọi H
là hình của M lên đường thẳng (D). Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận
của đường cong (C)
⇔

( )
M ,
lim 0
x y
MH
→∞
=


3. Nhận xét:
Đường cong (C):
y

=

f
(
x
) chỉ có thể có tiệm cận
⇔
Miền xác định hoặc miền
giá trị của hàm số
y

=

f
(
x
) phải chứa
∞

⇔
Đường cong (C):
y

=


f
(
x
) phải có
nhánh chạy ra vô tận. Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận
nhưng vẫn không có tiệm cận.
II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN
Cho đường cong (C):
y

=

f
(
x
). Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng
1. Tiệm cận đứng:
(
)
lim
x a
f x x a
→
= ∞ ⇔ =

là tiệm cận đứng
2. Tiệm cận ngang:
(
)
lim

x
f x b y b
→∞
= ⇔ =

là tiệm cận ngang
3. Tiệm cận xiên:
( ) ( )
lim 0
x
f x ax b y ax b
→∞
 
− + = ⇔ = +
 

là tiệm cận xiên (
a

≠
≠≠
≠
0)

O
x
y
M
1
M

2
M
.
.
.
n
M
.
.
.
H
2
H
1
H
H
n
.
.
.
.
.
.
(D)
(C): y=f(x)
y
x
O
H
1

1
M
M
H
2
H
n
H
M
2
n
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
0
f(x )
a
b

f(x )
0
0
x
M
n
2
M
M
M
1
1
H
O
x
y
H
2
H
n
H
.
.
.

.
.
.
.
.

.
n
H
H
1
H
2
H
.
.
.
M
n
.
.
.
M
2
M
1
M
y
x
O
ax +b
0
x
0
0
f(x )

K
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách
63

III. TIỆM CẬN CỦA HÀM PHÂN THỨC:
Xét hàm số
( )
(
)
( )
u x
y f x
v x
= =

1. Tiệm cận đứng:
Bước 1:
Giải phương trình
(
)
{
}
1 2
0 , , ,
n
v x x x x x
= ⇔ ∈

Bước 2:
Nếu

(
)
( )
0
0
k
k
u x
v x

≠


=


thì
(
)
( )
lim
k
k
x x
u x
x x
v x
→
= ∞ ⇔ =
là 1 tiệm cận đứng.

2. Tiệm cận ngang:
Bước 1:
Dấu hiệu nhận biết
( ) ( )
MXÐ:

u x v x
∞



≤


chøa
BËc BËc

Bước 2:
Xét giới hạn
(
)
( )
lim
x
u x
b y b
v x
→∞
= ⇔ =
là tiệm cận ngang.

3. Tiệm cận xiên:
Bước 1:
Dấu hiệu nhận biết
( ) ( )
MXÐ:
1
u x v x
∞



= +


chøa
BËc BËc

Bước 2
:
Tìm tiệm cận:
Cách 1:
Phương pháp tổng quát
Xét giới hạn
( )
lim
x
f x
a
x
→∞

=

®Æt
;
( )
lim
x
f x ax b
→∞
 
− =
 

®Æt
. Kết luận: (C) có tiệm
cận xiên là:
y

=

ax

+

b

Cách 2:
Phương pháp chia đa thức (Sử dụng hàm phân thức hữu tỷ)
Bước 1:
Thực hiện phép chia đa thức:

( )
(
)
( )
(
)
( )
u x w x
f x ax b
v x v x
= = + +
với
(
)
(
)
deg deg
w x v x
<

Bước 2:

( ) ( )
(
)
( )
lim lim 0
x x
w x
f x ax b

v x
→∞ →∞
 
− + = =
 
. Vậy (C) có tiệm cận xiên là:
y

=

ax

+

b
.
IV. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.

Tìm
m
để
( ) ( )
2
:
x
C y f x
x m
= =
−

có tiệm cận.
Giải.

Với
m

=
0 thì
( )
2
0
x
f x x x
x
= = ∀ ≠

⇒
(C) không có tiệm cận.

Với
m

≠
0 thì
( )
2
lim
x m
x
f x

x m
→
= = ∞
−

⇒
Tiệm cận đứng
x

=

m
. Vậy với
m

≠
0
thì hàm số luôn có tiệm cận.
Bài 2.

Tìm các đường tiệm cận của (C):
( )
2
1
x
y f x
x mx
= =
− +


Giải.
( )
2
lim lim 0
1
x x
x
f x
x mx
→∞ →∞
= =
− +

⇒
(C) có tiệm cận ngang
y

=
0.
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
64

Xét phương trình
( )
2
1
g x x mx
= − +

=

0 (1).
Ta có:
2
4
g
m
∆ = −
. • Nếu
2 2
m
− < <
thì
0
g
∆ <

⇒
g(
x
) > 0
∀
x

⇒
(C) không có tiệm cận đứng.
• Nếu
2
m
= −
thì (1) có 1 nghiệm

x

=

−
1
⇒

(
)
1
lim
x
f x
→−
= −∞

⇒
TCĐ:
x

=

−
1
• Nếu
2
m
=
thì (1) có 1 nghiệm

x

=
1
⇒

(
)
1
lim
x
f x
→
= +∞

⇒
TCĐ:
x

=
1
• Nếu
2 2
m m
> ∨ < −
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
1,2
4
0

2
m m
x
± −
= ≠

⇒

(
)
(
)
1 2
lim ; lim
x x x x
f x f x
→ →
= ∞ = ∞

⇒
(C) có 2 tiệm cận đứng
1 2
và
x x x x
= =

Bài 3.

Tìm
m

để
( ) ( )
2
2 3
:
x x m
C y f x
x m
− +
= =
−
không có tiệm cận đứng.
Giải.
Hàm số không có tiệm cận đứng
⇔

(
)
2
2 3 0
u x x x m
= − + =
có nghiệm
x

=

m

⇔


(
)
(
)
2
2 3 0 2 1 0 0 1
u m m m m m m m m
= − + = ⇔ − = ⇔ = ∨ =

Bài 4.

Tìm tiệm cận của
( ) ( )
2
6 2
:
2
mx x
C y f x
x
+ −
= =
+

Giải.
• Xét
m

=

0 thì
6 2
2
x
y
x
−
=
+
, khi đó:
2
6 2
lim
2
x
x
x
→−
−
= ∞
+

⇒
Tiệm cận đứng
x

=

−
2.

(
)
6 2
14
lim lim 6 6
2 2
x x
x
x x
→∞ →∞
−
= − =
+ +

⇒
Tiệm cận ngang
y

=
6.
• Xét
m

≠
0: Ta có:
( )
2
6 2 4 14
6 2
2 2

mx x m
f x mx m
x x
+ − −
= = + − +
+ +

Nếu
7
4 14 0
2
m m
− = ⇔ =
thì
( )
7
1 2
2
f x x x
= − ∀ ≠ −
nên không có tiệm cận
Nếu
7
2
m
≠
thì
4 14 0
m
− ≠


⇒

(
)
2
lim
x
f x
→ −
= ∞

⇒
Tiệm cận đứng
x

=

−
2.

( ) ( )
4 14
lim 6 2 lim 0
2
x x
m
f x mx m
x
→∞ →∞

−
 
− + − = =
 
+

⇒
TCX:
6 2
y mx m
= + −
.
Kết luận:
Nếu
m

=
0 thì (C) có TCĐ:
x

=

−
2 ; TCN:
y

=
6.
Nếu
7

2
m
=
thì (C) không có tiệm cận.
Nếu
7
0;
2
m m
≠ ≠
thì (C) có TCĐ:
x

=

−
2 ; TCX:
6 2
y mx m
= + −


Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách
65

B. KHOẢNG CÁCH
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC
1. Khoảng cách giữa 2 điểm
(
)

( )
( ) ( )
1 1
2 2
1 2 1 2
2 2
M ,
N ,
x y
MN x x y y
x y


⇒ = − + −




2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
(
)
( )
( )
0 0
0 0
2 2
M ,
M,
: 0
x y

Ax By C
d
A B
Ax By C

+ +

⇒ ∆ =

+
∆ + + =


§iÓm

Các trường hợp đặc biệt:
Nếu (
∆
):
x

=

a
thì
d
(M,
∆
)
=

|
x
0

−

a
|

Nếu (
∆
):
y

=

b
thì
d
(M,
∆
)
=
|
y
0

−

b

|
Tổng khoảng cách từ M đến O
x
, O
y
là:
(
)
0 0
M
d x y
= +

3. Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong


Định nghĩa:
Cho đồ thị (C) và đường thẳng (
∆
).
Lấy bất kỳ M
∈
(C) và N
∈
(
∆
), khi đó
d
(
∆

, C)
=
Min
MN




Bài toán:
Cho (C):
y

=

ƒ
(
x
) và (
∆
):
Ax

+

By

+

C


=
0. Tìm
d
(
∆
, C)



Phương pháp:

Cách 1:
Lấy bất kì M(
x
0
,
y
0
)
∈
(C)
⇒

y
0

=

ƒ
(

x
0
)
Tính
d
(M,
∆
)
=

0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
. Khi đó
(
)
(
)
, Min M,
d C d
∆ = ∆

Cách 2:
Bước 1: Viết PT tiếp tuyến (
t
) của (C) // (
∆

)
⇒
Tiếp điểm A(
x
0
,
y
0
)
Bước 2:
(
)
(
)
, ,
d C d A
∆ = ∆

4. Diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ
( )
( ) ( )
( )
1 1
2 2
1 1 2 2
Diên tích tam giác OAB
1 1
det ,
2 2
O 0,0 ;A , ; B ,

x y
S OA OB
x y
x y x y


⇒ = =



i
 


( ) ( )
( )
( )
2 1 2 1
3 1 3 1
1 1 2 2 3 3
Diên tích tam giác ABC
1 1
det ,
2 2
A , ; B , ; C ,
x x y y
S AB AC
x x y y
x y x y x y


− −

⇒ = =

− −


i
 


II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.

a.
Cho A(3, 0). Tìm điểm M
∈
(P):
2
y x
=
để AM nhỏ nhất.

b.
Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM
⊥
tiếp tuyến của (P) tại M.
Giải
a.
Gọi

(
)
2
M ,
m m
∈
(P)
⇒

2 4 2
6 9
AM m m m
= + − +

Cách 1:
Đặt
(
)
4 2
6 9
g m m m m
= + − +
. Ta có:
(
)
3
4 2 6 0
g m m m
′
= + − =


Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
66

⇔

( )
(
)
2
1 2 2 3 0 1
m m m m
− + + = ⇔ =
. Lập BBT suy ra Min
g
(
m
)
=

g
(1)
=
5
⇒

Min 5
AM =
xảy ra
⇔


m

=
1
⇔
M(1, 1)
Cách 2:

( )
( )
2
2
2 4 2 2
6 9 1 3 1 5 5
AM m m m m m
= + − + = − + − + ≥

⇒

Min 5
AM =

⇔

m

=
1
⇔

M(1, 1)
Cách 3:

2 4 2
1 1 1 1 6 5
AM m m m
= + + + + + − +

6
4 2
6 . .1.1.1.1 6 5
m m m
≥ ⋅ − +
6 6 5 5
m m
= − + ≥

⇒

Min 5
AM =
xảy ra
⇔

m

=
1
⇔
M(1, 1)

b)
Tiếp tuyến của (P) tại M có hệ số góc là:
(
)
1
2
k y m m
′
= =

Đường thẳng AM có hệ số góc là:

2
M
2
M
0
3 3
y
m
k
x m
−
= =
− −

⇒

3
1 2

2
.
3
m
k k
m
=
−

Khi AM min thì
m

=
1
⇒

1 2
2.1
. 1
1 3
k k
= = −
−

⇒
AM
⊥
tiếp tuyến tại M của (P)
Bài 2.


Cho (P):
(
)
2
2 3 1
y f x x x
= = − +
và (
∆
):
y

=

x

−
5.
Tìm điểm M
∈
(P), N
∈
(
∆
) sao cho MN nhỏ nhất.
Giải:
Lấy
(
)
2

M , 2 3 1
m m m
− +

∈
(P) và
(
)
N , 5
n n
−

∈
(
∆
).
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2 2 2
M N 2 3 1 5 2 2 3
m n m m n m n m n m m
 
⇒ = − + − + − + = − + − + − +
 


( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2 2
2 2 3 2 2 3 2 1 2 8 M N 2 2
m n m m m m m
 
 
= − + − + + − + ≥ − + ≥ ⇒ ≥
 
 

Dấu bằng xảy ra
⇔

1, 3
m n
= =
. Suy ra
(
)
(
)
M 1,0 và N 3, 2
−


Bình luận:
Có thể giải bằng phương pháp hình học theo các bước sau đây:
−
Vẽ đồ thị và nhận xét (
∆
) và (P) không cắt nhau.
−
Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) // (
∆
), tiếp xúc nhau tại M
−
Gọi N là hình chiếu của M lên (
∆
), chứng minh
MN
là khoảng cách ngắn
nhất bằng lý luận hình học.
Bài 3.

Tìm điểm M
∈
(H):
( )
3 5
2
x
y f x
x
−
= =

−
để tổng khoảng cách từ M đến 2
tiệm cận của (H) là nhỏ nhất.
Giải:
y

=

( )
3 5
1
3
2 2
x
f x
x x
−
= = +
− −

⇒
TCĐ:
x

=
2 ; TCN:
y

=
3.

Lấy
(
)
1
M , 3
2
m
m
+
−
∈
(H), khi đó tổng k/c từ M đến 2 tiệm cận của (H) là:
( )
M M
1
M 2 3 2 2
2
d x y m
m
= − + − = − + ≥
−
; Dấu bằng
⇔

(
)
( )
M 1, 2
2 1
M 3, 4

m

− = ⇔




3
9
1-1
1
0
O
y
x
A
B
M
H
M
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách
67

Bài 4.

Tìm điểm M
∈
(H):
( )
1

1
x
y f x
x
−
= =
+
để tổng khoảng cách từ M đến 2
trục tọa độ O
x
, O
y
là nhỏ nhất.
Giải:
Lấy
(
)
1
M ,
1
m
m
m
−
+
∈
(H), tổng k/c từ M đến O
x
, O
y

là:
( )
M M
1
M
1
m
d x y m
m
−
= + = +
+
.
Để ý rằng với M(1, 0) thì
d
(M)
=
1, do đó
để tìm Min
d
(M) ta chỉ cần xét khi
1
1 1
0 1
1
1
1 1
1
m
m

m
m
m m
m

<
− < <

 
⇔ ⇔ < <
 
−
<
− < +



+


( )
( )
( )
1
2 2
M 1 2 2 1 2 2 2 1
1 1 1
m
d m m m
m m m

−
= + = + + − ≥ + ⋅ − = −
+ + +

Suy ra
( )
(
)
Min M 2 2 1
d
= −
xảy ra
⇔

(
)
2 1 M 2 1,1 2
m = − ⇔ − −

Bài 5.

Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C):
( )
4 9
3
x
y f x
x
−
= =

−
các điểm M
1
, M
2

để độ dài M
1
M
2
là nhỏ nhất.
Giải:
( )
4 9 3
4
3 3
x
y f x
x x
−
= = = +
− −

⇒
TCĐ:
x

=
3 ; TCN:
y


=
4
Gọi
(
)
( )
1 1 1
2 2 2
M , nhánh trái (C)
M , nhánh (C)
x y
x y

∈


∈


cña
ph¶i cña
. Do
1 2
3
x x
< <
nên đặt
1
2

3 ; 0
3 ; 0
x
x
= − α α >



= + β β >



⇒

1 2
3 3
4 ; 4y y
= − = +
α β

⇒

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 2 1
M M
x x y y
= − + −



( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
3 3 3 6
1 2 24
 
   
= α + β + + = α + β + ≥ αβ ⋅ =
    
α β αβ αβ
   
 

1 2
Min M M 2 6
=

⇔

3
α = β =

⇒

(
)
(
)

1 2
M 3 3, 4 3 ; M 3 3, 4 3
− − + +

Bài 6.

Cho đồ thị (C):
( )
2
5 15
3
x x
y f x
x
+ +
= =
+
. Tìm M
∈
(C) để khoảng cách từ
M đến O
x
gấp 2 lần khoảng cách từ M đến O
y

Giải:
Khoảng cách từ M(
x
,
y

) đến O
x
gấp 2 lần khoảng cách từ M(
x
,
y
) đến O
y

⇔

2 2
y x y x
= ⇔ = ±
. Xét 2 khả năng sau:


2
2 2
2
9 9
2 3 2 0
3 11 15 0
3 3
y x y x
y x
y x x
x x
x x
= − = −

 
= −

  
⇔ ⇔
  
= + + + + =
+ + =

 

+ +
 

⇔

x

∈

∅

y
O
x
-1
1-1
1
M
H

K
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
68

•
2
1 61
2 2
2
2
9 9
2 2 0
15 0
3 3
1 61
y x y x
y x
x
y x x
x x
x x
y

− ±
= =
 
=

=
   

⇔ ⇔ ⇔
   
= + + − − =
+ − =

  

+ +
  = − ±


Bài 7.

Tìm điểm M
∈
(C):
( )
2
6
3
x x
y f x
x
+ −
= =
−
để khoảng cách từ M đến 2
trục tọa độ O
x
, O

y
là nhỏ nhất.
Giải:
Lấy
( )
(
)
M ,
m f m
∈
(C)
⇒

( )
( )
2
6 6
M 4
3 3
m m
d m f m m m m
m m
+ −
= + = + = + + +
− −

Do M
0
(2, 0) thì
d

(M
0
)
=
2 nên để tìm Min
d
(M) ta chỉ cần xét khi
2
m
≤
.
Xét 2 khả năng sau:
• Nếu
−
2
≤

m

≤
0 thì
( )
( )
(
)
6 6
M 4 4
3 3
d g m m m
m m

= = − + + + = +
− −


( )
( )
2
6
0
3
g m
m
−
′
= <
−

⇒

(
)
(
)
(
)
Min M Min 0 2
d g m g
= = =

• Nếu 0

≤

m

≤
2 thì
( )
( )
(
)
6 6
M 4 2 4
3 3
d h m m m m
m m
= = + + + = + +
− −


( )
( )
2
6
2 0 3 3
3
h m m
m
′
= − = ⇔ = ±
−


Nhìn bảng biến thiên suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
Min M Min 0 2 2
d h m h h
= = = =

⇔

0 2
m m
= ∨ =

⇔
M(0, 2), M(2, 0)
Bài 8.

Tìm M
∈
(C):
2
2 2
1

x x
y
x
+ −
=
−
để khoảng cách từ M đến giao 2 đường
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
Giải:
( )
1
3
1
y f x x
x
= = + +
−

⇒
TCĐ:
x

=
1 ; TCX:
y

=

x


+
3
⇒
I(1, 4)
Lấy M(
a

+
1,
b
)
∈
(C) với
a

≠
0
⇒

1
4b a
a
= + +
;
( ) ( )
2 2
1 1 4
IM a b= + − + −

⇒


(
)
( )
2
2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 1 2
IM a a a a
a
a a
= + + = + + ≥ ⋅ + = +

⇒

( )
Min 2 1 2
IM = +
xảy ra
⇔

2 2
2
4
1 1 1
2 2
2 2
a a a
a

±
= = ⇔ = ⇔ =

4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
M 1 , 4 2 M 1 , 4 2
2 2 2 2
   
⇔ − − − + + +
   
   
hoÆc


x
0
3 3
−

2
f

′


+

0
−



f
2

10 4 3
−

2

Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách
69

Bài 9.

Tìm M
∈
(C):
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
Giải:

( )
2
3 3
1
1
2 2
x x
y f x x
x x
+ +
= = = + +
+ +
⇒
TCĐ:
x

+
2
=
0 ; TCX:
x

−

y

+
1
=
0

Lấy M(
x
0
,
y
0
)
∈
(C), khi đó tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là:
( )
0 0
4
0 0 0
0 0
1
1 1
M 2 2 2 2 8
2 2 2 2 2
x y
d x x x
x x
− +
= + + = + + ≥ + ⋅ =
+ +

⇒

( )
4
Min M 8

d =
xảy ra
⇔

4
0 0
4 4
0
8
1 1 1
2 2
2
2 2 2 2
x x
x
+ = = = ⇔ = − ±
+

4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
M 2 , 1 2 M 2 , 1 2
2 2 2 2
   
⇔ − − − − − − + − + +
   
   
hoÆc

Bài 10.


Tìm trên mỗi nhánh của (C):
( )
2
2 5
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
các điểm M
1
, M
2

để độ dài M
1
M
2
là nhỏ nhất.
Giải:
( )
4
1
1
f x x
x
= − + −

−

⇒
TCĐ:
x

=
1 ; TCX:
y

=

−
x

+
1
Gọi
(
)
( )
1 1 1
2 2 2
M , nhánh trái (C)
M , nhánh (C)
x y
x y

∈



∈


cña
ph¶i cña
. Do
1 2
1
x x
< <
nên đặt
1
2
1 ; 0
1 ; 0
x
x
= − α α >



= + β β >



⇒

1 2
4 4

;y y
= α + = −β −
α β

⇒

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 2 1
M M
x x y y
= − + −

( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2
8
4 4 4 4
1 1 2 1
 
 
   
= α+ β + −β − −α − = α + β + + = α +β + +
   
 
 
β α αβ αβ
   

 
αβ
 

( )
( ) ( )
1 2
2
2 8
8
4 4
2 4 2 8 32 2 1 M M 4 2 1 2
 
 
≥ ⋅ αβ + = αβ + = + ⇒ ≥ +
 
 
αβ αβ αβ
 
αβ
 
 

Suy ra
( )
1 2
Min M M 4 2 1 2
= +
xảy ra
⇔


( )
2
4
0 và 8 8
α = β > αβ = ⇔ α = β =

⇒

(
)
(
)
4 4
4 4 4 4
1 2
M 1 8, 8 2. 2 ; M 1 8, 8 2. 2
− + + − −

Bài 11.

Cho (C
α
):
( )
2
3 cos 4 sin 7
1
x x
y f x

x
α + α +
= =
−
(cos
α

≠
0).
Tìm
α
để khoảng cách từ O(0, 0) đến tiệm cận xiên của (C
α
) là lớn nhất.
Giải:
( )
2
3 cos 4 sin 7 4sin 3cos 7
3 cos 4sin 3cos
1 1
x x
f x x
x x
α + α + α + α +
= = α + α + α +
− −

Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
70


⇒
TCX (
∆
):
3 cos 4sin 3cos
y x
= α + α + α

⇔

3 cos 4sin 3cos 0
x y
α − + α + α =

( )
2 2 2
4 10.sin 3. 10 cos
4sin 3cos
O,
9cos 1 10 sin 10 cos
d
α + α
α + α
∆ = =
α + α + α

( )
( )
2
2 2 2

BCS
2 2
4 10 3 sin 10cos
13
10
10 sin 10 cos
 
+ α + α
 
≤ =
α + α

⇒

( )
13
Min O,
10
d ∆ =

Dấu bằng xảy ra
⇔

( )
4 10
sin 40 40
tg arctg
3 3 3
10 cos
k k

α
= ⇔ α = ⇔ α = + π ∈
α
»

Bài 12.

Cho đồ thị (C):
( )
2
2 1
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
. Tìm
(
)
1 1
M ,
x y

∈
(C) với
1
1
x

>

để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Giải:
( )
2
2 1
2
2 1
1 1
x x
f x x
x x
− +
= = + +
− −

⇒
TCĐ:
x

=
1 ; TCX:
y

=
2
x

+

1
⇒
I(1, 3)
Lấy M(1
+

a
,
b
)
∈
(C) với
a
> 0
⇒

2
3 2b a
a
= + +
.
Khoảng cách từ M đến I(1, 3) là:
( ) ( )
2 2
1 1 3
IM a b= + − + −

⇒

(

)
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 4 4
2 5 8 2 5 8 4 2 5
IM a a a a
a
a a
= + + = + + ≥ ⋅ + = +

Suy ra
Min 2 2 5
IM = +
xảy ra
⇔

2 2
2
4
4 2 2
5 2 5
5 20
a a a
a
= = ⇔ = ⇔ =


4

4 4
20
2 4
M 1 , 3
2
20 20
 
⇔ + + +
 
 

Bài 13.

(Đề thi TSĐH khối A năm 2005)

Tìm
m
để hàm số
1
y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực
tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của (C
m
) bằng
1
2

.
Giải.
Hàm số có cực trị
2
1
0
y m
x
′
⇔ = − =
có 2 nghiệm phân biệt
0
m
⇔ >
.
Khi đó đồ thị có điểm cực tiểu là
1
; 2
M m
m
 
 
 
và khoảng cách đến tiệm cận
xiên
y mx
=
hay
0
mx y

− =
là
( )
2
2 2
2
1
, 2 1 0 1
2
1 1
m m
m
d M d m m m
m m
−
= = = ⇔ − + = ⇔ =
+ +