Các hệ thống điện thoại di động
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (744.48 KB, 51 trang )
CHƯƠNG 3
BIẾN ĐỔI Z
Một cách biểu diễn tín hiệu khác về mặt toán học: biến
đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền Z
∑
∞
=
−
=
0n
n
znxzX )()(
Biểu thức trên gọi là biến đổi Z hai phía
Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z một phía dãy x(n):
Trong đó Z – biến số phức
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
Biến đổi Z
Biến z: Điểm thuộc mặt phẳng z
z = a + jb hay z = re
jδ
Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) x(n) hay x(n) = Z
-1
{X(z)}
→←
Z
→←
−
1
Z
0
Im(z)
Re(z)
Mặt phẳng Z
Biến đổi Z (tiếp)
Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z)
hội tụ.
+++=
∑
∞
=
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
<
∞→
n
n
nx
0
0
Im(Z)
Re(z)
R
x+
R
x-
R
O
C
Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞}
Chúng ta chỉ quan tâm X(z) tại những
điểm z thuộc ROC
Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
−+
<<
xx
RzR
Miền hội tụ của biến đổi Z
Tìm biến đổi Z & ROC của:
( )
n
n
az
∑
∞
=
−
=
0
1
1
1
1
)(
−
−
=
az
zX
azaz
n
n
n
>⇔<
−
∞→
1lim
1
1
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nn
znua )(
∑
∞
=
−
=
0
.
n
nn
za
)()( nuanx
n
=
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Vậy:
a
az
zX
>
−
=
−
Z:ROC;
1
1
)(
1
Ví dụ 1:
)1()( −−−= nuanx
n
( )
m
m
za
∑
∞
=
−
−=
1
1
az <⇔
1lim
1
1
<
−
∞→
n
n
n
za
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
[ ]
∑
∞
−∞=
−
−−−=
n
nn
znua )1(
∑
−
−∞=
−
−=
1
.
n
nn
za
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
m
m
za
( )
1)(
0
1
+−=
∑
∞
=
−
n
m
zazX
1
1
1
−
−
=
az
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Ví dụ 2:
Miền hội tụ của biến đổi Z
a. Dãy không nhân quả. b. Dãy nhân quả. c. Dãy phản nhân quả
Tuyến tính
RROC : )()(
222
=→←
zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→←
zXnx
Z
)()()()(
22112211
zXazXanxanxa
Z
+→←+
Nếu:
Thì:
CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
ROC = ROC
1
∩ ROC
2
∩ … ∩ ROC
n
Ví dụ 3:
)1()()(
−−−=
nubnuanx
nn
ba <
Tìm biến đổi Z & ROC của:
với
1
1
1
)(
−
−
→←
az
nua
Z
n
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
azR >:
1
Ta có:
Ta có:
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
→←−−−
Z
nn
nubnua )1()(
11
1
1
1
1
−−
−
+
− bzaz
bzaRRR <<∩= :
21
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
/a/
1
1
1
)1(
−
−
→←−−−
bz
nub
Z
n
bzR <:
2
0
ROC
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
Ví dụ 3 (tiếp)
RROC : )()( =→← zXnx
Z
R'ROC : )()(
0
0
=→←−
−
zXZnnx
n
Z
R
R
R'
=
trừ giá trị z=0, khi n
0
>0
trừ giá trị z=∞, khi n
0
<0
Nếu:
Thì:
Với:
Dịch theo thời gian
Ví dụ 4:
a
az
nua
Z
n
>
−
→←
−
z:ROC;
1
1
)(
1
)1()(
−=
nuanx
n
)1()(
−=
nuanx
n
)1(.
1
−=
−
nuaa
n
az
az
az
Z
>
−
→←
−
−
:
1
1
1
Theo ví dụ trước:
Vậy:
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Nhân với hàm mũ a
n
)()(
1
nuanx
n
=
aR'
az
azXnuanxa
Z
nn
>
−
=→←=
−
−
z:;
1
1
1
1
)()()(
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )()(
1
azaXnxa
Z
n
=→←
−
)()(
2
nunx =
1
)()()()(
−
∞
−∞=
∑
=→←=
znuzXnunx
n
Z
Nếu:
Thì:
Ví dụ 5:
Ví dụ 5:
X
X
ét
ét biến đổi Z & ROC của:
và
1:;
1
1
1
>
−
=
−
zR
z
Đạo hàm X(z) theo z
)()( nunang
n
=
a
az
zXnuanx
Z
n
>
−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()( =→← zXnx
Z
RROC : )(
=−→←
dz
dX(z)
znxn
Z
dz
zdX
zzGnnxng
Z
)(
)()()(
−=→←=
az
az
az
>
−
=
−
−
:
)1(
21
1
Theo ví dụ trước:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 6
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:
Đảo biến số
Nếu:
Thì:
( )
)(1)( nuany
n
−=
a
az
zXnuanx
Z
n
>
−
=→←=
−
z:ROC;
1
1
)()()(
1
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
1ROC : )(z)(
-1
=→←−
( )
)()()(1)( nxnuanuany
n
n
−=−=−=⇒
−
( )
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
1
1
1
<
−
=
−
==
−
−
−
Ví dụ 7:
Ví dụ 7:
T
T
ìm
ìm biến đổi Z & ROC của:
Theo ví dụ trước:
Áp dụng tính chất đảo biến số:
Liên hiệp phức
RROC : )()(
=→←
zXnx
Z
RXnx
Z
=→← ROC : (z*)*)(*
Tích 2 dãy
RRROC : d )(
2
1
)()(
21
1
1121
=
→←
∫
−
νν
ν
ν
π
c
Z
z
XXnxnx
Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì:
X(z) )0(
∞→
=
Z
Limx
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
Nếu:
Thì:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 8
Ví dụ 8
:
:
T
T
ìm
ìm x(0), biết X(z)=e
1/z
và x(n) nhân quả
X(z) lim)0(
∞→
=
Z
x
Tổng chập 2 dãy
RROC : )()(
222
=→← zXnx
Z
RROC : )()(
111
=→← zXnx
Z
)()()(*)(
2121
zXzXnxnx
Z
→←
;ROC có chứa R
1
∩ R
2
1e lim
1/z
==
∞→Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:
5.0:;
5.01
1
)()()5.0()(
1
>
−
=→←=
−
zROC
z
zXnunx
Z
n
2:;
21
1
)()1(2)(
1
<
−
=→←−−−=
−
zROC
z
zHnunh
Z
n
25,0:;
)21(
1
.
)5.01(
1
)()()(
11
<<
−−
==
−−
zROC
zz
zHzXzY
25,0:;
)21(
1
.
3
4
)5.01(
1
.
3
1
11
<<
−
+
−
−=
−−
zROC
zz
)1(2
3
4
)()5.0(
3
1
)(*)()( −−−−== nununhnxny
nn
Z
-1
Ví dụ 8
:
:
T
T
ìm
ìm y(n) = x(n)*h(n), biết:
)()5.0()( nunx
n
=
)1(2)( −−−= nunh
n
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n) a
1
X
1
(z)+a
2
X
2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
x(n-n
0
) Z
-n0
X(z) R’
a
n
x(n) X(a
-1
z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z
-1
) 1/R
x*(n) X*(z*) R
x
1
(n)x
2
(n)
R
1
∩ R
2
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x
1
(n)*x
2
(n) X
1
(z)X
2
(z)
Chứa R
1
∩ R
2
dvv
v
z
XvX
j
C
1
21
)(
2
1
−
∫
π
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
δ(n)
1
∀z
u(n) /z/ >1
-u(-n-1) /z/ <1
a
n
u(n) /z/ > /a/
-a
n
u(-n-1) /z/ < /a/
na
n
u(n) /z/ > /a/
-na
n
u(-n-1) /z/ < /a/
cos(ω
o
n)u(n) (1-z
-1
cosω
o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
sin(ω
o
n)u(n) (z
-1
sinω
o
)/(1-2z
-1
cosω
o
+z
-2
)
/z/ >1
1
1
1
−
−
z
1
1
1
−
−
az
21
1
)1(
−
−
−
az
az
Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole
Zero của Biến đổi Z: các giá trị z sao cho X(z) = 0
Pole của Biến đổi Z: các giá trị của z sao cho X(z) = ∞
ROC không chứa bất kỳ pole nào
Ký hiệu trên mặt phẳng Z: zero – vòng tròn (o) và pole –
chữ thập (x)
1
9.01
1
)(
−
−
=
z
zX
Biến đổi Z hữu tỉ
21
1
21
1
)(
−−
−
−−
−
=
zz
z
zX
Hữu ích để phân tích hệ LTI rời rạc thời gian
Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất
nào đó → chỉ cần quan tâm trên vị trí của các
điểm zero-pole
Các cách biểu diễn
Biến đổi Z hữu tỉ
Vị trí pole và hành vi của t/h nhân quả ở miền
thời gian
Vị trí pole ảnh hưởng tính chất bị chận, phân kỳ
của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian
Vị trí pole quyết định tính ổn định của hệ thống
nhân quả
Tính chất của tín hiệu ở miền thời gian, trong
trường hợp pole nằm ngoài hay trong hay trên
vòng tròn đơn vị
Hàm hệ thống của hệ LTI
Xác định y(n)
Tính X(z) và H(z)
Xác định Y(z)
Tìm y(n) bằng cách tính biến đổi
Z ngược của Y(z)
Hàm hệ thống trong miền Z
