81
Chương 3
Phân tích quá trình quá độ trong
mạch điện tuyến tính
Tóm tắt lý thuyết
Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái
xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác. Quá trình quá độ trong
mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t
0
=0.
Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và
C trong mạch. Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng W
M

và W
E
nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong
mạch. Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)=
t
W
dt
dW
Δ
Δ
≈
.
Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại
ΔW≠0 khi Δt=0. Từ đó ta có điện áp trên điện dung u
C
(t) và dòng điện qua điện

cảm i
L
(t) phải biến thiên liên tục. Giá trị của điện áp trên C và dòng điện qua L
tại thời điểm bắt đầu diễn ra quá trình quá độ là rất quan trọng. Chúng được gọi
là điều kiện ban đầu (ĐKBĐ) - đó chính là các điều kiện biên trong bài toán giải
phương trình vi phân. Nếu chúng bằng 0 thì gọi là điều kiện ban đầu không.

t
f(t)
a)
0
t
f(t)
b)
0
τ
t
f(t)
c)
0
A
h
h
H×nh 3.1.

Để tiện phân tích mạch trong chế độ quá độ người ta chia nguồn tác động
thành các dạng tác động mẫu sau:
-Nguồn bậc thang:
⎩
⎨

⎧
≤
<
=
tkhih
tkhi
)t(f
0
00

(Hình 3.1a) (3.1)
-Nguồn xung vuông
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<τ
τ≤≤
<
=
tkhi
tkhih
tkhi
)t(f
0
0
00

(Hình 3.1b)


(3.2)
-Nguồn xung Dirac δ(t)=
⎩
⎨
⎧
≠
=∞
00
0
tkhi
tkhi
(đồ thị trùng với trục tung) (3.3)
-Nguồn hình sin:

82
(Hình 3.1c)
⎩
⎨
⎧
≤
<
=
t0khitsinhoăotcosA
0tkhi0
)t(f
ωω
(3.4)
Mạch điện, ngoài đặc tính tần số còn đặc trưng bởi đặc tính quá độ h(t) và
đặc tính xung g(t). Chúng được định nghĩa như sau:


khôngĐKBĐ
thangbâcđôngtác
machcuaungphan
)t(h =
(3.5)

khôngĐKBĐ
đôngtácxungtíchDiên
machcuaungphan
)t(g =
(3.6)
Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng
thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp. Hệ phương trình trạng thái
của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất. Nghiệm của hệ gồm hai thành phần:
- Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đ
ây chính là dao động
tự do trong mạch điện. Là dao động tự do nên khi t→∞ thì thành phần tự
do phải tiến tới 0.
- Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động cưỡng bức
trong mạch điện.
Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và
dao động cưỡng bức.
Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán
h
ọc nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức. Ví dụ: chương trứơc
ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu
diễn phức.
Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp

kinh điển và phương pháp toán tử Laplas.
1. Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện.
Phương pháp này chỉ thực hiện tiện l
ợi với các mạch giản đơn vì với mạch phức
tạp việc giải hệ phương trình vi phân là một công việc nan giải. Như vậy phương
pháp này chỉ ứng dụng khi mạch được đặc trưng bởi một phương trình vi phân;
thậm chí là một phương trình vi phân bậc nhất. Khi có 1 phương trình vi phân
bậc 2 thì giải bằng toán tử cũng tỏ ra thuận tiện hơn. Đặc biệt nếu mạ
ch có một
nguồn tác động là bậc thang hoặc hình sin với mạch chỉ có 1 loại thông số quán
tính ta có thể xác định ngay được các dòng điện và điện áp trong mạch thông qua
việc phân tích trực tiếp tiếp trên mạch tại thời điểm t=0 và t→∞. ở đây ta chỉ xét
trường hợp mạch có 1 điện dung C hoặc 1 điện cảm L mắc với nguồn bậc thang
hoặ
c nguồn hình sin với 1 số điện trở trong mạch.
a) Mạch dưới tác động của bậc thang.
Lúc đó mọi phản ứng f
K
(t) (dòng điện hoặc điện áp) ở nhánh thứ k nào đó
sẽ có dạng:
f
K
(t)=A
K
e
-α
t
+B
K
(3.7)

Biến thiên theo quy luật hàm mũ.

83
Như vậy các dòng điện, điện áp trong các nhánh chỉ khác nhau các hằng
số A
K
và B
K
, có cùng hệ số tắt dần α. Việc giải bài toán thực chất là xác định 3
hằng số α, A
K
và B
K
. Chúng được xác định như sau:
- Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L. Ae
-α
t

là
thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=α
LmétcãchØch¹mNÕu
L

R
CmétcãchØch¹mNÕu
CR
td
td
1
(3.8)
- Trong công thức trên thì R
tđ
là điện trở tương đương “nhìn” từ 2
đầu của C hoặc L vào mạch khi cho nguồn tác động bằng 0.
(đường phóng-nạp của C hoặc L)
R
tđ
C=τ
hoặc
td
R
L
=τ; τ gọi là hằng số thời gian của mạch (thứ nguyên thời
gian). Thực tế thì quá trình quá độ chỉ kéo dải trong khoảng t
XL
≈3τ. t
XL
gọi là
thời gian xác lập của mạch (sau thời gian 3τ trong mạch chỉ còn các dao động
cưỡng bức, các thành phần dao động tự do ≈ 0).
- Thành phần B
K
: từ (3.7) ta thấy khi t→∞ thì chỉ còn lại thành phần B

K
,
lúc này mạch chuyển sang chế độ một chiều vì nguồn tác động là bậc thang. Như
vậy
Kk
B
t
)t(f
=
∞→
được xác định ở chế độ 1 chiều của mạch.
- Thành phần A
K
: Từ (3.7) ta thấy khi t=0 thì f
K
(0)=
Kkk
BA
t
)t(f
+=
→ 0
- Giá trị f
K
(0) xác định theo điều kiện ban
đầu. Từ đó xác định A
K
, tức đã tính được f
K
(t).

Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng
các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ f
K
(t) cho tiện.

Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu. Từ đó
xác định A
K
tại thời điểm t=0. Khi đó có 4 điều cần chú ý như sau:
Thứ nhất: Tại thời điểm t=0 mà u
C
(0)=0 thì C được thay bằng dây dẫn
trong sơ đồ tương đương để tính A
K
.
Thứ hai: Tại thời điểm t=0 mà u
C
(0)≠0 thì C được thay bằng nguồn sđđ
trong sơ đồ tương đương để tính A
K
.
Thứ ba: Tại thời điểm t=0 mà i
L
(0)=0 thì L được thay bằng đoạn hở mạch
trong sơ đồ tương đương để tính A
K
.
Thứ tư: Tại thời điểm t=0 mà i
L
(0)≠0 thì L được thay bằng nguồn dòng

trong sơ đồ tương đương để tính A
K
.
b) Mạch dưới tác động của hình sin.
Phản ứng của mạch sẽ có dạng:
f
K
(t)=A
K
e
-αt
+B
K
(t)

(3.9)

84
Trong đó
Kk
B
t
)t(f
=
∞→
(t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của
mạch. Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2. Tiếp theo là
A
K
cũng xác định theo điều kiện ban đầu.

2. Phương pháp toán tử Laplas:
Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương
trình đại số với các hàm ảnh. Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước:
Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện
dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầ
u “đóng- mở” mạch.
Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương.
Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh.
Bước 4: Giải hệ phương trình tìm hàm ảnh.
Bước 5: Biến đổi hàm ảnh về dạng bảng để tra bảng 3.1, tìm hàm gốc.
Chú ý:+ Bước 2:
-Biến đổi các nguồn tác động mẫu về dạ
ng ảnh dùng bảng 3.1
-Biến đổi thông số R về dạng toán tử - vẫn giữ nguyên R như một giá trị
hằng.

-Biến đổi điện cảm L được thực hiện như ở hình 3.2. Trong đó mạch ở
dạng hàm gốc hình 3.2.a) có quan hệ
∫
+=
t
L
Idt)t(u
L
)t(i
0
0
1
(3.10)
Chuyển sang dạng ảnh:

Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.9) sẽ có:

).(LI)p(pLi)p(uhay
pL
LI)p(u
p
I
pL
)p(u
)p(i
L
LL
113
0
00
−=
+
=+=

Công thức 3.11 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.2b) khi điều kiện ban đầu
không, tức I
L0
=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức I
L0
≠0. Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng
tương đương hình 3.2d). Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có
chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.I
L0
với L

có thứ nguyên Henri, I
L0
-Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và
có trị số là LI
L0
/pL=I
L0
/p.
H×nh 3.2
a)
i(t)
L
u(t)
b)
i(p)
Lp
u(p)
c)
i(p)
Lp
u(p)
L.I
L0
d)
i(p)
Lp
u(p)
p
I
L 0


85
- Biến đổi điện dung C được thực hiện như trên hình 3.3. Mạch ở
dạng hàm gốc hình 3.3. a) theo quan hệ:
∫
+=
t
C
udt)t(i
C
)t(u
0
0
1
(3.12)
Bảng 3.1
TT Hàm ảnh Hàm gốc
1 1
σ(t)
2 A
A
σ(t)

3
p
A


A



4
2
p
A


At

5
n
p
A

1n
t
)!1n(
A
−
−


6
α+p
A


Ae
-αt


7
n
)p(
A
α+

t1n
et
)!1n(
A
α−−
−


8
)p(p
A
α+

)e1(
A
tα
α
−
−


9
22
p

A
ω+

ω
ω
sin
A
t

10
22
p
A
ω
ω
+


ωsinA


11
22
p
Ap
ω+


Acosωt


12
2
0
2
p2p
A
ωα ++

tsine
A
t
1
1
ω
ω
α−


13
2
0
2
p2p
Ap
ωα ++

)tsint(cosAe
1
1
1

t
ω
ω
α
ω
α
−
−


14
2
0
2
21
p2p
ApA
ωα ++
+

)tsin
AA
tcosA(e
1
1
12
11
t
ω
ω

α
ω
α
−
+
−


15
)p(p
A
22
ω+

)tcos1(
A
2
ω
ω
−


16
)p2p(p
A
2
0
2
ωα ++


)tsint(cose[
A
t
1
1
1
2
0
1 ω
ω
α
+ω−
ω
α−

Chú ý: -Từ công thức 12 trở đi
22
01
α−ω=ω

-Các công thức 9
÷
13 đếu suy từ 14; 15 suy từ 16

86

Chuyển sang dạng ảnh:
Biến đổi Laplas cả 2 vế (3.12) sẽ có:

0

0
1
1
C
C
Cu
pC
)p(u
)p(ihay
p
u
)p(i
pC
)p(u −=+=
(3.13)
H×nh 3.3
a)
i(t)C
u(t)
b)
i(p)
u(p)
c)
i(p)
u(p)
d)
i(p)
u(p)
+
_

p
u
C0
−
pC
1
pC
1
pC
1
-C
u
C0
Công thức 3.13 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.3b) khi điều kiện ban đầu
không, tức u
C0
=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.3c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức u
C0
≠0. Từ mạch hình 3.3c có thể chuyển sang mạch nguồn dòng
tương đương hình 3.2d). Chú ý: nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.3c) có chiều như
chiều của dòng điện nạp cho điện dung ở mạch gốc hình 3.3.a) thì nó phải mang
dấu “-”, nếu lấy ngược chiều-mang dấu “+”; nguồn dòng hình 3.3d) cũng có
chiều được xác định như vậy.
Buớc 5: Bíên đổi về dạng bảng sử dụng phương pháp h
ằng số bất định
hoặc công thức Heaviside.
Công thức Heaviside khi ảnh của phản ứng F
K
(p) là tỷ số của hai đai thức

hữu tỷ
)p(N
)p(M
)p(F
K
=
được ứng dụng rất thuận tiện khi đa thức mẫu số có các
nghiệm thực. Giả sử N(p) là đa thức bậc n, có 1 nghiệm thực bội bậc q là p
b
và có
r=n-q nghiệm thực đơn thì:

q
b
q
b
br
r
K
)pp(
C
..
)pp(
C
pp
C
pp
A
..
pp

A
pp
A
)p(N
)p(M
)p(F
−
++
−
+
−
+
−
++
−
+
−
==
2
21
2
2
1
1

Trong đó: Các hệ số A
K
xác định theo công thức (3.14) hoặc (3.15):

).(

pp
)pp(
)p(N
)p(M
A
k
kk
143
=
−=


).(
pp
)p('N
)p(M
A
k
k
153
=
=

các hệ số C
K
xác định theo công thức (3.16) hoặc:
b
q
b
]q[

]q[
b
q
bq
b
q
bq
pp
])pp(
)p(N
)p(M
[
dp
d
)!q(
C
...
pp
])pp(
)p(N
)p(M
[
dp
d
C;
pp
])pp(
)p(N
)p(M
[C

=
−
−
=
=
−=
=
−=
−
−
−
1
1
1
1
1
1
(3.16)