HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO

$1. ĐẠI SỐ.
σ
- ĐẠI SỐ
1. Đại số
a) Định nghĩa 1
. Cho tập hợp
φ
≠X
. Một họ N các tập con của
X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều
kiện sau:
(i) X
∈
N ;
(ii) A
∈
N
⇒
C
X
A = X \ A
∈
N ;
(iii) A
1
, A
2

, ... , A
n

∈
N
⇒

U
n
k
k
A
1=

∈
N .
b) Các tính chất

Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính
chất sau đây:
1.
φ

∈
N ;
2. A
1
, A
2
, ... , A

n

∈
N
⇒

I
n
k
k
A
1=

∈
N ;
3. A, B
∈
N
⇒
A \ B
∈
N.

Chứng minh
.
1. được suy từ (i), (ii)
2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
n
k

n
k
kk
CAAC
11
)(
= =
=


3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức
A \ B = A
∩
C
X
B
Nhận xét
Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất
" khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu
các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán
này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N).
c) Các ví dụ

1. Cho
XA ⊂
. Đặt N =
{ }
ACAX
X
,,,

φ
.
Khi đó N là một đại số các tập con của X.

2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 },
C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }.
Đặt N = {
φ
, X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại
số các tập con của X?
3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn
điều kiện :
Nếu A, B
∈
N thì X \ A
∈
N và A
∩
B
∈
N.
Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X.
2.
σ
- đại số
a) Định nghĩa 2
. Cho tập hợp
φ
≠X
. Một họ M các tập con của

X được gọi là một
σ
- đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn
ba điều kiện sau:
(i) X
∈
M ;
(ii) A
∈
M
⇒
C
X
A = X \ A
∈
M ;
(iii) A
1
, A
2
, ... , A
n
, ...
∈
M
⇒

U
∞
=1k

k
A

∈
M .
b) Các tính chất

Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M
có các tính chất sau đây:
1. M là một đại số các tập con của X;
2.
φ

∈
M ;
3. A
1
, A
2
, ... , A
n

∈
M
⇒

I
n

k
k
A
1=

∈
M ;
4. A, B
∈
M
⇒
A \ B
∈
M ;

5. A
1
, A
2
, ... , A
n
, ...
∈
M
⇒

I
∞
=1k
k

A

∈
M .
Chứng minh
.
- Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt
A
n+1
= A
n+2
= ... =
φ
.
- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh.
- Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
∞
=
∞
=
=
11
)(
k k
kk
CAAC

Nhận xét


σ
- đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép
kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập
hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các
phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của
M ).
c) Các ví dụ

1. Cho tập hợp
φ
≠X
. Họ tất cả các tập con của tập hợp X là
một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.

2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn
hai điều kiện :
a) A
∈
M
⇒
X \ A
∈
M ;
b) A
1
, A, ... , A
n
, ...

∈
M
⇒

I
∞
=1k
k
A

∈
M .
Chứng minh rằng M là một
σ
- đại số các tập con của X.
3. Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X và Z
∈
M.
Đặt M
Z
là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z.
Chứng minh M
Z
là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp Z.
$2. ĐỘ ĐO
1. Tập hợp số thực không âm mở rộng

Cho tập hợp số thực không âm
),0[ +∞
.
Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là +
∞
, tập hợp mới
thu được là
],0[ +∞
. Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với
các quy ước về phép toán như sau.
a < +
∞
với mọi a
∈

),0[ +∞
;
a + (+
∞
) = (+
∞
) + a = +
∞
với mọi a
∈

],0[ +∞
;
a . (+
∞

) = (+
∞
) . a = +
∞
với mọi a
∈

],0( +∞
;
0 . (+
∞
) = (+
∞
) . 0 = 0

Lưu ý
. Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi

+∞≠c
.
2. Các khái niệm
Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞

.
Định nghĩa 1.

μ
được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một
họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A
1
, A
2
, ... , A
n

∈
M thì
∑
=
=
=
n
k
k
n
k
k
AA
1
1
)()(
μμ
U


Định nghĩa 2
.
μ
được gọi là ánh xạ
σ
- cộng tính nếu có một họ
đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A
1
, A
2
, ... , A
n
, ...
∈
M thì
∑
∞+
=
∞+
=
=
1
1
)()(
k
k
k
k
AA

μμ
U

Định nghĩa 3.

μ
được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau
được thoả mãn:
1.
μ
(
φ
) = 0;
2.
μ
là
σ
- cộng tính.
Định nghĩa 4.
Cặp (X, M), trong đó M là
σ
- đại số các tập con của
tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A
∈
M được
gọi là một tập đo được.
Định nghĩa 5.
Bộ ba (X, M,
μ
), trong đó M là

σ
- đại số các tập con
của tập hợp X,
μ
là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo.
Nếu A
∈
M thì số
μ
(A) được gọi là độ đo của tập hợp A.
Định nghĩa 5.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo hữu hạn nếu
μ
(X) < +
∞
.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo
σ
- hữu hạn, nếu X =
U
∞
=1
k
k
X
, X

k

∈
M
và
μ
(X
k
) < +
∞
với mọi k.
Nhận xét
. Độ đo hữu hạn thì
σ
- hữu hạn.
3. Các ví dụ
a) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞
xác định bởi
μ
(A) = 0 với mọi A
∈
M .

Khi đó
μ
là một độ đo hữu hạn.
b) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞
xác định bởi

μ
(
φ
) = 0 ,
μ
(A) = +
∞
với mọi A
∈
M và
φ
≠A
.
Khi đó
μ
là một độ đo không

σ
- hữu hạn.
c) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X và x
0

∈
X.
Xét ánh xạ
μ
: M
→

],0[ +∞
xác định bởi :
- Nếu A
∈
M và x
0

∈
A thì
μ
(A) = 1 ;
- Nếu A
∈
M và x
0


∉
A thì
μ
(A) = 0 .
Chứng minh rằng
μ
là một độ đo hữu hạn.
Nhận xét
. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một
σ
- đại số
các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ
đo tương ứng với các tính chất khác nhau.
4. Các tính chất của độ đo
Cho (X, M,
μ
) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính
chất sau đây.
1.
μ
là cộng tính hữu hạn.
2. Nếu A, B
∈
M và A
⊂
B thì
μ
(A)
≤


μ
(B) .
Ngoài ra, nếu
μ
(A) < +
∞
thì
μ
(B \ A) =
μ
(B) -
μ
(A).
3. Nếu A
1
, A
2
, ... , A
n
, ...
∈
M thì
∑
∞+
=
∞+
=
≤
1
1

)()(
k
k
k
k
AA
μμ
U


4. Nếu A, B
∈
M , A
⊂
B và
μ
(B) = 0 thì
μ
(A) = 0.
5. Nếu A, B
∈
M và
μ
(B) = 0 thì

μ
(A
∪
B) =
μ

(A \ B) =
μ
(A).
6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập
hợp có độ đo không:

μ
(A
k
) = 0,
∀
k = 1, 2, ... , n
⇒

0)(
1
=
=
U
n
k
k
A
μ

7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập
hợp có độ đo không:

μ
(A

k
) = 0,
∀
k = 1, 2, ...
⇒

0)(
1
=
∞+
=
U
k
k
A
μ

8. Nếu
μ
là độ đo
σ
- hữu hạn thì
i) X =
U
∞
=1
k
k
Y
, trong đó các tập hợp Y

k
đôi một rời nhau,
Y
k

∈
M và
μ
(Y
k
) < +
∞
với mọi k;
ii) A =
U
∞
=1
k
k
A
, trong đó các tập hợp A
k
đôi một rời nhau,
A
k

∈
M và
μ
(A

k
) < +
∞
với mọi A
∈
M và mọi k.
9. Nếu { A
n
} , n
∈
N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được,
nghĩa là A
1

⊂
A
2

⊂
...
⊂
A
n

⊂
... , thì
U
∞+
=
+∞→

=
1
)()(
lim
n
n
n
n
AA
μμ

10. Nếu { A
n
} , n
∈
N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo
được, nghĩa là A
1

⊃
A
2

⊃
...
⊃
A
n

⊃

... , và
μ
(A
1
) < +
∞
thì
)(lim)(
1
n
n
n
n
AA
μμ
+∞→
∞+
=
=
I

5. Độ đo đủ
Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo
được, nghĩa là nếu A
∈
M , B
⊂
A thì có thể B
∉
M .

Định nghĩa 6.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập
có độ đo không đều là tập đo được.
Nhận xét
. Nếu
μ
là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển
μ

thành một độ đo đủ nhờ định lý dưới đây.
Định lý.
Giả sử (X, M,
μ
) là một không gian độ đo.
Gọi M' là họ tất cả các tập hợp A có dạng
A = B
∪
C (1)
trong đó B
∈
M, C
⊂
D, D
∈
M,
μ
(D) = 0.
Với mỗi tập hợp A có dạng (1), đặt

μ
' là ánh xạ sao cho
μ
'(A) =
μ
(B) (2)
Khi đó:
i) (X, M',
μ
') là một không gian độ đo;
ii)
μ
' là độ đo đủ.

Định nghĩa 7.
M' được gọi là bổ sung Lebesgue của
σ
- đại số M và
μ
' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo
μ
.

6. Thác triển ánh xạ
σ
- cộng tính thành độ đo
Định lý
(Hahn). Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và
m : N
→


],0[ +∞
là một ánh xạ
σ
- cộng tính. Khi đó tồn tại một
σ
- đại số M chứa N và một độ đo đủ
μ
: M
→

],0[ +∞
sao cho
μ
(A) = m(A) với mọi A
∈
N . Ngoài ra, nếu m là
σ
- hữu hạn thì
μ
xác định một cách duy nhất.
Định nghĩa 8.
Độ đo
μ
được gọi là thác triển của m từ đại số N lên
σ
- đại số M.

$3. ĐỘ ĐO LEBERGUE TRÊN
ℜ


1. Khoảng trong
ℜ

Định nghĩa 1.
Các tập hợp sau đây được gọi là các khoảng trong
ℜ
:
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (-
∞
, a), (-
∞
, a], (a, +
∞
), [a, +
∞
)
(-
∞
, +
∞
).
Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong
ℜ
cũng là khoảng
trong
ℜ
hoặc là tập hợp rỗng.
Định nghĩa 2.
Nếu

Ι
là khoảng trong
ℜ
có hai đầu mút là a, b
(-
∞

≤
a
≤
b
≤
+
∞
) thì ta gọi số
Ι
= b - a là độ dài của
Ι
.
2. Đại số các tập con của
ℜ


Xét họ N các tập hợp P là hợp của hữu hạn các khoảng trong
ℜ

không giao nhau:
N =
{ }
U

n
i
jii
jiIIIPP
1
)(,/
=
≠=∩=ℜ⊂
φ
(1)
Trên N xét ánh xạ m : N
→

],0[ +∞
xác định bởi
∑
=
=
n
i
i
IPm
1
)(


nếu P có biểu diễn như trong (1).
Định lý 1.
N là một đại số các tập con của
ℜ

.
Chứng minh
.

Ta kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa đại số.

(i) Ta có
ℜ
= (-
∞
, +
∞
) ( hợp của một khoảng) nên hiển nhiên
ℜ
∈
N .

(ii) Giả sử P
∈
N thì P là hợp của hữu hạn khoảng không giao
nhau. Khi đó dễ thấy
ℜ
\ P cũng là hợp của hữu hạn khoảng
không giao nhau. Vậy
ℜ
\ P
∈
N.

(iii) Giả sử P, Q

∈
N, ta cần chứng minh P
∪
Q
∈
N.

Trước hết ta chứng minh P
∩
Q
∈
N.
Thật vậy, vì P, Q đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao
nhau nên ta có biểu diễn:

IU
)'(,,
'
1
iiIIIP
ii
n
i
i
≠==
=
φ


IU

)'(,,
'
1
jjJJJQ
jj
k
j
j
≠==
=
φ

Khi đó
IUUIUU
UIIIU
k
j
n
i
jij
k
j
n
i
i
k
j
j
k
j

j
JIJI
JPJPQP
1111
11
)(])[(
)()(
====
==
==
===


Thế mà
I
ijji
LJI
=
( i = 1, 2, ... , n ; j = 1, 2, ... , k) là các
khoảng không giao nhau đôi một nên P
∩
Q
∈
N.
Bây giờ ta chứng minh P
∪
Q
∈
N khi P, Q
∈

N .
Thậy vậy, ta có P, Q
∈
N nên theo (ii)
ℜ
\ P
∈
N ,
ℜ
\ Q
∈
N. Khi
đó, theo phần vừa chứng minh, (
ℜ
\ P)
∩
(
ℜ
\ Q)
∈
N , hay
ℜ
\ (P
∪
Q)
∈
N, lại theo (ii) suy ra P
∪
Q
∈

N .
Vậy, N là đại số các tập con của
ℜ
, định lý được chứng minh.
Định lý 2.
Ánh xạ m ánh xạ
σ
- cộng tính.
Chứng minh
.
Giả sử Q =
U
∞
=1
k
k
P
, trong đó các tập hợp P
k
đôi một rời nhau,
Q, P
k

∈
N (Q và P
k
đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau).
Ta cần chứng minh
∑
∞+

=
=
1
)()(
k
k
PmQm

Không mất tính tổng quát ta có thể xem Q và mỗi P
k
chỉ là một
khoảng trong
ℜ
.
Trước hết ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng hữu hạn.
Khi đó các P
k
cũng là khoảng hữu hạn.
Giả sử Q là khoảng hữu hạn có hai đầu mút là a, b , còn P
k
có

hai đầu mút là a
k
, b
k
.
- Với mỗi n = 1, 2, ... , luôn tồn tại hữu hạn các khoảng
Ι
i


( i = 1, 2, ... , n
i
) sao cho
UUU
i
n
i
i
n
k
k
IPQ
11
)()(
==
=

trong đó các P
k
,
Ι
i
rời nhau.
Khi đó
∑∑∑
===
≥+=
n
k

k
n
i
i
n
k
k
PIPQ
i
111

Cho n
→
+
∞
, ta được
∑
∞+
=
≥
1k
k
PQ
(2)
- Cho
ε
> 0 tuỳ ý sao cho
2
ab
−

<
ε
.
Đặt
),(
22
kk
kkk
baQ
εε
+−=
(k = 1, 2, ... )

[ ]
εε
−+= baQ ,'

Ta có P
k

⊂
Q
k
nên
UU
∞+
=
∞+
=
⊂=⊂

11
'
k k
kk
QPQQ

Mặt khác, Q' là tập compact nên mỗi phủ mở của Q' đều có một phủ
con hữu hạn , khi ấy tồn tại hữu hạn các tập
n
kkk
QQQ ,...,,
21

sao cho
U
n
i
k
i
QQ
1
'
=
⊂

Suy ra
∑
=
≤
n

i
k
i
QQ
1
'

hay
∑∑∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
=
−
+−=+−≤
≤+−≤−−
1
2
11
2
2
1
2
2
1
)()(

)(2
kk
kk
k
kk
n
i
kk
kk
i
k
ii
abab
abab
εε
ε
ε

Thế nhưng
∑
∞+
=
−
1
2
1
k
k
ε
lại là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu

u
1
=
ε
, công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2
ε
.
Vậy
εε
2)(2
1
+−≤−−
∑
∞+
=k
kk
abab

hay
ε
4
1
+≤
∑
∞+
=k
k
PQ

Cho

ε

→
0, ta có
∑
∞+
=
≤
1k
k
PQ
(3)
Từ (2) , (3) suy ra
∑
∞+
=
=
1k
k
PQ

hay
∑
∞+
=
=
1
)()(
k
k

PmQm


Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng vô hạn.
Khi đó
+∞=Q
.
Rõ ràng ta luôn có thể biểu diễn Q ở dạng
+∞=⊂⊂=
∞+
=
+∞→
U
1
21
lim...,,
n
n
n
n
IIIIQ

trong đó các
Ι
n
đều là khoảng hữu hạn.
Chẳng hạn,
U
∞+
=

+=+∞=
1
),(),(
n
naaaQ

Vì
QI
n
⊂
và Q =
U
∞
=1k
k
P
, các P
k
rời nhau nên
UIIIU
∞+
=
∞+
=
===
11
)()(
k
kn
k

knnn
PIPIQII

trong đó các tập hợp
I
kn
PI
hữu hạn và rời nhau theo chỉ số
k = 1, 2, ...
Theo phần vừa chứng minh
∑∑
∞+
=
∞+
=
≤=
11 k
k
k
knn
PPII
I

Cho n
→
+
∞
, ta được
∑
∞+

=
≤∞+
1k
k
P

Do đó phải có
QP
k
k
=+∞=
∑
∞+
=1

Vậy, m là ánh xạ
σ
- cộng tính trên đại số N các tập con của
ℜ
.
Theo định lý Hahn về thác triển ánh xạ
σ
- cộng tính thành độ đo, ta
có một
σ
- đại số M chứa N và một độ đo đủ
μ
là thác triển của
m từ N lên M .




3. Độ đo Lebesgue trên
ℜ


Định nghĩa 3.
Độ đo
μ
và
σ
- đại số M nhận được khi thác triển
ánh xạ m trên đại số N các tập con của
ℜ
được gọi lần lượt là độ đo
Lebesgue và
σ
- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
.
Các tính chất

Độ đo Lebesgue
μ
và
σ
- đại số M các tập đo được theo nghĩa
Lebesgue trên
ℜ
có các tính chất sau đây.

1.
μ
là độ đo đủ.
2. Tập không quá đếm được trên
ℜ
có độ đo không.
3. Tập mở, tập đóng trên
ℜ
là tập đo được.
4. Tập A
⊂

ℜ
là đo được khi và chỉ khi với mọi
ε
> 0 tồn tại
các tập mở G, tập đóng F sao cho F
⊂
A
⊂
Q và
μ
(G \ F) <
ε
.
5. Nếu A đo được thì các tập hợp t A , x
0
+ A ( t, x
0


∈
ℜ
) cũng
đo được và
μ
( t A ) = / t /
μ
( A ) ,
μ
( x
0
+ A ) =
μ
( A),
trong đó
{ } { }
AaaxAxAatatA ∈+=+∈= /,/
00

Các ví dụ

a) Tập hợp Q các số hữu tỷ có độ đo không.
b) Tập hợp Cantor P
0
trên [0, 1] xây dựng theo cách dưới đây có độ
đo không.
Xét tập hợp [0, 1].
- Bước 1
. Chia [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau, bỏ đi khoảng
giữa G

1
= (1/3, 2/3).
- Bước 2. Chia ba mỗi đoạn còn lại là [0, 1/3] và [2/3, 1] , bỏ đi
khoảng giữa của chúng, đặt G
2
= (1/9, 2/9)
∪
(7/9, 8/9).
- v.v...
Gọi G
n
là hợp của 2
n-1
các khoảng bỏ đi ở bước thứ n ,
G =
U
∞
=
1
k
k
G
là hợp của tất cả các khoảng bỏ đi , P
0
= [0,1] \ G.
Ta có các tập G
n
rời nhau và
μ
(G

n
) = 2
n-1
. 1/ 3
n
= 1/2 . (2/3)
n

Khi đó
∑∑
∞+
=
∞+
=
===
11
3
2
2
1
1)()()(
nn
n
n
GG
μμ


Vậy
μ

(P
0
) =
μ
([0, 1]) -
μ
(G) = 0.
Để ý rằng tập hợp P
0
là tập không đếm được và có độ đo không.
$4. HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
1. Tập hợp số thực mở rộng
Cho tập hợp số thực
ℜ
= (-
∞
, +
∞
).
Ta bổ sung cho tập hợp này hai phần tử là -
∞
, +
∞
, tập hợp mới thu
được là [-
∞
, +
∞
] = (-
∞

, +
∞
)
∪
{-
∞
, +
∞
} . Ta gọi đây là tập số thực
mở rộng, ký hiệu là
ℜ
, với các quy ước về phép toán như sau.

-
∞
< a < +
∞
với mọi a
∈

ℜ
;

a + (+
∞
) = (+
∞
) + a = +
∞
với mọi a

∈
(-
∞
, +
∞
];
a + (-
∞
) = (-
∞
) + a = -
∞
với mọi a
∈
[-
∞
, +
∞
);

a . (+
∞
) = (+
∞
) . a = +
∞
với mọi a
∈

],0(

+∞

a . (-
∞
) = (-
∞
) . a = -
∞
với mọi a
∈

],0(
+∞
;

a . (+
∞
) = (+
∞
) . a = -
∞
với mọi a
∈
(-
∞
, 0);
a . (-
∞
) = (-
∞

) . a = +
∞
với mọi a
∈
(-
∞
, 0);

0 . (+
∞
) = (+
∞
) . 0 = 0; 0 . (-
∞
) = (-
∞
) . 0 = 0;


ℜ∈∀==
∞−∞+
a
aa
,0

+∞=∞−=∞+

Các ký hiệu (+
∞
) + (-

∞
), (+
∞
) - (+
∞
), (-
∞
) - (-
∞
),
∞±
±∞
,
0
a
với mọi a
∈

ℜ
đều không có nghĩa.
2. Hàm số hữu hạn
Định nghĩa 1.
Hàm số f : A
→

ℜ
được gọi là hữu hạn trên A nếu
f(A)
⊂


ℜ
.
Các ví dụ

1. Hàm số f(x) = sinx là hữu hạn trên
ℜ
vì f(
ℜ
) = [-1, 1]
⊂

ℜ
.
2. Hàm số f(x) = x là hữu hạn trên
ℜ
vì f(
ℜ
) =
ℜ

⊂

ℜ
.
3. Hàm số
⎩
⎨
⎧
=∞+
∈

=
0
)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xf
x

là hàm số không hữu hạn trên [0, 1).
3. Hàm số đo được
Dưới đây ta cho (X, M) là không gian đo được và A
∈
M .
Định nghĩa 2.
Hàm số f : A
→

ℜ
được gọi là đo được trên A nếu
{ }
∈<∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
Nếu X =
ℜ
và M là
σ
- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue
trên

ℜ
, thì f được gọi là hàm đo được theo Lebesgue.
Các ví dụ

4. Hàm hằng trên A là đo được trên A.

Thật vậy, giả sử f(x) = c = const với mọi x
∈
A và a là một số thực bất
kỳ . Đặt
{ }
axfAxB <∈= )(/

Khi đó
- Nếu a
≤
c thì B =
φ
nên B
∈
M ;
- Nếu a > c thì B = A nên B
∈
M.
Vậy f đo được trên A.
5. Các hàm số đã xét ở ví dụ 1, 2, 3 đều là hàm đo được trên các tập
tương ứng.
Định lý 1.
Các điều kiện sau đây là tương đương.
(1) Hàm số f đo được trên A.

(2)
{ }
∈≥∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
(3)
{ }
∈>∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M
(4)
{ }
∈≤∈ℜ∈∀ axfAxa )(/,
M




Chứng minh.
Đặt
{ }
axfAxB <∈= )(/

{ }
axfAxC ≥∈= )(/

{ }
axfAxD >∈= )(/

{ }
axfAxE ≤∈= )(/


Khi đó ta có C = A \ B, E = A \ D.
Do đó B
∈
M
⇔
C
∈
M và E
∈
M
⇔
D
∈
M .
Suy ra (1)
⇔
(2), (3)
⇔
(4) nên ta chỉ cần chứng minh (2)
⇔
(3).
- Trước hết ta chứng minh
IU
+∞
=
+∞
=
==
11
,

n
n
n
n
DCCD

trong đó
{ }
n
n
axfAxC
1
)(/
+≥∈=


{ }
n
n
axfAxD
1
)(/ −>∈=

Thật vậy, lấy x
∈
D thì x
∈
A và f(x) > a. Theo tính chất trù mật của tập
số thực, tồn tại
0

n
sao cho
aaxf
n
>+≥
0
1
)(

Suy ra
0
n
Cx ∈
do đó
U
+∞
=
∈
1n
n
Cx

Ngược lại, lấy
U
+∞
=
∈
1n
n
Cx

thì tồn tại
0
n
sao cho
0
n
Cx ∈

Khi đó x
∈
A và
0
1
)(
n
axf +≥
nên f(x) > a. Suy ra x
∈
D.
Bây giờ ta lấy x
∈
C thì x
∈
A và
axf ≥)(
nên với mọi n ta có
n
axf
1
)( −>

. Suy ra
n
Dx ∈
với mọi n, do đó
I
+∞
=
∈
1n
n
Dx

Ngược lại, lấy
I
+∞
=
∈
1n
n
Dx
thì
n
Dx ∈
với mọi n, do đó x
∈
A và
n
axf
1
)( −>

với mọi n. Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối
cùng này khi n
→
+
∞
, ta được
)(lim)(lim
1
n
nn
axf −=
+∞→+∞→
hay
axf ≥)(
. Do đó x
∈
C.
Vậy ta có các đẳng thức về tập hợp cần chứng minh trên đây.

- Bây giờ ta chứng minh (2)
⇔
(3).
Thật vậy, giả sử ta có (2), khi đó với mọi a
∈

ℜ
và mọi n ta có
n
C


∈
M
. Mà M là
σ
- đại số nên D
∈
M . Vậy (3) được thoả mãn.
Ngược lại, giả sử ta có (3). Khi đó với mọi a
∈

ℜ
và mọi n ta có
n
D

∈

M . Mà M là
σ
- đại số nên C
∈
M . Vậy (2) được thoả mãn.
Định lý chứng minh xong.
Hệ quả
1º Nếu f đo được trên A
∈
M và
Β ⊂Α
, B
∈

M thì f đo được trên
Β
.
Chứng minh
.
Với
ℜ∈∀a
ta có
()
{ }
( )
{ }
//x fxa x fxa∈Β < =Β∩ ∈Α < ∈M

2º
f
đo được trên
1
Α
,
2
Α
, … và f xác định trên
1
n
n
∞
=
Α =Α
U

thì f đo được
trên
Α
.
Chứng minh
.
Với
ℜ∈∀a
ta có
()
{}
() ()
{}
11
///
nn
nn
x fxa x fxa x fxa
∞∞
==
⎧⎫
∈Α<=∈Α<=∈Α<∈
⎨⎬
⎩⎭
UU
M
do
M
là δ - đại số.
4. Các tính chất của hàm đo được

1º Nếu
f
đo được trên
Α
và c = const
∈

ℜ
thì
cf
đo được trên
Α
.
2º Nếu
f
,
g
đo được và hữu hạn trên
Α
thì
fg+
,
fg
đo được trên
Α
.
3º Nếu
f
đo được trên
Α

,
0
α
>
thì
f
α
đo được trên
Α
.
4º Nếu
()
0,
fx x
≠∀∈Α
và
f
đo được trên
Α
thì
1
f
đo được trên
Α
.
5º Nếu
f
,
g
đo được trên

Α
thì
( )
max ,f g
,
( )
min ,f g
đo được trên
Α
.
6º Nếu
{ }
n
f
là dãy hàm đo được trên
Α
thì
sup
n
n
f
,
inf
n
n
f
,
lim sup
n
n

f
→∞
,
lim inf
n
n
f
→∞
đo được trên
Α
.
7º Nếu
{ }
n
f
hội tụ trên
Α
,
n
f
đo được trên
Α
thì
lim
n
n
f
→∞
đo được trên
Α

.
8º Nếu
f
,
g
đo được trên
Α
thì các tập hợp
( )()
{ }
/x fx gx∈Α <
,
() ()
{ }
/
x fx gx∈Α ≤
,
( ) ( )
{ }
/
x fx gx∈Α =
đều thuộc
M
.
9º Nếu
f
đo được trên
Α
thì các hàm số
()

()
( )
()
()
{}
,0
max ,0
0, 0
fx khifx
fx fx
khi f x
+
≥
⎧
==
⎨
<
⎩

và
()
( )
() ()
()
{}
0, 0
max ,0
,0
khi f x
fx fx

fx khifx
−
≥
⎧
==−
⎨
−<
⎩

là những hàm số đo được trên
Α
.
5. Hàm đặc trưng của tập hợp
Định nghĩa 2.
Cho
Α⊂Χ
. Hàm số
ℜ→Χ:
A
χ
xác định bởi
()
1,
0,
neu x
x
neu x
χ
Α
∈ Α

⎧
=
⎨
∉ Α
⎩

được gọi là hàm số đặc trưng của
Α
(trên
Χ
).
Tương tự ta có khái niệm hàm đặc trưng của tập hợp E trên A.
Ví dụ 6
. Hàm số Direchle: D:
ℜ→ℜ
xác định bởi
⎩
⎨
⎧
ℜ∈
∈
=
Qxkhi
Qxkhi
xD
\0
1
)(

là hàm đặc trưng của Q trên

ℜ
.
Ta xét tính chất đo được của hàm đặc trưng.
Định lý 2.
Hàm đặc trưng
E
χ
của tập hợp
Ε ⊂Α
là đo được trên
Α
khi và
chỉ khi E
∈
M.
Chứng minh
.
Với
ℜ∈∀a
ta có
()
{}
,1
:\,01
,0
E
neu a
x xa neu a
neu a
χ

Α >
⎧
⎪
∈Α < = Α Ε < ≤
⎨
⎪
∅≤
⎩

- Nếu E
∈
M thì A \ E
∈
M , do đó
E
χ
đo được trên
Α
.
- Nếu E
∉
M thì A \ E
∉
M , do đó
E
χ
không đo được trên
Α
.
6. Hàm đơn giản

Định nghĩa 3.
Hàm số
[ ]
:0;
S
Χ →+∞
xác định trên
Χ
và chỉ nhận một
số hữu hạn các giá trị hữu hạn không âm được gọi là hàm số đơn giản trên
Χ
.
Tương tự ta có khái niệm hàm đơn giản trên tập hợp
Α ⊂Χ
.
Ví dụ 7
. Hàm số Direchle trên đây là hàm số đơn giản trên
ℜ
vì nó chỉ nhận
hai giá trị hữu hạn không âm là 0 và 1.
Ví dụ 8. Xét hàm số
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
=
)7,4(4
]4,3[2

)3,1[1
)(
khi
khi
xkhi
xf

Đây là hàm đơn giản trên [1, 7).
Nhận xét

Cho hàm đơn giản
[ ]
:0;S Χ→ +∞
và
1
α
,
2
α
, …,
n
α
là các giá trị khác
nhau đôi một của
S
.
Đặt
( )
{ }
:,1,

kk
x Sx k n
α
Χ= ∈Χ = =
.
Thế thì các
k
Χ
rời nhau,
1
k
k
∞
=
Χ= Χ
U
và
() ()
1
,
k
n
k
k
Sx x x
αχ
Χ
=
= ∀∈Χ
∑

.

Ví dụ 9
. Xét hàm đơn giản ở ví dụ 8.
Đặt
1
Α
= [1, 3),
2
A
= [3, 4],
3
A
= (4, 7),
1
α
= 1,
2
α
= 2,
3
α
= 4. Khi đó các tập hợp này rời nhau và
)()()()(
321
321
xxxxf
AAA
χαχαχα
++=

với mọi x
∈
[1, 7).

Xét tính chất của hàm đơn giản.
Cho
()
,Χ
M
- không gian đo được, A
∈
M.
Định lý 3.
Cho
S
là hàm đơn giản trên
Α

() ()
1
k
n
k
k
Sx x
αχ
Α
=
=
∑

,
AA
n
k
k
=
=
U
1
,
k
Α
rời nhau,
k
α
khác nhau.
Khi đó
S
đo được trên
Α
khi và chỉ khi mọi
k
A

∈
M.
Chứng minh
.
- Nếu
S

đo được trên
Α
thì
( )
{ }
:1,
kk
x Sx k n
α
∈Α = =Α ∈ =
M,

- Nếu
1
Α
, …,
k
A

∈
M thì theo định lý 1 mọi hàm đặc trưng
k
χ
Α
đo được
trên
Α
. Khi đó hàm
()
Sx

đo được trên
Α
(vì là tổng, tích các hàm hữu hạn
đo được).
7. Cấu trúc của hàm đo được
Định lý 4.
Mọi hàm số đo được không âm trên
Α
đều là giới hạn của một dãy
đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được trên
Α
.
Chứng minh
.
Giả sử
f
là hàm đo được không âm trên
Α
.
Đặt
()
( )
()
,
11
, , 1,2,..., 2
222
n
n
nnn

nkhifxn
Sx
mm m
khi f x m n
≥
⎧
⎪
=
⎨
−−
≤< =
⎪
⎩

thì
()
n
Sx
là dãy đơn điệu tăng (theo
n
) các hàm đơn giản đo được trên
Α
.
Ta chứng minh
() ( )
lim ,
n
n
Sx fx x
→∞

= ∀∈Α
.
Thật vậy,
- Nếu
()
fx<+∞
thì với
n
đủ lớn ta có
( )
f xn<
.
Do đó với
n
∀
đủ lớn tồn tại số tự nhiên
{ }
1, 2,..., 2
n
mn∈
sao cho
()
1
22
nn
mm
fx
−
≤<
. Vì

()
1
2
n
n
m
Sx
−
=
nên
() ()
1
2
n
n
Sx fx− <
với
n
đủ
lớn.
- Nếu
()
fx=+∞
thì
( )
n
Sx n=
với
n
∀

.
Suy ra,
() ( )
lim
n
n
Sx fx
→∞
=+∞=
.
Vậy,
() ()
lim ,
n
n
Sx fx x
→∞
=∀∈Α
trong cả hai trường hợp.
$5. SỰ HỘI TỤ HẦU KHẮP NƠI
1.
Khái niệm hầu khắp nơi
Định nghĩa 1.
Cho không gian độ đo (X, M,
μ
) và A
∈
M . Ta nói một
tính chất
ℑ

nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên tập hợp A nếu tồn tại một tập
hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho tính chất
ℑ
xảy ra tại mọi x
∈
A
\ B.
Nói một cách khác, các điểm x
∈
A mà tại đó tính chất
ℑ
không xảy
ra đều thuộc tập hợp có độ đo không.
Hiển nhiên, một tính chất xảy ra ( khắp nơi ) trên A thì xảy ra hầu khắp
nơi trên A.
Sau đây ta đưa ra một vài khái niệm cụ thể thường sử dụng.
Định nghĩa 2.
Hai hàm số f, g cùng xác định trên tập hợp
A
∈
M được gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên A (hay tương
đương nhau trên A ) nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B

∈
M,
μ
(B) = 0 sao
cho f(x) = g(x) với mọi x
∈
A \ B.
Khi đó ta ký hiệu f ~ g (trên A).
Ví dụ 1
. Hàm số Dirichlet D(x) ~ 0 trên
ℜ
vì D(x) = 0 với mọi
x
∈

ℜ
\ Q , trong đó Q
⊂

ℜ
là tập đo được và có độ đo không.
Ví dụ 2
. Hàm số
⎩
⎨
⎧
=∞+
∈
=
0

)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xf
x

tương đương với hàm số

⎩
⎨
⎧
=
∈
=
01
)1,0(
)(
1
xkhi
xkhi
xg
x

trên [0, 1), vì f(x) = g(x) với mọi x
∈
[0, 1) \ B, trong đó
B = {0} là tập con của [0, 1), đo được và có độ đo không.
Ví dụ 3

. Hàm số
⎩
⎨
⎧
∈
∈
=
Qxkhix
Qxkhix
xf
\],0[cos
],0[sin
)(
2
2
π
π
I

tương đương với hàm số g(x) = cosx trên [0,
2
π
] .
Định nghĩa 3.
Hàm số f được gọi là hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A
∈

M nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B

∈
M,
μ
(B)= 0 sao cho f(x)
∈

ℜ
với mọi x
∈
A \ B.
Ví dụ 4
. Hàm số f(x) được cho ở ví dụ 2 hữu hạn hầu khắp nơi trên [0, 1).
Định nghĩa 4.
Hàm số f được gọi là xác định hầu khắp nơi trên tập hợp A
∈

M nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho f xác định trên A \ B.
Ví dụ 5
. Hàm số sơ cấp
x
xf
1
)( =
xác định hầu khắp nơi trên

ℜ
.
Định nghĩa 5.
Dãy hàm số
{ }
n
f
được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm
số f trên tập hợp A
∈
M nếu tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) =
0 sao cho
)()(lim xfxf
n
n
=
+∞→

với mọi x
∈
A \ B.
Ví dụ 6
. Dãy hàm số
{}

n
f
xác định bởi
n
n
xx
xxx
n
xf
2
2
4
sin3
)(
+−
−+
=

hội tụ hầu khắp nơi về hàm số
x
xx
xf
−
+
=
4
3
2
)(
trên [-1, 1].

2.
Sự hội tụ hầu khắp nơi
Định lý 1.
Cho không gian độ đo (X, M,
μ
) và A
∈
M .
Khi đó
(i) Nếu f ~ g (trên A) và
{ }
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A thì
{}
n
f

hội tụ h.k.n về g trên A.
(ii) Nếu
{ }
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A và
{ }
n
f
hội tụ h.k.n về g
trên A thì f ~ g (trên A).
Chứng minh

.
(i)
Vì f ~ g (trên A) nên tồn tại một tập hợp B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) =
0 sao cho f(x) = g(x) với mọi x
∈
A \ B.
Mặt khác, vì
{}
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp C
⊂
A ,
C
∈
M,
μ
(C) = 0 sao cho
)()(lim xfxf
n
n
=
+∞→


với mọi x
∈
A \ C.
Khi đó (B
U
C)
⊂
A, B
U
C
∈
M,
μ
(B
U
C) = 0 và với mọi
x
∈
(A \ B)
I
( A \ C) = A \ (B
U
C) ta có
)()()(lim xgxfxf
n
n
==
+∞→

Vậy

{}
n
f
hội tụ h.k.n về g trên A.
(ii)
Tương tự, do
{}
n
f
hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp
B
⊂
A , B
∈
M,
μ
(B) = 0 sao cho
)()(lim xfxf
n
n
=
+∞→
với
mọi x
∈
A \ B.
Lại do
{}
n
f

hội tụ h.k.n về g trên A nên tồn tại một tập hợp C
⊂
A , C
∈
M,
μ
(C) = 0 sao cho
)()(lim xgxf
n
n
=
+∞→
với mọi x
∈
A \ C.
Khi đó, theo tính chất duy nhất của giới hạn của dãy số, với mọi x
∈
(A
\ B)
I
( A \ C) = A \ (B
U
C) ta phải có
)()()(lim xgxfxf
n
n
==
+∞→
.
Mà (B

U
C)
⊂
A, B
U
C
∈
M,
μ
(B
U
C) = 0 nên f ~ g (trên
A).
Định lý được chứng minh.

Từ định lý suy ra rằng, nếu ta đồng nhất các hàm số tương đương thì
giới hạn của dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi là duy nhất.
Định lý 2.
(Egoroff) Giả sử
{ }
n
f
là một dãy hàm đo được, hữu hạn
h.k.n, hội tụ h.k.n về hàm số f đo được, hữu hạn h.k.n trên một tập hợp
A có độ đo hữu hạn. Khi đó với mỗi
ε
> 0, tồn tại một tập hợp E đo
được, E
⊂
A sao cho

μ
(A \ E) <
ε
và dãy hàm
{ }
n
f
hội tụ đều về
f trên E.
Ý nghĩa
: Định lý Egoroff khẳng định rằng mọi sự hội tụ có thể biến thành hội
tụ đều sau khi bỏ đi một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý.
Mối liên hệ giữa hàm đo được và hàm liên tục trên
ℜ

- Nếu A là tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
và hàm số f :
ℜ→A
là hàm liên tục trên A thì f đo được (L) trên A.
Thật vậy, nếu a
∈

ℜ
là một số thực bất kỳ thì vì f liên tục trên A nên
tập hợp
B = { x
∈
A : f(x) < a } =
1−

f
(-
∞
, a)
là một tập mở trong A.
Mặt khác, do A là không gian con của
ℜ
nên B = A
I
G , với G là
một tập mở trong
ℜ
. Suy ra B đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
. Vậy f đo
được (L) trên A.
- Ngược lại, một hàm số đo được (L) trên tập hợp A
⊂
ℜ
chưa chắc là
hàm liên tục trên A.
Tuy nhiên định lý dưới đây sẽ cho ta thấy một hàm đo được có thể trở thành
hàm liên tục nếu bỏ qua một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý.
Định lý 3.
(Lusin) Giả sử
f là một hàm số hữu hạn xác định trên tập hợp A
⊂
ℜ
;
A là tập đo được theo nghĩa Lebesgue và có độ đo hữu hạn.

Khi đó
f đo được (L) trên A khi và chỉ khi với mọi số
ε
> 0,
tồn tại một tập hợp đóng F
⊂
A sao cho
μ
(A \ F) <
ε

và f liên tục trên F.
$6. SỰ HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO
3.
Khái niệm
Định nghĩa 1.
Giả sử
()
,
μ
Χ
M,
là không gian độ đo,
Α∈
M
và
f
,
1
f

,
2
f
, … là những hàm đo được hữu hạn hầu khắp nơi trên A. Dãy
{ }
n
f
được
gọi là hội tụ theo độ đo đến
f
và ký hiệu
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A, nếu với
0
ε
∀>
ta đều có
( ) ( )
{ }
()
lim : 0
n
n
xfxfx
με
→∞
∈ Α−≥=

.

Nói cách khác, với
0
00n
ε δ
∀>∀> ∃ ∈

sao cho
( ) ( )
{ }
( )
0
::
n
nnn x fxfx
μ εδ
∀∈ > ⇒ ∈Α − ≥ <

.

Chú ý: Điều kiện
f
,
1
f
,
2
f
, … hữu hạn hầu khắp nơi đảm bảo cho

n
f f−
xác định hầu khắp nơi trên A.
Ví dụ 1
. Xét dãy hàm
{ }
n
f
xác định bởi
1
,[0,1)
()
1
2, [1 ,1)
n
xkhix
n
fx
khi x
n
⎧
∈−
⎪
=
⎨
⎪
∈−
⎩



và hàm số
() , [0,1)fx xx=∈
.
Thế thì
n
f f
μ
⎯⎯→
trên [0,1).
4.

Tính duy nhất của giới hạn theo độ đo
Định lý 1.

a) Nếu
f
,
g
đo được và
f g

trên A,
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A thì
n
f g
μ

⎯⎯→
trên A.
b) Nếu
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A và
n
f g
μ
⎯⎯→
trên A thì
f g

trên A.
Chứng minh
.
a) Vì
fg

trên A nên tập hợp
( )()
{ }
:
x fx gx
Β= ∈Α ≠
có độ đo
()
0

μ
Β=
(vì
f
,
g
đo được nên
Β∈
M
).
Với
0
ε
∀>
ta có
() ( )
{}
{}{}
() ()
{}
() ()
{}
() ()
{}
:
\: () () : () ()
\:
\:
:
ε

ε ε
ε
ε
ε
Α= ∈Α − ≥ =
=∈ − ≥ ∈ − ≥⊂
⊂∈ΑΒ − ≥∪Β=
=∈ΑΒ − ≥∪Β⊂
⊂∈Α − ≥∪Β
nn
nn
n
n
n
xfxgx
xABfxgx xBfxgx
xfxgx
xfxfx
xfxfx
U

Suy ra

( )
( ) ( )
{ }
( )
() ()
{}
()

:()
:0
μμ εμ
με
Α≤ ∈Α − ≥ + =
=∈Α − ≥→
nn
n
xfxfx B
xfxfx

khi
n →∞
vì
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A..
Do đó
()
lim 0
n
n
μ
→∞
Α=
. Vậy
n
f g

μ
⎯⎯→
trên A.
b) Đặt
{ }
{}
{}
0
:() () 0
:() (),
:() () , 0
1
:() () ,
:() () ,
2
:() () ,
2
k
nn
nn
AxAfxgx
xAfx gx
AxAfxgx
AxAfxgx k
k
BxAfxfx n
CxAfxgx n
ε
εε
ε

ε
∗
∗
∗
=∈ − >=
=∈ ≠
=∈ − ≥ >
⎧⎫
=∈ − ≥ ∈
⎨⎬
⎩⎭
⎧⎫
=∈ − ≥ ∈
⎨⎬
⎩⎭
⎧⎫
=∈ − ≥ ∈
⎨⎬
⎩⎭
¥
¥
¥

Ta có các tập hợp này đều đo được vì
,,
n
ffg
đo được trên A..
Ta cần chứng minh
0

()0A
μ
=
.
- Trước hết ta chứng minh
0
1
k
k
A A
+∞
=
=
U
. (1)
L ấy
0
x A∈
, ta có
xA∈
và
() () 0fx gx− >
.
Theo tính chất trù mật của tập số thực sẽ tồn tại số tự nhiên
0
k
sao cho
0
1
() () 0fx gx

k
−≥>
, suy ra
0
k
x A∈
nên
1
k
k
xA
+∞
=
∈
U
.
Ngược lại, lấy
1
k
k
x A
+∞
=
∈
U
thì tồn tại số tự nhiên
0
k
sao cho
0

k
x A∈
. Suy ra
x A∈
và
0
1
() ()fx gx
k
−≥
nên
() () 0fx gx−>
, do đó
0
xA∈
.

Vậy (1) được chứng minh. Khi đó ta có
0
1
() ()
k
k
A A
μμ
+∞
=
≤
∑
(2)


- Bây giờ ta chứng minh

nn
ABC
ε
⊂
U
,
n
∗
∀∈¥
,
0
ε
∀ >

(3)
hay
\\()
(\ )(\ ).
nn
nn
AA A B C
AB AC
ε
⊃ =
=
U
I


Thật vậy, lấy
(\ )(\ )
nn
x AB AC∈
I
ta có
xA∈
và
() ()
2
n
fx fx
ε
−<
và
() ()
2
n
fx gx
ε
− <

Suy ra
() () () () () ()
() () () ()
22
nn
nn
fx gx fx f x f x gx

fx fx fx gx
εε
ε
−=−+ −≤
≤−+−<+=

Do đó
\x AA
ε
∈
. Vậy (3) được chứng minh.
Khi đó
() () ()
nn
ABC
ε
μ μμ
≤ +
(4)
Mà
lim ( ) 0, lim ( ) 0
nn
nn
BC
μ μ
→+∞ →+∞
= =

vì
n

f f
μ
⎯⎯→
,
n
f g
μ
⎯⎯→
trên A, nên lấy lim hai vế của (4) ta được
()0, 0A
ε
μ ε
= ∀>

Suy ra
()
1
0, 0,
με
∗
Α= =>∀∈
k
khi k
k


Từ (2) ta có
0
()0A
μ

=
. Định lý được chứng minh.
• Định lý này cho thấy giới hạn của dãy hàm số theo độ đo là duy nhất,
nếu ta đồng nhất các hàm tương đương (tức là bỏ qua tập hợp có độ đo
0).
5.
Mối liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo.
Định lý 2
. Nếu dãy hàm số
{ }
n
f
đo được, hữu hạn hầu khắp nơi, hội tụ hầu
khắp nơi đến hàm số
f
đo được, hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A có độ
đo hữu hạn thì
n
f f
μ
⎯⎯→
trên A.
Chứng minh.

Giả sử
ε
và
η
là hai số dương tùy ý. Theo định lý Êgôrốp, tồn tại một tập hợp
con đo được B của tập hợp A sao cho

( )
\
μ η
Α Β<
và dãy hàm số
{ }
n
f
hội
tụ đều đến hàm số
f
trên tập hợp B. Do đó tồn tại một số tự nhiên
0
n
sao cho
với mọi số tự nhiên
n
, nếu
0
nn
≥
thì
() ( )
n
fx fx
ε
− <
với mọi
x
∈Β


Khi đó
() ( )
{ }
:\
n
xfxfx
ε
∈Α − ≥ ⊂Α Β
với mọi
0
nn
≥
;
nên
() ( )
{ }
()
:(\)
μ εμ η
∈Α − ≥ ≤ <
n
xfxfx AB
với mọi
0
nn
≥
,
tức là
n

f f
μ
⎯⎯→
trên A (đpcm).
*Nhận xét.

Giả thiết
()
μ
Α<+∞
trong định lý 2 không thể bỏ qua.
Ví dụ 2
. Giả sử
{ }
n
f
là một dãy hàm số xác định trên

bởi
()
0
1, 2...
n
khi x n
fx
nkhixn
n
<
⎧
=

⎨
≥
⎩
=

và
()
0fx=
với mọi
x
∈

.
- Dễ thấy dãy hàm số
{ }
n
f
hội tụ khắp nơi đến hàm số
f
trên

.
Thật vậy, giả sử
x
∈

là số cố định, bất kì. Khi đó luôn tồn tại số
tự nhiên
0
n

sao cho x <
0
n
. Thế thì với mọi số tự nhiên n >
0
n
, ta
có x < n nên
() 0
n
fx=
.
Suy ra
lim ( ) lim 0 0 ( )
n
nn
fx fx
→+∞ →+∞
===
. Vậy
()
0
n
fx→
trên

.
- Tuy nhiên
{ }
n

f
không hội tụ theo độ đo đến
f
trên

.

Thật vậy, với
01
ε
<<
và với mọi số tự nhiên
n
, ta đều có
() ()
{ }
( )
{ }
[
)
::,.
εε
∈−≥=∈ ≥=+∞
nn
xfxfx xfx n


Do đó
( ) ( )
{ }

( )
:
με
∈−≥=+∞
n
xfxfx

với mọi
n
.
Ví dụ 3
.
Α=

,
μ
là độ đo Lebesgue trên đường thẳng và
()
1, 1
0,
≤ ≤+
⎧
=
⎨
⎩
n
khi n x n
fx
tai cac diem khac


Thế thì
()
0
n
fx→
tại mọi điểm, nhưng với
n
∀

()
1
(0)1
2
μ
⎧⎫
− ≥=→
⎨⎬
⎩⎭
n
fx 0