MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
II. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa
a) Dạng 1:
f (x) g(x)=
⇔
2
g(x) 0
f (x) [g(x)]
≥


=

Ví dụ. Giải phương trình:
x 1 x 1+ = −
(1)
Giải: (1) ⇔
2
x 1
x 1
x 1
x 3
x 3x 0
x 1 x 1
≥
≥

≥




⇔ ⇔
  
=
− =
+ = −




Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
b) Dạng 2:
f (x) g(x) h(x)+ =
Ví dụ. Giải phương trình:
x 3 5 x 2+ = − −
(2)
Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) ⇔
x 3 x 2 5+ + − =
⇔
2x 1 2 (x 3)(x 2) 25+ + + − =
⇔
(x 3)(x 2) 12 x+ − = −
⇔
2 2
2 x 12
2 x 12
x 6
25x 150

x x 6 144 x 24x
≤ ≤
≤ ≤


⇔ ⇔ =
 
=
+ − = + −


Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3:
f (x) g(x) h(x)+ =
Ví dụ. Giải phương trình:
x 1 x 7 12 x+ − − = −
(3)
Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
(3) ⇔
x 1 12 x x 7+ = − + −
⇔
x 1 5 2 (12 x)(x 7)+ = + − −
⇔
2
2 19x x 84 x 4− − = −
⇔ 4(19x – x
2
– 84) = x
2
– 8x + 16

⇔ 76x – 4x
2
– 336 – x
2
+ 8x – 16 = 0
⇔ 5x
2
– 84x + 352 = 0

( ) ( )
2 2
2
84 352 42 1764 1764 352
5 x x 5 x 2 x
5 5 5 25 25 5
42 4 44
5 x 5 5 x 8 x (x 8) 5x 44
5 25 5
   
− + = − × + − +
 ÷  ÷
   
   
= − − × = − − = − −
 ÷  ÷
   
⇔ x
1
=
44

5
; x
2
= 8
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
=
44
5
; x
2
= 8
d) Dạng 4:
f (x) g(x) h(x) k(x)+ = +
Ví dụ. Giải phương trình:
x x 1 x 4 x 9 0− − − − + + =
(4)
Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
(4) ⇔
x 9 x x 1 x 4+ + = − + −
⇔
2x 9 2 x(x 9) 2x 5 2 (x 4)(x 1)+ + + = − + − −
⇔
7 x(x 9) (x 1)(x 4)+ + = − −
⇔
2 2
49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 4+ + + + = − +
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************

⇔ 45 + 14x + 14
x(x 9)+
= 0
Với x ≥ 4 ⇒ vế trái của phương trình luôn là một số dương ⇒ phương trình vô nghiệm
2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
x 4x 4 x 8− + + =
(1)
Giải: (1) ⇔
2
(x 2) 8 x− = −
Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1) ⇔ |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5
HD: Đáp số: x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình
x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − +
(2)
Giải: (2) ⇔
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1+ + + + + + − + + = + − + +
⇔
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|+ + + + − = + −
Đặt y =
x 1+
(y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành:
y 1 | y 3| 2 | y 1|+ + − = −
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1 . Giải phương trình
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái:
x 1 5x 1− < −
⇒ vế trái luôn âm
Vế phải:
3x 2−
≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x 1 5x 1 3x 2− = − + −
⇔
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)− = − + − −
⇔
2 7x 2 (5x 1)(3x 2)− = − −
Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
(1)
Giải: Ta có (1) ⇔
2 2 2
4 9

3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5
3 5
   
+ + + + + + + = − + + +
 ÷  ÷
   
⇔
2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)+ + + + + = − +
Ta có: Vế trái ≥
4 9 2 3 5+ = + =
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
x 7
8 2x 2x 1
x 1
+
+ = + −
+
Giải: điều kiện x ≥
1
2


Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– Nếu
1
x 2
2
≤ <
: VT =
6
1 8 8 3
x 1
+ + < +
+
. Mà: VP >
8 3+
– Nếu x > 2: VP = 2x
2
+
2x 1−
> 2.2
2
+
3
=
8 3+
. VT <
8 3+
x 2 x 1 2 1
6 6
1 1 3
x 1 2 1

> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 2 2
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − + − − −
Giải: Thử với x = 2. Ta có:
2 2 2
3.4 7.2 3 2 2 3.2 5.2 1 2 3.2 4
1 2 3 6
− + − − = − + − − −
⇔ − = −
(1) ⇔
2 2 2 2
(3x 5x 1) 2(x 2) (x 2) 3(x 2) 3x 5x 1 x 2− − − − + − − − = − − − −
Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x < 2: VT > VP
Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3. Giải phương trình:
6 8
6
3 x 2 x
+ =
− −
Giải : ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x =
3
2
là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó
là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x <

3
2
:
6
2
3 x
<
−
và
8
4
2 x
<
−
⇒
6 8
6
3 x 2 x
+ <
− −
.
Tương tự với
3
2
< x < 2:
6 8
6
3 x 2 x
+ >
− −

Ví dụ 4. Giải phương trình:
2 2
3x(2 9x 3) (4x 2)(1 1 x x ) 0+ + + + + + + =
(1)
Giải : (1)
(
)
(
)
2 2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0⇔ + + + + + + + =
(
)
(
)
2 2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3⇔ + + = − + + + +
Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x =
1
5
−
thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x =
1
5
−
là
một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng
1
; 0
2

 
−
 ÷
 
. Ta chứng
minh đó là nghiệm duy nhất.
Với
1 1
x
2 5
− < < −
: 3x < –2x – 1 < 0
⇒ (3x)
2
> (2x + 1)
2
⇒
2 2
2 (3x) 3 2 (2x 1) 3+ + > + + +
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
Suy ra:
(
)
(
)
2 2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0+ + + + + + + >
⇒ (1) không có nghiệm trong khoảng

này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi
1 1
x
2 5
− < < −
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ. Giải phương trình
x 4x 1
2
x
4x 1
−
+ =
−
Giải: điều kiện
1
x
4
>
Áp dụng bất đẳng thức
a b
2
b a
+ ≥
với ab > 0
Với điều kiện
1
x x 4x 1 0
4
> ⇒ − >

. Nên:
x 4x 1
2
x
4x 1
−
+ ≥
−
. Dấu “=” xảy ra ⇔
2
x 4x 1 x 4x 1 0= − ⇔ − + =
⇔
2 2
x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
4. Phương pháp đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2x 1 x 2 x 3+ − − = +
Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của
phương trình:
(x 3)( 2x 1 x 2 1) 0+ + + + − =
⇔
x 3 0
2x 1 x 2 1
+ =


+ + − =

⇒ PT vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải phương trình:

2
x 1 2(x 1) x 1 1 x 3 1 x+ + + = − + − + −
(1)
Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) ⇔
( ) ( )
x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 0+ − − + − − + =
⇔ x
1
= 0; x
2
=
24
25
−
Ví dụ 3. Giải phương trình:
3 2 4
x 1 x x x 1 1 x 1− + + + + = + −
(1)
Giải. Chú ý: x
4
– 1 = (x – 1)(x
3
+ x
2
+ x + 1).
(1) ⇔
( )
(
)
3 2

x 1 1 1 x x x 1 0− − − + + + =
⇔ x = 2
5) Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng một ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
x x 1 1+ + =
(1)
Giải. Đặt
x 1+
= y (y ≥ 0)
⇒y
2
= x + 1 ⇔ x = y
2
– 1 ⇔ x
2
= (y
2
– 1)
2

⇒ (2) ⇔ (y
2
– 1)
2
+ y – 1 = 0 ⇔ y(y − 1)(y
2
+ y − 1) = 0.
Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là:

1 5
0; 1;
2
 
−
 
−
 
 
 
Ví dụ 2. Giải phương trình:
( )
3
x 1 1 2 x 1 2 x− + + − = −
(1)
HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt
x 1 1− +
= y
(1) ⇔
( ) ( )
3 2
x 1 1 x 1 1 2 0− + + − + − =

*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
⇔ y
3
+ y
2

– 2 = 0
⇔ (y – 1)(y
2
+ 2y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ⇔ x = 1

b) Sử dụng hai ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x
2
+ 2) = 5
3
x 1+
(3)
Giải. Đặt u =
x 1+
, v =
2
x x 1− +
(ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó:
u
2
= x + 1, v
2
= x
2
– x + 1, u
2
v
2
= x
3

+ 1. ⇒ (3) ⇔ 2(u
2
+ v
2
) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) = 0
Giải ra, xác định x. Kết quả là: x ∈
5 37 5 37
;
2 2
 
+ −
 
 
 
 
Ví dụ 2. Giải phương trình:
( )
(
)
2
x 5 x 2 1 x 7x 10 3+ − + + + + =
(1)
Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) ⇔
( ) ( )
x 5 x 2 1 (x 5)(x 2) 3+ − + + + + =
Đặt:
x 5+
= u,
x 2+
= v (u, v ≥ 0)⇒ u

2
– v
2
= 3. (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a
2
– b
2
⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Giải phương trình:
x 1 3x 2x 1+ − = −
(1)
Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt
x 1+
= u,
3x
= v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a
2
– b
2
⇔ (a – b)(a + b + 1) = 0
Mà a + b + 1 > 0 ⇒ a = b ⇔ x =
1
2
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
4 1 5
x x 2x
x x x
+ − = + −

(1)
Giải. Đặt
1
x
x
−
= u,
5
2x
x
−
= v (u, v ≥ 0)
(1) ⇔
1 5 1 5
x 2x x 2x 0
x x x x
 
   
− − − − − − − =
 ÷  ÷
 
   
 
⇔ u – (v
2
– u
2
) – v = 0
⇔ (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2
c) Sử dụng ba ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình:
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3+ + + + = + + + −
(1)
Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) ⇔
(x 1)(x 2) x 3 x 2 (x x)(x 3)− − + + = + + − +
Đặt:
x 1−
= a,
x 2−
= b,
x 3+
= c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = 0
⇔ a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2. Giải phương trình :
x 2 x. 3 x 3 x. 5 x 2 x. 5 x= − − + − − + − −
Giải. Đặt :
u 2 x= −
;
v 3 x= −
;
t 5 x= −
(u ; v ; t ≥ 0)
⇒ x = 2 − u
2
= 3 − v
2
= 5 − t
2
= uv + vt + tu

Từ đó ta có hệ:
(u v)(u t) 2 (1)
(v u)(v t) 3 (2)
(t u)(t v) 5 (3)
+ + =


+ + =


+ + =


Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]
2
= 30
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên:
(u v)(v t)(t u) 30+ + + =
(4)
Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************

30
v t (5)
2
30
u t (6)
3

30
u v (7)
5

+ =




+ =



+ =



Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có:
31 30 31 30
2(u v t) u v t
30 60
+ + = ⇒ + + =
(8)
Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:
2
30
u
60
11 30 30 239
v x 2

60 60 120
19 30
t
60

=



 

= ⇒ = − =
 ÷

 ÷
 


=



d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình
x 1 2x 1 5− + − =
Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5
Cách 2: Đặt
x 1 u 0− = ≥
và
2x 1 v− =

. Ta có hệ:
2 2
u v 5
v 2u 1
+ =


− =

⇔
u 2
u 12
=


= −

⇔ x = 5.
Ví dụ 2 Giải phương trình:
8 x 5 x 5+ + − =
Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt
8 x+
= u ,
5 x v− =
(u, v ≥ 0):
⇒
2 2
u v 5
u v 13
+ =



+ =

u 2 u=3
v
v 3 v=2
=
 
⇔
 
=
 
Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
2 2
25 x 9 x 2− − − =
Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt
2
25 x−
= u,
2
9 x−
= v (u, v ≥ 0)
⇒
2 2
u v 2
u v 16
+ =



+ =

⇔
u v 2 u 5
u v 8 v 3
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
. Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
1 x 4 x 3− + + =

Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt
1 x u ; 4 x v− = + =
(u, v ≥ 0)
⇒
2 2
u v 3
u v 5
+ =


+ =

⇒
x 0

x 3
=


= −


Ví dụ 5. Giải phương trình:
2
2 x 2 x 4 x 2− + + + − =
Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt
2 x u, 2 x v− = + =
(u, v ≥ 0) ⇒
2
(u v) 2uv 4
(u v) uv 2

+ − =

+ + =

Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6. Giải phương trình:
4
4
97 x x 5− + =
(1)
Giải. Đặt
4
97 x−

= u,
4
x
= v (u, v ≥ 0)
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
⇒ (1) ⇔
4 4
u v 5
u 2 u 3 x 81

v 3 v 2 x 16
u v 97
+ =
= = =

  
⇔ ∨ ⇔
  

= = =
+ =
  

Ví dụ 7. Giải phương trình:
3
3
3
x 2x 3 12(x 1)+ − = −

Giải. Đặt
3
3
x u, 2x 3 v= − =
(1)
⇔
3 3 3 3 3 3
3
u v 4(u v ) u v 3uv(u v) 4(u v )+ = + ⇔ + + + = +
2 2 2
u v
3.(u v).(u 2uv v ) 0 3.(u v).(u v) 0
u v
= −

⇔ + − + = ⇔ + − = ⇔

=

⇒ kết quả
6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình:
2
x 4 x m− = −
Giải. Ta có:
2
x 4 x m− = −
⇔
2 2 2 2
x m x m

x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
≥ ≥
 
⇔
 
− = − + − + =
 
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m ≠ 0:
2
m 4
x
2m
+
=
. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔
2
m 4
2m
+
≥ m
+ Nếu m > 0: m
2
+ 4 ≥ 2m
2
⇔ m
2
≤ 4 ⇔
0 m 2< ≤
+ Nếu m < 0: m

2
+ 4 ≤ 2m
2
⇔ m
2
≥ 4 ⇔ m ≤ –2
Tóm lại:
– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm
2
m 4
x
2m
+
=
– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
mxx −=− 3
2
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000)
Giải. Ta có:
2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
≥ ≥
 
− = − ⇔ ⇔
 
− = + − − + =

 
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m ≠ 0:
2
m 3
x
2m
+
=
. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔
2
m 3
m
2m
+
≥
+ Nếu m > 0: m
2
+ 3 ≥ 2m
2
⇔ m
2
≤ 3 ⇔
0 m 3≤ ≤
+ Nếu m < 0: m
2
+ 3 ≤ 2m
2
⇔ m
2

≥ 3 ⇔ m ≤
3−
Tóm lại:
– Nếu
0 m 3≤ ≤
hoặc
m 3≤ −
. Phương trình có một nghiệm:
2
m 3
x
2m
+
=
– Nếu
3 m 0− < ≤
hoặc
m 3>
: phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
x x m m− = −
Giải. Điều kiện: x ≥ 0
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành
x( x 1) 0− =
⇒ có hai nghiệm: x
1
= 0, x
2
= 1

– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
( x m)( x m 1) 0− + − =
x m 0
x 1 m

− =
⇔

= −


+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x
1
= m; x
2
=
2
(1 m)−
*******************************
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
******************************
+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m
*******************************